专题10 指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】8
【考点1】指数幂的运算8
【考点2】指数函数的图象及应用12
【考点3】指数函数的性质及应用17
【分层检测】22
【基础篇】22
【能力篇】29
【培优篇】33
考试要求：
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.
知识梳理
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0.
③(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).
④eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).
⑤eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
参考答案：
1．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．D
【分析】
根据偶函数的定义运算求解.
【详解】
因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
3．A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
4．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
5．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
6．C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
7．C
【分析】
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】
对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
8．D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
考点突破
【考点1】指数幂的运算
一、单选题
1．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于，．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）
（参考数据：）
A．6400mB．8100mC．9100mD．10000m
2．（2024·广东深圳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·云南曲靖·模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
4．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于2
B．，
C．若，，则
D．的最小值为2
三、填空题
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·一模）请写出满足方程的一组实数对： ．
6．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知实数，满足，，则 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，列出关于的方程，然后求解即可.
【详解】根据题意知，，
由
因为R远大于，
∴
，
解得.
∴舰载预警机的巡航高度至少约为9100m.
故选：C
2．D
【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可求解.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故不是偶函数，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，
又定义域为全体实数，它关于原点对称，且，
即函数是定义域为的偶函数，
当时，单调递增，满足题意.
故选：D.
3．ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
4．AC
【分析】根据逆否命题的真假性即可判断A，根据幂的运算性质即可判断B，根据不等式的性质即可判断C,根据对勾函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A,若，均不大于2，则 ，则 ，故，则，至少有一个大于2为真命题，故A正确，
对于B, B. ，，故 B错误，
对于C,由得，由得，所以，故C正确，
对于D，由于 ，函数 在单调递增，故，D错误，
故选:AC
5．（答案不唯一）
【分析】运用对数式与指数式互化、根式与指数幂互化计算即可.
【详解】∵，
∴，
∴令得：，即：.
故答案为：（答案不唯一）.
6．1
【分析】由可变形为，故考虑构造函数，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求.
【详解】因为，化简得．
所以，又，
构造函数，
因为函数，在上都为增函数，
所以函数在上为单调递增函数，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案为：.
反思提升：
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【考点2】指数函数的图象及应用
一、单选题
1．（23-24高三下·山东济南·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
二、多选题
3．（20-21高一上·山东济南·期中）下列四个结论中，正确的结论为（ ）
A．函数与函数相等
B．若函数且的图象没有经过第二象限，则
C．当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
D．若函数的最大值为，最小值为，则
4．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．当时，为奇函数
D．当时，
三、填空题
5．（2024·云南曲靖·一模）如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 ．

6．（2023·上海浦东新·模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 .
参考答案：
1．A
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项.
【详解】由函数，，令，解得，
则其定义域为，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为，观察选项可知，选A.
故选：A
2．B
【分析】根据指数函数与对数函数性质求得，然后妙用“1”可得.
【详解】当时，，
所以，函数过定点，得，
所以，，
因为，，
所以，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最小值为8.
故选：B
3．BD
【解析】根据两个函数的值域不同可判断选项A不正确，根据指数函数图象的特点可判断选项B，分离参数得，只需，即可判断选项C，
是一个奇函数加常数，奇函数在定义域内最大值与最小值之和等于可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：函数值域为，函数值域为，所以与函数不是相等函数，故选项A不正确；
对于选项B：若函数且的图象没有经过第二象限，则，解得：，故选项B正确；
对于选项C：当时，关于的不等式恒成立，
即，令，则，
因为在单调递减，所以在单调递增，
所以，所以，故选项C不正确；
对于选项D：函数，令则
，所以是奇函数，所以，
因此，故选项D正确，
故选：BD
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
4．ACD
【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A，再分、分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B，根据奇偶性判断C，根据指数幂的运算判断D.
【详解】对于函数，令，解得，
所以的定义域为，故A正确；
因为，当时，所以，
当时，所以，
综上可得的值域为，故B错误；
当时，则，
所以为奇函数，故C正确；
当时，则，
故D正确.
