[数学]广东省茂名市2023-2024学年八年级下学期期末试题(解析版)
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1. 下面四个图标中,属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B.不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C.是中心对称图形,故此选项符合题意;
D.不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
故选:C.
2. 下列说法正确的有( )
①在,,,中,共有2个无理数;
②若,则,它的逆命题是真命题;
③若边形的内角和是其外角和的2倍,则它是八边形.
A. ①B. ①②C. ①③D. ②③
【答案】A
【解析】在,,,中,共有和,2个无理数;故①正确;
若,则的逆命题为:若,则,为假命题,故②错误;
若边形的内角和是其外角和的2倍,则:,解得:,则它是六边形;故③错误;
故选A.
3. 已知,则下列式子一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.不等式两边不是同时减去相同数,不能比较大小,故这个选项不符合题意;
B.不等式两边同时除以,则,故这个选项不符合题意;
C.不等式两边同时乘以再加,则,故这个选项符合题意;
D.当时,,故这个选项不符合题意;
故选C.
4. 下列变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,
因为A,C,D选项都不是积的形式,所以不符合题意,
故选:B.
5. 把题图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度不可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图形知,该图形是旋转对称图形,
则旋转,,都可以与自身重合,
旋转不能与自身重合.
故选:B.
6. 如果分式的值为0,那么的值为( )
A. B. C. 或D. 3或0
【答案】B
【解析】由分式的分母不能为0得:
解得
由题意得:
整理得:
解得或(舍去)
综上,
故选:B.
7. 将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置,顶点,,,在同一条直线上,为公共顶点,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由正多边形外角和等于可得:
,,
,
,
∴.
∴.故选:B.
8. 若函数和的图象如题图所示,则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据图象可得:不等式的解集是:.
∴的解集是:.
故选:B.
9. 如图,在中,,,点D,,分别在,,边上,且,.则的度数是( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴
∵∴
∴,
∵
∴,
∴故选:C.
10. 如图,将沿方向平移4个单位长度得到,与相交于点,,,,则图中阴影部分面积为( )
A. 16B. 20C. 32D. 40
【答案】C
【解析】由平移的性质得:,,,
∴阴影部分的面积,
∵,
∴,
∴阴影部分的面积.
故选:C.
二、填空题
11. 因式分解:______.
【答案】
【解析】
故答案为:.
12 已知点与点关于原点对称,则______.
【答案】8
【解析】由题意,,
解得;
∴,
故答案为:8.
13. 定义运算,如:,若,则的值为______.
【答案】7
【解析】∵,
∴,
解得:,
检验:当时,,
∴的值为7.
故答案为:7
14. 如题图,在中,,,,用尺规作图法构造的平分线,交于点,则的长为______.
【答案】
【解析】∵,,,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
∴;
故答案为:.
15. 如题图,为等边三角形,,分别是,边上的点,且,,是边上的一动点,以,,为顶点,为对角线构造平行四边形,则的最小值为______.
【答案】
【解析】作交于点,连接,,
∴
∵为等边三角形,
∴,
∴
∴为等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∴为等边三角形,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∴,,
∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴点在直线上,
当时,即有最小值,根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边的高,
作于点,
∴,
∴,
∴的最小值为,
故答案为:.
三、解答题(一)
16. (1)解方程::
(2)解不等式组:并将解集在数轴上表示出来.
解:(1),
最简公分母为,去分母,得:
,
,
,,
检验:当时,,
原方程的解为;
(2)
由①得,
由②得,
原不等式组的解集为,
在数轴上表示如下.
17. 如题图,线段与相交于点,分别过点,作的垂线,垂足分别为,,且,,依次连接点A,B,C,D.求证:四边形为平行四边形.
证明:,,
.
在与中,
.
,.
又,
.
.
又,
四边形是平行四边形.
18. 如题图,在平面直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为,,.
(1)画出将绕点旋转后得到的;
(2)求证:与互相垂直平分.
(1)解:如图,为所作:
(2)证明:∵绕着点旋转得到,
∴与均经过点,且均被点平分,
由勾股定理得:,,,
∴,
∴是直角三角形,,
∴,
∴与互相垂直平分.
四、解答题(二)
19. 笔、墨、纸、砚是中国独有的书法绘画工具,又称“文房四宝”.某校计划购买两种型号的“文房四宝”,其中每套型号的价格比每套型号的价格少元,买套A型号和套型号共用元.
(1)求每套型号的“文房四宝”的价格;
(2)若该校需购进两种型号的“文房四宝”共套,总费用不超过元,要求购进型号的数量不超过型号数量的倍,求购得以上工具的最低费用.
解:(1)设每套型号的价格是元,则每套型号的价格是元,
由题意可得,解得,
.
答:每套型号的价格是元,每套B型号的价格是元;
(2)设购进B型号套,则购进A型号套,
由题意可得,解得,
又∵为正整数,∴可以取,,
当购进套型号“文房四宝”,套型号“文房四宝”,
费用(元)
当购进套型号“文房四宝”,套型号“文房四宝”,
费用(元)
∵,
∴购得以上工具的最低费用是元.
20. 如图1,已知是等腰直角三角形,,点,是三角形外的两点,分别连接,,,,其中,.
(1)求证:;
(2)如图2,交于点,连接,是的中点,分别连接,.若求与的数量关系.
(1)证明:,
.
,,
.
是等腰直角三角形,
.
在与中,
(2)解:如图,连接,设交于点,
由(1)得,
.
,
.
,
.
垂直平分.
.
,
点是的中点.
又点是的中点,
是的中位线.
.
.
21. 阅读下面的材料,并解答问题.
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”,例如:将分式表示成部分分式,,设,接下来求,的值.去分母,得,,解得.
(1)若(,为常数),则______,______;
(2)已知(,为常数),用材料中的解法求,的值;
(3)化简:.
(1)解:,去分母,得
∴,解得:.故答案为:1;.
(2)解:
去分母,得
∴,解得:,
(3)解:
.
五、解答题(三)(本大题共2小题,每小题12分,共24分)
22. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式,将一些多项式因式分解.例如:利用图1可以得到.
(1)请把表示图2面积的多项式因式分解:______(直接列出等式即可);
(2)若,,求的值;
(3)如图3,有足够数量的边长分别为,的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片,请利用这些纸片将多项式因式分解,并画出图形.
解:(1)由图可知:;
(2),,,
.
;
(3)如图所示,
.
23. 综合实践课上,老师让同学们开展了的折纸活动,是边上的一动点,是边上的一动点,将沿直线折叠,使点落在边上的点处,点的对应点为点,连接.
(1)【观察发现】如图1,若,,,求的长;
(2)【操作探究】如图2,当点落在的延长线上时,求证:四边形为平行四边形.
(1)解:由折叠知,
.
.
,
.
.
由勾股定理得,,
.
.
.
.
(2)证明:由折叠知,,.
,
,
,
,
,
∵,
∴,,
,
,
,
,点在延长线上,
,
,
.
,
,
四边形是平行四边形.
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