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2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|1
2. 已知复数z=2+i2−i−i，其中i为虚数单位，则复数z的实部与虚部之和为( )
A. −15 B. 15 C. 25 D. 35
3. 若向量a，b满足a=(−4,3)，b=(5,12)，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. (−6465,4865) B. (−6425,4825) C. (6425,−4825) D. (6465,−4865)
4. 若不等式mx2+mx−4<2x2+2x−1对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是( )
A. (−2,2) B. (−10,2]
C. (−∞,−2)∪[2，+∞) D. (−∞,−2)
5. 今天是星期四，经过62023天后是星期( )
A. 二 B. 三 C. 四 D. 五
6. (x+y)2(x−2y)4的展开式中x2y4的系数为( )
A. 88 B. 104 C. −40 D. −24
7. 设随机变量X～N(3,σ2)，若P(X>m)=0.3，则P(X≥6−m)=( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
8. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 60种 B. 78种 C. 84种 D. 144种
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若g(x)是定义域为R的奇函数，且g(x+π)是偶函数，g(−π)=−1，则可以选择g(x)=sinx2，由此计算出结果.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(0)=1，f(x+3)是奇函数，则( )
A. f(−9)=0 B. f(6)=0 C. f(18)=−1 D. f(24)=1
10. 双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为e1，双曲线y2b2−x2a2=1的离心率为e2，则e1+e2的值不可能是( )
A. 3 B. 2 2 C. 145 D. 52
11. 若3x−3y<4−x−4−y，则下列结论正确的是( )
A. x< y B. xx−3
12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有( )
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.053
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为1553
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2053
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 计算C2n17−n+C13+n3n=______．
14. 已知(2−mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，若a3=40，则m= ______ ．
15. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为______ ．
16. 埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为20m的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为______ m2.(注：球壳厚度不计)．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知△ABC的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且cosB+C2=1−cosA．
(Ⅰ)求角A的值．
(Ⅱ)若△ABC的面积为3 3，且b+c=7(b>c)，求a的值．
18. (本小题12.0分)
列式并计算数值．
从A，B，C等8人中选出5人排成一排．
(1)A必须在内，有多少种排法？
(2)A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
(3)A，B，C都在内，且A，B必须都邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
(4)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间(第三位)，有多少种排法？
19. (本小题12.0分)
如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E=BF=13AA1．
(1)证明：平面CEF⊥平面ACC1A1；
(2)若AC=AE=2，求二面角E−CF−C1的余弦值．
20. (本小题12.0分)
设函数f(x)=ax2−2(a+1)x+b(a,b∈R)．
(1)若不等式f(x)<0的解集为(1,2)，求a，b的值；
(2)若b=4，求不等式f(x)>0的解集．
21. (本小题12.0分)
某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数.现该公司对收集的近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi(i=1,2,⋯,12)的数据作了初步处理，令u=x2，v=lny，经计算得到如下数据：
x−
y−
i=112(xi−x−)2
i=112(yi−y−)2
u−
v−
20
66
770
200
460
4.2
i=112(ui−u−)2
i=112(ui−u−)(yi−y−)
i=112(vi−v−)2
i=112(xi−x−)(vi−v−)
3125000
21500
0.308
14
(1)设u和y的样本相关系数为r1，x和v的样本相关系数为r2，请从样本相关系数(精确到0.01)的角度判断，哪个模型拟合效果更好；
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的非线性经验回归方程；
(ⅱ)若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x约为多少亿元？
参考数据为308=4×77， 90≈9.4868，e4.4998≈90．
