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2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市重点校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市重点校联考高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,1,2}，B={x|x2=x}，则A∩B=( )
A. {−1}B. {1}C. {−1,1}D. {−1,0,1,2}
2.已知复数z=1+i(1−i)2，则z的虚部是( )
A. −12B. 12C. −12iD. 12i
3.已知角α的终边上有一点P(1,3)，则sin(π−α)sin(3π2+α)的值为( )
A. 3B. −3C. 1D. −1
4.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A. a⊂α，b⊂β，α//βB. a⊥α，b⊥β，α//β
C. a⊥α，b//β，α⊥βD. a⊥α，b⊥β，α⊥β
5.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=( )
A. 34AB+14ADB. 14AB+34ADC. 12AB+ADD. 34AB+12AD
6.已知圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为上底面圆弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成角的余弦值为( )
A. 66B. 55C. 306D. 33
7.已知OA，OB，OC均为单位向量，OA+2OB+2OC=0，则BA⋅BC的值为( )
A. 38B. 58C. 78D. 158
8.如图为函数y=sin(2x−π3)的图象，P，R，S为图象与x轴的三个交点，Q为函数图象在y轴右侧部分上的第一个最大值点，则(QP+QR)⋅(QR+QS)的值为( )
A. π−2B. π+4C. π2−2D. π2+4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下结论正确的有( )
A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等
C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大
D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
10.以下命题正确的是( )
A. 3+2i>1+i
B. i+i2+i3+i4=0
C. 若复数z满足z=−3+4i，则z对应的点在第四象限
D. a=0是复数z=a+bi(a∈R,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的有( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有一解
C. 已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB= 3，AC= 2，M为BC上一点，且有BM=2MC，AM⋅AO=67
D. 若△ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是AD1的中点，点Q是直线CD1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. △PBD是直角三角形
B. 异面直线PD与CD1所成的角为π3
C. 当AB的长度为定值时，三棱锥D−PBQ的体积为定值
D. 平面PBD⊥平面ACD1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a与b的夹角为π3，|a|=1，a⋅(a+b)=2，则|b|=______．
14.已知向量a=(1,2),b=(4,3)，则向量a在向量b的方向上的投影向量为______.(结果用坐标表示)
15.已知函数f(x)=t⋅x2−2x+3t，若∀x∈(0,1)，f(x)>0恒成立，则实数t的取值范围是______．
16.如图，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2AcsA= 3ab．
(1)求B；
(2)若a=2c，△ABC的面积为9 32，求b．
18.(本小题12分)
已知向量a=(−2,2)，b=(4,3)．
(1)若向量a//c，且|c|=3 2，求c的坐标；
(2)若向量a+kb与a−kb互相垂直，求实数k的值．
19.(本小题12分)
已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2 3．
(1)求圆锥的底面积；
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积．
20.(本小题12分)
如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=π6，点E，F的直径AB上，且∠ABC=π6．
(1)若CE= 13，求AE的长；
(2)设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−exex+a是定义域为R的奇函数．
(1)求a的值；
(2)若对∀x∈[1,2]，不等式f(2x+1−4x)+f(1−m)>0恒成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC−DEF中，∠ACB=90°，BF⊥AD，BC=2，BE=EF=FC=1．
(1)求证：平面BCFE⊥平面ABC；
