专题16 导数与函数的单调性-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】2
【考点突破】3
【考点1】不含参函数的单调性3
【考点2】含参函数的单调性4
【考点3】根据函数的单调性求参数6
【考点4】函数单调性的应用7
【分层检测】8
【基础篇】8
【能力篇】10
【培优篇】10
考试要求：
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
考点突破
【考点1】不含参函数的单调性
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若曲线在处的切线方程为，则
B．若，则函数的单调递增区间为
C．若，则函数在区间上的最小值为
D．若，则的取值范围为
三、填空题
3．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ．
四、解答题
4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点．
(1)求实数的值；
(2)求函数的单调区间与极值．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求在处的切线；
(2)比较与的大小并说明理由.
6．（2024·北京西城·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若集合有且只有一个元素，求的值．
反思提升：
确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
【考点2】含参函数的单调性
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．当时，有两个零点
C．一定存在零点
D．若存在，有，则
三、填空题
3．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数恰有两个零点，则 .
四、解答题
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程;
(2)若，讨论的单调性.
5．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
6．（2024·河南·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
反思提升：
1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
【考点3】根据函数的单调性求参数
一、单选题
1．（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．3D．4
三、填空题
3．（22-23高二下·广西·期中）若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数，
(1)若在定义域内是减函数，求a的取值范围；
(2)当时，求的极值点．
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)若在区间上不是单调函数，求的取值范围．
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若的最小值为6，求实数的值．
反思提升：
根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【考点4】函数单调性的应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2023·江苏·三模）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且满足（为函数的导函数），，若存在，使得，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2023·山东·模拟预测）已知函数及其导函数满足，且．
(1)求的解析式，并比较，，的大小；
(2)试讨论函数在区间上的零点的个数．
5．（2024·河南开封·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(2)函数；若方程在上存在实根，试比较与的大小．
6．（23-24高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)，，求的最小值；
(3)若在区间存在零点，求的取值范围.
反思提升：
1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·四川凉山·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·天津·期中）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数在上为增函数
B．函数在上为增函数
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的值域为R
C．若是的极值点，则
D．若是的极小值点，则在区间单调递减
三、填空题
7．（21-22高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，，若对，，且，使得，则实数a的取值范围是 .
8．（23-24高二下·湖北·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ．
9．（23-24高二下·江苏·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ．
四、解答题
10．（23-24高二下·北京·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若曲线在直线的上方，求实数的取值范围．
11．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函数在点处的切线的斜率为
(1)求；
(2)求的单调区间和极值．
12．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上存在增区间，求的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁·二模）已知定义在R上的函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若，则在上的最小值为0
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
三、填空题
3．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，若在,上单调递增，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·湖北·二模）求解下列问题，
(1)若恒成立，求实数k的最小值；
(2)已知a，b为正实数，，求函数的极值．
2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．
3．（2024·河北邯郸·二模）已知函数．
(1)是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)已知是的零点，是的零点．
①证明：，
②证明：．
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数