相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2⋅ i=1n(yi−y−)2=i=1nxiyi−nx−y− i=1nxi2−nx−2⋅ i=1nyi2−ny−2．
22. (本小题12.0分)
某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：
理工迷
非理工迷
总计
男
24
36
60
女
12
28
40
总计
36
64
100
(1)根据α=0.010的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
(2)在人工智能中常用L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生是非理工迷”，B表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计L(B|A)的值．
(3)现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数X的概率分布列及数学期望．
参考数据与公式：
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={x|1
故选：B．
由A与B，求出A与B的交集即可．
本题主要考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得，z=2+i2−i−i=(2+i)2(2−i)(2+i)−i=3+4i5−i=3−i5，
所以实部为35，虚部为−15，实部与虚部之和为25．
故选：C．
利用复数的四则运算法则计算出z=3−i5，得到实部和虚部，得到答案．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设向量a与b的夹角为θ，
则cosθ=a⋅b|a||b|=(−4,3)⋅(5,12)5×13=1665,|a|=5,|b|=13，
则b在a上的投影向量为|b|cosθ|a|a=(−6425,4825)．
故选：B．
由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量b在向量a上的投影向量．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
mx2+mx−4<2x2+2x−1即(m−2)x2+(m−2)x−3<0，分m−2=0，m−2≠0两种情况讨论，m−2=0时易验证成立；当m−2≠0时，有m−2<0△=(m−2)2+12(m−2)<0，解出可得．
本题考查一元二次不等式的解法，不等式的恒成立问题，属基础题．
【解答】
解：mx2+mx−4<2x2+2x−1即(m−2)x2+(m−2)x−3<0，
当m−2=0，即m=2时，不等式为−3<0成立；
当m−2≠0时，有m−2<0△=(m−2)2+12(m−2)<0，解得−10
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：因为62023=(7−1)2023=C20230⋅72023+C20231⋅72022⋅(−1)+...+C20232022⋅7⋅(−1)2022+C20232023⋅(−1)2023
=C20230⋅72023+C20231⋅72022⋅(−1)+...+C20232022⋅7⋅(−1)2022−1
=C20230⋅72023+C20231⋅72022⋅(−1)+...+C20232022⋅7⋅(−1)2022−7+6，
所以展开式的前2024项都可以被7整除，6被7整除余6，
则经过62023天后星期三．
故选：B．
将已知化为62023=(7−1)2023，然后利用二项式定理展开，利用整除的性质以及周期的性质即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到整除以及周期的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
把(x+y)2和(x−2y)4，按照二项式定理展开，可得x2y4的系数．
【解答】
解：∵(x+y)2(x−2y)4=(x2+2xy+y2)(C40⋅x4−2C41⋅x3y+4C42⋅x2y2−8C43⋅xy3+16 C44⋅y4 )，
故它的展开式中x2y4的系数为16C44−2×8C43+4C42=−24，
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：∵随机变量X～N(3,σ2)，
∴x=3是该正态分布密度曲线的对称轴，
∴P(X≥6−m)=P(X≤m)=1−P(X>m)=1−0.3=0.7．
故选：D．
利用正态分布密度曲线关于x=μ对称的特点，可知x=m与x=6−m关于x=3对称，即可求出所求的概率．
本题考查正态分布密度曲线的性质，要注意密度曲线对称性的应用．属于基础题．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用．
根据题意，分2步进行分析：①将四门选修课程为3组，②将分好的三组安排在三年内选修，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2步进行分析：
①将四门选修课程分为3组，
若分为2、1、1的三组，有C42=6种分组方法，
若分为2、2、0的三组，有C42A22=3种分组方法，
若分为3、1、0的三组，有C43=4种分组方法
则一共有6+3+4=13种分组方法，
②将分好的三组安排在三年内选修，有A33=6种情况，
则有13×6=78种选修方式，
故选B．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(0)=1，f(x+3)是奇函数，
可选择f(x)=cosπ6x，
则f(−9)=cos(−9π6)=0，A正确；
f(6)=cosπ=−1，B错误；
f(18)=cos3π=−1，C正确；
f(24)=cos4π=1，D正确．
故选：ACD．
由已知结合常见三角函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角函数性质的应用，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：∵(e1+e2)2=e12+e22+2e1e2
=a2+b2a2+a2+b2b2+2× a2+b2a× a2+b2b
=2+b2a2+a2b2+2 a4+b4+2a2b2a2b2
=2+b2a2+a2b2+2 a2b2+b2a2+2
≥2+2+2 2+2=8，
当且仅当b2a2=a2b2即a=b时取等号，
∴e1+e2≥2 2．
故选：CD．
根据双曲线的离心率表示(e1+e2)2=2+b2a2+a2b2+2 a2b2+b2a2+2，利用基本不等式即可得出范围，求得所求范围．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：由3x−3y<4−x−4−y，变形得到3x−4−x<3y−4−y，
