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2023-2024学年广东省深圳市光明实验学校（集团）八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省深圳市光明实验学校（集团）八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
2.已知xA. x+5C. x3>y3D. −2x+5<−2y+5
3.下列从左到右的变形中，为因式分解的是( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. am+an+1=a(m+n)+1
C. x2+4x+4=(x+2)2D. x2+2x−1=(x−1)2
4.若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示．则这个不等式组的解集是( )
A. x≤1B. x>1C. 0≤x<1D. 05.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是( )
A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°
6.△ABC中，AB=AC=4，∠B=15°，则△ABC的面积为( )
A. 4B. 8C. 16D. 32
7.如图所示，函数y=ax+b和a(x−1)−b>0的图象相交于(−1,1)，(2,2)两点．当y1>y2时，x的取值范围是( )
A. x<−1
B. −1C. x>2
D. x<−1或x>2
8.下列说法中，正确的结论有个．( )
①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
②如果方程2x−1+3xx−1=kx−1会产生增根，那么k的值是4；
③“对顶角相等”的逆命题是真命题；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠A=50°，∠PBC=( )
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
10.如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE=CF=2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为( )
A. 13
B. 15
C. 4.5
D. 4.3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：x2y−2xy+y=______．
12.已知点M(3,−2)，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是______．
13.若(m−1)x|m|+1>0是关于x的一元一次不等式，则m=______．
14.如图，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若△ABC的面积为20，则OD的长为______．
15.如图，将Rt△ABC沿射线BC的方向平移得到△DEF，连接AD、CD，已知AB=2，BC=4，在平移过程中，若△ADC为等腰三角形，则平移的距离可以是______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解不等式组x+3≤3(x+2)x−22(2)解分式方程：x−2x−1+2=21−x．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：aa+1÷(a−1−2a−1a+1)，并从−1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标都在格点上，已知C点坐标为(−2,1)．
(1)△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，请直接写出B1的坐标______，并画出△A1B1C1．
(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P′(a+2,b−6)，请画出平移后的△A2B2C2．
(3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
19.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．
(1)求证：MA平分∠BMD；
(2)若AC//DM，AB=12，BM=18，求BC的长．
20.(本小题8分)
买入奉节脐橙、赣南脐橙，1kg奉节脐橙买入价比1kg赣南脐橙买入价低4元，用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．
(1)求这两种脐橙的买入价；
(2)某商家购进相同重量的两种脐橙，以10元/kg售价卖出奉节脐橙，若售完全部脐橙后所获利润不低于20%，赣南脐橙售价至少为多少元？
21.(本小题7分)
有些多项式的某些项可以通过适当地结合，(或把某项适当地拆分)成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如将x2−4y2−2x+4y因式分解．
原式=x2−4y2−2x+4y=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)=(x−2y)(x+2y−2)．
请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式x2+x−5x−5；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2+ab+c2−bc=2ac，判断△ABC的形状，并说明理由．
(3)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是4，小正方形的面积是1.根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，再求值．
22.(本小题9分)
综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动.其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．
