人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆课文内容ppt课件

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我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截 圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线) 是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成 的角，那么会得到怎样的曲线呢?如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆 锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可 以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、 双曲线统称为圆锥曲线(cnicsectins).
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系.如行星绕太阳运 行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面为什么圆锥曲 线有如此广泛的应用呢?我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答 案 .圆锥曲线的发现与研究始于古希腊.当时人们用纯几何的方法研究这些 与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广.17 世纪，笛卡儿发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究 圆锥曲线.本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它 们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问 题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生 活中具有广泛的应用.那么,椭圆到底有怎样的几何特征?我们该如何 利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础?
探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细 绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F₁,F₂ (图3 . 1- 1),套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数。F₁
这两个定点叫做椭圆的焦点(fcus),两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(fcusdistance), 焦距的一半称为半焦距由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆.F₁
我们把平面内与两个定点F1,F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂) 的 点的轨迹叫做椭圆(ellipse).
观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们 以经过椭圆两焦点F₁,F₂ 的直线为x轴，线段F₁,F₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 如图3.1-2所示.
思考观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简 单?
y 个MF₁ 0 F₂ X
设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F₁,F₂ 的坐标分别为(-c,0),(c,0).根据椭圆的定义，设点M 与焦点F₁,F₂的距离的和等于2a. 设为2a能为问题研究带来方便.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁ |+|MF₂ |=2a}. 因为|MF₁ |= √ (x+c)²+y²,MF₂ |= √ (x-c)²+y².所以√ ①为了化简方程①,我们将其左边的一个根式移到右边，得②对方程②两边平方，得
整理，得a²-cx=a √ (x-c)²+y² ③对方程③两边平方，得a⁴-2a²cx+c²x²=a²x²-2a²cx+a²c²+a²y²,整理，得(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²) ④将方程④两边同除以a²(a²-c²),得 ⑤由椭圆的定义可知，2a>2c>0, 即a>c>0, 所以a²-c²>0.
思考观察图3.1-3,你能从中找出表示a,c,Ja²-c²的线段吗?由图3.1-3可知，PF₁|=|PF₂|=a,OF₁|=|0F₂I=c,|PO|=√a²-c² .令b=|PO=√a²-c², 那么方程⑤就是
F₁ 0 F₂ x图3.1-3
⑥由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为坐标的点(x,y) 与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0) 的距离之和为2a,即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程。它表示焦点 在x轴上，两个焦点分别是F₁(-c,0),F₂(c,0) 的椭圆，这 里c²=a²= b² .
思 考如图3.1-4,如果焦点F₁,F₂ 在 y轴上，且F₁,F₂的坐标分别为(0,-c),(0,c), a,b的意义同上，那么椭圆的方程是什么?y 个
容易知道，此时椭圆的方程是这个方程也是椭圆的标准方程.
例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过求它的标准方程.解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知(=2所以a= √ 10.b²=a²-c²=10-4=6,所以所求椭圆的标准方程
你还能用其他方法求它的标准方程吗?试比较不同方法的特点. 解法二：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程由有圆的定义知口c=2,所以a²=b²+c²=b²+4, 所以
∴(2b²+3)(b²-6)=0,解 得b²=6,:a²=b²+4=10,所以所求椭圆的标准方程为
代 入 ， 整理得2b⁴-9b²-18=0,
分析：点P在圆x²+y²=4 上运动，点P的运动引起点M 运动.我们可以由M 为线段PD 的中 点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M 的坐标 所满足的方程.
例2如图3.1-5,在圆x²+y²=4 上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?
由 点M 是线段PD的中点，因为点在圆x²+y²=4 上，所以x²+y²=4 ①把x,=x,y,=2y 代入方程①,得x²+4y²=4,
寻求点M 的坐标(x,y)中x,y 与x,y₀之间的关系， 然后消去x,y,得到点M 的轨迹方程。这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法.利用信息技术，可以更方便地探究点M 的轨迹的形状.
解：设点M 的坐标为(x,y), 点P的坐标为(x,y),则点D的坐标为(x₀,0),
所以点M 的轨迹是椭圆
思考由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗?如何“拉伸”?由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗?
例3如图3.1-6,设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是： ,求点M的轨迹方程.分析：设点M 的坐标为(x,y), 那么直线AM,BM 的斜率就可用含x,y 的
关系式分别表示. 由直线AM,BM 的斜率图3.1-6之积是 可得出x,y 之间的关
系式，进而得到点M 的轨迹方程.
所以直线AM的斜率同理,直线BM的余斜率
由已知，有化简，得点M的轨迹方程为
解：设点M 的坐标为(x,y), 因为点A的坐标是(-5,0),
点M 的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.
为椭圆上任一点，则 椭圆的第三定义特殊情况，当b-a时，c-0,此时 IPB.