甘肃省酒泉市瓜州县第二中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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(满分：120分)
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分．
1. 下列运算正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可判断A选项错误；B选项不是同底数幂，所以无法运用错误，故错误；根据积的乘方等于乘方的积，故C选项错误；根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可判断D选项正确.
【详解】A. ，故本选项错误；
B. 无法计算，故本选项错误；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项正确.
故本题选D.
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方公式，同底数幂除法，能熟练运用公式，进行计算是解决本题的关键.在本题D选项中，应注意(-a)2=a2.
2. 新型冠状病毒是目前已知的第种可以感染人的冠状病毒，经研究发现，它的单细胞的平均直径约为米，该数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小数时的形式为a×10−n ，其中1≤a＜10 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0 的数字后面即可，确定n的值时，n等于该数从左起第一个不为0的数字前所有0的个数．
【详解】易知a＝2.03，从左起第一个不为0的数字前面有7个0，所以n＝7，
∴0．000000203＝，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3. 课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为( )
因为，
所以(依据：______)
A. 平角的定义B. 同角的余角相等C. 同角的补角相等D. 同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角、邻补角的定义是正确判断的关键．根据“同角的补角相等”进行判断即可．
【详解】解：因为，
所以(依据：同角的补角相等)
故选：C．
4. 下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式“”可进行排除选项．
【详解】解：A、由可知不符合平方差公式的特征，故A不符合题意；
B、由可知不符合平方差公式的特征，故B不符合题意；
C、由可知不符合平方差公式的特征，故C不符合题意；
D、由可知符合平方差公式的特征，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特征是解题的关键．
5. 如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形．若去掉边长为的小正方形后，再将剩余部分拼成一个长方形，则长方形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，先将剩余部分拼成长方形，再根据图形的边长关系将新长方形的长和宽表示出来，就可以计算面积．
详解】解：如下图所示，

可以将图①拼到到图②的位置，就构成了长方形：
该长方形的长为：，宽为：，
则长方形的面积为：，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形周长的计算，单项式乘以单项式，题目较简单，解题的关键是能够用剩余部分图形拼出矩形．
6. 下列说法：①对顶角相等：②相等的角是对顶角；③等角的余角相等；④如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；其中正确的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的性质“对顶角相等”即可得；根据根据余角的性质“等角的余角相等”即可得；根据补角的定义“如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角”即可得．
【详解】解：①对顶角相等，②相等的角不一定是对顶角，③等角的余角相等，④如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角；
综上，①③④正确，正确的个数是3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角，余角，补角，解题的关键是掌握这些知识点．
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法．根据同底数幂乘法的计算方法进行计算即可．
【详解】解：，
．
故选：D．
8. 已知一种计算机每秒可做次运算，则它工作秒可运算的次数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据单项式乘法法则以及同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】解：由题意可知：它工作时的运算次数为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则时解决本题的关键．
9. 若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的宽是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟悉其运算规则是解决问题的关键，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加即可．题中给出了长方形面积为，一边长为，长方形的宽等于面积除以边长，即可求解．
【详解】解： 长方形面积是，一边长为，
长方形的宽是．
故选：D．
10. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：
=a+b
……
请你猜想的展开式中所有系数的和是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，求出系数之和即可．
【详解】解：由（1）“杨辉三角”可知：的第一项系数为1，第二项系数由上一层的相邻两数之和求得，……以此类推，
故、、、展开式的各项系数如下图所示
根据（2）式可知：展开式第一项a的指数为n，b的指数为0，第二项a的指数为n-1，b的指数为1，第三项a的指数为n-2，b的指数为2，……以此类推
∴，
系数之和为，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式以及规律型数字的变化，弄清“杨辉三角”中系数的规律是解本题的关键．
二、填空题（共18分）
11. 计算：_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值及零次幂．根据绝对值及零次幂的定义分别化简后计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 度，则它的余角的补角等于___________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了余角和补角的概念，根据余角和补角的定义求解即可．如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角．
【详解】解： ，
余角为，
余角的补角等于．
故答案为：．
13. __．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
14. 任意给一个非零数，按下列程序进行计算，则输出结果为______；
【答案】m
【解析】
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
详解】由题意可知：（m2+m）÷m-1=m+1-1=m，
故答案为：m
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是正确理解流程图，本题属于基础题型．
15. 已知，则代数式值为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可．
【详解】
将代入得：原式
故答案为：4．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键．
16. 用“”表示一种新的运算，对于任意数m，n，都有，例如：，试计算：的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目中新定义的运算法则，代入数值计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算和定义新运算，解题的关键是理解新定义，找对对应关系代入进行计算．
三、解答题（共72分）
17. 计算：
（1）．
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方和整式的加法，熟悉它们的运算规则是解决问题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（都是正整数）；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（都是正整数）．
（2）本题考查了幂的乘方，积的乘方和整式的减法，熟悉它们的运算规则是解决问题的关键．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（都是正整数），积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（为正整数）．
（3）本题考查了多项式除以单项式，先把 这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：
18. 化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，平方差公式和完全平方公式，准确计算．
（1）根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算法则进行计算即可；
（2）根据整式混合运算法则，结合单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 计算：
（1）；
（2）．（要求用乘法公式简便计算）
【答案】（1）4 （2）1
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂的计算方法、绝对值的意义、负整数指数幂的运算法则、平方差公式等知识，掌握零指数幂的计算方法、负整数指数幂的运算法则是解答本题的关键．
（1）根据零指数幂的计算方法、绝对值的意义、负整数指数幂的运算法则计算即可；
（2）运用平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 化简求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式以及整式的加减运算、乘除运算进行化简，然后将的值代入即可求出答案．
【详解】原式
，
当时，
原式
．
21. 已知，则和的值．
【答案】6；
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，分别计算即可．
【详解】解： ，，
；
．
22. 如图，已知直线、相交于点，平分，若，求的大小．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查邻补角的性质，角平分线的定义，首先根据邻补角求得，再根据角平分线的定义可得，进而得到的度数，然后根据邻补角求得的度数．解题的关键是掌握邻补角性质：邻补角互补，即和为．
【详解】解：∵，和互为邻补角，
∵，
∵平分，
∴，
∵和互为邻补角，
∴，
∴的大小为．
23. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）根据进行求解即可；
（2）根据求出．
【小问1详解】
解：∵，，
．
【小问2详解】
解：∵，
．
24. 请你仿照旁边的提示，求代数式的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，将原式变形为，利用完全平方公式变形，根据完全平方式大于等于0，即可求出多项式的最小值．
【详解】解：
，
，
的最小值是．
25. 如图，某市有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）长方形地块的面积是多少？（用代数式表示）
（2）绿化的面积是多少？（用代数式表示）
（3）求出当，时的绿化面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算的应用，代入求值，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．
（1）利用长宽表示长方行的面积即可；
（2）运用长方形的面积正方形的面积解题即可；
（3）代入，的值计算解题．
【小问1详解】
解：长方形地块的面积；
【小问2详解】
绿化的面积是：
；
【小问3详解】
当，时，
．温馨提示
求代数式的最小值
解：
∵
∴
∴的最小值是4