(1)【操作判断】将四边形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与四边形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点，经测量得∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD.小明将△DQC绕点D顺时针旋转90°，此时点C与点A重合，点Q的对应点为Q′，通过推理小明得出了△PDQ≌△PDQ′．
根据以上信息，请填空：
①∠PDQ′= ______°；
②线段AP，PQ，QC之间的数量关系为______；
(2)【迁移探究】小明将四边形纸片ABCD换成了图2中的形状，若∠ADC=2α，∠PDQ=α，AD=CD，P，Q分别在AB，BC上，且∠BCD+∠DAB=180°，线段AP，PQ，QC之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；
(3)【拓展应用】如图3，已知Rt△ADC，∠ADC=90°，AD=CD=6 2.小明以点D为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺EDF，其中射线DE，DF分别交射线AC于点M，N，当点M恰好为线段AC的三等分点时，请直接写出MN的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵x∴x+5B、∵x∴2x<2y，
∴2x+2<2y+2，正确，符合题意；
C、∵x∴x3D、∵x∴−2x>−2y，
∴−2x+5>−2y+5，原变形错误，不符合题意．
故选：B．
根据不等式的基本性质解答即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.(a+b)(a−b)=a2−b2，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.am+an+1=a(m+n)+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.x2+4x+4=(x+2)2，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.x2+2x−1≠(x−1)2，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得：不等式组的解集为0故选：D．
根据数轴表示出解集即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
5.【答案】D
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知，∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，根据三角形的外角性质即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°，
∴∠ODC=25°，
∵∠CDE+∠ODC=180°−∠BDE=105°，
∴∠CDE=105°−∠ODC=80°．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：过C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵AB=AC=4，∴∠B=∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，
∵AC=4cm，CD是AB边上的高，
∴CD=12AC=12×4=2，
∴S△ABC=12×4×2=4，
故选：A．
据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD的度数，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵函数y=ax+b和a(x−1)−b>0的图象相交于(−1,1)，(2,2)两点，
∴根据图象可以看出，当y1>y2时，x的取值范围是x>2或x<−1，
故选：D．
当y1>y2时，函数y=ax+b的图象在a(x−1)−b>0的图象上面，故根据两图象的交点，求出图象中y1在y2上面的部分中x的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系的应用，主要培养学生观察图形的能力，能理解一次函数与一元一次不等式的关系是解此题的关键，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
8.【答案】B
【解析】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确；
②方程2x−1+3xx−1=kx−1产生增根时，增根是x=1，
在2+3x=k中，当x=1时，k=5，
那么k的值是5，结论错误；
③“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，结论错误；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°，说法正确；
故选：B．
根据角平分线的判定定理、分式方程的增根、逆命题的概念、反证法判断即可．
本题考查的是角平分线的判定定理、分式方程的增根、逆命题的概念、反证法的应用，掌握相关的性质定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：连接AP，
在△ABC中，∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PA=PC，
∴∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，PB=PC，
∴∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PAC=50°，
∴∠PBC+∠PCB=130°−50°=80°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=40°，
故选：A．
连接AP，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，PA=PC，进而得到∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，PB=PC，计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠DCF=90°，BC=DC，
在△CBE和△DCF中，
BC=DC∠B=∠DCFBE=CF，
∴△CBE≌△DCF(SAS)，
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠BCE+∠DCH=90°，
∴∠CDF+∠DCH=90°，