令f(x)=3x−4−x，显然f(x)在R上为增函数，
所以x
C选项，−x>−y，故2−y<2−x，C正确；
D选项，不妨设x=2，y=3，则3−3<2−3，
即y−3
将不等式变形后得到3x−4−x<3y−4−y，构造函数，根据函数的单调性得到x
12.【答案】BCD
【解析】解：记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，
则P(A|B1)=6%，P(A|B2)=P(A|B3)=5%，P(B1)=30%，P(B2)=30%，P(B3)=40%，
对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)=6%×30%=0.018，故A错误；
对于B，任取一个零件是次品的概率为P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=6%×30%+5%×30%+5%×40%=0.053，故B正确；
对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)=P(AB2)P(A)=P(A|B2)P(B2)P(A)=5%×30%0.053=1553，故C正确；
对于D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)=P(AB3)P(A)=P(A|B3)P(B3)P(A)=5%×40%0.053=2053，故D正确；
故选：BCD．
记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，则P(A|B1)=6%，P(A|B2)=P(A|B3)=5%，P(B1)=30%，P(B2)=30%，P(B3)=40%，再依次求选项中的概率即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
13.【答案】31
【解析】解：由题意可得0≤17−n≤2n，0≤3n≤13+n，解得173≤n≤132，
再由n∈Z可得n=6，
∴C2n17−n+C13+n3n=C1211+C1918=C121+C191=31，
故答案为31．
由题意可得0≤17−n≤2n，0≤3n≤13+n，结合n∈Z可得n=6，从而求得C2n17−n+C13+n3n 的值．
本题主要考查组合数及组合数的计算公式的应用，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：∵(2−mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
∴a3=C53×22×(−m)3=40，解得m=−1．
故答案为：−1．
由题意，根据二项式展开式的通项公式求出m的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
15.【答案】0.5
【解析】解：从10人中任选3人的事件个数为C103=10×9×83×2×1=120，
恰有1名男生2名女生的事件个数为C41C62=4×6×52×1=60，
则恰有1名男生2名女生的概率为60120=0.5．
故答案为：0.5．
根据古典概型求解即可．
略
16.【答案】800π
【解析】解：由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球．
如图所示，在正四棱锥S−ABCD中，A=SB=SC=SD=20，AB=BC=CD=DA=20，
O为其外接球的球心，连接AC与BD相交点于O′，连接AO，
O′为顶点S在底面ABCD上的投影，即为正方形ABCD的中心，
设球的半径为R，表面积为S，则在正方形ABCD中，
AO′=12AC=12 AB2+BC2=12 202+202=10 2，
在Rt△SO′A中，SO′= SA2−AO2= 202−(10 2)2，
则OO′=SO′−SO=10 2−R，在Rt△AO′O中，OA=R，OO′=10 2−R，AO′=10 2，
因为OA2=AO2+OO2，所以R2=(10 2)2+(10 2−R)2，
化简得400−20 2R=0，则R=10 2，
所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×(10 2)2=800π．
故答案为：800π．
由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值．
本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由cosB+C2=1−cosA，得cos(π2−A2)=1−cosA，即sinA2=2sin2A2，
∵sinA2≠0，
∴sinA2=12，
又A2∈(0,π2)，
∴A2=π6，故A=π3．
(Ⅱ)由△ABC面积S=12bcsinA=12bc× 32=3 3，得bc=12，
又b+c=7(b>c)，
∴b=4，c=3，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA=16+9−2×4×3×12=13，
∴a= 13．
【解析】(Ⅰ)由三角形内角和为π去掉B+C，二倍角公式化简可得sinA2=12，从而求出A=π3；
(Ⅱ)代入三角形面积公式可得bc=12，结合条件解出b，c，余弦定理求a．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，先在除A之外的7人中选出4人，再与A一起进行全排列，有C74A55=4200种排法，
(2)根据题意，先在8人中任选5人，要求A，B，C三人不全在内，有C85−C52=46种选法，
再将选出的5人排成一排，有A55=120种顺序，
则有46×120=5520种排法，
(3)根据题意，分3步进行分析：
①先在除A，B，C之外的5人中任选2人，排成一排，有A52=20种情况，
②2人排好后，有3个空位，将AB看成一个整体，按排其中一个空位，有3A22=6种情况，
③在剩下的2个空位中任选1个安排C，有2种情况，
有20×6×2=240种不同的排法，
(4)根据题意，分2种情况讨论：
①将B安排在排头或排尾，在除AB之外的其余6人中选出1人，与B安排在排头和排尾，再从剩下的6人中选出3人，安排在中间3个位置，
有2C61A63=1440种排法，
②没有将将B安排在排头或排尾，在除AB之外的其余6人中选出2人，安排在排头和排尾，中间有5种安排方法，再从剩下的5人中选出2人，安排在其他2个位置，
有5A62A52=3000种排法，
则有1440+3000=4440种不同的排法．
【解析】(1)根据题意，先在除A之外的7人中选出4人，再与A一起进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，