(2)若直线AE与平面BCFE所成角为π3，求平面DEC和平面ABC所成角的正切值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={−1,1,2}，B={x|x2=x}={0,1}，
则A∩B={1}．
故选：B．
求出集合B，利用交集定义能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=1+i(1−i)2=1+i−2i=i−12，
则z的虚部是12．
故选：B．
结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的基本概念即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及基本概念，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：依题意得tanα=yx=3，
则sin(π−α)sin(3π2+α)=sinα−csα=−tanα=−3．
故选：B．
首先求出tanα的值，然后将所求的式子利用诱导公式进行化简，然后可得答案．
本题主要考查了三角函数定义及诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了空间中线线、线面与面面的位置关系，属于基础题．
根据线线、线面与面面的位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可．
【解答】
解：对于A，a⊂α，b⊂β，α//β，则a与b可能平行或异面，故A不符合题意；
对于B，a⊥α，b⊥β，α//β，可得a//b，故B不符合题意；
对于C，a⊥α，b//β，α⊥β，则a与b可能平行，相交或异面，故C不符合题意；
对于D，a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b，故D符合题意．
故选D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题．
根据题意得：AF=12(AC+AE)，结合向量加法的平行四边形法则及平面向量的基本运算可求．
【解答】
解：根据题意得：AF=12(AC+AE)，
又AC=AB+AD，AE=12AB，
所以AF=12(AB+AD+12AB)=34AB+12AD．
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：设上下底面圆的圆心分别为F和O，连接OF，OE，EF，则OF⊥EF，
设轴截面正方形ABCD边长为2，则OF=2，EF=1，
在Rt△OEF中，OE2=OF2+EF2=4+12=5，所以OE= 5，
因为AB//CD，所以∠ODE或其补角即为异面直线DE与AB所成的角，
在Rt△DOE中，OD=1，DE2=OE2+OD2=5+1=6，DE= 6，
cs∠ODE=ODDE=1 6= 66，
所以异面直线DE与AB所成角的余弦值为 66．
故选：A．
设上下底面圆的圆心分别为F和O，连接OF，OE，EF，由AB//CD，知∠ODE或其补角即为所求，再由平面几何知识，推出cs∠ODE= 66即可．
本题考查异面直线夹角的求法，利用平移思想，找出异面直线所成角是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：由于OA、OB、OC均为单位向量，则|OA|=|OB|=|OC|=1，
由OA+2OB+2OC=0可得2OB+2OC=−OA，所以4(OB+OC)2=OA2，
即4(OB2+OC2+2OB⋅OC)=1，所以OB⋅OC=−78，
由OA+2OB+2OC=0，可得OA+2OC=−2OB，所以(OA+2OC)2=4OB2，
即OA2+4OC2+4OA⋅OC=4，所以OA⋅OC=−14，
由OA+2OB+2OC=0，可得OA+2OB=−2OC，所以(OA+2OB)2=4OC2，
即OA2+4OB2+4OA⋅OB=4，所以OA⋅OB=−14，
则BA⋅BC=(OA−OB)⋅(OC−OB)=OA⋅OC−OA⋅OB−OC⋅OB+OB2
=−14+14+78+1=158．
故选：D．
由OA+2OB+2OC=0得出2OB+2OC=−OA，可得出4(OB+OC)2=OA2，可计算出OB⋅OC的值，同理求得OA⋅OC,OA⋅OB，再根据BA⋅BC=(OA−OB)⋅(OC−OB)结合数量积的运算律即可得解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设PR的中点为A，RS的中点为B，
y=sin(2x−π3)中，令2x−π3=π2，解得x=5π12，所以Q(5π12,1)；
令2x−π3=π，解得x=2π3，所以A(2π3,0)；
同理R(7π6,0)，S(5π3,0)；
所以B(17π12,0)，QA=(π4,−1)，QB=(π,−1)；
所以(QP+QR)⋅(QR+QS)=2QA⋅2QB
=4QA⋅QB
=4[π4×π+(−1)(−1)]
=π2+4．
故选：D．
设PR的中点为A，RS的中点为B，求出点Q、A、B的坐标，
用坐标表示向量，再计算(QP+QR)⋅(QR+QS)的值．
本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：对A选项，∵侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，∴A选项正确；
对B选项，根据柱体的体积公式可得：等底面积、等高的两个柱体，体积相等，∴B选项正确；
对C选项，当圆锥的轴截面面积是顶角为钝角的等腰三角形时，轴截面面积不是最大，
此时当经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为等腰直角三角形时，截面面积最大，∴C选项错误；
对D选项，当其余四个面的等腰梯形的所有腰的延长线不交于同一点时，不是棱台，∴D选项错误．