∴∠DHC=∠DHE=90°，
∵点G为DE的中点，
∴GH=12DE，
∵AD=AB=6，AE=AB−BE=6−2=4，
∴DE= AD2+AE2= 62+42=2 13，
∴GH= 13．
故选：A．
根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，每一个角都是直角可得∠B=∠DCF=90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE=∠CDF，进一步得∠DHC=∠DHE=90°，从而知GH=12DE，利用勾股定理求出DE的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
11.【答案】y(x−1)2
【解析】解：原式=y(x2−2x+1)
=y(x−1)2．
故答案为：y(x−1)2．
直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
12.【答案】(−1,1)
【解析】解：原来点的横坐标是3，纵坐标是−2，向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3−4=−1，纵坐标为−2+3=1．
则点N的坐标是(−1,1)．
故答案为：(−1,1)．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13.【答案】−1
【解析】解：∵(m−1)x|m|+1>0是关于x的一元一次不等式，
∴m−1≠0且|m|=1，
解得：m=−1，
故答案为：−1．
根据一元一次不等式的定义得出m−1≠0且|m|=1，再求出m即可．
本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，注意：含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式．
14.【答案】4
【解析】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OF=OD，
∴OE=OF=OD，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC
=12×AB×OE+12×AC×OF+12×BC×OD
=12×AB×OD+12×AC×OD+12×BC×OD
=12(AB+AC+BC)×OD，
∵△ABC的周长是10，△ABC的面积为20，
∴12×10×OD=20，
解得：OD=4，
故答案为：4．
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO，根据角平分线的性质得出OD=OE=OF，求出△ABC的面积=12×(AB+AC+BC)×OD，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到这个角的两边距离相等是解此题的关键．
15.【答案】52或2 5或8
【解析】解：设平移的距离为x，则AD=BE=CF=x，
△ADC为等腰三角形，存在以下三种情况：
①如图1，AD=CD=x，
∵AB=2，BC=4，
∴DE=2，CE=4−x，
由勾股定理得：DE2+CE2=CD2，
∴22+(4−x)2=x2，
∴x=52，
∴平移的距离是52；
②如图2，AD=AC= 22+42=2 5，
∴平移的距离是2 5；
③如图3，AC=CD，
∵AB=DE，∠B=∠CED=90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中
AC=DCAB=DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
∴CB=CE=4，
∴AD=BE=CB+CE=4+4=8，
∴平移的距离是8；
综上，平移的距离是52或2 5或8．
分三种情况：AD=CD和AD=AC和AC=CD，根据勾股定理和平移的性质可解答．
本题考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16.【答案】解：(1)x+3≤3(x+2)①x−22解不等式①得，x≥−32，
解不等式②得，x<2，
在同一条数轴上表示两个不等式的解集为：
所以不等式组的解集为−32≤x<2；
(2)两边都乘以x−1，得
x−2+2(x−1)=−2，
解得x=23，
经检验x=23是原方程的解，
所以原方程的解为x=23．
【解析】(1)根据不等式组的解法求出一元一次不等式组的解集，并在数轴上将解集表示出来即可；
(2)根据分式方程的解法，经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及检验等步骤进行解答即可．
本题考查一元一次不等式组，分式方程，掌握一元一次不等式组的解法以及分式方程的解法是正确解答的关键．
17.【答案】解：原式=aa+1÷(a2−1a+1−2a−1a+1)，
=aa+1÷a2−2aa+1，
=aa+1⋅a+1a(a−2)，
=1a−2，
∵a+1≠0，且a(a−2)≠0
∴a≠−1且a≠0且a≠2，
∴a=1，
则原式=11−2=−1．
【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算可得．
18.【答案】(4,−2) (1,−3)
【解析】解：(1)如图1所示，△A1B1C1即为所求；
∵△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，B(−4,2)，
∴B1(4,−2)，
故答案为：(4,−2)；
(2)如图2所示，△A2B2C2即为所求；
(3)∵A1(3,−4)，A2(−1,−2)，B1(4,−2)，B2(−2,−4)，
∴A1A2的中点坐标为(1,−3)，B1B2的中点坐标为(1,−3)，
∴△A1B1C1和△A2B2C2的对称中心的坐标为(1,−3)，
故答案为：(1,−3)．
(1)直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
(2)直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
(3)连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．
本题考查了图形的平移、中心对称的性质，解题的关键是正确得出对应点坐标．
19.【答案】(1)证明：如图，连接AM，
在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，
∴AB=AD，
∵AB⊥BM，AD⊥DM，
∴MA平分∠BMD，
∴点A在∠BMD的平分线上；
(2)解：∵AC//DM，
