2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圆心和半径分别是（ ）
A．（﹣1，﹣2），11B．（﹣1，2），11
C．（﹣1，﹣2），D．（﹣1，2），
2．（5分）如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A．a2B．C．D．
4．（5分）已知直线，则（ ）
A．直线l的倾斜角为
B．直线l的斜率为
C．直线l的一个法向量为
D．直线l的一个方向向量为
5．（5分）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为18，F到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2＝1相交于A，B两点，且∠AOB＝60°（其中O为原点），则k的值为（ ）
A．或B．C．或D．
7．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA⊥MB，则k＝（ ）
A．B．C．D．2
8．（5分）设椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足•0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，1）C．[，1]D．[1，1）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知双曲线，下列对双曲线C的判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍
B．焦距为4
C．离心率为
D．渐近线方程为
（多选）10．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1an，则（ ）
A．{an}是递减数列
B．an≥n
C．
D．
（多选）11．（5分）已知A（﹣1，0），B（1，0），直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为k1，k2则（ ）
A．当k1⋅k2＝﹣2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B．当k1⋅k2＝2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C．当k1﹣k2＝2时，P点的轨迹为抛物线
D．当时，P点的轨迹为一条直线
（多选）12．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1（含边界）内有一动点P，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则存在非零向量使
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若向量，，则与夹角的正弦值为 ．
14．（5分）数列{an}中，an+1＝3an.前99项的和S99＝52，则a3+a6+a9+⋯+a99＝ ．
15．（5分）已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣6）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是 ．
16．（5分）已知A（2，0）、B（8，0）、C（4，2），且动点P满足，则2|PC|+|PB|取得最小值时，点P的坐标是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量（1，5，﹣1），（﹣2，3，5）．
（1）若（k）∥（3），求k的值；
（2）以坐标原点O为起点作，，求点O到直线AB的距离d．
18．（12分）已知圆C过点，，且圆心在x轴上．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：mx﹣y+1＝0与圆C相交于A，B两点，若MA⊥MB，求实数m的值．
19．（12分）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn+1＝3Sn+1（n∈N*）；等差数列{bn}前n项和为Tn满足T7＝49，b5＝9．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前n项和．
21．（12分）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中v0（单位：米/秒）是信号传播的速度．
（1）以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位，建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程；
（2）若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
22．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆Ω截直线x＝1所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线l1、l2，直线l1与椭圆Ω交于A、B两点，直线l2与椭圆Ω交于C、D两点，AB、CD的中点分别为E、F．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；
（3）求四边形ABCD面积S的最小值．
2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圆心和半径分别是（ ）
A．（﹣1，﹣2），11B．（﹣1，2），11
C．（﹣1，﹣2），D．（﹣1，2），
【解答】解：将圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0化成标准方程，
得（x+1）2+（y﹣2）2＝11，
∴圆心的坐标是（﹣1，2），半径r．
故选：D．
2．（5分）如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：因为AB＞0且BC＜0，
由Ax+By+C＝0可得yx，
则0，0，
故直线Ax+By+C＝0经过一二四象限．
故选：C．
3．（5分）正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A．a2B．C．D．
【解答】解：如图所示，
，，
∴
（a2cs60°+a2cs60°）
．
故选：C．
4．（5分）已知直线，则（ ）
A．直线l的倾斜角为
B．直线l的斜率为
C．直线l的一个法向量为
D．直线l的一个方向向量为
【解答】解：因为直线的斜率k，
故直线的倾斜角为，A，B错误；
则直线的一个方向向量为，D正确；
因为130，
所以（1，）不是直线的一个法向量，C错误．
故选：D．