故选：AB．
根据棱柱的概念，柱体的体积公式，圆锥的截面问题，棱台的概念，即可分别判断．
本题考查棱柱的概念，柱体的体积公式，圆锥的截面问题，棱台的概念，属基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：虚数不能比较大小，故A错误；
i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故B正确；
∵复数z满足z=−3+4i，∴z对应的点(−3,4)在第二象限，故C错误；
当a=0，b≠0时，z=a+bi为纯虚数，
故a=0是复数z=a+bi(a∈R,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件，故D正确．
故选：BD．
对于A，虚数不能比较大小；对于B，结合复数的运算法则，即可判断；对于C，结合复数的几何意义，即可判断；对于D，结合纯虚数的定义，即可判断．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：在三角形中，当A>B，由三角形的性质可知，a>b，
由正弦定理可知，2RsinA>2RsinB，整理可得sinA>sinB，故A正确；
asin30∘=bsinB⇒sinB=23，又因为b>a，所以B有两解，B错误；
因为△ABC的外接圆的圆心为O，所以AB⋅AO=|AB|⋅|AO|cs∠BAO=12|AB|2=32，
同理可得AC⋅AO=12|AC|2=1，
又因为AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC，
所以AM⋅AO=13AB⋅AO+23AC⋅AO=76，故C错误；
因为A+B+C=π，得A+B=π−C，且△ABC为斜三角形，
则tanA+tanB=tan(A+B)(1−tanAtanB)=tan(π−C)(1−tanAtanB)=−tanC+tanCtanAtanB，
所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故D正确．
故选：AD．
根据正弦定理即可判断A、B选项；根据三角形外接圆性质，结合向量基本定理将B项中数量积展开计算即可判断；根据三角形内角和代入D项中计算即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：连接A1B，A1D，可得P为A1D的中点，且△A1DB为等边三角形，可得PB⊥PD，即△PBD为直角三角形，故A正确；
由BC//A1D1，且BC=A1D1，可得四边形BCD1A1为平行四边形，即有A1B=D1C=DB=DA1，则异面直线PD与CD1所成的角为π3，故B正确；
当AB的长度为定值时，△PBD的面积为定值，由CD1//A1B，CD1⊄平面A1DB，A1B⊂平面A1DB，则CD1//平面A1DB，可得Q到平面A1BD的距离，
即Q到平面PBD的距离为定值，则三棱锥Q−PBD的体积为定值，即三棱锥D−PBQ的体积为定值，故C正确；
若平面PBD⊥平面ACD1，设AC与BD交于点Q，连接PQ，可得PQ为平面ACD1和平面A1BD的交线，过D作DH⊥PQ，垂足为H，
由面面垂直的性质定理可得DH⊥平面ACD1，而三棱锥D−D1AC为正三棱锥，D在底面上的射影为等边三角形ACD1的中心，显然矛盾，故D错误．
故选：ABC．
由等边三角形的性质可判断A；由异面直线所成角的定义可判断B；由等积法和棱锥的体积公式可判断C；由面面垂直的性质定理和正棱锥的性质可判断D．
本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，以及异面直线所成角和棱锥的体积，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：因为向量a与b的夹角为π3，|a|=1，a⋅(a+b)=2，
所以a2+a⋅b=2，所以|a||b|cs=1，即1×|b|csπ3=1，
解得|b|=2．
故答案为：2．
由数量积的运算及性质即可求解．
本题主要考查向量数量积的性质及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】(85,65)
【解析】解：a=(1,2),b=(4,3)，
a⋅b=10，|b|= 32+42=5，
则向量a在向量b的方向上的投影向量a⋅b|b|×b|b|=25(4,3)=(85,65)．
故答案为：(85,65)．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
15.【答案】[12,+∞)
【解析】解：f(x)=t⋅x2−2x+3t，∀x∈(0,1)，f(x)>0⇒t>2xx2+3，t>2xx2+3x⇒t>2x+3x，
∵x+3x在(0,1)上递减，x+3x∈(4,+∞)，
∴t≥12．
故答案为：[12,+∞)．
由∀x∈(0,1)，f(x)>0，分离参数可得t>2xx2+3，再由函数单调性可求t的取值范围．
本题考查函数单调性相关知识，属于中档题．
16.【答案】 π2+9
【解析】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q，
使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，
令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为 π2+9．
故答案为： π2+9．
画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．
本题考查求曲面上最短路程问题，通常考虑侧面展开，考查转化思想，计算能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)由题干条件可知，csA≠0，
由正弦定理得2sinAcsAcsA= 3sinAsinB，