∴∠CAM=∠AMD，
∴∠AMB=∠CAM，
∴CM=AC，
设BC=x，
∴CM=AC=18−x，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴122+x2=(18−x)2，
∴x=5．
∴BC=5．
【解析】(1)连接AM，证明Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，可得AB=AD，根据角平分线的性质即可解决问题；
(2)证明CM=AC，设BC=x，所以CM=AC=18−x，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt△ABC≌Rt△ADE．
20.【答案】解：(1)设奉节脐橙的买入价为x元/kg，则赣南脐橙的买入价为(x+4)元/kg，
根据题意得：240x=360x+4，
解得：x=8，
经检验，x=8是所列方程的解，且符合题意，
∴x+4=8+4=12．
答：奉节脐橙的买入价为8元/kg，赣南脐橙的买入价为12元/kg；
(2)设赣南脐橙售价为y元/kg，该商家购进a kg奉节脐橙，则购进了a kg赣南脐橙，
根据题意得：10a−8a+ay−12a≥(8a+12a)×20%，
解得：y≥14，
∴y的最小值为14．
答：赣南脐橙售价至少为14元．
【解析】(1)设奉节脐橙的买入价为x元/kg，则赣南脐橙的买入价为(x+4)元/kg，利用数量=总价÷单价，结合用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出奉节脐橙的买入价，再将其代入x+4中，即可求出赣南脐橙的买入价；
(2)设赣南脐橙售价为y元/kg，该商家购进a kg奉节脐橙，则购进了a kg赣南脐橙，利用总利润=销售单价×购进数量−买入单价×购进数量，结合所获利润不低于20%，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)x2+x−5x−5
=(x2+x)−5(x+1)
=x(x+1)−5(x+1)
=(x+1)(x−5)；
(2)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2+ab+c2−bc=2ac，
∴a2+ab+c2−bc−2ac=0，
∴(a2−2ac+c2)+b(a−c)=0，
∴(a−c)2+b(a−c)=0，
∴(a+b−c)(a−c)=0，
∵a+b−c>0，
∴a−c=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形；
(3)a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4
=(a4+2a2b2+b4)−2ab(a2+b2)
=(a2+b2)2−2ab(a2+b2)
=(a2+b2−2ab)(a2+b2)
=(a−b)2(a2+b2)，
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是4，小正方形的面积是1，
∴4×12ab=4×4−1×1，a2+b2=42，
∴2ab=15，a2+b2=16，
∴(a−b)2=a2+b2−2ab=1，
∴原式=1×16=16．
【解析】(1)仿照题意进行因式分解即可；
(2)把原式因式分解变形为(a+b−c)(a−c)=0，由此求出a=c，则△ABC是等腰三角形；
(3)先对所求式子因式分解为(a−b)2(a2+b2)，再根据勾股定理和面积法求出2ab=15，a2+b2=16，进一步求出(a−b)2=1，由此即可得到答案．
本题主要考查了因式分解的运用，勾股定理，完全平方公式的变形求值，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键．
22.【答案】45 AP+QC=PQ
【解析】解：(1)①∵△DQC绕点D顺时针旋转90°得到△DQ′A，
∴∠ADQ′=CDQ
∵∠ADQ+∠CDQ=∠ADC=90°
∴∠ADQ′+∠ADQ=90°
∴∠Q′DQ=90°
∵△PDQ≌△PDQ′(AAS)，
∴∠Q′DP=∠QDP=12∠Q′DQ=45°，
故答案为：45；
②△DQC绕点D顺时针旋转90°得到△DQ′A，
∴AQ′=CQ
∵△PDQ≌△PDQ′
∴Q′P=QP
∴AP+CQ=AP+Q′A=Q′P=QP，
故答案为：AP+QC=PQ；
(2)AP+QC=PQ仍然成立
∵AD=CD，
∴如图所示，将△DQC绕点D旋转顺时针2α得△DQ′A，AD与CD重合，
∴DQ′=DQ，∠DAQ′=∠C，∠ADQ′=∠CDQ，
又∵∠C+∠DAB=180°，
∴∠DAQ′+∠DAB=180°，即Q′，A，P三点在一条直线上，
∵∠PDQ=α，
∴∠ADQ′+∠ADP=α，
∴∠PDQ=∠PDQ′，
在△DPQ′和△DPQ中，
∵PD=PD，∠PDQ′=∠PDQ，DQ′=DQ，
∴△DAQ′≌△DCQ(SAS)，
∴PQ′=PQ，
∴AQ′+AP=PQ，
∴AP+QC=PQ；
(3)如图所示，当AM=13AC时，
将△DNC绕点D顺时针旋转90°得到△DN′A
∵AD=CD=6 2，∠ADC=90°
∴AC= AD2+CD2=12
∴AM=13AC=4，CM=AC−AM=8，
由题意可得，△DNC≌△DN′A，
∴AN′=CN，∠N′AD=∠NCD=45°，
∴∠N′AM=45°+45°=90°，
由(1)得△PDQ≌△PDQ′，
∴MN′=MN，
∴AN′+MN′=CN+MN=MC=8，
∴设MN′=MN=x，则AN′=8−x，
在Rt△AMN′中，AN′2+AM2=MN′2
∴(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴MN=5；
如图所示，当AM=23AC时，
将△DNC绕点D顺时针旋转90°得到△DN′A，
∴△DNC≌△DN′A，
∴∠ADN′=∠CDN，∠AN′D=∠CND，
∵∠CDN+∠CND=∠DCA=45°，
∴∠ADN′+∠AN′D=45°，
∴∠N′AD=135°，
∴∠N′AM=135°−∠DAC=90°，
∵AM=23AC=8，则CM=4，
同理可得，△DN′M≌△DNM，
∴设MN=MN′=x，则CN=AN′=MN−CM=x−4，
∴在Rt△AN′M中，AN′2+AM2=MN′2
∴(x−4)2+82=x2，
解得x=10，
∴MN=10，
综上所述，MN=5或10．
(1)①根据旋转的性质得到∠ADQ′=CDQ，然后证明出∠Q′DQ=90°，然后根据全等三角形的性质得到∠Q′DP=∠QDP=12∠Q′DQ=45°；
②根据旋转的性质得到AQ′=CQ，根据全等三角形的性质得到Q′P=QP，然后根据线段的和差求解即可；
(2)将△DQC绕点D旋转顺时针2α得△DQ′A，AD与CD重合，根据题意证明出△DAQ′≌△DCQ(SAS)，得到PQ′=PQ，进而求解即可；
