2023-2024学年广东省惠州市大亚湾区金澳实验学校八年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市大亚湾区金澳实验学校八年级（下）月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>1B. x≥1C. x<1D. x≤1
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2× 3= 6C. 8=4 2D. 4− 2= 2
3.下列二次根式中，与 6是同类二次根式的是( )
A. 12B. 18C. 24D. 30
4.下列各组数是勾股数的是( )
A. 3，4，5B. 1.5，2，2.5C. 32，42，52D. 3， 4， 5
5.计算 8× 2的结果是( )
A. 10B. 4C. 8D. ±4
6.化简 27+ 3− 12的结果为( )
A. 0B. 2C. −2 3D. 2 3
7.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(a−b)=c2，则( )
A. ∠A为直角B. ∠C为直角C. ∠B为直角D. 不是直角三角形
8.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是( )
A. 5B. 25C. 7D. 5或 7
9.若 (a−3)2=3−a，则a与3的大小关系是( )
A. a<3B. a≤3C. a>3D. a≥3
10.如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF.若S正方形ABCD=5，EF=12BG，则DF的长为( )
A. 2
B. 5
C. 3
D. 2 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算： 12÷ 6= ______．
12.若实数a满足 a−1=2，则a的值为______．
13.若最简二次根式 a+1与 8是可以合并的二次根式，则a=______．
14.已知x+y= 3，xy= 6，则x2y+xy2的值为______．
15.观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
请你写出以上规律的第④组勾股数：______．
三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题3分)
如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为______cm．
17.(本小题5分)
6× 2+ 12÷ 3−|−2 3|．
18.(本小题5分)
设a=1+ 3，b=1− 3，求ab的值．
19.(本小题6分)
若a，b为实数，且b= a−1+ 1−a+a， c=a+3，求ab+c的值．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC=25，AD⊥BC，垂足为D.求AD，BD的长．
21.(本小题8分)
已知a，b，c满足等式|a− 7|+(c−4 2)2+ b−5=0．
(1)求a，b，c的值；
(2)判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？若不能，请说明理由．
22.(本小题9分)
如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在网格的格点上，且AB= 26，AD= 17．
(1)请在图中标出点A位置，补全四边形ABCD，并求其面积；
(2)判断∠BCD是直角吗？请说明理由．
23.(本小题9分)
已知：如图，AB=4，BD=12，CD=13，AC=3，BA⊥AC，求四边形ABDC的面积．
24.(本小题12分)
在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值.他们是这样解答的：
∵12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3
∴a−2=− 3
∴(a−2)2=3即a2−4a+4=3
∴a2−4a=−1
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)1 3+ 2= ______．
(2)化简1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 169+ 168+1 170+ 169．
(3)若a=1 5−2，则a4−4a3−4a+7的值______．
25.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
(1)当t=2时，CD=______，AD=______；(请直接写出答案)
(2)当t=______时，△CBD是直角三角形；(请直接写出答案)
(3)求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
答案解析
1.B
【解析】解：∵二次根式 x−1有意义，
∴x−1≥0，
∴x≥1．
故选：B．
2.B
【解析】解：A、 2和 3不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、 2× 3= 6，原式计算正确，故正确；
C、 8=2 2，原式计算错误，故错误；
D、 4− 2=2− 2，原式计算错误，故错误．
故选B．
3.C
【解析】解：A、原式=2 3，不符合题意；
B、原式=3 2，不符合题意；
C、原式=2 6，符合题意；
D、原式不能化简，不符合题意．
故选：C．
4.A
【解析】解：A.32+42=52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
+22=2.52，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；
C.(32)2+(42)2≠(52)2，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
D.( 4)2+( 3)2≠( 5)2，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数．
故选A．
5.B
【解析】解：原式= 8×2= 16=4，
故选：B．
6.D
【解析】解： 27+ 3− 12=3 3+ 3−2 3=2 3，
故选：D．
7.A
【解析】解：∵(a+b)(a−b)=c2，
∴a2−b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，
∴∠A为直角．
故选：A．
8.D
【解析】解：
分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是 42−32= 7；
②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是 42+32=5；
即第三边长是5或 7，
故选：D．
9.B
【解析】解：∵ (a−3)2=3−a，等式左边为算术平方根，结果为非负数，
∴3−a≥0，解得a≤3．
故选B．
10.B
【解析】解：∵S正方形ABCD=5，四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=CD= 5．
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH=EF=FG=HG．
由题可知：△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH．
∵EF=12BG，
∴EF=12AF，
∴E是中点，
即AE=EF，
∴AE=EF∠AED=∠DEFED=ED．
∴△ADE≌△DEF(SAS)．
