北师版八上数学第一章 勾股定理 回顾与思考（课件）

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第一章　勾股定理回顾与思考数学 八年级上册 BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS 1. 勾股定理.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ⁠.2. 勾股定理中的面积关系.若将以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积分别记为 Sa ， Sb ，以斜边为边长的正方形的面积记为 Sc ，则 Sa ， Sb ， Sc 三者之间的关系是 ⁠.a2＋ b2＝ c2　Sa ＋ Sb ＝ Sc 　3. 勾股定理的逆定理.如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，那么这个三角形是 三角形，其中 c 为斜边长.注意：若 c 最长，则：当 a2＋ b2＝ c2时，以 a ， b ， c 为三边长的三角形是直角三角形；当 a2＋ b2＜ c2时，以 a ， b ， c 为三边长的三角形是钝角三角形；当 a2＋ b2＞ c2时，以 a ， b ， c 为三边长的三角形是锐角三角形.直角　4. 勾股数.满足 a2＋ b2＝ c2的三个 ，称为勾股数.注意：（1）勾股数应同时满足的三个条件：①都是正数；②都是整数；③ a2＋ b2＝ c2.（2）常见的几组勾股数有：3，4，5；5，12，13； 7，24，25； 8，15，17.勾股数同时扩大若干整数倍后还是勾股数；勾股数同时缩小到原来的若干正整数分之一后不一定是勾股数，但仍满足 a2＋ b2＝ c2，以它们作为边长的三角形仍是直角三角形.正整数　5. 勾股定理的应用.（1）在运用勾股定理解决实际问题时，要注意仔细审题，找出直角三角形，若没有直角三角形，则要通过作辅助线来构造出直角三角形；（2）求立体图形（主要是圆柱和长方体）表面两点之间的最短路线问题，需要将立体图形上的路线问题转化为平面图形上的路线问题.数学 八年级上册 BS版0 2典例讲练 要点一　勾股定理的基本计算 （1）在Rt△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别是 a ， b ， c .①若 a ＝40， c ＝41，求 b ；②若 a ∶ b ＝3∶4， c ＝15，求 b ；③若 c ＝50， a ＝30， CD ⊥ AB 于点 D ，求线段 CD 的长.【思路导航】①直接运用勾股定理解答即可；②把 a 用 b 表示，再利用勾股定理解答即可；③先利用勾股定理求得 b ，再利用三角形的面积解答即可.解：①由勾股定理，得 b2＝ c2－ a2＝412－402＝81，所以 b ＝9（负值舍去）. 解得 b ＝12（负值舍去）. 解得 CD ＝24.【点拨】利用勾股定理求直角三角形的边长，一般都要经过“一分，二代，三化简”这三步，即一分：分清哪条边是斜边，哪些边是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入 a2＋ b2＝ c2 （假设 c 是斜边长， a ， b 是两直角边长）；三化简.（2）在△ ABC 中，已知 AB ＝41， AC ＝15，高 AH ＝9，则△ ABC 的面积为 ⁠.【思路导航】分点 H 在线段 BC 上和在线段 BC 的延长线上两种情况，根据 AH ⊥ BC ，得到△ ABH 与△ AHC 为直角三角形，再分别利用勾股定理求出 BH 与 HC ，从而求出 BC ，利用三角形的面积公式即可求出△ ABC 的面积.234或126　 图1 图2【点拨】涉及到三角形及其高时，一定要分清高所在的位置，再放到对应的直角三角形中计算.若三角形的形状及高不确定，则需要分类讨论. 1. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，分别以边 AB ， CA ， BC 为边长向外作正方形，若正方形 ABIH 的面积为25，正方形 BDEC 的面积为169，则正方形 ACFG 的面积为 ⁠.144　2. 如图，已知四边形 ABCD 是长方形纸片，翻折∠ B ，∠ D 使 BC ， AD 恰好落在 AC 上，且点 F ， H 分别是点 B ， D 在 AC 上的对应点， CE ， AG 是折痕.