因为00，
所以sinB= 32．
因为0所以B=π3或2π3；
(2)由(1)可得sinB= 32，
所以S△ABC=12acsinB=12×2c×c× 32=9 32，
解得c=3，而a=2c，
所以a=6；
当B=π3时，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=27，
可得b=3 3．
可得a2=b2+c2，
所以A=π2，则csA=0，与题干矛盾，舍去，
当B=2π3时，由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=63，
可得b=3 7．
综上b=3 7．
【解析】(1)根据正弦定理即可求出结果；
(2)利用面积公式和余弦定理即可求出结果．
本题考查余弦定理及正弦定理的应用，分类讨论的思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵向量a=(−2,2)，b=(4,3)，向量a//c，且|c|=3 2，
可设c=(−2λ,2λ)，∵|c|=3 2= 4λ2+4λ2=2 2|λ|，求得λ=±32，
∴c=(−3,3)或(3,−3)．
(2)∵向量a+kb与a−kb互相垂直，∴(a+kb)⋅(a−kb)=a2−k2⋅b2=8−25k2=0，
∴实数k=±2 25．
【解析】本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量垂直的性质，属于基础题．
(1)由题意利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出向量c的坐标．
(2)由题意利用两个向量垂直的性质，用待定系数法求出k的值．
19.【答案】解：(1)如图，设OB=R，在半圆⊙A中，AB=2 3，
弧长BC=2 3π，则2πR=2 3π，
所以R= 3，
故圆锥的底面积为S圆锥=πR2=3π．
(2)设圆柱的高OO1=h，OD=r，
在Rt△AOB中，AO= AB2−OB2=3，
∵△AO1D1≌△AOB，
所以 AO1AO=O1D1OB，即 3−h3=r 3，h=3− 3r，
S圆柱侧面积=2πrh=2πr(3− 3r)=−2 3π(r2− 3r)
=−2 3π(r− 32)2+3 32π，
所以，当r= 32，h=32时，圆柱的侧面积最大，
此时V圆柱=πr2h=98π．
【解析】(1)设OB=R，利用展开图是半圆，求解R，然后求解底面积．
(2)设圆柱的高OO1=h，OD=r，通过△AO1D1≌△AOB，推出 AO1AO=O1D1OB，求解h与r，然后求解圆柱的体积的最大值即可．
本题考查结合体问题，结合体的体积的最值，圆锥的展开与圆锥的底面半径的关系，是中档题．
20.【答案】解：(1)由题意，△ACE中，AC=4，∠A=π3，CE= 13，
∴13=16+AE2−2×4×AE×12，
∴AE=1或3；
(2)由题意，∠ACE=α∈[0,π3]，∠AFC=π−∠A−∠ACF=π2−α．
在△ACF中，由正弦定理得CFsinA=ACsin∠CFA，∴CF=2 3csα；
在△ACE中，由正弦定理得CEsinA=ACsin∠AEC，∴CE=2 3sin(π3+α)，
该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，
S△CEF=12CE⋅CF⋅sin∠ECF =122sin(2α+π3)+ 3，
∵α∈[0,π3]，∴0≤sin(2α+π3)≤1，
∴α=π3时，S△CEF取最大值为4 3，该空地产生最大经济价值．
【解析】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)利用余弦定理，即可求AE的长；
(2)设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=12CE⋅CF⋅sin∠ECF，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
21.【答案】解：(1)由函数为奇函数且定义为R，∵f(−x)=−f(x)，
当x=0时，可得f(−0)=−f(0)，故f(0)=0，
则f(0)=a⋅e0−1e0+1=0，得a=1，
经检验a=1，符合题意，
故a=1；
(2)由(1)可知，函数f(x)=−1+2ex+1在[−1,0]上为减函数，
由f(2x+1−4x)+f(1−m)>0，
得f(2⋅2x−(2x)2)>−f(1−m)=f(m−1)，
所以2⋅2x−(2x)2设t=2x，t∈[2,4]，则t(2−t)又函数y=t⋅(2−t)=−(t−1)2+1图象是一条抛物线，开口向下，对称轴为t=1，
所以在t∈[2,4]上，y=t(2−t)=−(t−1)2+1≤0，
所以m−1>0，得m>1，
故实数m的取值范围(1,+∞)．
【解析】(1)根据奇函数的性质可得f(0)=0，计算即可求出a；
(2)利用函数的奇偶性和单调性解原不等式可得2⋅2x−(2x)2本题考查函数的奇偶性和函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
22.【答案】(1)证明：∵BE=EF=FC=1，BC=2，如图：
作EG⊥BC，FH⊥BC，则BH=32，HC=12，FC=1，
则FH= 32，则BF= ( 32)2+(32)2= 3，
由勾股定理BF2+FC2=BC2，可得BF⊥FC，又∵BF⊥AD，
∴BF⊥平面ADFC，∴BF⊥AC，又∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴AC⊥平面BCFE，∴平面BCFE⊥平面ABC；
(2)由(1)知直线AE与平面BCFE所成角为∠AEC，∴ACEC= 3，∴AC=3，
设平面DEC和平面ABC的交线为l，易知l//AB，
过点E作EG⊥BC于G，∴EG⊥平面ABC，EG= 32，
再过点G作GK⊥l于K，连结EK，∴∠EKG即为所求角，
