广东省茂名市化州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（1）本试题从1至4页共4页
（2）考试时间共120分钟，满分为120分
（3）全部答案必须在答题卡上完成，在本试题上作答无效
（4）答题卡必须保持整洁，考试结束后，只将答题卡交回
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出四个选项中，其中只 有一个是正确的，把选出的答案填涂在答题卡上）
1. 已知则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案，熟练掌握不等式的性质是关键．
【详解】解：A、不等式的两边都加，不等号的方向不变，得到，故此选项正确，不符合题意；
B、不等式的两边都加1，不等号的方向不变，得到，故此选项正确，不符合题意；
C、不等式两边都除以b，不知道b的符号，无法判定与的大小，故此选项错误，符合题意；
D、不等式的两边都先乘以，不等号的方向改变，得到，故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
2. 如所示图形中，若，能判断点在的平分线上的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据到角两边的距离相等的点在角平分线上进行判断即可．
【详解】解：∵到角两边的距离相等的点在角平分线上，
∴符合题意的是D，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握到角两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的定义与判断，根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，逐项验证即可得到答案，熟练掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出原不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解决即可．
【详解】解：，
．
表示在数轴上是：
故选：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
5. 下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（ ）
A. 三个角的度数之比为B. 三边长满足关系式
C. 三条边的长度之比为D. 三个角满足关系式
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键．
【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、，
∴，
∴，故三角形三个内角的度数分别为、、，
∴三个角的度数之比为的三角形是直角三角形，不符合题意；
、∵，
∴，
∴三条边满足关系式的三角形是直角三角形，不符合题意；
、结合题意可设三角形的三条边分别为、、（为正数），
∵，
∴三条边的长度之比为的三角形不是直角三角形，符合题意；
、∵，
∴，
∴三个角满足关系的三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：．
6. 如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ）

A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解．
【详解】旋转角是∠BAD=180°﹣45°=135°．
故选C．
7. 如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加．
详解】解：∵，，
∴，
.，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意；
.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
.，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
8. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，
若∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）
A. 20°B. 30C. 35°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B=（180°-∠ADB）÷2答案可得．
【详解】解:因为DE是AB的垂直平分线，
所以AD=BD,
所以
又因为∠CAD＝20°，
所以∠B=（90-20）÷2=35°．
故选C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．
9. 关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
10. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ）

A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，再由勾股定理可得的长，即可求解．
详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上）
11. 不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解．
【详解】解：，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
12. 在中，，，则______．
【答案】40
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
13. 已知点与点关于原点对称，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，求得的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴,
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是正确掌握横纵坐标的符号关系．
14. 如图，已知函数与函数的图象相交于，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解题的关键．利用函数图象写出直线不在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解∶结合图象得， 当时， 直线不在直线上方，
∴不等式的解集是，
故答案为∶ ．
15. 如图，在中，，将沿方向平移的长度得到，已知．则图中阴影部分的面积 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平移的性质得到即，再根据再证明，最后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：19.5．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
三、解答题（一）（本大题共4小题，满分24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，按去分母、去括号、移项、合并同类项，化x的系数为1等步骤求解．熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：．
17. 解不等式组并写出它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键．
分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
将不等式的解集表示在数轴上为：
不等式组的解集为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
（1）点A关于原点O对称的点的坐标为 ；
（2）画出关于x轴对称的，其中点A、B、C的对应点分别为．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查坐标与对称，掌握中心对称和轴对称的性质，是解题的关键．
（1）根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数，求解即可；
（2）根据轴对称的性质，画出即可．
【小问1详解】
解：点A关于原点O对称的点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
如图所示．
19. 如图所示，，求的大小．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，根据可证，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解∶，
，即，
在与中，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
四、解答题(二)（本大题共3小题，第20、21、22题各9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，根据旋转前后对应角相等、对应边相等，可得，，进而证明，推出，即可证明．
【详解】解：由旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC=8cm.
（1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长.

【答案】（1）图形见解析;(2) 6cm．
【解析】
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；
（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AM=BM，从而将△MBC的周长转化为：AM+CM+BC，即AC+BC=14cm，依此可求BC．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∵△MBC的周长是14cm，
∴MB+MC+BC=AM+CM+BC=AC+BC=14cm，
∵AC=8cm，∴BC=6cm．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质.
22. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，陈同学和李同学打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干，已知购买2盒画笔和4个画板共需94元，购买4盒画笔和2个画板共需98元．
（1）购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
（2）陈同学和李同学商量，需要画笔盒数和画板个数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买画板多少个？
【答案】（1）购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元
（2）最少购买画板7个
【解析】
【分析】（1）设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值即可；
（2）设最少购买画板a个，则购买画笔个，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，解出a的解集，结合其实际意义即得出答案．
【小问1详解】
解：设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要y元，
根据题意有，
解得：．
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元；
【小问2详解】
解：设最少购买画板a个，则购买画笔个，
根据题意有，
解得：，
∵根据题意可知a为整数，
∴最少购买画板7个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第23、24题各12分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
23. 如图，在中，，，平分交于点D，过点A作，交的延长线于点E．
（1）求的度数；
（2）求证：是等腰三角形．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果；
（2）由平行线性质求得，由三角形内角和定理求得，根据等腰三角形的判定即可证得结论．
【小问1详解】
解：，，
，
平分，
，
；
【小问2详解】
证明：，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形．
24. 如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质进行解答即可．
【小问1详解】
证明：，
，
是边上的中线，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
【小问2详解】
解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．