5．（5分）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为18，F到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由上焦点F到下顶点的距离为18，得a+c＝18①，
点F（0，c）到渐近线，即ax﹣by＝0的距离②
又c2＝a2+b2③，联立①②③解得：a＝8，c＝10，b＝6，
所以．
故选：B．
6．（5分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2＝1相交于A，B两点，且∠AOB＝60°（其中O为原点），则k的值为（ ）
A．或B．C．或D．
【解答】解：∵y＝kx+1与圆x2+y2＝1相交于点（0，1），设A（0，1），
又∵∠AOB＝60°，∴圆心（0，0）到直线的距离d，
解得，k＝±，
故选：A．
7．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA⊥MB，则k＝（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：如图，取AB的中点N，分别过A，B作准线l的垂线垂足点分别为E，F，
则N到准线的距离d（|AE|+|BF|）（|AF|+|BF|）|AB|，
∴以AB为直径的圆与准线l相切，又MA⊥MB，
∴切点为M，又M为（﹣2，2），
∴N点纵坐标为2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2yN＝4，
又点A，B在抛物线C：y2＝8x上，
∴，∴，
∴k2，
故选：D．
8．（5分）设椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足•0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，1）C．[，1]D．[1，1）
【解答】解：作出椭圆的左焦点F'，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF'为平行四边形，
又•0，
即FA⊥FB，故平行四边形AFBF'为矩形，
∴|AB|＝|FF'|＝2c，
设AF'＝n，AF＝m，
则在直角三角形ABF中，m+n＝2a，m2+n2＝4c2，①
得mn＝2b2，②
①÷②得，令t，得t，
又由|FB|≤|FA|≤2|FB|，得t∈[1，2]，
∴t∈[2，]，即∈[1，]
即1，得1，
即1，
即1≤1，
则2，
即，得e
得e
则椭圆的离心率的取值范围是[，]，
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知双曲线，下列对双曲线C的判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍
B．焦距为4
C．离心率为
D．渐近线方程为
【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，且b＝1，a，c＝2，渐近线方程为y＝±x．
对于A，实轴长是2，虚轴长是2，故错；
对于B，焦距为2c＝4，故正确；
对于C，离心率e，故错；
对于D，渐近线方程为y，即，故正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1an，则（ ）
A．{an}是递减数列
B．an≥n
C．
D．
【解答】解：对A选项，∵，又当an＝0时，与a1＝1矛盾，故an≠0，即，
∴该数列递增数列，∴A选项错误；
对B选项，∵，
根据A知：，即，an≥n，∴B选项正确；
对C选项，∵，由，可得，
∴（当n＝1或2时取得等号），
∴，∴C选项错误；
对D选项，由，可得，
即，
∴，
又，∴，
∴，∴D选项正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）已知A（﹣1，0），B（1，0），直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为k1，k2则（ ）
A．当k1⋅k2＝﹣2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B．当k1⋅k2＝2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C．当k1﹣k2＝2时，P点的轨迹为抛物线
D．当时，P点的轨迹为一条直线
【解答】解：设P的坐标（x，y），
A中，当k1⋅k2＝﹣2时，即•2（x≠±1），整理可得：x21，（x≠±1），所以P的轨迹为除去A，B两点的椭圆，所以A正确；
B中，当k1⋅k2＝2时，即•2，（x≠±1），整理可得：x21，（x≠±1），所以P的轨迹为除去A，B两点的双曲线，所以B正确；
C中，当k1﹣k2＝2时，即2，（x≠±1），整理可得x2＝﹣y+1，（x≠±1），所以P的轨迹为除去A，B两点的抛物线，所以C不正确；
D中，2，即k1＝2k2，k2≠0，即2•2，（x≠±1，且y≠0），整理可得x＝﹣3，（y≠0），所以P的轨迹为去掉（﹣3，0）点且与x轴垂直的直线，所以D不正确；
故选：AB．
（多选）12．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1（含边界）内有一动点P，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则存在非零向量使
【解答】解：对于A，，
则（1﹣n）nn（）⇒n（）⇒n，
从而可知点P在线段BA1上，由于B1D1不垂直侧面ABB1A1，故不成立，故A错误；
对于B，易证A1C1⊥B1D，BC1⊥B1D，从而可知B1D⊥平面A1BC1，
由，可知点P在线段BA1上，因此B1D⊥C1P，所以，故B正确；
对于C，•（）•（）
•（）（）•（）
（）•（2）
（•2••2•）
（0+0﹣4+0），故C正确；
对于D，设λμ，
所以•（λμ）•
（λμ）•（2）
（λ•2λ•μ•2μ•）
（0+0﹣4μ+0）＝﹣2μ＝﹣1，得μ，从而可知不会是零向量，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若向量，，则与夹角的正弦值为 ．
【解答】解：向量，，
∴cs，
则与夹角的正弦值为：．
故答案为：．
14．（5分）数列{an}中，an+1＝3an.前99项的和S99＝52，则a3+a6+a9+⋯+a99＝ 36 ．
【解答】解：∵an+1＝3an，∴数列{an}为等比数列，且q＝3，
∵前99项的和S99＝（a1+a4+•••+a97）+（a2+a5+•••+a98）+（a3+a6+•••+a99）
＝（1）（a3+a6+a9+⋯+a99）（a3+a6+a9+⋯+a99）＝52，
∴a3+a6+a9+⋯+a99＝36，
故答案为：36．
15．（5分）已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣6）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是 6 ．
【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，
如图所示：