GK=32sin∠BCK=32sin∠B=32×3 13=92 13，
∴tan∠EKG= 32×2 139= 399．
【解析】(1)证明BF⊥平面ADFC，AC⊥平面BCFE即可；(2)EG⊥平面ABC，∠EKG即为所求角，再求边的长度即可．
本题考查线面垂直，面面垂直，考查二面角，属于中档题．
1.已知集合A={−1,1,2}，B={x|x2=x}，则A∩B=( )
A. {−1}B. {1}C. {−1,1}D. {−1,0,1,2}
2.已知复数z=1+i(1−i)2，则z的虚部是( )
A. −12B. 12C. −12iD. 12i
3.已知角α的终边上有一点P(1,3)，则sin(π−α)sin(3π2+α)的值为( )
A. 3B. −3C. 1D. −1
4.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A. a⊂α，b⊂β，α//βB. a⊥α，b⊥β，α//β
C. a⊥α，b//β，α⊥βD. a⊥α，b⊥β，α⊥β
5.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=( )
A. 34AB+14ADB. 14AB+34ADC. 12AB+ADD. 34AB+12AD
6.已知圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为上底面圆弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成角的余弦值为( )
A. 66B. 55C. 306D. 33
7.已知OA，OB，OC均为单位向量，OA+2OB+2OC=0，则BA⋅BC的值为( )
A. 38B. 58C. 78D. 158
8.如图为函数y=sin(2x−π3)的图象，P，R，S为图象与x轴的三个交点，Q为函数图象在y轴右侧部分上的第一个最大值点，则(QP+QR)⋅(QR+QS)的值为( )
A. π−2B. π+4C. π2−2D. π2+4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下结论正确的有( )
A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等
C. 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大
D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
10.以下命题正确的是( )
A. 3+2i>1+i
B. i+i2+i3+i4=0
C. 若复数z满足z=−3+4i，则z对应的点在第四象限
D. a=0是复数z=a+bi(a∈R,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的有( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有一解
C. 已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB= 3，AC= 2，M为BC上一点，且有BM=2MC，AM⋅AO=67
D. 若△ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是AD1的中点，点Q是直线CD1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. △PBD是直角三角形
B. 异面直线PD与CD1所成的角为π3
C. 当AB的长度为定值时，三棱锥D−PBQ的体积为定值
D. 平面PBD⊥平面ACD1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a与b的夹角为π3，|a|=1，a⋅(a+b)=2，则|b|=______．
14.已知向量a=(1,2),b=(4,3)，则向量a在向量b的方向上的投影向量为______.(结果用坐标表示)
15.已知函数f(x)=t⋅x2−2x+3t，若∀x∈(0,1)，f(x)>0恒成立，则实数t的取值范围是______．
16.如图，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2AcsA= 3ab．
(1)求B；
(2)若a=2c，△ABC的面积为9 32，求b．
18.(本小题12分)
已知向量a=(−2,2)，b=(4,3)．
(1)若向量a//c，且|c|=3 2，求c的坐标；
(2)若向量a+kb与a−kb互相垂直，求实数k的值．
19.(本小题12分)
已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2 3．
(1)求圆锥的底面积；
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积．
20.(本小题12分)
如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=π6，点E，F的直径AB上，且∠ABC=π6．
(1)若CE= 13，求AE的长；
(2)设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−exex+a是定义域为R的奇函数．
(1)求a的值；
(2)若对∀x∈[1,2]，不等式f(2x+1−4x)+f(1−m)>0恒成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC−DEF中，∠ACB=90°，BF⊥AD，BC=2，BE=EF=FC=1．
(1)求证：平面BCFE⊥平面ABC；
