专题07 函数的单调性与最大(小)值-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】确定函数的单调性(区间)4
【考点2】求函数的最值6
【考点3】函数单调性的应用7
【分层检测】8
【基础篇】8
【能力篇】10
【培优篇】11
考试要求：
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,f（x）)的单调性相反.
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点突破
【考点1】确定函数的单调性(区间)
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间（单位：天）之间的函数关系．则下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D．天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
4．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则实数m的取值范围为
B．若，，则实数m的取值范围为
C．若，，则实数m的取值范围为
D．若，，则实数m的取值范围为
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，对于定义域内任意的x，y，都有，且在上单调递减，则不等式的解集为 .
6．（2023·北京密云·三模）设函数.
①当时，的单调递增区间为 ；
②若且，使得成立，则实数a的一个取值范围 .
反思提升：
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
易错警示 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.
【考点2】求函数的最值
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）函数满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
2．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（ ）
A．B．C．0D．8
4．（2022·福建漳州·一模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．是偶函数
C．函数的零点为0D．当时，的最大值为
三、填空题
5．（2023·云南保山·二模）对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 .
6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ．
反思提升：
1.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【考点3】函数单调性的应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·广西贺州·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．为增函数
C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为
D．
4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，设函数，则下列结论成立的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．
C．当实数时，函数在区间上单调递减
D．在区间内，若函数有4个零点，则实数的取值范围是
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 .
6．（21-22高三上·浙江绍兴·阶段练习）已知函数，则对任意的，存在、（其中、且），能使以下式子恒成立的是 .
①；②；③；④.
反思提升：
1.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.
2. 求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.
3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点B．是单调函数
C．是奇函数D．是周期函数
2．（2021·甘肃金昌·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的值域为
C．当时，函数的图象关于直线对称
D．函数的增区间为，
3．（2023·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023·贵州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象与轴围成的三角形面积为2
二、多选题
5．（2023·辽宁抚顺·二模）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2023·福建南平·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·江西·模拟预测）已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．的值域为B．在区间上单调递增
C．D．若，则的最小值为-3
三、填空题
8．（2024·辽宁·一模）已知圆：，直线交圆于、两点，点，则三角形面积的最大值为 .
9．（2021·山东淄博·一模）已知函数在上的最大值是6，则实数的值是 .
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
11．（2022·河南郑州·一模）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，.
(1)求在上的解析式；
(2)判断在上的单调性；
(3)当为何值时，方程在上有实数解.
12．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象关于点对称．
(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称
B．在上单调递增
C．的解集为
D．若对恒成立，则实数的取值范围为
三、填空题
3．（2024·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 .
四、解答题
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)，，使得，求实数的取值范围．
【培优篇】
一、单选题
1．（2022·河南开封·模拟预测）对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．e
二、多选题
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知定义在实数集上的函数的图象关于点中心对称，函数，且函数在上单调递减，函数的导函数分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．若，则
D．
三、填空题
3．（2024·全国·二模）已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是 .
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值