(2)根据题意，先在8人中任选5人，要求A，B，C三人不全在内，再将选出的5人排成一排，由分步计数原理计算可得答案，
(3)根据题意，分3步进行分析：①先在除A，B，C之外的5人中任选2人，排成一排，②2人排好后，有3个空位，将AB看成一个整体，按排其中一个空位，③在剩下的2个空位中任选1个安排C，由分步计数原理计算可得答案，
(4)根据题意，分2种情况讨论：①将B安排在排头或排尾，②没有将将B安排在排头或排尾，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：取BC的中点O，连接OA，
在正三棱柱ABC−A1B1C1中，不妨设AB=2a，AA1=3；
以O为原点，OB,OA分别为x轴和y轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则C(−a,0,0)，A(0, 3a,0),F(a,0,1),E(0, 3a,2)，
CF=(2a,0,1),CE=(a, 3a,2),CA=(a, 3a,0),CC1=(0,0,3)；
设平面ACC1A1的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，则m⋅CA=0m⋅CC1=0，
即ax1+ 3ay1=03z1=0，取y1=−1得m=( 3,−1,0)．
设平面CEF的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅CF=0n⋅CE=0，2ax+z=0ax+ 3ay+2z=0，
取x=−1，则y=− 3,z=2a，即n=(−1,− 3,2a)；
因为m⋅n=− 3+ 3=0，所以平面CEF⊥平面ACC1A1；
(2)解：因为AC=AE=2，由(1)可得a=1，即n=(−1,− 3,2)，
易知平面CFC1的一个法向量为OA=(0, 3,0)，
cos〈n,OA〉=n⋅OA|n||OA|=−3 8× 3=− 64；
二面角E−CF−C1的余弦值为 64．
【解析】(1)建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；
(2)求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=ax2−2(a+1)x+b(a,b∈R)，
由不等式f(x)<0的解集为(1,2)，得a>0，
且1和2是方程ax2−2(a+1)x+b=0的两根；
则2(a+1)a=1+2ba=1×2，
解得a=2，b=4；
(2)b=4时，不等式为ax2−2(a+1)x+4>0，
可化为(ax−2)(x−2)>0，则
当a=0时，不等式为−2(x−2)>0，解得x<2；
当a>0时，不等式化为(x−2a)(x−2)>0，
令2a=2，得a=1，
当a>1时，2a<2，解不等式得x<2a或x>2；
当a=1时，不等式为(x−2)2>0，解得x≠2；
当02，解不等式得x<2或x>2a；
当a<0时，不等式化为(x−2a)(x−2)<0，且2a<2，
解不等式得2a
当a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当0
当a<0时，不等式的解集为(2a,2)．
【解析】(1)由题意知1和2是方程ax2−2(a+1)x+b=0的两根，利用根与系数的关系列方程组求出a、b的值；
(2)b=4时不等式可化为(ax−2)(x−2)>0，讨论a=0和a>0、a<0时，分别求出不等式的解集即可．
本题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
21.【答案】解：(1)该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，
设u和y的样本相关系数为r1，x和v的样本相关系数为r2，
r1=i=112(ui−u−)(yi−y−) i=112(ui−u−)2 i=112(yi−y−)2=21500 3125000× 200=2150025000=0.86，
r2=i=112(xi−x−)(vi−v−) i=112(xi−x−)2 i=112(vi−v−)2=14 770× 0.308=1477×0.2=1011≈0.91，
因为|r1|<|r2|，所以从样本相关系数的角度判断，模型y=eλx+t的拟合效果更好；
(2)(i)先建立v关于x的经验回归方程，
由y=eλx+t，得lny=λx+t，即v=λx+t，
λ =i=112(xi−x−)(vi−v−)i=112(xi−x−)2=14770≈0.018，
t =v−−λ x−=4.2−0.018×20=3.84，
所以v关于x的经验回归方程为v =0.018x+3.84，
所以lny =0.018x+3.84，y关于x的非线性经验回归方程为y =e0.018x+3.84；
(ii)若下一年销售额y需达到90亿元，则由y =e0.018x+3.84，得90=e0.018x+3.84，
又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.018x+3.84，所以x≈4.4998−3.840.018≈36.66，
所以预测下一年的研发资金投入量约为36.66亿元．
【解析】(1)根据已知条件及上表中的数据，计算相关系数，再比较它们的大小即可求解；
(2)(i)先建立v关于x的线性回归方程，再转化为y关于x的回归方程；
(ii)利用回归方程计算y=90时x的值即可．
本题考查了样本相关系数和回归方程的计算，属于中档题．
22.【答案】解：(1)提出假设H0：“理工迷”与性别无关．
则K2=100(24×28−12×36)260×40×36×64=2524≈1.04，而1.04<6.635，
根据α=0.010的独立性检验，可以推断H0成立，所以认为理工迷与性别无关．
(2)因为L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)=P(AB)P(A)P(AB−)P(A)=P(AB)P(AB−)=n(AB)n(AB−)=3628=97，
所以估计L(B|A)的值为97．
(3)按照分层抽样，男生抽取2436×6=4人，女生抽取1236×6=2人，
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
所以P(X=1)=C41C22C63=15，P(X=2)=C42C21C63=35，P(X=3)=C43C20C63=15，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
15
35
15
则E(X)=1×15+2×35+3×15=2．
【解析】(1)计算出卡方，即可判断；
(2)根据条件概率公式计算可得；
(3)首先利用分层抽样求出男生、女生抽取的人数，则X的所有可能取值为1，2，3，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望相关知识，属于中档题．