(2)若直线AE与平面BCFE所成角为π3，求平面DEC和平面ABC所成角的正切值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={−1,1,2}，B={x|x2=x}={0,1}，
则A∩B={1}．
故选：B．
求出集合B，利用交集定义能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=1+i(1−i)2=1+i−2i=i−12，
则z的虚部是12．
故选：B．
结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的基本概念即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及基本概念，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：依题意得tanα=yx=3，
则sin(π−α)sin(3π2+α)=sinα−csα=−tanα=−3．
故选：B．
首先求出tanα的值，然后将所求的式子利用诱导公式进行化简，然后可得答案．
本题主要考查了三角函数定义及诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了空间中线线、线面与面面的位置关系，属于基础题．
根据线线、线面与面面的位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可．
【解答】
解：对于A，a⊂α，b⊂β，α//β，则a与b可能平行或异面，故A不符合题意；
对于B，a⊥α，b⊥β，α//β，可得a//b，故B不符合题意；
对于C，a⊥α，b//β，α⊥β，则a与b可能平行，相交或异面，故C不符合题意；
对于D，a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b，故D符合题意．
故选D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题．
根据题意得：AF=12(AC+AE)，结合向量加法的平行四边形法则及平面向量的基本运算可求．
【解答】
解：根据题意得：AF=12(AC+AE)，
又AC=AB+AD，AE=12AB，
所以AF=12(AB+AD+12AB)=34AB+12AD．
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：设上下底面圆的圆心分别为F和O，连接OF，OE，EF，则OF⊥EF，
设轴截面正方形ABCD边长为2，则OF=2，EF=1，
在Rt△OEF中，OE2=OF2+EF2=4+12=5，所以OE= 5，
因为AB//CD，所以∠ODE或其补角即为异面直线DE与AB所成的角，
在Rt△DOE中，OD=1，DE2=OE2+OD2=5+1=6，DE= 6，
cs∠ODE=ODDE=1 6= 66，
所以异面直线DE与AB所成角的余弦值为 66．
故选：A．
设上下底面圆的圆心分别为F和O，连接OF，OE，EF，由AB//CD，知∠ODE或其补角即为所求，再由平面几何知识，推出cs∠ODE= 66即可．
本题考查异面直线夹角的求法，利用平移思想，找出异面直线所成角是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：由于OA、OB、OC均为单位向量，则|OA|=|OB|=|OC|=1，
由OA+2OB+2OC=0可得2OB+2OC=−OA，所以4(OB+OC)2=OA2，
即4(OB2+OC2+2OB⋅OC)=1，所以OB⋅OC=−78，
由OA+2OB+2OC=0，可得OA+2OC=−2OB，所以(OA+2OC)2=4OB2，
即OA2+4OC2+4OA⋅OC=4，所以OA⋅OC=−14，
由OA+2OB+2OC=0，可得OA+2OB=−2OC，所以(OA+2OB)2=4OC2，
即OA2+4OB2+4OA⋅OB=4，所以OA⋅OB=−14，
则BA⋅BC=(OA−OB)⋅(OC−OB)=OA⋅OC−OA⋅OB−OC⋅OB+OB2
=−14+14+78+1=158．
故选：D．
由OA+2OB+2OC=0得出2OB+2OC=−OA，可得出4(OB+OC)2=OA2，可计算出OB⋅OC的值，同理求得OA⋅OC,OA⋅OB，再根据BA⋅BC=(OA−OB)⋅(OC−OB)结合数量积的运算律即可得解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设PR的中点为A，RS的中点为B，
y=sin(2x−π3)中，令2x−π3=π2，解得x=5π12，所以Q(5π12,1)；
令2x−π3=π，解得x=2π3，所以A(2π3,0)；
同理R(7π6,0)，S(5π3,0)；
所以B(17π12,0)，QA=(π4,−1)，QB=(π,−1)；
所以(QP+QR)⋅(QR+QS)=2QA⋅2QB
=4QA⋅QB
=4[π4×π+(−1)(−1)]
=π2+4．
故选：D．
设PR的中点为A，RS的中点为B，求出点Q、A、B的坐标，
用坐标表示向量，再计算(QP+QR)⋅(QR+QS)的值．
本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：对A选项，∵侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，∴A选项正确；
对B选项，根据柱体的体积公式可得：等底面积、等高的两个柱体，体积相等，∴B选项正确；
对C选项，当圆锥的轴截面面积是顶角为钝角的等腰三角形时，轴截面面积不是最大，
此时当经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为等腰直角三角形时，截面面积最大，∴C选项错误；
对D选项，当其余四个面的等腰梯形的所有腰的延长线不交于同一点时，不是棱台，∴D选项错误．
故选：AB．
根据棱柱的概念，柱体的体积公式，圆锥的截面问题，棱台的概念，即可分别判断．
