青岛版八年级上册第5章 几何证明初步5.3 什么是几何证明说课课件ppt

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知识点1　基本事实与定理
1.(新独家原创)下列说法正确的是 (　　)A.基本事实不需要证明B.命题都是定理C.定理不一定都要证明D.证明只能根据定义、基本事实进行
解析　基本事实是通过长期实践总结出来,被大家公认的正 确的命题,所以基本事实不需要证明,选项A正确;定理一定是 命题,但命题不一定是定理,选项B错误;定理的正确性需要经 过推理论证,选项C错误;证明可以依据定义、基本事实、已 经证明的定理和已知条件进行,选项D错误.
2.下列平行线的判定方法中属于基本事实的是 (　　)A.平行于同一条直线的两条直线平行B.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直C.内错角相等,两直线平行D.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线
解析    A是由基本事实推出的定理;C是判定定理;D是平行 线的定义;B是基本事实.故选B.
3.根据下图填空.已知:如图,∠BDC=∠DCE,∠ADB=∠E.求证:∠A=∠CBE.证明:因为∠BDC=∠DCE(已知),所以　　    ∥　　    (　　 　　　　　　    ),
内错角相等,两直线平行
所以∠E=∠　　    (　　　　　　　　     ),又因为∠E=∠ADB(已知),所以∠ADB=∠　　    (　　　　　　　    ),所以AD∥BE(　　　　　　　　　　    ),所以∠A=∠CBE(　　　　　　　　　　    ).
两直线平行,内错角相等
两直线平行,同位角相等
4.(2023北京房山期末)如表所示的是证明等腰三角形判定定 理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成证明.
           备用图
证明　方法一:如图1,作∠BAC的平分线交BC于点D,所以∠ BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中, 
所以△ABD≌△ACD(AAS),所以AB=AC.方法二:如图2,作AD⊥BC于点D,所以∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中, 所以△ABD≌△ACD(AAS),所以AB=AC.
图1 图2
5.(2023山东聊城莘县期中)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是 BC的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE;(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠ BAC=45°,原题设其他条件不变,求证:AE=BC.  图1 图2
证明　(1)因为AB=AC,点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC, 所以BE=CE.(2)因为BF⊥AC,∠BAC=45°,所以△ABF是等腰直角三角形,所以AF=BF.因为AB=AC,点D是BC的中点,
所以AD⊥BC,所以∠EAF+∠C=90°.因为BF⊥AC,所以∠CBF+∠C=90°,所以∠EAF=∠CBF.在△AEF和△BCF中, 所以△AEF≌△BCF(ASA),所以AE=BC.
6.(2021河北中考,13,★★☆)定理:三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和.已知:如图,∠ACD是△ABC的外角.求证:∠ACD=∠A+∠B.
下列说法正确的是 (　　)A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整B.证法1用严谨的推理证明了该定理C.证法2用特殊到一般法证明了该定理D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理
解析　∵证法1按照定理证明的一般步骤,从已知出发,经过 严谨的推理论证,得出结论正确,具有一般性,∴无需再证明 其他形状的三角形,∴选项A不正确,选项B正确;∵定理的证 明必须经过严谨的推理论证,不能用特殊情形来说明,且与测 量次数的多少无关,∴选项C,D不正确.
7.(2024山东菏泽成武期中,18,★★☆)求证:等腰三角形两底 角的平分线相等.
解析　已知:如图,△ABC中,AB=AC,BF,CE分别是∠ABC,∠ ACB的平分线. 求证:BF=CE.证明:因为AB=AC(已知),所以∠ABC=∠ACB(等边对等角).
因为BF,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线(已知),所以∠CBF= ∠ABC,∠BCE= ∠ACB(角平分线的定义),所以∠CBF=∠BCE(等量代换).在△BCE与△CBF中, 所以△BCE≌△CBF(ASA),所以BF=CE(全等三角形的对应边相等),即等腰三角形两底 角的平分线相等.
8.(2023山东潍坊寒亭期中,19,★★☆)如图,△ACB和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点. 求证:AE=BD.
证明　因为△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ ECD=90°,
所以EC=CD,AC=CB,∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD,所以∠ ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中, 所以△ACE≌△BCD(SAS),所以AE=BD.
9.(2021浙江杭州中考节选,21,★★☆)如图,在△ABC中,∠ ABC的平分线BD交AC边于点D,AE⊥BC于点E.已知∠ABC= 60°,∠C=45°,求证:AB=BD.
证明　∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°(已知),∴∠DBC= ∠ABC=30°(角平分线的定义).
∵∠C=45°(已知),∴∠ADB=∠DBC+∠C=75°(三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和),∠BAC=180°-∠ABC-∠C=75°(三角形 的内角和等于180°),∴∠BAC=∠ADB(等量代换),∴AB=BD(等角对等边).
10.(推理能力)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.(1)如图1,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE= AF吗?请利用图2说明理由.
图1 图2
解析　(1)证明:连接AD,如图所示. ∵∠BAC=90°,AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠EBD=45°.∵点D为BC的中点,∴BD=CD,AD⊥BC,∠FAD=45°,∴△ADC为等腰直角三角形,∴AD=CD=BD.
∵DE⊥DF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°,∵∠BDE+∠EDA=90°,∴∠BDE=∠ADF.在△BDE和△ADF中, ∴△BDE≌△ADF(ASA),∴BE=AF.(2)BE=AF.理由如下:根据题意画图并连接AD,如图所示.