2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|1
2. 已知复数z=2+i2−i−i，其中i为虚数单位，则复数z的实部与虚部之和为( )
A. −15 B. 15 C. 25 D. 35
3. 若向量a，b满足a=(−4,3)，b=(5,12)，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. (−6465,4865) B. (−6425,4825) C. (6425,−4825) D. (6465,−4865)
4. 若不等式mx2+mx−4<2x2+2x−1对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是( )
A. (−2,2) B. (−10,2]
C. (−∞,−2)∪[2，+∞) D. (−∞,−2)
5. 今天是星期四，经过62023天后是星期( )
A. 二 B. 三 C. 四 D. 五
6. (x+y)2(x−2y)4的展开式中x2y4的系数为( )
A. 88 B. 104 C. −40 D. −24
7. 设随机变量X～N(3,σ2)，若P(X>m)=0.3，则P(X≥6−m)=( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
8. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 60种 B. 78种 C. 84种 D. 144种
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若g(x)是定义域为R的奇函数，且g(x+π)是偶函数，g(−π)=−1，则可以选择g(x)=sinx2，由此计算出结果.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(0)=1，f(x+3)是奇函数，则( )
A. f(−9)=0 B. f(6)=0 C. f(18)=−1 D. f(24)=1
10. 双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为e1，双曲线y2b2−x2a2=1的离心率为e2，则e1+e2的值不可能是( )
A. 3 B. 2 2 C. 145 D. 52
11. 若3x−3y<4−x−4−y，则下列结论正确的是( )
A. x< y B. x
12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有( )
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.053
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为1553
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2053
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 计算C2n17−n+C13+n3n=______．
14. 已知(2−mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，若a3=40，则m= ______ ．
15. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为______ ．
16. 埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为20m的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为______ m2.(注：球壳厚度不计)．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知△ABC的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且cosB+C2=1−cosA．
(Ⅰ)求角A的值．
(Ⅱ)若△ABC的面积为3 3，且b+c=7(b>c)，求a的值．
18. (本小题12.0分)
列式并计算数值．
从A，B，C等8人中选出5人排成一排．
(1)A必须在内，有多少种排法？
(2)A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
(3)A，B，C都在内，且A，B必须都邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
(4)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间(第三位)，有多少种排法？
19. (本小题12.0分)
如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E=BF=13AA1．
(1)证明：平面CEF⊥平面ACC1A1；
(2)若AC=AE=2，求二面角E−CF−C1的余弦值．
20. (本小题12.0分)
设函数f(x)=ax2−2(a+1)x+b(a,b∈R)．
(1)若不等式f(x)<0的解集为(1,2)，求a，b的值；
(2)若b=4，求不等式f(x)>0的解集．
21. (本小题12.0分)
某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数.现该公司对收集的近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi(i=1,2,⋯,12)的数据作了初步处理，令u=x2，v=lny，经计算得到如下数据：
x−
y−
i=112(xi−x−)2
i=112(yi−y−)2
u−
v−
20
66
770
200
460
4.2
i=112(ui−u−)2
i=112(ui−u−)(yi−y−)
i=112(vi−v−)2
i=112(xi−x−)(vi−v−)
3125000
21500
0.308
14
(1)设u和y的样本相关系数为r1，x和v的样本相关系数为r2，请从样本相关系数(精确到0.01)的角度判断，哪个模型拟合效果更好；
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的非线性经验回归方程；
(ⅱ)若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x约为多少亿元？
参考数据为308=4×77， 90≈9.4868，e4.4998≈90．
相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2⋅ i=1n(yi−y−)2=i=1nxiyi−nx−y− i=1nxi2−nx−2⋅ i=1nyi2−ny−2．