故选：ACD
5．
【分析】根据指对幂函数的图象及解析式求出A点的横坐标、点纵坐标，即可得D点的坐标.
【详解】由题意，纵坐标都为2，则点横坐标为8，即点横坐标为8，
所以A点的横坐标为，点纵坐标为，
由为矩形及题图知：D点的坐标是.
故答案为：
6．
【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集.
【详解】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意，
所以，，由可得，
因为函数的定义域为，所以，，解得，
所以，，则，
由可得，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
反思提升：
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
【考点3】指数函数的性质及应用
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如果，记为区间内的所有整数．例如，如果，则；如果，则或3；如果，则不存在．已知，则（ ）
A．36B．35C．34D．33
二、多选题
3．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在实数集单调递减
C．D．或
4．（2021·辽宁葫芦岛·二模）设函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于点对称
C．的最小值为
D．若有两个不等实根，则，且
三、填空题
5．（2022·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，与满足关系（常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前 分钟进行消毒工作.
6．（2021·上海松江·一模）从以下七个函数：中选取两个函数记为和，构成函数，若的图像如图所示，则 .
参考答案：
1．D
【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
【详解】设经过个小时才能驾驶，则即.
由于在定义域上单调递减，.
他至少经过4小时才能驾驶.
故选：D.
2．B
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数的几何意义建立不等式，借助裂项相消法求和及指数函数性质求出的范围即可得解.
【详解】令函数，求导得，
则可视为函数在处的切线斜率，
设，则直线的斜率，
由导数的几何意义有，因此，
而，
即有，
又，因此，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：观察题设中所给和式的结构特征，构造函数，利用导数导数的几何意义建立不等式是解题的关键.
3．AC
【分析】
根据函数的奇偶性可得出关于的方程组，即可得的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据的解析式，求出的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得，即可判断选项C与选项D.
【详解】A，因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以，
因为①，所以，即②，
由得：，，所以选项A正确；
B，因为函数在上均为增函数，
故在上单调递增，所以选项错误；
C、D，因为，
所以，
又，当，即时等号成立，，
设，对称轴，
当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得或（舍）；
当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意.
综上，所以选项C正确，错误.
故选：.
4．BD
【分析】A由奇偶性定义判断正误，B判断是否成立即可，C应用特殊值法有，即可判断正误，D由题设方程有两个不等实根，令转化为当时，在上有两个零点；当时，在上有两个零点，应用导数研究单调性并确定极值，根据极值的符号求参数范围.
【详解】A：，错误；
B：，即的图象关于点对称，正确；
C：当时，，错误；
D：由题意有，整理得有两个不同实根，显然，令，
∴当时，在上与有两个交点，即有两个零点，
若得，则上，单调递减；上，单调递增；
又，，故仅需在上有两个零点，则；
当时，在上与有两个交点，即有两个零点，
若得，则上，单调递增；上，单调递减；
又，，故仅需在上有两个零点，则；
综上，有两个不等实根，则，且，正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：D选项，将问题转化为：当时，在上有两个零点；当时，在上有两个零点，进而应用导数研究单调性，根据条件成立时极值的符号求参数范围.
5．
【分析】当时，求出关于的函数解析式，然后解不等式，即可得解.
【详解】由于函数的图象过点，则，可得，
故当时，，由，可得，解得，此时.
故地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.
故答案为：.
6．
【解析】由函数的定义域排除，，再由的图象过定点及图象的变化情况，分析与，或与是否经过得结论．
【详解】由图象可知，函数的定义域为，故排除，，
又由的图象过定点，
由函数图象，可得当时，且为增函数，
当时， 大于0与小于0交替出现，
若时，此时函数的图象不过定点，
因为过，且当时，，当时，，
若包含，当时，，不满足过点，
若包含，此时函数不满足时，大于0与小于0交替出现，
若包含，此时函数不满足时，大于0与小于0交替出现，
所以只有满足条件．
故答案为：．
反思提升：
1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，则（ ）
A．－4B．0C．2D．4
3．（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A．B．C．D．
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数，则对任意非零实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）对函数，公共定义域内的任意x，若存在常数，使得恒成立，则称和是伴侣函数，则下列说法正确的是（ ）
A．存在常数，使得与是伴侣函数
B．存在常数，使得与是伴侣函数
C．与是伴侣函数
D．若，则存在常数，使得与是伴侣函数
6．（2023·广东广州·模拟预测）下列是（，，）的必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·全国·模拟预测）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（2021·山东菏泽·二模）写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数
①当时，；②为偶函数
9．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 .