若 AB ＝4 cm， BC ＝3 cm，则线段 EF 的长为 cm.1.5　要点二　勾股定理的逆定理的应用 如图，在△ ABC 中，已知点 D 是边 BC 的中点， DE ⊥ BC 交 AB 于点 E ，且 BE2－ EA2＝ AC2.（1）试说明：∠ A ＝90°；（2）若 AC ＝6， BD ＝5，求 AE 的长.【思路导航】（1）连接 CE ，由线段垂直平分线的性质，结合 BE2－ EA2＝ AC2可求得△ ACE 的三边关系，即可证得结论；（2）先求得 BC ， AB 的长，在Rt△ AEC 中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于 AE 的方程，再解方程即可.解：（1）如图，连接 CE . 因为点 D 是 BC 的中点， DE ⊥ BC ，所以 CE ＝ BE . 因为 BE2－ EA2＝ AC2，所以 CE2－ EA2＝ AC2.所以 EA2＋ AC2＝ CE2.所以△ ACE 是直角三角形，且∠ A ＝90°. 【点拨】勾股定理的逆定理可用来判定直角三角形，即若△ ABC 的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，则△ ABC 是直角三角形.而勾股定理常用来求线段长. 已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，且满足：｜ c2－ a2－ b2｜＋（ a － b ） 2＝0.请判断△ ABC 的形状.解：因为｜ c2－ a2－ b2｜＋（ a － b ） 2＝0，所以 c2－ a2－ b2＝0，且 a － b ＝0，即 a2＋ b2＝ c2，且 a ＝ b .所以△ ABC 是等腰直角三角形.要点三　勾股定理的实际应用 （1）为了加快社会经济发展，某市准备在铁路 AB 沿线修建一个火车站 E ，以方便铁路 AB 两旁的 C ， D 两城的居民出行.如图， C 城到铁路 AB 的距离 AC ＝20 km， D 城到铁路 AB 的距离 DB ＝60 km， AB ＝100 km.经市政府与铁路部门协商，最后确定在与 C ， D 两城距离相等的点 E 处修建火车站.求 AE ， BE 的长.【思路导航】设 AE ＝ x km，则可用含 x 的代数式表示 BE ，根据 CE ＝ DE ，由勾股定理即可列出方程，解决问题.解：设 AE ＝ x km，则 BE ＝（100－ x ）km.在Rt△ ACE 中，∠ CAE ＝90°，由勾股定理，得 CE2＝ AC2＋ AE2＝202＋ x2.在Rt△ BDE 中，∠ DBE ＝90°，由勾股定理，得 DE2＝ BE2＋ BD2＝（100－ x ）2＋602.因为 CE ＝ DE ，所以 CE2＝ DE2.所以202＋ x2＝（100－ x ）2＋602，解得 x ＝66.所以 AE ＝66 km， BE ＝100－66＝34（km）.（2）如图，一架长12.5 m的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯子底部 B 到墙底端 C 的距离为3.5 m.①这架梯子的顶端 A 距离地面有多高？②若梯子的顶端沿墙垂直下滑2 m到点 E 处，则梯子的底部在水平方向也滑动了2 m吗？【思路导航】根据题意建立数学模型，再利用勾股定理计算出相关线段的长度，从而使问题得到解决.解：①根据题意，得 AB ＝12.5 m， BC ＝3.5 m.在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，由勾股定理，得 AC2＝ AB2－ BC2＝12.52－3.52＝144，所以 AC ＝12 m（负值舍去）.所以这架梯子的顶端 A 距离地面有12 m高.②因为 AE ＝2 m，所以 CE ＝ AC － AE ＝12－2＝10（m）.由题意可知， ED ＝ AB ＝12.5 m.在Rt△ CDE 中，∠ C ＝90°，由勾股定理，得 CD2＝ ED2－ CE2＝12.52－102＝56.25，所以 CD ＝7.5 m（负值舍去）.所以 BD ＝ CD － BC ＝7.5－3.5＝4（m）.所以梯子的底部在水平方向滑动了4 m，而不是2 m.【点拨】本例是利用勾股定理解决实际问题的典型题目，基本解题思路是，首先根据题意和生活常识建立数学模型（由于墙与地面垂直，必然存在直角三角形），然后利用勾股定理和一些生活常识（如梯子的长度不变）解决问题. 1. 如图1，小莉正在荡秋千，其部分过程的示意图如图2所示.