专题17 导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】2
【考点突破】4
【考点1】根据函数图象判断极值4
【考点2】求已知函数的极值5
【考点3】由函数的极值求参数6
【考点4】利用导数求函数的最值7
【分层检测】9
【基础篇】9
【能力篇】11
【培优篇】11
考试要求：
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
知识梳理
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
真题自测
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
6．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
7．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
8．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为 .
考点突破
【考点1】根据函数图象判断极值
一、单选题
1．（21-22高三·北京西城·开学考试）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点D．至少有一个极小值点和两个极大值点
2．（21-22高二下·北京西城·期末）设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2022·山东临沂·模拟预测）设函数，其中R，则（ ）
A．当时，有2个极值点
B．当时有1个极值点
C．当时，有0个极值点．
D．若，成立，则
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（ ）
A．1是的极大值，也是的极大值B．1是的极大值，也是的极小值
C．1是的极小值，也是的极小值D．1是的极小值，也是的极大值
三、填空题
5．（2021·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①在区间上单调递增；
②有2个极大值点；
③的值域为；
④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是 ．
6．（2023·陕西宝鸡·二模）若函数无极值点，则实数a的取值范围是 .
反思提升：
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
【考点2】求已知函数的极值
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川成都·二模）函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，存在唯一极小值点
C．对任意在上均存在零点
D．存在在上有且只有一个零点
二、多选题
3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，则（ ）
A．函数在上的最大值为3B．，
C．函数在上没有零点D．函数的极值点有2个
4．（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3B．4C．5D．6
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足当时，（为的导函数），且，则的极大值为 ．
6．（2023·西藏拉萨·一模）已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数 ；当函数有三个零点时，函数的极大值为 ．
反思提升：
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
【考点3】由函数的极值求参数
一、单选题
1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点B．若，则
C．恰有2个异号零点D．若，则
4．（2024·江苏徐州·一模）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有唯一零点
B．当时，是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．当时，对任意实数，总存在实数，使得
三、填空题
5．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点.若方程在上的所有根之和等于2024，则满足条件中整数的值构成的集合为
6．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
反思提升：
1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
【考点4】利用导数求函数的最值
一、单选题
1．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（ ）
A．是偶函数B．有无数个零点
C．的最小值为D．的最大值为
2．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若曲线在处的切线方程为，则
B．若，则函数的单调递增区间为
C．若，则函数在区间上的最小值为
D．若，则的取值范围为
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数当且仅当在时取极小值
B．当时，函数有无数个零点
C． ，
D．若在区间上的最小值是0，则
三、填空题
5．（2024·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 .
6．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数.设k为正数，对于任意x，若，二者中至少有一个大于2，则的取值范围是 .
反思提升：
1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）设为函数（其中）的两个不同的极值点，若不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数，，则下列命题不正确的是（ ）
A．有且只有一个极值点B．在上单调递增
C．存在实数，使得D．有最小值
3．（2024·四川雅安·三模）已知函数，则下列说法中正确的个数是（ ）
①当时，函数有且只有一个零点；
②当时，函数为奇函数，则正数的最小值为；
③若函数在上单调递增，则的最小值为；
④若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为.
A．1B．2C．3D．4
4．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数的导数的最小值为0，则函数的零点为（ ）
A．0B．C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则（ ）
A．B．
C．D．对于任意非零实数，总存在实数满足题意
7．（2024·江西·二模）若恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
三、填空题
8．（2024·广东·模拟预测）在的极值点个数为 个．
9．（2022·北京海淀·一模）已知函数，给出下列四个结论：①是偶函数；②有无数个零点；③的最小值为；④的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为 .
10．（2024·四川成都·三模）已知函数 ，若 存在最小值，且最小值为，则实数 的值为
四、解答题
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数的单调递增区间为．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
12．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数.
(1)当时，求函数极值；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·三模）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．a>0，b<0 B．a<0，b>0 C．D．
二、多选题
2．（2024·山东枣庄·模拟预测）若函数，则（ ）
A．的图象关于对称B．在上单调递增
C．的极小值点为D．有两个零点
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）函数在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·河南·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围.
【培优篇】
一、多选题
1．（2024·广西河池·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在上是增函数
B．的极大值点为，
C．有唯一的零点
D．的图象与直线相切的点的横坐标为，
二、填空题
2．（2024·江苏南京·二模）已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则 ．
三、解答题
3．（2024·陕西铜川·三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在零点，求实数的取值范围.
x
0
2
4
5
3
1
2.5
1
3