北师版八上数学专题1 勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用（课件）

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第二章　实　数专题1　勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用数学 八年级上册 BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS ◎问题综述勾股定理及其逆定理是平面几何中十分重要的定理，是数与形的完美结合.勾股定理作为平面几何有关度量的基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.学习勾股定理及其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习的基础.因而勾股定理及其逆定理具有学科的基础性和广泛的应用性.数学 八年级上册 BS版0 2典例讲练 类型一　求线段的长度 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， BC ＝1， AC ＝2， AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E . 延长 DE ，交 BC 的延长线于点 F ，连接 AF . （2）求 AF 的长.【思路导航】（1）根据勾股定理求 AB 的长，即可求 AD 的长；（2）根据 AF ＝ BF ，在Rt△ ACF 中，由勾股定理列出关于 AF 长的方程，解方程即可. （1）求 AD 的长；（2）因为 DF 是线段 AB 的垂直平分线，所以 BF ＝ AF . 所以 CF ＝ BF － BC ＝ AF －1.因为∠ ACF ＝90°，所以 CF2＋ AC2＝ AF2，即（ AF －1）2＋22＝ AF2， 【点拨】利用勾股定理表示出直角三角形三边的数量关系求线段的长度，是一种十分重要的方法.需要注意的是，应用勾股定理时，必须把要求的线段放到直角三角形中，如果没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形来解决问题，切忌乱用勾股定理.在求得相应的线段后，可进一步求其他线段的长度、图形的周长和面积. 如图，在△ ABC 中，已知 AD ， BE 分别为边 BC ， AC 的中线，分别交 BC ， AC 于点 D ， E . （1）若 CD ＝4， CE ＝3， AB ＝10，试说明：∠ C ＝90°；（2）若∠ C ＝90°， AD ＝6， BE ＝8，求 AB 的长.解：（1）因为 AD ， BE 分别为边 BC ， AC 的中线， CD ＝4， CE ＝3，所以 BC ＝8， AC ＝6.因为 AB ＝10，所以 AB2＝ AC2＋ BC2.所以△ ABC 是直角三角形，且∠ C ＝90°. 类型二　求角的度数 如图，已知点 E 是正方形 ABCD 内一点，连接 AE ， BE ， CE ，将△ ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转90°到△CBE'的位置，且 AE ＝1， BE ＝2， CE ＝3，求∠BE'C的度数.【思路导航】连接EE'，由旋转的性质和勾股定理可得EE'的长和∠BE'E的度数，再由勾股定理的逆定理证得△EE'C是直角三角形，便可得到∠BE'C的度数. 【点拨】勾股定理常用来求直角三角形的边长，而勾股定理的逆定理常用来判定直角三角形，同时说明一个角为90°，所以常通过勾股定理的逆定理及其他条件（如两边相等）来求角的度数. 如图，已知点 P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 AP ＝3， BP ＝4， CP ＝5，求∠ APB 的度数. 答图类型三　证明线段的平方关系 如图，已知∠ BAC ＝∠ DAF ＝90°， AB ＝ AC ， AD ＝ AF ，点 D ， E 为边 BC 上的两点，且∠ DAE ＝45°，连接 EF ， BF . 试说明： BE2＋ CD2＝ DE2.【思路导航】先说明△ AED ≌△ AEF ，得到 DE ＝ FE ；再说明△ ACD ≌△ ABF ，得到 CD ＝ BF ；最后在Rt△ BEF 中，由勾股定理即可得到结论.  【点拨】因为勾股定理是以线段（边）的平方关系式实现的，所以遇到需要证明线段的平方关系式时，就应自然地联想到利用勾股定理来证明.一般地，结论中的线段并非同一个直角三角形的三边时，常需通过全等三角形进行等量代换. 在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ， AD ⊥ BC 于点 D ，在 AD 上取一点 F ，使得 DF ＝ DB ，连接 BF 并延长，交 AC 于点 E . （1）如图1，若 AB ＝13， BC ＝10，求 AF 的长；（2）如图2，若 AF ＝ BC ，试说明： BF2＋ EF2＝ AE2.图1　　　　　　　　　图2 （2）如图，在 BF 上取一点 H ，使 BH ＝ EF ，连接 CF ， CH . 在Rt△ BDF 中，因为 DF ＝ DB ，所以∠ DBF ＝∠ DFB ＝45°.又因为∠ AFE ＝∠ DFB ，所以∠ DBF ＝∠ AFE . 在△ CHB 和△ AEF 中， 所以 CH ＝ AE ，∠ CHB ＝∠ AEF . 所以∠ CEF ＝∠ CHE . 所以 CE ＝ CH . 因为 BD ＝ CD ， FD ⊥ BC ，所以 CF ＝ BF . 所以∠ FCD ＝∠ FBD ＝45°.所以∠ CFB ＝90°.所以 EF ＝ FH ， CF2＋ FH2＝ CH2.所以 BF2＋ EF2＝ AE2.类型四　图形折叠问题 如图，四边形 ABCD 是边长为8的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的点B'处，点 A 的对应点为点A'，且B'C＝4.求：（1） CN 的长；（2） AM 的长；（3） MN 的长.【思路导航】（1）根据折叠变换的性质得到B'N＝ BN ，再根据勾股定理列方程求解即可；（2）连接 MB ，MB'，在Rt△ ABM 和Rt△MDB'中，由 MB ＝MB'及勾股定理列方程求解即可得到 AM 的长；（3）过点 M 作 MG ⊥ BC 于点 G ，在Rt△ MGN 中，根据勾股定理即可求得 MN 的长.解：（1）由题意，得 B ' N ＝ BN ， CN ＝8－ BN . 在Rt△B'CN中，由勾股定理，得B'N2＝B'C2＋ CN2，即B'N2＝42＋（8－B'N）2.解得B'N＝5.所以 CN ＝8－ BN ＝8－B'N＝8－5＝3.（2）如图，连接 MB ，MB'.由折叠的性质，得 MB ＝MB'.设 AM ＝ x ，则有 AB2＋ AM2＝ BM2＝B'M2＝ MD2＋DB'2，即82＋ x2＝（8－ x ）2＋（8－4）2，解得 x ＝1.所以 AM ＝1. 【点拨】（1）折叠是一种轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生变化，也就是说对应边和对应角相等；（2）折叠的图形是直角三角形，并且都涉及到求线段的长度时，利用勾股定理；（3）在解决具体问题时，首先弄清楚折叠和轴对称能够提供的隐含且可利用的条件，同时为了方便，常常设要求的线段为 x ，然后根据条件用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列方程求解. 1. 如图，折叠长方形纸片 ABCD ，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF . 若 AB ＝3 cm， BC ＝5 cm，则重叠部分（△ DEF ）的面积为 cm2.  2. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC ＝30 cm， BC ＝40 cm.现将直角边 AC 沿 AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处.求△ DEB 的面积.解得 AB ＝50 cm（负值舍去）.由折叠的性质，得∠ AED ＝∠ C ＝90°， AE ＝ AC ＝30 cm， CD ＝ DE . 所以∠ BED ＝90°， BE ＝ AB － AE ＝20（cm）.设 CD ＝ DE ＝ x cm，则 BD ＝ BC － CD ＝（40－ x ）cm.在Rt△ BED 中，根据勾股定理，得 DE2＋ BE2＝ BD2，即 x2＋202＝（40－ x ）2，解得 x ＝15.所以 DE ＝15 cm. 解：在Rt△ ABC 中， AC ＝30 cm， BC ＝40 cm，根据勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝302＋402＝2 500＝502，演示完毕 谢谢观看