22. (本小题12.0分)
某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：
理工迷
非理工迷
总计
男
24
36
60
女
12
28
40
总计
36
64
100
(1)根据α=0.010的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
(2)在人工智能中常用L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生是非理工迷”，B表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计L(B|A)的值．
(3)现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数X的概率分布列及数学期望．
参考数据与公式：
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={x|1
故选：B．
由A与B，求出A与B的交集即可．
本题主要考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得，z=2+i2−i−i=(2+i)2(2−i)(2+i)−i=3+4i5−i=3−i5，
所以实部为35，虚部为−15，实部与虚部之和为25．
故选：C．
利用复数的四则运算法则计算出z=3−i5，得到实部和虚部，得到答案．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设向量a与b的夹角为θ，
则cosθ=a⋅b|a||b|=(−4,3)⋅(5,12)5×13=1665,|a|=5,|b|=13，
则b在a上的投影向量为|b|cosθ|a|a=(−6425,4825)．
故选：B．
由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量b在向量a上的投影向量．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
mx2+mx−4<2x2+2x−1即(m−2)x2+(m−2)x−3<0，分m−2=0，m−2≠0两种情况讨论，m−2=0时易验证成立；当m−2≠0时，有m−2<0△=(m−2)2+12(m−2)<0，解出可得．
本题考查一元二次不等式的解法，不等式的恒成立问题，属基础题．
【解答】
解：mx2+mx−4<2x2+2x−1即(m−2)x2+(m−2)x−3<0，
当m−2=0，即m=2时，不等式为−3<0成立；
当m−2≠0时，有m−2<0△=(m−2)2+12(m−2)<0，解得−10
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：因为62023=(7−1)2023=C20230⋅72023+C20231⋅72022⋅(−1)+...+C20232022⋅7⋅(−1)2022+C20232023⋅(−1)2023
=C20230⋅72023+C20231⋅72022⋅(−1)+...+C20232022⋅7⋅(−1)2022−1
=C20230⋅72023+C20231⋅72022⋅(−1)+...+C20232022⋅7⋅(−1)2022−7+6，
所以展开式的前2024项都可以被7整除，6被7整除余6，
则经过62023天后星期三．
故选：B．
将已知化为62023=(7−1)2023，然后利用二项式定理展开，利用整除的性质以及周期的性质即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到整除以及周期的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
把(x+y)2和(x−2y)4，按照二项式定理展开，可得x2y4的系数．
【解答】
解：∵(x+y)2(x−2y)4=(x2+2xy+y2)(C40⋅x4−2C41⋅x3y+4C42⋅x2y2−8C43⋅xy3+16 C44⋅y4 )，
故它的展开式中x2y4的系数为16C44−2×8C43+4C42=−24，
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：∵随机变量X～N(3,σ2)，
∴x=3是该正态分布密度曲线的对称轴，
∴P(X≥6−m)=P(X≤m)=1−P(X>m)=1−0.3=0.7．
故选：D．
利用正态分布密度曲线关于x=μ对称的特点，可知x=m与x=6−m关于x=3对称，即可求出所求的概率．
本题考查正态分布密度曲线的性质，要注意密度曲线对称性的应用．属于基础题．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用．
根据题意，分2步进行分析：①将四门选修课程为3组，②将分好的三组安排在三年内选修，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2步进行分析：
①将四门选修课程分为3组，
若分为2、1、1的三组，有C42=6种分组方法，
若分为2、2、0的三组，有C42A22=3种分组方法，
若分为3、1、0的三组，有C43=4种分组方法
则一共有6+3+4=13种分组方法，
②将分好的三组安排在三年内选修，有A33=6种情况，
则有13×6=78种选修方式，
故选B．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(0)=1，f(x+3)是奇函数，
可选择f(x)=cosπ6x，
则f(−9)=cos(−9π6)=0，A正确；
f(6)=cosπ=−1，B错误；
f(18)=cos3π=−1，C正确；
f(24)=cos4π=1，D正确．
故选：ACD．
由已知结合常见三角函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角函数性质的应用，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：∵(e1+e2)2=e12+e22+2e1e2
=a2+b2a2+a2+b2b2+2× a2+b2a× a2+b2b
=2+b2a2+a2b2+2 a4+b4+2a2b2a2b2
=2+b2a2+a2b2+2 a2b2+b2a2+2
≥2+2+2 2+2=8，
当且仅当b2a2=a2b2即a=b时取等号，
∴e1+e2≥2 2．
故选：CD．
根据双曲线的离心率表示(e1+e2)2=2+b2a2+a2b2+2 a2b2+b2a2+2，利用基本不等式即可得出范围，求得所求范围．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：由3x−3y<4−x−4−y，变形得到3x−4−x<3y−4−y，