利用抛物线的定义知：|MP|＝|MF|，
当A，M，P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小．
即CM⊥x轴，
此时|MA|+|MF|＝|AP|＝|CP|﹣1＝7﹣1＝6，
故答案为：6．
16．（5分）已知A（2，0）、B（8，0）、C（4，2），且动点P满足，则2|PC|+|PB|取得最小值时，点P的坐标是 ．
【解答】解：已知A（2，0）、B（8，0）、C（4，2），且动点P满足，
设点P（x，y），
所以，整理得x2+y2＝16；
由于2|PC|+|PB|＝2|PC|+2|PA|＝2（|PC|+|PA|）；
所以当A、P、C三点共线时，即点P在直线AC上时，2|PC|+|PB|取得最小值；
如图所示：
直线AC的方程为y＝x﹣2；
由，解得或，
由于点P在线段AC上，故点P．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量（1，5，﹣1），（﹣2，3，5）．
（1）若（k）∥（3），求k的值；
（2）以坐标原点O为起点作，，求点O到直线AB的距离d．
【解答】解：（1），
，
∵，
∴，即﹣4k+8＝35k+21，
解得．
（2）由条件知A（1，5，﹣1），B（﹣2，3，5），
∴，
，
故在上的投影为，又，
∴点O到直线AB的距离．
18．（12分）已知圆C过点，，且圆心在x轴上．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：mx﹣y+1＝0与圆C相交于A，B两点，若MA⊥MB，求实数m的值．
【解答】解：（1）设圆C的半径为r，圆心C（a，0），
由题意得解得
∴圆C的方程为（x+2）2+y2＝9．
（2）∵点M在圆上，且MA⊥MB，
∴直线l过圆心C（﹣2，0），∴﹣2m﹣0+1＝0，解得．
19．（12分）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB＝2EB，
∴O是线段BF与CE的中点，OH∥BC且，
在图1中AG∥BC且且EF＝BC，
所以在图2中，AG∥BC且，∴AG∥OH且AG＝OH，
∴四边形AOHG是平行四边形，则AO∥HG，
由于AO⊄平面GCF，HG⊂平面GCF，
∴AO∥平面GCF．
解：（2）由图1，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在图2中仍有EF⊥AE，EF⊥BE，
∴∠AEB即为二面角A﹣EF﹣B的平面角，∴∠AEB＝120°，
以E为坐标原点，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系E﹣xyz如图，且设CB＝2EB＝2EA＝4，
则，
∴，
设平面GCF的一个法向量，
由，得，取，则z＝2，
于是平面GCF的一个法向量，
∴，
∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn+1＝3Sn+1（n∈N*）；等差数列{bn}前n项和为Tn满足T7＝49，b5＝9．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前n项和．
【解答】解：（1）a1＝1且Sn+1＝3Sn+1（n∈N*），
可得S2＝a1+a2＝3a1+1＝4，解得a2＝3，
由Sn+1＝3Sn+1，可得Sn＝3Sn﹣1+1（n≥2），
两式相减可得an+1＝Sn+1﹣Sn＝3Sn﹣3Sn﹣1＝3an，
上式对n＝1也成立，
所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
则an＝3n﹣1；
设等差数列{bn}的公差为d，
由T7＝49，b5＝9，可得7b1+21d＝49，b1+4d＝9，
解得b1＝1，d＝2，则bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）（2n﹣1）[（）n﹣1]
＝（2n﹣1）•（）n﹣1，
设Rn＝1•1+3•（）+5•...+（2n﹣1）•（）n﹣1，
（）Rn＝1•（）+3•5•（）+...+（2n﹣1）•（）n，
两式相减可得Rn＝1+2[...+（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n
＝1+2•（2n﹣1））•（）n，
化简可得Rn•（）n﹣1；
设，
所以数列{cn}的前n项和为Rn+Mn•（）n﹣13．
21．（12分）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中v0（单位：米/秒）是信号传播的速度．
（1）以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位，建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程；
（2）若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
【解答】解：（1）依题意可得，
∴P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
又，
∴点P的轨迹方程为；
（2）∵直线l的方程为y＝x，即x﹣y＝0，
设与直线l的距离为的平行直线的方程为x﹣y+t＝0，
∴，
∴与直线l的距离为的平行直线的方程为或，
双曲线的渐近线为，
直线，即，斜率为1，过点，，
所以直线与P点的轨迹没有公共点．
直线，即，
由，消去y并化简得，
，
∴直线与P点的轨迹没有公共点，
综上所述，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，没有被抓风险．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆Ω截直线x＝1所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线l1、l2，直线l1与椭圆Ω交于A、B两点，直线l2与椭圆Ω交于C、D两点，AB、CD的中点分别为E、F．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；
（3）求四边形ABCD面积S的最小值．
【解答】解：（1）由题意得椭圆C过点，
∴，
解得a＝2，b＝1，，
∴；
（2）证明：1°当直线l1、l2斜率均存在且不为0时，
设，A（x1，y1），B（x2，y2），
则，C（x3，y3），D（x4，y4），
由，Δ＝16m2+16＞0，
得，，
∴，
由，，
得，，
可得；
①当m≠±1时，
直线EF的斜率为，
直线EF的方程为，
化简得，过定点，
②当m＝±1时，
直线EF的方程为，过点；
2°当直线l1、l2斜率一个不存在一个为0时，AB、CD的中点坐标分别为（0，0）、时，
直线EF的方程为lEF：y＝0，过点，
综上，直线EF恒过定点；
（3）当直线l1或l2斜率一个不存在一个为0时，，
当直线l1、l2斜率均存在时且不为0时，
由（2）得，，
∴，
当且仅当即m＝±1时等号成立，
综上，四边形ABCD面积S的最小值为．942