(3)根据题意分两种情况讨论：AM=13AC和AM=23AC，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可．
此题考查了性质的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
2.已知x
3.下列从左到右的变形中，为因式分解的是( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. am+an+1=a(m+n)+1
C. x2+4x+4=(x+2)2D. x2+2x−1=(x−1)2
4.若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示．则这个不等式组的解集是( )
A. x≤1B. x>1C. 0≤x<1D. 0
A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°
6.△ABC中，AB=AC=4，∠B=15°，则△ABC的面积为( )
A. 4B. 8C. 16D. 32
7.如图所示，函数y=ax+b和a(x−1)−b>0的图象相交于(−1,1)，(2,2)两点．当y1>y2时，x的取值范围是( )
A. x<−1
B. −1
D. x<−1或x>2
8.下列说法中，正确的结论有个．( )
①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
②如果方程2x−1+3xx−1=kx−1会产生增根，那么k的值是4；
③“对顶角相等”的逆命题是真命题；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠A=50°，∠PBC=( )
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
10.如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE=CF=2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为( )
A. 13
B. 15
C. 4.5
D. 4.3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：x2y−2xy+y=______．
12.已知点M(3,−2)，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是______．
13.若(m−1)x|m|+1>0是关于x的一元一次不等式，则m=______．
14.如图，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若△ABC的面积为20，则OD的长为______．
15.如图，将Rt△ABC沿射线BC的方向平移得到△DEF，连接AD、CD，已知AB=2，BC=4，在平移过程中，若△ADC为等腰三角形，则平移的距离可以是______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解不等式组x+3≤3(x+2)x−22
17.(本小题6分)
先化简，再求值：aa+1÷(a−1−2a−1a+1)，并从−1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标都在格点上，已知C点坐标为(−2,1)．
(1)△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，请直接写出B1的坐标______，并画出△A1B1C1．
(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P′(a+2,b−6)，请画出平移后的△A2B2C2．
(3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
19.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．
(1)求证：MA平分∠BMD；
(2)若AC//DM，AB=12，BM=18，求BC的长．
20.(本小题8分)
买入奉节脐橙、赣南脐橙，1kg奉节脐橙买入价比1kg赣南脐橙买入价低4元，用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．
(1)求这两种脐橙的买入价；
(2)某商家购进相同重量的两种脐橙，以10元/kg售价卖出奉节脐橙，若售完全部脐橙后所获利润不低于20%，赣南脐橙售价至少为多少元？
21.(本小题7分)
有些多项式的某些项可以通过适当地结合，(或把某项适当地拆分)成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如将x2−4y2−2x+4y因式分解．
原式=x2−4y2−2x+4y=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)=(x−2y)(x+2y−2)．
请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式x2+x−5x−5；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2+ab+c2−bc=2ac，判断△ABC的形状，并说明理由．
(3)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是4，小正方形的面积是1.根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，再求值．
22.(本小题9分)
综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动.其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．
(1)【操作判断】将四边形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与四边形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点，经测量得∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD.小明将△DQC绕点D顺时针旋转90°，此时点C与点A重合，点Q的对应点为Q′，通过推理小明得出了△PDQ≌△PDQ′．
根据以上信息，请填空：
①∠PDQ′= ______°；
②线段AP，PQ，QC之间的数量关系为______；