10．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 .
四、解答题
11．（2021·四川遂宁·模拟预测）已知函数定义在上有恒成立，且当时，.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）求函数的值域.
12．（21-22高一上·陕西铜川·期末）已知函数是指数函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】由韦达定理得到，再由等差数列的性质得到的值，结合指数、对数的运算法则可求值.
【详解】因为与是方程的两根，由韦达定理得，
因为数列为等差数列，所以，，
所以，
故选：B.
2．A
【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即，
又，所以，
联立，解得，，
经检验，，满足要求，
故.
故选：A.
3．D
【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【详解】对于A， 在处无意义，故A错误；
对于B：的定义域为，故B错误；
对于C：的定义域为，
且，则为偶函数，故C错误；
对于D，满足图中要求，故D正确.
故选：D.
4．D
【分析】根据给定的函数式，计算及即可判断作答.
【详解】函数，，
则，显然，且，AB错误；
，D正确，C错误.
故选：D
5．AD
【分析】根据伴侣函数的定义，由对数的运算法则判断A，根据指数型函数的单调性以及值域可判断B，求导，判断的单调性进而可判断C，根据常函数的性质可判断D.
【详解】A选项：由题意得，
故存在，使得恒成立，故A正确；
B选项：由题意得，
由于为单调递增函数，且值域为，
因此不存在，使得恒成立，故B错误；
C选项：由题意得，
令函数，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，不满足，故C错误；
D选项：令，则，
所以为常函数，（点拨：若两个函数的导函数相同，则两个函数相差一个常数）
不妨令，故存在，使得恒成立，故D正确.
故选：AD
6．CD
【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，利用指数函数单调性可进行判断.
【详解】A选项，若，则A错误，
B选项，等价为，当时不成立，故B错误，
C选项，因为在R上单调递增，而，所以，C正确；
D选项，因为在R上单调递增，而，所以，D正确.
故选：CD
7．ABD
【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断．
【详解】当时，A正确；当时，B正确；
当时，D正确；当时，无此选项．
故选：ABD．
8．（，）（答案不唯一）
【分析】根据可知为指数函数，将其做相应的变化符合是偶函数即可.
【详解】若满足①对任意的有成立，
则对应的函数为指数函数的形式；
若满足②为偶函数，只需要将加绝对值即可，
所以满足①②两个条件的函数可以是：（，）.
故答案为：（，）（答案不唯一）
9．
【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出的取值范围.
【详解】因为“，”是假命题，
所以“，”是真命题，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
则.
故答案为：.
10．4
【分析】在同一坐标系内作出与的图象，再利用图象的对称性即可求得与的图象所有交点的横坐标之和.
【详解】函数是偶函数，图象对称轴为，则函数的图象有对称轴，
所以函数的图象有对称轴，
，时，在上单调递减且，
定义在R上的偶函数满足，
则函数有对称轴，又当时，，
在同一坐标系在内作出与的图象，
由图象可得，与的图象有4个交点，
又与的图象均有对称轴，
则两函数所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
11．（1），（2）
【分析】（1）利用奇函数的性质进行计算．
（2）利用换元法结合一元二次函数的性质求出当时的取值范围，再根据奇函数的性质，即可求出函数的值域．
【详解】解：（1）因为函数定义在上有恒成立
所以函数为奇函数，又当时，
所以．
当时，则．所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，即．
所以函数的解析式为．
（2）令，当时，，
则当时，可写为，所以．
由是定义在上的奇函数，所以当时．
即函数的值域为．
12．(1)
(2)
【分析】（1）由指数函数定义可直接构造方程组求得，进而得到所求解析式；
（2）将不等式化为，根据对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）为指数函数，
，解得：，
.