已知当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度 DE ＝0.5 m，将它往前推送1.5 m（水平距离 BC ＝1.5 m）时，踏板离地面的垂直高度 BF ＝1 m，秋千的绳索始终拉直，则绳索 AD 的长是 m.2.5　　　　　　图1　　　　图22. 如图，某时刻海上点 P 处有一艘游艇，测得灯塔 A 位于 P 的北偏东30°方向，且相距40 n mile.游艇以每小时60 n mile的速度沿北偏西60°方向航行0.5 h到达点 B 处，求点 B 与灯塔 A 的距离.解：因为灯塔 A 位于游艇 P 的北偏东30°方向，且相距40 n mile，所以 AP ＝40 n mile.因为游艇以每小时60 n mile的速度沿北偏西60°方向航行0.5 h到达点 B 处，所以∠ APB ＝90°， BP ＝60×0.5＝30（n mile）.所以 AB2＝ AP2＋ BP2＝402＋302＝2500.所以 AB ＝50 n mile（负值舍去）.所以点 B 与灯塔 A 的距离为50 n mile.要点四　勾股定理中的最值问题 （1）葛藤为获得更多的雨露和阳光，常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上.现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4 m.若把树干看成圆柱，其底面周长是0.5 m，葛藤盘旋1圈的示意图如图所示，则这段葛藤的长是 m. 2.6　【思路导航】先把圆柱从侧面展开，再利用勾股定理求葛藤绕树干盘旋1圈的长度.【解析】因为葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4 m，所以葛藤绕树干盘旋1圈升1.2 m.如图， AC2＝ AB2＋ BC2＝0.52＋1.22＝1.69，所以 AC ＝1.3 m（负值舍去）.所以这段葛藤的长为2×1.3＝2.6（m）.故答案为2.6.【点拨】对于圆柱表面的最短路线问题，常将其侧面展开为长方形，根据“两点之间，线段最短”，结合勾股定理求解.（2）一个放置雕塑的长方体底座如图所示， AB ＝12 m， BC ＝2 m，BB'＝3 m.一只蚂蚁从点 A 出发，以2 cm/s的速度沿长方体表面爬到点C'处至少需要多少分钟？【思路导航】长方体相邻两面展开是长方形，观察长方体，蚂蚁爬行的路线的长度有三种可能，根据两点之间线段最短，确定路线最短的一种情况，再根据“时间＝路程÷速度”即可解答.（1）将正面与右面展开，如图1所示（单位：m）.在Rt△ACC'中，由勾股定理，得路线一：AC'2＝ AC2＋CC'2＝142＋32＝205；图1解：2 cm/s＝0.02 m/s.图2（2）将左面与上面展开，如图2所示（单位：m）.在Rt△ADC'中，由勾股定理，得路线二：AC'2＝ AD2＋C'D2＝22＋152＝229；（3）将正面与上面展开，如图3所示（单位：m）.在Rt△ABC'中，由勾股定理，得 图3【点拨】对于长方体表面的最短路线问题，基本方法是把表面展开，将立体图形路线问题转化为平面图形路线问题.需要注意的是，若没有明确路线通过的表面，则需要分类讨论来确定最短路线. 1. 如图，已知圆柱底面的周长为12 cm，圆柱的高为8 cm.在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 cm.20　2. 如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 B 处有一滴糖浆，容器外点 A 处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆.已知容器长为5 cm，宽为3 cm，高为4 cm，点 A 距离底部1 cm，求蚂蚁需爬行的最短路程的平方（容器壁厚度不计）.解：将容器的侧面展开，如答图所示.作点 A 关于 EF 对称的点 A '，连接 A ' B ，交 EF 于点 G ，连接 AG . 由轴对称的性质，得 AG ＝ A ' G . 所以 AG ＋ GB ＝ A ' G ＋ GB ＝ A ' B . 所以A'B为蚂蚁需爬行的最短路程.由题意，得 EC ＝4 cm， AC ＝1 cm， BC ＝5＋3＝8（cm）.所以A'E＝ AE ＝ EC － AC ＝4－1＝3（cm）.所以A'C＝A'E＋ EC ＝3＋4＝7（cm）.在Rt△A'CB中，由勾股定理，得A'B2＝ A'C2＋ BC2＝72＋82＝113.故蚂蚁爬行的最短路程的平方为113.答图演示完毕 谢谢观看