(2)【迁移探究】小明将四边形纸片ABCD换成了图2中的形状，若∠ADC=2α，∠PDQ=α，AD=CD，P，Q分别在AB，BC上，且∠BCD+∠DAB=180°，线段AP，PQ，QC之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；
(3)【拓展应用】如图3，已知Rt△ADC，∠ADC=90°，AD=CD=6 2.小明以点D为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺EDF，其中射线DE，DF分别交射线AC于点M，N，当点M恰好为线段AC的三等分点时，请直接写出MN的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵x
∴2x+2<2y+2，正确，符合题意；
C、∵x
∴−2x+5>−2y+5，原变形错误，不符合题意．
故选：B．
根据不等式的基本性质解答即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.(a+b)(a−b)=a2−b2，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.am+an+1=a(m+n)+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.x2+4x+4=(x+2)2，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.x2+2x−1≠(x−1)2，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得：不等式组的解集为0
根据数轴表示出解集即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
5.【答案】D
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知，∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，根据三角形的外角性质即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°，
∴∠ODC=25°，
∵∠CDE+∠ODC=180°−∠BDE=105°，
∴∠CDE=105°−∠ODC=80°．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：过C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵AB=AC=4，∴∠B=∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，
∵AC=4cm，CD是AB边上的高，
∴CD=12AC=12×4=2，
∴S△ABC=12×4×2=4，
故选：A．
据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD的度数，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵函数y=ax+b和a(x−1)−b>0的图象相交于(−1,1)，(2,2)两点，
∴根据图象可以看出，当y1>y2时，x的取值范围是x>2或x<−1，
故选：D．
当y1>y2时，函数y=ax+b的图象在a(x−1)−b>0的图象上面，故根据两图象的交点，求出图象中y1在y2上面的部分中x的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系的应用，主要培养学生观察图形的能力，能理解一次函数与一元一次不等式的关系是解此题的关键，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
8.【答案】B
【解析】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确；
②方程2x−1+3xx−1=kx−1产生增根时，增根是x=1，
在2+3x=k中，当x=1时，k=5，
那么k的值是5，结论错误；
③“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，结论错误；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°，说法正确；
故选：B．
根据角平分线的判定定理、分式方程的增根、逆命题的概念、反证法判断即可．
本题考查的是角平分线的判定定理、分式方程的增根、逆命题的概念、反证法的应用，掌握相关的性质定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：连接AP，
在△ABC中，∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PA=PC，
∴∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，PB=PC，
∴∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PAC=50°，
∴∠PBC+∠PCB=130°−50°=80°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=40°，
故选：A．
连接AP，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，PA=PC，进而得到∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，PB=PC，计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠DCF=90°，BC=DC，
在△CBE和△DCF中，
BC=DC∠B=∠DCFBE=CF，
∴△CBE≌△DCF(SAS)，
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠BCE+∠DCH=90°，
∴∠CDF+∠DCH=90°，
∴∠DHC=∠DHE=90°，
∵点G为DE的中点，
∴GH=12DE，
∵AD=AB=6，AE=AB−BE=6−2=4，
∴DE= AD2+AE2= 62+42=2 13，
∴GH= 13．
故选：A．
