专题09 幂函数与二次函数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】幂函数的图象和性质4
【考点2】求二次函数的解析式5
【考点3】二次函数的图象与性质6
【分层检测】8
【基础篇】8
【能力篇】9
【培优篇】10
考试要求：
1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \f(1,2)，y＝eq \f(1,x)的图象，了解它们的变化情况；
2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知识梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0))时，恒有f(x)>0；当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
真题自测
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
三、解答题
6．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
考点突破
【考点1】幂函数的图象和性质
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·上海黄浦·模拟预测）下列函数定义域为的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（20-21高三上·辽宁辽阳·期末）下列函数中是奇函数，且值域为的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一上·贵州·阶段练习）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
三、填空题
5．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
6．（2022·全国·模拟预测）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数 ．
反思提升：
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【考点2】求二次函数的解析式
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（ ）
A．B．C．4D．
二、多选题
3．（2023·河北沧州·三模）已知二次函数满足，；当时，.函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，为自然对数的底数，则（ ）
A．函数的最小值为
B．
C．
D．函数的导函数的最小值为
4．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的且．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数 ．
反思提升：
求二次函数解析式的方法
【考点3】二次函数的图象与性质
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东韶关·模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·湖南株洲·一模）已知是函数的零点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．3
三、填空题
5．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ．
6．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 ．
反思提升：
1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
3.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
4不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2011·辽宁沈阳·一模）已知函数，若且，则它的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ）
A．B．C．3D．1
3．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
二、多选题
5．（2021·辽宁·模拟预测）已知函数(即，)则（ ）
A．当时，是偶函数B．在区间上是增函数
C．设最小值为，则D．方程可能有2个解
6．（23-24高一上·浙江·期中）若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（2023·上海闵行·一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ．
9．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .
10．（2020·安徽蚌埠·三模）已知命题，使得，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是 .
四、解答题
11．（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
12．（21-22高一上·辽宁·阶段练习）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．
(1)求m的值；
(2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2023·河南·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ．
四、解答题
4．（2022·黑龙江鸡西·二模）已知幂函数在上为减函数.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·浙江·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当时，对应的函数值.下列说法不正确的有（ ）
A．
B．
C．关于x的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间
D．和在该二次函数的图象上，则当实数时，
三、填空题
3．（22-23高一下·福建福州·期中）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 ．
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点
坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数
x
…
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…