令f(x)=3x−4−x，显然f(x)在R上为增函数，
所以x
C选项，−x>−y，故2−y<2−x，C正确；
D选项，不妨设x=2，y=3，则3−3<2−3，
即y−3
将不等式变形后得到3x−4−x<3y−4−y，构造函数，根据函数的单调性得到x
12.【答案】BCD
【解析】解：记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，
则P(A|B1)=6%，P(A|B2)=P(A|B3)=5%，P(B1)=30%，P(B2)=30%，P(B3)=40%，
对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)=6%×30%=0.018，故A错误；
对于B，任取一个零件是次品的概率为P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=6%×30%+5%×30%+5%×40%=0.053，故B正确；
对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)=P(AB2)P(A)=P(A|B2)P(B2)P(A)=5%×30%0.053=1553，故C正确；
对于D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)=P(AB3)P(A)=P(A|B3)P(B3)P(A)=5%×40%0.053=2053，故D正确；
故选：BCD．
记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，则P(A|B1)=6%，P(A|B2)=P(A|B3)=5%，P(B1)=30%，P(B2)=30%，P(B3)=40%，再依次求选项中的概率即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
13.【答案】31
【解析】解：由题意可得0≤17−n≤2n，0≤3n≤13+n，解得173≤n≤132，
再由n∈Z可得n=6，
∴C2n17−n+C13+n3n=C1211+C1918=C121+C191=31，
故答案为31．
由题意可得0≤17−n≤2n，0≤3n≤13+n，结合n∈Z可得n=6，从而求得C2n17−n+C13+n3n 的值．
本题主要考查组合数及组合数的计算公式的应用，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：∵(2−mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
∴a3=C53×22×(−m)3=40，解得m=−1．
故答案为：−1．
由题意，根据二项式展开式的通项公式求出m的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
15.【答案】0.5
【解析】解：从10人中任选3人的事件个数为C103=10×9×83×2×1=120，
恰有1名男生2名女生的事件个数为C41C62=4×6×52×1=60，
则恰有1名男生2名女生的概率为60120=0.5．
故答案为：0.5．
根据古典概型求解即可．
略
16.【答案】800π
【解析】解：由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球．
如图所示，在正四棱锥S−ABCD中，A=SB=SC=SD=20，AB=BC=CD=DA=20，
O为其外接球的球心，连接AC与BD相交点于O′，连接AO，
O′为顶点S在底面ABCD上的投影，即为正方形ABCD的中心，
设球的半径为R，表面积为S，则在正方形ABCD中，
AO′=12AC=12 AB2+BC2=12 202+202=10 2，
在Rt△SO′A中，SO′= SA2−AO2= 202−(10 2)2，
则OO′=SO′−SO=10 2−R，在Rt△AO′O中，OA=R，OO′=10 2−R，AO′=10 2，
因为OA2=AO2+OO2，所以R2=(10 2)2+(10 2−R)2，
化简得400−20 2R=0，则R=10 2，
所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×(10 2)2=800π．
故答案为：800π．
由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值．
本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由cosB+C2=1−cosA，得cos(π2−A2)=1−cosA，即sinA2=2sin2A2，
∵sinA2≠0，
∴sinA2=12，
又A2∈(0,π2)，
∴A2=π6，故A=π3．
(Ⅱ)由△ABC面积S=12bcsinA=12bc× 32=3 3，得bc=12，
又b+c=7(b>c)，
∴b=4，c=3，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA=16+9−2×4×3×12=13，
∴a= 13．
【解析】(Ⅰ)由三角形内角和为π去掉B+C，二倍角公式化简可得sinA2=12，从而求出A=π3；
(Ⅱ)代入三角形面积公式可得bc=12，结合条件解出b，c，余弦定理求a．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，先在除A之外的7人中选出4人，再与A一起进行全排列，有C74A55=4200种排法，
(2)根据题意，先在8人中任选5人，要求A，B，C三人不全在内，有C85−C52=46种选法，
再将选出的5人排成一排，有A55=120种顺序，
则有46×120=5520种排法，
(3)根据题意，分3步进行分析：
①先在除A，B，C之外的5人中任选2人，排成一排，有A52=20种情况，
②2人排好后，有3个空位，将AB看成一个整体，按排其中一个空位，有3A22=6种情况，
③在剩下的2个空位中任选1个安排C，有2种情况，
有20×6×2=240种不同的排法，
(4)根据题意，分2种情况讨论：
①将B安排在排头或排尾，在除AB之外的其余6人中选出1人，与B安排在排头和排尾，再从剩下的6人中选出3人，安排在中间3个位置，
有2C61A63=1440种排法，
②没有将将B安排在排头或排尾，在除AB之外的其余6人中选出2人，安排在排头和排尾，中间有5种安排方法，再从剩下的5人中选出2人，安排在其他2个位置，
有5A62A52=3000种排法，
则有1440+3000=4440种不同的排法．
【解析】(1)根据题意，先在除A之外的7人中选出4人，再与A一起进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，
(2)根据题意，先在8人中任选5人，要求A，B，C三人不全在内，再将选出的5人排成一排，由分步计数原理计算可得答案，