本题考查棱柱的概念，柱体的体积公式，圆锥的截面问题，棱台的概念，属基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：虚数不能比较大小，故A错误；
i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故B正确；
∵复数z满足z=−3+4i，∴z对应的点(−3,4)在第二象限，故C错误；
当a=0，b≠0时，z=a+bi为纯虚数，
故a=0是复数z=a+bi(a∈R,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件，故D正确．
故选：BD．
对于A，虚数不能比较大小；对于B，结合复数的运算法则，即可判断；对于C，结合复数的几何意义，即可判断；对于D，结合纯虚数的定义，即可判断．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：在三角形中，当A>B，由三角形的性质可知，a>b，
由正弦定理可知，2RsinA>2RsinB，整理可得sinA>sinB，故A正确；
asin30∘=bsinB⇒sinB=23，又因为b>a，所以B有两解，B错误；
因为△ABC的外接圆的圆心为O，所以AB⋅AO=|AB|⋅|AO|cs∠BAO=12|AB|2=32，
同理可得AC⋅AO=12|AC|2=1，
又因为AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC，
所以AM⋅AO=13AB⋅AO+23AC⋅AO=76，故C错误；
因为A+B+C=π，得A+B=π−C，且△ABC为斜三角形，
则tanA+tanB=tan(A+B)(1−tanAtanB)=tan(π−C)(1−tanAtanB)=−tanC+tanCtanAtanB，
所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故D正确．
故选：AD．
根据正弦定理即可判断A、B选项；根据三角形外接圆性质，结合向量基本定理将B项中数量积展开计算即可判断；根据三角形内角和代入D项中计算即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：连接A1B，A1D，可得P为A1D的中点，且△A1DB为等边三角形，可得PB⊥PD，即△PBD为直角三角形，故A正确；
由BC//A1D1，且BC=A1D1，可得四边形BCD1A1为平行四边形，即有A1B=D1C=DB=DA1，则异面直线PD与CD1所成的角为π3，故B正确；
当AB的长度为定值时，△PBD的面积为定值，由CD1//A1B，CD1⊄平面A1DB，A1B⊂平面A1DB，则CD1//平面A1DB，可得Q到平面A1BD的距离，
即Q到平面PBD的距离为定值，则三棱锥Q−PBD的体积为定值，即三棱锥D−PBQ的体积为定值，故C正确；
若平面PBD⊥平面ACD1，设AC与BD交于点Q，连接PQ，可得PQ为平面ACD1和平面A1BD的交线，过D作DH⊥PQ，垂足为H，
由面面垂直的性质定理可得DH⊥平面ACD1，而三棱锥D−D1AC为正三棱锥，D在底面上的射影为等边三角形ACD1的中心，显然矛盾，故D错误．
故选：ABC．
由等边三角形的性质可判断A；由异面直线所成角的定义可判断B；由等积法和棱锥的体积公式可判断C；由面面垂直的性质定理和正棱锥的性质可判断D．
本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，以及异面直线所成角和棱锥的体积，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：因为向量a与b的夹角为π3，|a|=1，a⋅(a+b)=2，
所以a2+a⋅b=2，所以|a||b|cs
解得|b|=2．
故答案为：2．
由数量积的运算及性质即可求解．
本题主要考查向量数量积的性质及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】(85,65)
【解析】解：a=(1,2),b=(4,3)，
a⋅b=10，|b|= 32+42=5，
则向量a在向量b的方向上的投影向量a⋅b|b|×b|b|=25(4,3)=(85,65)．
故答案为：(85,65)．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
15.【答案】[12,+∞)
【解析】解：f(x)=t⋅x2−2x+3t，∀x∈(0,1)，f(x)>0⇒t>2xx2+3，t>2xx2+3x⇒t>2x+3x，
∵x+3x在(0,1)上递减，x+3x∈(4,+∞)，
∴t≥12．
故答案为：[12,+∞)．
由∀x∈(0,1)，f(x)>0，分离参数可得t>2xx2+3，再由函数单调性可求t的取值范围．
本题考查函数单调性相关知识，属于中档题．
16.【答案】 π2+9
【解析】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q，
使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，
令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为 π2+9．
故答案为： π2+9．
画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．
本题考查求曲面上最短路程问题，通常考虑侧面展开，考查转化思想，计算能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)由题干条件可知，csA≠0，
由正弦定理得2sinAcsAcsA= 3sinAsinB，
因为0
所以sinB= 32．
因为0
(2)由(1)可得sinB= 32，
所以S△ABC=12acsinB=12×2c×c× 32=9 32，
