初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性课文内容ppt课件

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知识点6　直角三角形斜边上的中线的性质
1.(2023湖南株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某 三角形部件的尺寸.如图,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中 点,点A、B对应的刻度为1、7,则CD= (　　)
A.3.5 cm　    B.3 cm　    C.4.5 cm　    D.6 cm
解析　由题图可得,AB=7-1=6(cm),∵∠ACB=90°,点D为线段 AB的中点,∴CD= AB=3 cm.故选B.
2.(2023江苏泰州兴化月考)如图,木杆AB斜靠在竖直墙壁上, P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的 底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度 的变化情况是 (　　) A.逐渐变大　    B.逐渐变小 C.不变　    D.先变大再变小
解析　∵P是AB的中点,∠AOB=90°,∴OP= AB.∵木杆AB的长是定值,∴OP的长度不变.故选C.
3.已知直角三角形斜边上的中线是2.5 cm,斜边上的高是2 cm,则这个直角三角形的面积是　　　    cm2.
4.(2024江苏扬州宝应期中改编)如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=6,BC=10,则△EFM的周长是　　       .
解析　∵BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,BC=10, ∴在Rt△BCE中,EM= BC=5,在Rt△BCF中,FM= BC=5,又∵EF=6,∴△EFM的周长=EM+FM+EF=5+5+6=16.故答案为16.
5.(教材变式·P68T12)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D 是AB的中点,点E在AC上,点F在BC上,且AE=CF.(1)求证:DE=DF,DE⊥DF.(2)若AC=2,求四边形CEDF的面积. 
解析　(1)证明:如图,连接CD. ∵BC=AC,∠BCA=90°,∴△ABC是等腰直角三角形,∠A=∠B =45°.∵D为AB中点,∴BD=CD,CD平分∠BCA,CD⊥AB,∴∠ DCF=45°.在△ADE和△CDF中, ∴△ADE≌△
CDF(SAS),∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°,即DE⊥DF.(2)∵△ADE≌△CDF,∴S△AED=S△CFD,∴S四边形CEDF=S△ADC.∵D是 AB的中点,∴S四边形CEDF=S△ACD= S△ACB= × ×2×2=1.
知识点7　含30°角的直角三角形的性质
6.(2024江苏常州武进期中)如图,∠ABC=60°,AB=6,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向运动,设点P的运动时间为t(t>0)秒,当△ABP为锐角三角形时,t的取值范围是(　　)
A.t>3　    B.t>6 C.6解析　当∠APB=90°时,如图1,在Rt△ABP中,∠ABC=60°,∴ ∠BAP=30°,∵AB=6,∴BP= AB= ×6=3.
当∠BAP=90°时,如图2,在Rt△ABP中,∠ABC=60°,∴∠APB= 30°,∵AB=6,∴BP=2AB=2×6=12,∴当37.(2024江苏泰州兴化期中)如图,△ABC是等边三角形,点D是 边BC上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC=6,则 AE+AF=　　　    .
解析　∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=6,∠B=∠C=60°.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,∴∠EDB=90°-∠B=30°,∠FDC=90°-∠C=30°,∴BE= BD,CF= CD,∴BE+CF= BD+ CD= BC=3,∴AE+AF=AB+AC-(BE+CF)=9.故答案为9.
8.(2024江苏苏州高新区月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4 cm,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在边AB、BC上匀速移动,它们的速度分别为2 cm/s、1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为ts.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?
解析　在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∵AB=4 cm,4÷2=2(s),∴0≤t≤2,BP=(4-2t)cm,BQ =t cm.(1)当BP=BQ时,△PBQ为等边三角形,即4-2t=t,解得t= .故当t= 时,△PBQ为等边三角形.
(2)若△PBQ为直角三角形,①当∠BQP=90°时,∠BPQ=30°,∴BP=2BQ,即4-2t=2t,解得t=1.②当∠BPQ=90°时,∠BQP=30°,∴BQ=2BP,即t=2(4-2t),解得t = .故当t= 或t=1时,△PBQ为直角三角形.
9.(2024江苏泰州靖江期中,6,★☆☆)如图,在Rt△ABC中,BD 为△ABC中线,E为AB上一点,且BE=BD,∠ADE=45°,则∠ BDC的度数为 (　　) A.50°　    B.55°　    C.60°　    D.65°
解析　在Rt△ABC中,∵BD为△ABC中线,∴AD=BD=CD= AC,∴∠ABD=∠A.设∠ABD=∠A=α,∵BE=BD,∴∠BDE= (180°-α)=90°- α.∵∠ADE+∠BDE+∠ABD+∠A=180°,∴45°+90°- α+α+α=180°,∴α=30°,∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°.故选C.
10.(2024江苏无锡新吴期中,14,★☆☆)如图,四边形ABCD中, ∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=45°,连接AC、BD,M是AC的中 点,连接BM、DM.若AC=10,则△BMD的面积为　　　    .
解析　∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,AC=10,∴BM= DM=AM= AC=5,∴∠BAM=∠ABM,∠DAM=∠ADM.∵∠BMC=∠BAM+∠ABM,∠DMC=∠DAM+∠ADM,∠BAD=45°, ∴∠BMD=2∠BAD=90°,∴S△BMD= BM·DM= ×5×5=12.5.故答案为12.5.
11.(2024江苏徐州丰县期中,25,★★☆)如图,∠ABC=∠ADC =90°,E、F分别是AC、BD的中点.(1)求证:EF⊥BD.(2)若∠BAD=30°,AC=10,求BD的长.
解析　(1)证明:如图,连接BE,DE. ∵∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,∴BE= AC,DE= AC,∴BE=DE.∵F是BD中点,∴EF⊥BD.
(2)由(1)可知,AE=BE=DE,∴∠BAE=∠ABE,∠EAD=∠EDA.∵∠BEC=∠BAE+∠ABE,∠CED=∠EAD+∠EDA,∴∠BEC+∠CED=∠BAE+∠ABE+∠EAD+∠EDA=2(∠BAE +∠EAD)=2∠BAD=2×30°=60°.∵BE=ED,∴△EBD是等边三 角形,∴BD=BE= AC= ×10=5.
12.(推理能力)已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在 CB的延长线上,且ED=EC.(1)【特殊情况,探索结论】如图1,当点E为AB的中点时,确定 线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　     DB(填“>”“<”或“=”).
(2)【特例启发,解答题目】如图2,当点E为AB边上任意一点 时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　     　    DB(填“>”“<”或“=”).理由:过点E作EF∥BC,交 AC于点F(请你完成后续解答过程).
(3)【拓展结论,设计新题】在等边三角形ABC中,点E在直线 AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长 为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).
图1 图2
解析　(1)当E为AB的中点时,AE=DB.(2)AE=DB.理由:如图,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB =AC,∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°, ∴△AEF为等边三角形,
∴AE=AF=EF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF.∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.∵∠DEB=∠ABC-∠D,∠ECF=∠ACB-∠ECB,∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中, ∴△DBE≌△EFC(SAS),