(3)根据题意，分3步进行分析：①先在除A，B，C之外的5人中任选2人，排成一排，②2人排好后，有3个空位，将AB看成一个整体，按排其中一个空位，③在剩下的2个空位中任选1个安排C，由分步计数原理计算可得答案，
(4)根据题意，分2种情况讨论：①将B安排在排头或排尾，②没有将将B安排在排头或排尾，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：取BC的中点O，连接OA，
在正三棱柱ABC−A1B1C1中，不妨设AB=2a，AA1=3；
以O为原点，OB,OA分别为x轴和y轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则C(−a,0,0)，A(0, 3a,0),F(a,0,1),E(0, 3a,2)，
CF=(2a,0,1),CE=(a, 3a,2),CA=(a, 3a,0),CC1=(0,0,3)；
设平面ACC1A1的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，则m⋅CA=0m⋅CC1=0，
即ax1+ 3ay1=03z1=0，取y1=−1得m=( 3,−1,0)．
设平面CEF的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅CF=0n⋅CE=0，2ax+z=0ax+ 3ay+2z=0，
取x=−1，则y=− 3,z=2a，即n=(−1,− 3,2a)；
因为m⋅n=− 3+ 3=0，所以平面CEF⊥平面ACC1A1；
(2)解：因为AC=AE=2，由(1)可得a=1，即n=(−1,− 3,2)，
易知平面CFC1的一个法向量为OA=(0, 3,0)，
cos〈n,OA〉=n⋅OA|n||OA|=−3 8× 3=− 64；
二面角E−CF−C1的余弦值为 64．
【解析】(1)建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；
(2)求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=ax2−2(a+1)x+b(a,b∈R)，
由不等式f(x)<0的解集为(1,2)，得a>0，
且1和2是方程ax2−2(a+1)x+b=0的两根；
则2(a+1)a=1+2ba=1×2，
解得a=2，b=4；
(2)b=4时，不等式为ax2−2(a+1)x+4>0，
可化为(ax−2)(x−2)>0，则
当a=0时，不等式为−2(x−2)>0，解得x<2；
当a>0时，不等式化为(x−2a)(x−2)>0，
令2a=2，得a=1，
当a>1时，2a<2，解不等式得x<2a或x>2；
当a=1时，不等式为(x−2)2>0，解得x≠2；
当0
当a<0时，不等式化为(x−2a)(x−2)<0，且2a<2，
解不等式得2a
当a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当0
当a<0时，不等式的解集为(2a,2)．
【解析】(1)由题意知1和2是方程ax2−2(a+1)x+b=0的两根，利用根与系数的关系列方程组求出a、b的值；
(2)b=4时不等式可化为(ax−2)(x−2)>0，讨论a=0和a>0、a<0时，分别求出不等式的解集即可．
本题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
21.【答案】解：(1)该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，
设u和y的样本相关系数为r1，x和v的样本相关系数为r2，
r1=i=112(ui−u−)(yi−y−) i=112(ui−u−)2 i=112(yi−y−)2=21500 3125000× 200=2150025000=0.86，
r2=i=112(xi−x−)(vi−v−) i=112(xi−x−)2 i=112(vi−v−)2=14 770× 0.308=1477×0.2=1011≈0.91，
因为|r1|<|r2|，所以从样本相关系数的角度判断，模型y=eλx+t的拟合效果更好；
(2)(i)先建立v关于x的经验回归方程，
由y=eλx+t，得lny=λx+t，即v=λx+t，
λ =i=112(xi−x−)(vi−v−)i=112(xi−x−)2=14770≈0.018，
t =v−−λ x−=4.2−0.018×20=3.84，
所以v关于x的经验回归方程为v =0.018x+3.84，
所以lny =0.018x+3.84，y关于x的非线性经验回归方程为y =e0.018x+3.84；
(ii)若下一年销售额y需达到90亿元，则由y =e0.018x+3.84，得90=e0.018x+3.84，
又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.018x+3.84，所以x≈4.4998−3.840.018≈36.66，
所以预测下一年的研发资金投入量约为36.66亿元．
【解析】(1)根据已知条件及上表中的数据，计算相关系数，再比较它们的大小即可求解；
(2)(i)先建立v关于x的线性回归方程，再转化为y关于x的回归方程；
(ii)利用回归方程计算y=90时x的值即可．
本题考查了样本相关系数和回归方程的计算，属于中档题．
22.【答案】解：(1)提出假设H0：“理工迷”与性别无关．
则K2=100(24×28−12×36)260×40×36×64=2524≈1.04，而1.04<6.635，
根据α=0.010的独立性检验，可以推断H0成立，所以认为理工迷与性别无关．
(2)因为L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)=P(AB)P(A)P(AB−)P(A)=P(AB)P(AB−)=n(AB)n(AB−)=3628=97，
所以估计L(B|A)的值为97．
(3)按照分层抽样，男生抽取2436×6=4人，女生抽取1236×6=2人，
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
所以P(X=1)=C41C22C63=15，P(X=2)=C42C21C63=35，P(X=3)=C43C20C63=15，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
15
35
15
则E(X)=1×15+2×35+3×15=2．
【解析】(1)计算出卡方，即可判断；
(2)根据条件概率公式计算可得；
(3)首先利用分层抽样求出男生、女生抽取的人数，则X的所有可能取值为1，2，3，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望相关知识，属于中档题．
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