（2）由（1）知：，
，解得：，
的取值范围为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·宁夏石嘴山·三模）定义在R上的偶函数满足，且当 时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）若实数，满足，，，则（ ）
A．且B．的最小值为
C．的最小值为7D．
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）若，满足约束条件，则的最大值为 ．
四、解答题
4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为．
(1)求集合；
(2)若，且，，，求的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】通过已知得出的两条对称轴为直线，直线，由此可在同一平面内作出函数与函数的图象，结合已知列出不等式组即可求解.
【详解】因为，所以的图象关于直线对称，
又是定义在R上的偶函数，所以的图象关于直线对称，
作出函数与函数的图象如图所示，

若关于x的方程恰有5个实数解，
则函数与函数的图象有5个交点，
所以，解得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出函数的对称性，由此通过数形结合即可顺利得解.
2．AD
【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断BC，根据指数幂的运算判断D；
【详解】对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即，
同理可得，所以，即且，故A正确；
对于B：，即，所以，
当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B错误；
对于C：
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误；
对于D：，
因为，所以，即，即，
即，因为，所以，即，故D正确；
故选：AD.
3．16
【分析】画出不等式组表示的可行域，分析的最值，再根据指数函数单调性即可求出的最大值.
【详解】由不等式组得到表示的区域为如图所示：
令，作直线，并平移，
当直线过点时，目标函数有最大值，
联立解得：，则点，
因为在单调递增，
所以有最大值，
故答案为：16.
4．(1)
(2)．
【分析】（1）利用整体思想解不等式，结合指数函数的单调性求解集即可；
（2）结合（1）及条件可得，灵活运用“1”化简问题式，利用换元法及二次函数的单调性求最值即可.
【详解】（1）∵，
∴，
即，
即，
解之得，
∵，当且仅当取得等号，
∴，
解得，
由在R上单调递增可得，
故．
（2）∵，且，，
则，
由，两边平方得，，
所以
，
不妨令，则，当且仅当时等号成立，
所以，
由二次函数的单调性可知，当时取得等号，
综上，当时取到最小值．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，，正实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2023·河北石家庄·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
3．（2021·北京西城·二模）已知函数其中且.给出下列四个结论：
①若，则函数的零点是；
②若函数无最小值，则的取值范围为；
③若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增；
④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为.
其中，所有正确结论的序号是 .
参考答案：
1．B
【分析】由可得，结合可判断b的范围，再由可得，结合可判断a，c大小关系，进而可得答案.
【详解】由题得，，
由，得，即，所以．
由，得，
因为，，所以，
又，所以，所以．
由，得，即．
易知，所以，所以，故．
又，所以，所以，
所以，所以，所以．
故选：B．
【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：
（1）同构函数，利用单调性比较；
（2）取中间值进行比较；
（3）利用基本不等式比较大小；
（4）利用作差法比较大小.
2．BD
【分析】根据指对数的运算律，分析每个不等式，判断正误.
【详解】因为，所以，A错误；
因为，，所以，B正确；
因为，，
所以，C错误；
因为，所以，D正确.
故选：BD.
3．①④
【分析】分，， ，四种情况作出函数的简图，然后对四个结论逐一判断正误.
【详解】对于①：当时，显然，当时，无零点；
当时，由可得，所以的零点是0. 故①正确；
对于②：
当时，简图如下：

当时，简图如下：
当时，简图如下：
当时，简图如下：
由图可知，若无最小值，则或. 故②错误；
对于③：由图可知，在区间上单调递减，在区间和上单调递增. 故③错误；
对于④：由图可知，只有当且即时，方程才有三个不相等的实数根. 不妨设三个根由小到大依次为，，，显然. 由得，故，且，
所以，故，从而. 故④正确.
故答案为：①④.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分，， ，四种情况作出函数的简图.
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)的图象关于y轴对称