甘肃省酒泉市第二中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份甘肃省酒泉市第二中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 将分式中的，的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大到原来的倍B. 缩小到原来的C. 保持不变D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】将x变为2x，y变为2y计算后与原式比较即可得到答案．
解：将分式中的x、y的值同时扩大到原来的2倍为，
∴分式的值不变，
故选C．
【点睛】此题考查分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握分式的性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变．
3. 下列因式分解最后结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解可进行排除选项．
解：A．，原计算错误，故不符合题意；
B．，原计算正确，故符合题意；
C．，原计算错误，故不符合题意；
D．，原计算错误，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
4. 如图，在等腰直角中，，将绕顶点A逆时针方向旋转后得到，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质求出，再根据旋转的性质得到和，即可得到答案．
解：∵是等腰直角三角形，
∴，
根据旋转的性质得，，
∴，
故选：B．
5. 已知关于的不等式组的解集是，则的值为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解出不等式组解集，再转化为关于a,b的方程组进行解答即可.
由①得：
由②得：
的解集为:
解得：
故选A.
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握计算法则是解题关键.-
6. 下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A. a＝5，b＝12，c＝13B. a：b：c＝3：4：5
C. ∠A+∠B＝80°D. ∠A：∠B：∠C＝1：1：2
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．
解：A．∵a=5，b=12，c=13，
∴a2+b2=52+122=25+144=169，c2=132=169，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a：b：c=3：4：5，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A+∠B=80°，
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=100°＞90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C=×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解此题的关键．
7. 如果分式的值等于0，那么的值为（）
A. 不存在B. C. 4D. －4
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出m的值．
解：根据题意得：，
解得：m=-4．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的值是0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
8. 体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．
小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，
∵小进比小俊少用了40秒，
方程是，
故选C．
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
9. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，CE平分∠BCD，则∠AEC的度数是（ ）
A. 130°B. 115°C. 110°D. 105°
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，，由角平分线的性质得出，从而可得出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴，，
∴，
∵CE平分∠BCD，
∴，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的性质求得是解题的关键．
10. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADF，AB＝CD，BC＝AD，再利用线段中点的定义可得AE＝BE＝DF＝CF，从而可得△CBE≌△ADF，即可判断①；利用①的结论可得∠BCE＝∠DAF，从而可证△CBG≌△ADH，然后利用全等三角形的性质即可判断②；先证明四边形AECF是平行四边形，从而可得EC∥AF，然后利用平行线分线段成比例可得BG＝GH＝DH，即可判断③；先证明8字模型相似三角形△ABH∽△FDH，然后利用相似三角形的性质可得＝2，从而可得△ADH的面积＝2△DFH的面积，根据△CBG≌△ADH即可判断④．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADF，AB＝CD，BC＝AD，
∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE＝BE＝AB，DF＝CF＝CD，
∴AE＝BE＝DF＝CF，
∴△CBE≌△ADF（SAS），故①正确；
∵△CBE≌△ADF，BC∥AD，
∴∠BCE＝∠DAF，∠CBD＝∠ADB，
∵BC＝AD，
∴△CBG≌△ADH（ASA），
∴CG＝AH，故②正确；
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EC∥AF，
∵AE＝BE，
∴BG＝GH，
∵CF＝DF，AF∥CE，
∴GH＝DH，
∴BG＝GH＝DH，
∴BG＝GD，故③正确；
∵AB∥DF，
∴∠ABD＝∠BDF，∠BAH＝∠AFD，
∴△ABH∽△FDH，
∴＝2，
∴△ADH的面积＝2△DFH的面积，
∵△CBG≌△ADH，
∴S△CBG＝2S△FHD，故④正确；
综上所述：上列结论中，正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形的面积，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 因式分解：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
解：原式＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
【答案】9
【解析】
解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
13. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则不等式的解集为________．
【答案】x<-1
【解析】
【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后观察函数图像得到，当x<-1时，直线y=kx+b落在直线y=-3x的下方，于是可得到不等式kx+b<-3x的解集．
解：当y=3时，-3x=3，
解得，x=-1，
由图像得：不等式kx+b<-3．的解集为：x<-1，
故答案为：x<-1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值小于y=-3x的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b落在直线y=-3x下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14. 多项式因式分解得，则__________，_________.