即DF=AD= 5．
故选：B．
11. 2
【解析】解：计算： 12÷ 6= 126= 2．
12.5
【解析】解：平方，得
a−1=4．
解得a=5，
故答案为：5．
13.1
【解析】解： 8=2 2，
根据题意得：a+1=2，
解得a=1．
故答案为：1．
14.3 2
【解析】解：∵x+y= 3，xy= 6，
∴x2y+xy2
=xy(x+y)
= 6× 3
= 18
=3 2，
故答案为：3 2．
15.9，40，41
【解析】解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；
②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；
③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；
④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；
故答案为：9，40，41．
16.3
【解析】解：∵D，F关于AE对称，所以△AED和△AEF全等，
∴AF=AD=BC=10，DE=EF，
设EC=x，则DE=8−x．
∴EF=8−x，
在Rt△ABF中，BF= AF2−AB2=6，
∴FC=BC−BF=4．
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+FC2=EF2，
即：x2+42=(8−x)2，解得x=3．
∴EC的长为3cm．
17.解： 6× 2+ 12÷ 3−|−2 3|
= 12+ 4−2 3
=2 3+2−2 3
=2．
【解析】先算乘除法，去绝对值，然后化简，再合并同类二次根式即可．
18.解：∵a=1+ 3，b=1− 3，
∴ab
=(1+ 3)(1− 3)
=12−( 3)2
=1−3
=−2．
【解析】利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可．
19.解：∵a−1≥0，1−a≥0，
∴a=1，b=1，c=16，
∴ab+c=1+16=17．
【解析】利用二次根式性质确定a的值，从而确定b，c的值，代入求值即可．
20.解：∵AB2+AC2=202+152=625=252=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵S△ACB=12×AB×AC=12×BC×AD，
∴15×20=25×AD，
∴AD=12，
由勾股定理得：BD= AB2−AD2=16．
【解析】先根据的逆定理得到∠BAC=90°，再根据勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式得出AB×AC=BC×AD，代入求出AD，再根据勾股定理求出BD即可．
21.解：(1)∵a、b、c满足|a− 7|+(c−4 2)2+ b−5=0，
∴|a− 7|=0，c−4 2=0， b−5=0，
解得：a= 7，b=5，c=4 2；
(2)∵a= 7，b=5，c=4 2，
∴a+b= 7+5>4 2，
∴以a、b、c为边能构成三角形，
∵a2+b2=( 7)2+52=32=(4 2)2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
【解析】(1)根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；
(2)根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可．
22.解：(1)如图所示：
S四边形ABCD=5×5−12×5×1−12×4×2−12×4×1−12×(1+3)×1
=25−2.5−4−2−2
=14.5；
(2)是，理由：
∵BC2=42+22=20，CD2=12+22=5，BD2=42+32=25，
∴BC2+CD2=BD2，
∴∠BCD=90°．
【解析】(1)由AB= 26，AD= 17，利用勾股定理以及网格特点即可确定A点位置，从而补齐四边形ABCD；根据四边形ABCD的面积等于正方形的面积减去四周三个直角三角形的面积以及梯形的面积，即可求解；
(2)利用勾股定理求出BC2，CD2，BD2，根据勾股定理的逆定理得出∠BCD=90°．
23.解：在△ABC中，AB=4，AC=3，AB⊥AC，
∴∠A=90°，
∴BC= AB2+AC2= 42+32=5，
∵BC=5，BD=12，CD=13，
∴BC2+BD2=25+144=169=132=CD2，
∴∠CBD=90°，
∴S四边形ABDC=S△ABC+S△BDC=12×3×4+12×5×12=36．
【解析】在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出BC的长度，运用勾股定理的逆定理即可判断BC⊥BD，再求出两个直角三角形的面积即可解决问题．
24. 3− 2 8
【解析】解：(1)1 3+ 2
= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)
= 3− 23−2
= 3− 2，
故答案为： 3− 2；
(2)1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 169+ 168+1 170+ 169
= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+…+ 169− 168+ 170− 169
=−1+ 2− 2+ 3− 3+ 4−…− 168+ 169− 169+ 170
=−1+ 170；
(3)∵a=1 5−2= 5+2( 5−2)( 5+2)= 5+2，
∴a−2= 5，
∴(a−2)2=5，
即a2−4a+4=5．
∴a2−4a=1．
∴a4−4a3−4a+7
=a2(a2−4a)−4a+7
=a2×1−4a+7
=a2−4a+7
=1+7
=8，
故答案为：8．
(1)利用分母有理化计算；
(2)先分母有理化，然后合并即可；
(3)先利用a= 5+2得到a−2= 5，两边平方得到a2−4a=1，然后利用整体代入的方法计算即可．
25.(1)4 21 (2)4.5或12.5秒
(3)①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，
则CE=BE，
CD=AD=12AC=12×25=12.5，
t=12.5÷2=6.25；
②CD=BC时，CD=15，t=15÷2=7.5；
③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
则CF=9，
CD=2CF=9×2=18，
t=18÷2=9，
综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．
【解析】解：(1)t=2时，CD=2×2=4，
∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC= AB2+BC2= 202+152=25，
AD=AC−CD=25−4=21；
(2)①∠CDB=90°时，S△ABC=12AC⋅BD=12AB⋅BC，
即12×25⋅BD=12×20×15，
解得BD=12，
所以CD= BC2−BD2= 152−122=9，
t=9÷2=4.5(秒)；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=25÷2=12.5(秒)，
综上所述，t=4.5或12.5秒；
故答案为：(1)4，21；(2)4.5或12.5秒；
(3)①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE，从而得到CD=AD；②CD=BC时，CD=6；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由(2)的结论解答．