专题12 函数的图象-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】9
【考点1】作出函数的图象9
【考点2】函数图象的识别15
【考点3】函数图象的应用21
【分层检测】29
【基础篇】29
【能力篇】28
【培优篇】42
考试要求：
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
知识梳理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象eq \(――→,\s\up17(关于直线),\s\d15(y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(纵坐标不变),\s\d15(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(横坐标不变),\s\d15(各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍))y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――→,\s\up17(x轴下方部分翻折到上方),\s\d15(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――→,\s\up17(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d15(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象.
1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.
真题自测
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
考点突破
【考点1】作出函数的图象
一、单选题
1．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·四川成都·二模）已知函数，若关于的方程有且仅有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，则（ ）．
A．为奇函数B．在上单调递增
C．恰有3个极值点D．有且仅有2个极大值点
4．（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3B．4C．5D．6
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
反思提升：
1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【考点2】函数图象的识别
一、单选题
1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川德阳·二模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建泉州·模拟预测）函数的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
反思提升：
1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
3.根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法
(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.
(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择.
【考点3】函数图象的应用
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数（且，）为偶函数，则（ ）
A．为定值
B．为定值
C．函数与的定义域不相同，值域不相同
D．若，且对，，则的最大值为
4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数的定义域为，且满当时，，λ为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，在单调递增
C．当时，在的值域为
D．当时，且时，若将函数与的图象在的m个交点记为（，2，3，…m），则
三、填空题
5．（2020·北京海淀·一模）如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：
①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是 .
6．（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中．
①若函数无零点，则的一个取值为 ；
②若函数有4个零点，则 ．
反思提升：
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁抚顺·三模）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西西安·一模）函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高三上·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2020高三·全国·专题练习）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增B． 的图象关于直线对称
C．若则D．有且仅有两个零点
6．（22-23高三上·河北沧州·阶段练习）函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南岳阳·二模）设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）
A．B．C． D．
8．（21-22高一上·广东广州·期中）一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是（ ）
A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道，最长的直线路程不超过
C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹
三、填空题
9．（2023·上海宝山·一模）设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限
10．（2022·北京东城·三模）已知函数.
①对于任意实数，为偶函数；
②对于任意实数，在上单调递减，在上单调递增；
③存在实数，使得有3个零点；
④存在实数，使得关于的不等式的解集为.
所有正确命题的序号为 .
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且当时，，有以下四个结论：①的值域是；②在上有8个零点；③若方程有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为12；④若方程有4个不相等的实数根，则．所有正确结论的序号是 ．
12．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程的所有的根之和为 .
【能力篇】
一、单选题
1．（2024高三下·全国·专题练习）函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ．
四、解答题
4．（2023·江西宜春·模拟预测）设，，且a、b为函数的极值点
(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；
(2)若曲线在处的切线斜率为，且方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围.
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·四川资阳·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·河北沧州·一模）已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．
D．函数与函数的图象有8个不同的公共点
三、填空题
3．（2022·江苏·一模）已知是定义在上的奇函数，且.若当时，，则在区间上的值域为 ，在区间内的所有零点之和为