湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期期末调研数学试卷

这是一份湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期期末调研数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“函数在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．学生可从本年级开设的7门选修课中往意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（ ）
A．350B．700C．2100D．4200
4．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5B．6C．8D．10
5．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.7B．0.3C．0.2D．0.1
6．某企业生产线上生产的产品的某项指标，且. 现从该生产线上随机抽取个产品，记表示的产品个数，则（ ）
A．7B．9C．11D．13
7．若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
8．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
10．已知，则下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．方程无实数解
三、填空题
12．曲线与直线平行的切线方程为.
13．现安排高二年级甲，乙、丙、丁、戊五名同学去A、B两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为．（用数字作答）
14．某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值.
四、解答题
15．已知集合，.
(1)求，；
(2)记关于x的不等式的解集为M，若，求实数m的取值范围.
16．在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第项是有理项，求的取值集合；
(3)系数最大的项是第几项.
17．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中.
(1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
(2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
18．无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.
(1)消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
附：其中
(2)某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.
（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；
（ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)函数在区间上有零点，求的值；
(3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.
7.5
2.25
82.50
4.50
12.14
2.88
晴天
雨天
命中
45
30
不命中
5
20
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．C
【分析】解对数不等式化简集合，由集合的交并补混合运算即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：C.
2．A
【分析】根据二次函数性质分析可知若函数在上单调递减，等价于，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解.
【详解】因为函数的图象开口向上，对称轴为，
若函数在上单调递减，等价于，
显然是的真子集，
所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件.
故选：A.
3．A
【分析】根据组合数以及分步乘法计数原理即可求解.
【详解】7门选修课中往意选择3门，共有种选择，
从5种课外活动小组中选择2种，共有种选法，
故总的选法有种，
故选：A
4．C
【分析】从图象中的最小值入手，求出，进而求出函数的最大值，即为答案.
【详解】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.
故选：C
5．C
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】根据正态曲线的对称性可得,
故选：C
6．B
【分析】根据正态分布的性质求出，即可得到，再根据二项分布的方差公式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，
则，所以.
故选：B
7．C
【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.
【详解】，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得最值，则有，
解得.
故选：C.
8．C
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.
【详解】因为，，则，
又，即，
所以，故B错误；
，，∴，
∴，故A错误；
，，∴，故C正确.
因为，
，∴，∴，
∴，故D错误.
故选：C.
9．ACD
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，当时，若，则，故B错误；
对于C，若，，则，故C正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：ACD.
10．BD
【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，然后利用赋值法求解即可
【详解】解：由，得
，则
其展开式的通项公式为，
对于A，令，则，所以A错误，
对于B，令，则，所以B正确；
对于C，在中令，则，所以C错误；
对于D，，所以D正确，
故选：BD
11．ACD
【分析】对于A：由已知可得，代入原方程可判断A；于B：由已知可得，代入原方程可判断B；令，求导，可判断其单调性，进而可求其最大值与值域，可判断CD.
【详解】对于A：由，可得，将代入原方程，
可得，故A正确；
对于B：若，可得，将代入原方程，
得，则，而右边恒大于0，则等式不成立，故B错误；
对于C：令，
则，令，可得，
当时，，所以单调递增，即，
当时，，所以单调递减，即，
所以当时，，
在区间上的值域为，故C正确；
对于D：由上可知在区间上的值域为，
所以无实数解，故D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】对求导，建立方程求出切点，由此即可得解.
【详解】，，由题意令，解得，
而，所以所求直线方程为，即.
故答案为：.
13．12
【分析】分甲和除乙外的1个人分为一组和甲和除乙外的2个人分为一组，再进行全排列，相加得到结果.
【详解】甲和除乙外的1个人分为一组，再和工厂进行全排列，
故有种方法，
甲和除乙外的2个人分为一组，再和工厂进行全排列，
故有种方法，
综上，共有种方法.
故答案为：12
14． //
【分析】首先根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式，即可求解；随机变量服从二项分布，代入二项分布的期望公式，即可求解.
【详解】设事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，
由题意可知，，，，
则，
，
所以第2天去餐厅的概率为；
由题意可知，每个人去餐厅的概率为，，所以.
故答案为：；
15．(1)，
(2)
【分析】（1）将集合化简，结合集合的运算，带入计算，即可求解；
（2）由题意可得，再由，列出不等式，代入计算，即可求解.
【详解】（1）因为，解得，所以，
又因为，解得或，所以，
所以；
又因为，所以.
（2）因为，
所以，
若，则，解得，
所以m的取值范围是.
16．(1)
(2)；
(3)第6项和第7项
【分析】（1）由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果；
（2）由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解；
（3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算，即可求解.
【详解】（1），
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
所以.
（2），
当为整数时为有理项，
即，
则的取值集合为；
（3）设第项的系数最大，
则，
所以，解得，
故系数最大的项为第6项和第7项.
17．(1)选择模型②
(2)；10人
【分析】（1）根据残差图即可求解；
（2）根据最小二乘法求解线性回归方程，即可换元得非线性回归方程，代入即可求解预测值.
【详解】（1）选择模型②，理由如下：
由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适；
（2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有，
则，
所以，
则关于的经验回归方程为．
所以关于的经验回归方程为，
由题意，，解得，又为整数，所以，
所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人．
18．(1)答案见解析
(2)（i）分布列见解析，（ii）
【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出，即可判断；
（2）（i）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；（ii）根据互斥事件的概率公式求解可得
【详解】（1）零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关
因为，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.
（2）（i）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为
，
.
X的分布列如下：
.
（ii）击中一次被扑灭的概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率.
19．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；
（2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可；
（3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．
【详解】（1）因为，所以，则切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
（2），，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时，
综上，的值为或；
（3）函数，，
所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
则，所以，
，，，
又，，，解得，
，
构造函数，，
所以，
在上单调递减，
所以当时，，
因为恒成立，
所以，则的最大值为．晴天
雨天
合计
命中
45
30
75
不命中
5
20
25
合计
50
50
100
X
0
1
2
3
P