【答案】 ①. 5 ②. 2
【解析】
【分析】根据多项式的乘法法则把计算后与比较即可求解．
解：，
，，
，．
故答案为：5，2.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解与整式的乘法是互为逆运算是解答本题的关键．
15. 如图，平行四边形的面积为72，P为平行四边形内部的任意一点，则图中阴影部分的面积之和为______．
【答案】36
【解析】
【分析】过点P作于点F，延长交于点G，过点A作于点E，根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线定理可得，由矩形的判定与性质可得，由平行四边形的面积公式可得，再由，即可求解．
解：过点P作于点F，延长交于点G，过点A作于点E，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵平行四边形的面积为72，
∴，
∴，
故答案为：36．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线定理、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定与性质得出是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于原点的对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”，以及关于原点对称的点坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”，进行求解即可．
解：在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，
则点，
点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标平移与关于原点对称，熟练掌握平移与关于原点对称规律是解题的关键．
17. 如图，在中，边AC，BC的垂直平分线分别交边AB于点M，N，垂足为D，E．若，则______°；
【答案】80
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B，再根据线段垂直平分线的性质得AM=CM，CN=BN，进而得出∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，可求∠ACM+∠BCN，即可得出答案．
解：因为∠BCA=130°，
所以∠A+∠B=180°-∠BCA=50°，
因为边AC，BC得垂直平分线交AB于点M，N，
所以AM=CM，CN=BN，
所以∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
所以∠ACM+∠BCN=50°，
所以∠MCN=∠ACB-（∠ACM+∠BCN）=130°-50°=80°．
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角等，确定各角之间的等量关系是解题的关键．
18. 如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质定理，根据平行四边形的性质得到，结合平分，推出，得到，利用等腰三角形三线合一的性质得到，再利用三角形中位线的性质求出，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：2．
三、解答题（共8小题，共46分.）
19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后在数轴上表示不等式组的解集即可．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
20. 解方程：＝2﹣．
【答案】m=4
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．
】解：去分母得：m-1=2（m-3）+1，
去括号得：m-1=2m-6+1，
解得：m=4，
检验：当m=4时，m-3=1≠0，
∴分式方程的解为m=4．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2024
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算将式子化简，再将x的值代入计算即可．
】解：
．
当，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．
22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿y轴向上平移3个单位得到△A′B′C′，那么B′的坐标为 ；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1．
（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣2，0），B2（﹣4，1），C2（﹣3，﹣3），则该旋转中心的坐标为 ．
（4）设P为x轴上的一个动点，当PA＋PC取得最小值时，点P的坐标为 ．
【答案】（1）作图见解析，（0，0）；（2）作图见解析；（3）（0，1）；（4）（2，0）
【解析】
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）两组对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
（4）作点C关于x轴的对称点E，连接AE交x轴于点P，点P即为所求．
解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求，B′的坐标为（0，0），
（2）如图1中，△A1B1C1即为所求．
（3）如图2中，旋转中心J的坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
（4）如图2中，点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点睛】本题考查旋转变换，平移变换，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，正确作出图形．
23. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析，（2）41
【解析】
【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．
（1）证明：∵BN⊥AN于点N，
∴，
在△ABN和△ADN中，
∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA）．
∴BN=DN．
（2）∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，DN=NB．
又∵点MBC中点，
∴MN是△BDC的中位线．
∴CD=2MN=6．
∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
24. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
【答案】（1）跳绳和毽子的单价分别是8元，5元
（2）当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少
【解析】
【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，然后根据用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同，列出方程求解即可；
（2）设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W，然后求出W关于m的关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1】
解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
∴跳绳和毽子的单价分别是8元，5元，
答：跳绳和毽子的单价分别是8元，5元；
【小问2】
解：设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W，
由题意得，
∵跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，
∴，
∴，
∵，
∴W随着m的增大而增大，
∴当m=450时，W有最小值，
∴当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键在于能够正确理解题意列出相应的式子求解．
25. 如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据勾股定理得到CG＝AG＝，由∠B＝30°得到．在Rt△BCG中，利用勾股定理得到，即可得到结论．
【小问1】
证明：∵ABCE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
【小问2】
解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠CAB＝45°，
∴，
在△ACG中，∠AGC＝90°，
∴，
∵，
∴CG＝AG＝，
∵∠B＝30°,
∴ ,
∴ ,
在Rt△BCG中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
26. 在四边形中，，，，，，，点P从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动．当其中一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：______，______．（用含t的代数式表示）；
（2）若的面积为S，求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）若点P从点A以1cm/s的速度沿A→D→C→B方向运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度沿C→B→A→D方向运动．在P、Q运动过程中，问是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2），；
（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）根据“路程＝速度×时间”即可解答；
（2）根据三角形的面积公式得到，代入即可得到S与t的函数关系式，再根据点P、Q的运动时间得到t的取值范围；
（3）分两种情况讨论：①点P在边上，点Q在边上，当时，四边形是平行四边形；②点P在边上，点Q在边上，当时，四边形是平行四边形；构造方程求解即可．
【小问1】
由题意，得，
∴
故答案为：，
【小问2】
∵
即S与t的函数关系式为；
点P从点A运动到点D所需时间为：，
点Q从点C运动到点B所需时间为：，
∵当其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴自变量t的取值范围为：
【小问3】
分两种情况讨论：
①点P在边上，点Q在边上，如图①，
∵，即，
∴当时，四边形是平行四边形．
∵，，
∴
解得：
②点P在边上，点Q在边上，如图②，
∵，即，
∴当时，四边形是平行四边形．
∵，
，
∴
解得：
综上所述，当或时，以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查列代数式，求函数解析式，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，读懂题意，理解动点问题，掌握分类讨论思想是解题的关键．