解得c=3，而a=2c，
所以a=6；
当B=π3时，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=27，
可得b=3 3．
可得a2=b2+c2，
所以A=π2，则csA=0，与题干矛盾，舍去，
当B=2π3时，由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=63，
可得b=3 7．
综上b=3 7．
【解析】(1)根据正弦定理即可求出结果；
(2)利用面积公式和余弦定理即可求出结果．
本题考查余弦定理及正弦定理的应用，分类讨论的思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵向量a=(−2,2)，b=(4,3)，向量a//c，且|c|=3 2，
可设c=(−2λ,2λ)，∵|c|=3 2= 4λ2+4λ2=2 2|λ|，求得λ=±32，
∴c=(−3,3)或(3,−3)．
(2)∵向量a+kb与a−kb互相垂直，∴(a+kb)⋅(a−kb)=a2−k2⋅b2=8−25k2=0，
∴实数k=±2 25．
【解析】本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量垂直的性质，属于基础题．
(1)由题意利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出向量c的坐标．
(2)由题意利用两个向量垂直的性质，用待定系数法求出k的值．
19.【答案】解：(1)如图，设OB=R，在半圆⊙A中，AB=2 3，
弧长BC=2 3π，则2πR=2 3π，
所以R= 3，
故圆锥的底面积为S圆锥=πR2=3π．
(2)设圆柱的高OO1=h，OD=r，
在Rt△AOB中，AO= AB2−OB2=3，
∵△AO1D1≌△AOB，
所以 AO1AO=O1D1OB，即 3−h3=r 3，h=3− 3r，
S圆柱侧面积=2πrh=2πr(3− 3r)=−2 3π(r2− 3r)
=−2 3π(r− 32)2+3 32π，
所以，当r= 32，h=32时，圆柱的侧面积最大，
此时V圆柱=πr2h=98π．
【解析】(1)设OB=R，利用展开图是半圆，求解R，然后求解底面积．
(2)设圆柱的高OO1=h，OD=r，通过△AO1D1≌△AOB，推出 AO1AO=O1D1OB，求解h与r，然后求解圆柱的体积的最大值即可．
本题考查结合体问题，结合体的体积的最值，圆锥的展开与圆锥的底面半径的关系，是中档题．
20.【答案】解：(1)由题意，△ACE中，AC=4，∠A=π3，CE= 13，
∴13=16+AE2−2×4×AE×12，
∴AE=1或3；
(2)由题意，∠ACE=α∈[0,π3]，∠AFC=π−∠A−∠ACF=π2−α．
在△ACF中，由正弦定理得CFsinA=ACsin∠CFA，∴CF=2 3csα；
在△ACE中，由正弦定理得CEsinA=ACsin∠AEC，∴CE=2 3sin(π3+α)，
该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，
S△CEF=12CE⋅CF⋅sin∠ECF =122sin(2α+π3)+ 3，
∵α∈[0,π3]，∴0≤sin(2α+π3)≤1，
∴α=π3时，S△CEF取最大值为4 3，该空地产生最大经济价值．
【解析】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)利用余弦定理，即可求AE的长；
(2)设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=12CE⋅CF⋅sin∠ECF，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
21.【答案】解：(1)由函数为奇函数且定义为R，∵f(−x)=−f(x)，
当x=0时，可得f(−0)=−f(0)，故f(0)=0，
则f(0)=a⋅e0−1e0+1=0，得a=1，
经检验a=1，符合题意，
故a=1；
(2)由(1)可知，函数f(x)=−1+2ex+1在[−1,0]上为减函数，
由f(2x+1−4x)+f(1−m)>0，
得f(2⋅2x−(2x)2)>−f(1−m)=f(m−1)，
所以2⋅2x−(2x)2
所以在t∈[2,4]上，y=t(2−t)=−(t−1)2+1≤0，
所以m−1>0，得m>1，
故实数m的取值范围(1,+∞)．
【解析】(1)根据奇函数的性质可得f(0)=0，计算即可求出a；
(2)利用函数的奇偶性和单调性解原不等式可得2⋅2x−(2x)2
22.【答案】(1)证明：∵BE=EF=FC=1，BC=2，如图：
作EG⊥BC，FH⊥BC，则BH=32，HC=12，FC=1，
则FH= 32，则BF= ( 32)2+(32)2= 3，
由勾股定理BF2+FC2=BC2，可得BF⊥FC，又∵BF⊥AD，
∴BF⊥平面ADFC，∴BF⊥AC，又∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴AC⊥平面BCFE，∴平面BCFE⊥平面ABC；
(2)由(1)知直线AE与平面BCFE所成角为∠AEC，∴ACEC= 3，∴AC=3，
设平面DEC和平面ABC的交线为l，易知l//AB，
过点E作EG⊥BC于G，∴EG⊥平面ABC，EG= 32，
再过点G作GK⊥l于K，连结EK，∴∠EKG即为所求角，
GK=32sin∠BCK=32sin∠B=32×3 13=92 13，
∴tan∠EKG= 32×2 139= 399．
【解析】(1)证明BF⊥平面ADFC，AC⊥平面BCFE即可；(2)EG⊥平面ABC，∠EKG即为所求角，再求边的长度即可．
本题考查线面垂直，面面垂直，考查二面角，属于中档题．
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