根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，每一个角都是直角可得∠B=∠DCF=90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE=∠CDF，进一步得∠DHC=∠DHE=90°，从而知GH=12DE，利用勾股定理求出DE的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
11.【答案】y(x−1)2
【解析】解：原式=y(x2−2x+1)
=y(x−1)2．
故答案为：y(x−1)2．
直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
12.【答案】(−1,1)
【解析】解：原来点的横坐标是3，纵坐标是−2，向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3−4=−1，纵坐标为−2+3=1．
则点N的坐标是(−1,1)．
故答案为：(−1,1)．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13.【答案】−1
【解析】解：∵(m−1)x|m|+1>0是关于x的一元一次不等式，
∴m−1≠0且|m|=1，
解得：m=−1，
故答案为：−1．
根据一元一次不等式的定义得出m−1≠0且|m|=1，再求出m即可．
本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，注意：含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式．
14.【答案】4
【解析】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OF=OD，
∴OE=OF=OD，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC
=12×AB×OE+12×AC×OF+12×BC×OD
=12×AB×OD+12×AC×OD+12×BC×OD
=12(AB+AC+BC)×OD，
∵△ABC的周长是10，△ABC的面积为20，
∴12×10×OD=20，
解得：OD=4，
故答案为：4．
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO，根据角平分线的性质得出OD=OE=OF，求出△ABC的面积=12×(AB+AC+BC)×OD，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到这个角的两边距离相等是解此题的关键．
15.【答案】52或2 5或8
【解析】解：设平移的距离为x，则AD=BE=CF=x，
△ADC为等腰三角形，存在以下三种情况：
①如图1，AD=CD=x，
∵AB=2，BC=4，
∴DE=2，CE=4−x，
由勾股定理得：DE2+CE2=CD2，
∴22+(4−x)2=x2，
∴x=52，
∴平移的距离是52；
②如图2，AD=AC= 22+42=2 5，
∴平移的距离是2 5；
③如图3，AC=CD，
∵AB=DE，∠B=∠CED=90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中
AC=DCAB=DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
∴CB=CE=4，
∴AD=BE=CB+CE=4+4=8，
∴平移的距离是8；
综上，平移的距离是52或2 5或8．
分三种情况：AD=CD和AD=AC和AC=CD，根据勾股定理和平移的性质可解答．
本题考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16.【答案】解：(1)x+3≤3(x+2)①x−22
解不等式②得，x<2，
在同一条数轴上表示两个不等式的解集为：
所以不等式组的解集为−32≤x<2；
(2)两边都乘以x−1，得
x−2+2(x−1)=−2，
解得x=23，
经检验x=23是原方程的解，
所以原方程的解为x=23．
【解析】(1)根据不等式组的解法求出一元一次不等式组的解集，并在数轴上将解集表示出来即可；
(2)根据分式方程的解法，经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及检验等步骤进行解答即可．
本题考查一元一次不等式组，分式方程，掌握一元一次不等式组的解法以及分式方程的解法是正确解答的关键．
17.【答案】解：原式=aa+1÷(a2−1a+1−2a−1a+1)，
=aa+1÷a2−2aa+1，
=aa+1⋅a+1a(a−2)，
=1a−2，
∵a+1≠0，且a(a−2)≠0
∴a≠−1且a≠0且a≠2，
∴a=1，
则原式=11−2=−1．
【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算可得．
18.【答案】(4,−2) (1,−3)
【解析】解：(1)如图1所示，△A1B1C1即为所求；
∵△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，B(−4,2)，
∴B1(4,−2)，
故答案为：(4,−2)；
(2)如图2所示，△A2B2C2即为所求；
(3)∵A1(3,−4)，A2(−1,−2)，B1(4,−2)，B2(−2,−4)，
∴A1A2的中点坐标为(1,−3)，B1B2的中点坐标为(1,−3)，
∴△A1B1C1和△A2B2C2的对称中心的坐标为(1,−3)，
故答案为：(1,−3)．
(1)直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
(2)直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
(3)连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．
本题考查了图形的平移、中心对称的性质，解题的关键是正确得出对应点坐标．
19.【答案】(1)证明：如图，连接AM，
在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，
∴AB=AD，
∵AB⊥BM，AD⊥DM，
∴MA平分∠BMD，
∴点A在∠BMD的平分线上；
(2)解：∵AC//DM，
∴∠CAM=∠AMD，
∴∠AMB=∠CAM，
∴CM=AC，
设BC=x，
∴CM=AC=18−x，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴122+x2=(18−x)2，
∴x=5．
∴BC=5．
【解析】(1)连接AM，证明Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，可得AB=AD，根据角平分线的性质即可解决问题；
(2)证明CM=AC，设BC=x，所以CM=AC=18−x，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt△ABC≌Rt△ADE．
20.【答案】解：(1)设奉节脐橙的买入价为x元/kg，则赣南脐橙的买入价为(x+4)元/kg，
根据题意得：240x=360x+4，
解得：x=8，
经检验，x=8是所列方程的解，且符合题意，
∴x+4=8+4=12．
答：奉节脐橙的买入价为8元/kg，赣南脐橙的买入价为12元/kg；
(2)设赣南脐橙售价为y元/kg，该商家购进a kg奉节脐橙，则购进了a kg赣南脐橙，
根据题意得：10a−8a+ay−12a≥(8a+12a)×20%，
解得：y≥14，
∴y的最小值为14．
答：赣南脐橙售价至少为14元．
【解析】(1)设奉节脐橙的买入价为x元/kg，则赣南脐橙的买入价为(x+4)元/kg，利用数量=总价÷单价，结合用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出奉节脐橙的买入价，再将其代入x+4中，即可求出赣南脐橙的买入价；
(2)设赣南脐橙售价为y元/kg，该商家购进a kg奉节脐橙，则购进了a kg赣南脐橙，利用总利润=销售单价×购进数量−买入单价×购进数量，结合所获利润不低于20%，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)x2+x−5x−5
=(x2+x)−5(x+1)
=x(x+1)−5(x+1)
=(x+1)(x−5)；
(2)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2+ab+c2−bc=2ac，
∴a2+ab+c2−bc−2ac=0，
∴(a2−2ac+c2)+b(a−c)=0，
∴(a−c)2+b(a−c)=0，
∴(a+b−c)(a−c)=0，
∵a+b−c>0，
∴a−c=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形；
(3)a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4
=(a4+2a2b2+b4)−2ab(a2+b2)
=(a2+b2)2−2ab(a2+b2)
=(a2+b2−2ab)(a2+b2)
=(a−b)2(a2+b2)，
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是4，小正方形的面积是1，
∴4×12ab=4×4−1×1，a2+b2=42，
∴2ab=15，a2+b2=16，
∴(a−b)2=a2+b2−2ab=1，
∴原式=1×16=16．
【解析】(1)仿照题意进行因式分解即可；
(2)把原式因式分解变形为(a+b−c)(a−c)=0，由此求出a=c，则△ABC是等腰三角形；
(3)先对所求式子因式分解为(a−b)2(a2+b2)，再根据勾股定理和面积法求出2ab=15，a2+b2=16，进一步求出(a−b)2=1，由此即可得到答案．
本题主要考查了因式分解的运用，勾股定理，完全平方公式的变形求值，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键．
22.【答案】45 AP+QC=PQ
【解析】解：(1)①∵△DQC绕点D顺时针旋转90°得到△DQ′A，
∴∠ADQ′=CDQ
∵∠ADQ+∠CDQ=∠ADC=90°
∴∠ADQ′+∠ADQ=90°
∴∠Q′DQ=90°
∵△PDQ≌△PDQ′(AAS)，
∴∠Q′DP=∠QDP=12∠Q′DQ=45°，
故答案为：45；
②△DQC绕点D顺时针旋转90°得到△DQ′A，
∴AQ′=CQ
∵△PDQ≌△PDQ′
∴Q′P=QP
∴AP+CQ=AP+Q′A=Q′P=QP，
故答案为：AP+QC=PQ；
(2)AP+QC=PQ仍然成立
∵AD=CD，
∴如图所示，将△DQC绕点D旋转顺时针2α得△DQ′A，AD与CD重合，
∴DQ′=DQ，∠DAQ′=∠C，∠ADQ′=∠CDQ，
又∵∠C+∠DAB=180°，
∴∠DAQ′+∠DAB=180°，即Q′，A，P三点在一条直线上，
∵∠PDQ=α，
∴∠ADQ′+∠ADP=α，
∴∠PDQ=∠PDQ′，
在△DPQ′和△DPQ中，
∵PD=PD，∠PDQ′=∠PDQ，DQ′=DQ，
∴△DAQ′≌△DCQ(SAS)，
∴PQ′=PQ，
∴AQ′+AP=PQ，
∴AP+QC=PQ；
(3)如图所示，当AM=13AC时，
将△DNC绕点D顺时针旋转90°得到△DN′A
∵AD=CD=6 2，∠ADC=90°
∴AC= AD2+CD2=12
∴AM=13AC=4，CM=AC−AM=8，
由题意可得，△DNC≌△DN′A，
∴AN′=CN，∠N′AD=∠NCD=45°，
∴∠N′AM=45°+45°=90°，
由(1)得△PDQ≌△PDQ′，
∴MN′=MN，
∴AN′+MN′=CN+MN=MC=8，
∴设MN′=MN=x，则AN′=8−x，
在Rt△AMN′中，AN′2+AM2=MN′2
∴(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴MN=5；
如图所示，当AM=23AC时，
将△DNC绕点D顺时针旋转90°得到△DN′A，
∴△DNC≌△DN′A，
∴∠ADN′=∠CDN，∠AN′D=∠CND，
∵∠CDN+∠CND=∠DCA=45°，
∴∠ADN′+∠AN′D=45°，
∴∠N′AD=135°，
∴∠N′AM=135°−∠DAC=90°，
∵AM=23AC=8，则CM=4，
同理可得，△DN′M≌△DNM，
∴设MN=MN′=x，则CN=AN′=MN−CM=x−4，
∴在Rt△AN′M中，AN′2+AM2=MN′2
∴(x−4)2+82=x2，
解得x=10，
∴MN=10，
综上所述，MN=5或10．
(1)①根据旋转的性质得到∠ADQ′=CDQ，然后证明出∠Q′DQ=90°，然后根据全等三角形的性质得到∠Q′DP=∠QDP=12∠Q′DQ=45°；
②根据旋转的性质得到AQ′=CQ，根据全等三角形的性质得到Q′P=QP，然后根据线段的和差求解即可；
(2)将△DQC绕点D旋转顺时针2α得△DQ′A，AD与CD重合，根据题意证明出△DAQ′≌△DCQ(SAS)，得到PQ′=PQ，进而求解即可；
(3)根据题意分两种情况讨论：AM=13AC和AM=23AC，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可．
此题考查了性质的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
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