沪教版九年级上册数学专题训练专题18(双)X型相似解题方法专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题18(双)X型相似解题方法专练(原卷版+解析)，共136页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接CD、OD．下列四个结论：①ACOD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④∠ADC=∠BOD．其中正确结论的序号是（ ）
A．①④B．①②④C．②③D．①②③④
2． 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，且AB＝BC＝4，AD＝2，点E是边BC上的一个动点，EF⊥BC交AD于点F，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，若两边重叠部分的面积为3，则BE的长为（ ）
A．或B．C．D．或4+
3．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短B．先变短后变长
C．不变D．先变短后变长再变短
4．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（ ）cm．
A．32B．24C．48D．64
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD＝30°；②S平行四边形ABCD＝；③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
第II卷（非选择题）
二、解答题
8．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+＝0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB＝90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．
9．（问题背景）如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；
（尝试应用）如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；
（拓展创新）如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若，请直接写出的值________．
10．王老师在一次校内公开课上展示“探析矩形折叠问题”内容，引起了同学们的广泛兴趣，他们对折纸进行了如下探究．如图有一矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．
（1）如图1，当射线DE与边BC的交点F到点C的距离为3时，求CQ的长；
（2）如图2，记射线QE与边DA的交点为P，若AP＝3，则CQ的长为 ．
（3）如图3，G为AD上一点，且GD＝2，连接AE、CE．
①试判断AE﹣2GE的值是否能若点Q的位置变化而变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②连接BE，当AE+2EB的值最小时，直接写出E到边AD的距离为 ．
11．如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N．
（1）当时，的长为________，________；
（2）已知．
①若，求此时的长；
②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．
12．已知如图，这正方形ABCD中，AB＝4，M是边AD的中线，E是边AB上的一个动点，GM⊥EM交边DC于点P，交边BC的延长线于点G，延长EM交边CD的延长线与F，联结FG
（1）求证：△AME∽△CPG；
（2）设A，E两点的距离为x，△CFG的面积为y，求x，y之间的函数关系式及定义域；
（3）当△PFG时等腰三角形时，求AE的长．
13．如图，在中，，，以为直径作半圆交于点，过点的切线交于点，交于点，的延长线与相交于点，若，求，的长．
14．如图在平面直角坐标系，抛物线与轴交于、两点，点、分别位于原点的左、右两侧，且．

（1）求，的值；
（2）如图，抛物线与轴交于点，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图，点为直线上一点，点为抛物线上一点，当是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
15．某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种花（如图所示）．
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2.当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若△AMB和△DMC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪一种花，刚好用完所筹集的资金？
16．在中，，，，是斜边上一点，过点作，垂足为，的延长线交于点．
（1）当时，求线段的长；
（2）当时，求线段的长．
17．如图①，在中，，为边上的中线，，线段交于点．
（1）若，，求的长；
（2）如图②，取外一点，连接，，，，与交于点，若，，，．
①求的值；
②求证：．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．点E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形；
（2）当△PEF的周长最小时，求的值．
19．如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F．
（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．
20．已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上（不与点A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．
（1）如图1，当AP＝2时，求CF的长；
（2）如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；
（3）当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．
21．如图，是的直径，，，点是上不与点，重合的点．
（1）请判断的形状，并证明你的结论；
（2）利用尺规作的平分线，交于点，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
①求弧的长度；
②求与的面积比．
22．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．点为抛物线上的一个动点．过点作轴于点，交直线于点．
（1）求、的值；
（2）设点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，直接写出点的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍？若存在，求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，是的直径，半径，垂足为O，直线l为的切线，A是切点，D是上一点，的延长线交直线l于点是上一点，的延长线交于点G，连接，已知的半径为3，，．
（1）求的长；
（2）求的值及的长．
24．如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．
25．如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B点，AE平分，交轴于点E．
（1）直接写出点A和点B的坐标．
（2）求直线AE的表达式．
（3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，判断四边形ACFD的形状并说明理由，求四边形ACFD的面积．
26．如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．
27．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=BE，CD与AE交于F．
（1）求∠AFD的度数；
（2）若BE=m，CE=n．
①求的值；（用含有m和n的式子表示）
②若=，直接写出的值．
28．如图，等边中，，点在上，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，关于的轴对称图形为．
（1）当为何值时，点在线段上；
（2）当时，求与的数量关系；
（3）当点、、三点共线时，求证：点为线段的中点．
29．已知，抛物线y＝x2﹣x+与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点F．
（1）A点坐标为 ；B点坐标为 ；F点坐标为 ；
（2）如图1，C为第一象限抛物线上一点，连接AC，BF交于点M，若BM＝FM，在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S△ACP＝4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，D、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AD、AE分别交y轴于M、N两点，若OM•ON＝，求证：直线DE必经过一定点．
30．如图，以AD为直径的⊙O交AB于C点，BD的延长线交⊙O于E点，连CE交AD于F点，若AC＝BC．
（1）求证：；
（2）若，求tan∠CED的值．
31．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，通过构造就可以解决问题（如图2）请回答：，．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图在四边形中对角线与相交于点，，，，．求的长．
32．如图，已知抛物线＝与轴交于、两点，与轴交于点，且＝．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为一边，在直线的同侧作等边三角形和，求的最大面积，并写出此时点的坐标；
（3）如图，若抛物线的对称轴与轴交于点，是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线与轴交于点．是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图，为等边三角形，过边上点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接，．过点E作，交于点F，交于点H，连接．
（1）求证：；
（2）设，，求y关于x的函数关系式；
（3）连接，若于点F，求的值．
34．如图1，A（﹣4，0）．正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．
（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα＝，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．
35．如图1，分别是的内角的平分线，过点 作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
36．如图，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴上，点在射线上，且．垂直轴于点．
点坐标为________，点坐标为________．
操作：将一足够大的三角板的直角顶点放在射线或射线上，一直角边始终过点，另一直角边与轴相交于点．问是否存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
37．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．
38．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
39．如图，在平行四边形中，，点、是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点．
（1）求的长；
（2）设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示）
40．如图，在平面直角坐标系x0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4， 轴，垂足为点A，AC与OB交于点M．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求阴影部分的面积．
三、填空题
41．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN=45°，则下列结论：①MN=BM+DN；②△AEF∽△BEM；③=；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是______．（填写正确序号）
42．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为__．
43．在矩形中，，点在直线上，且，连接和交于点，若，则的长为______．
44．如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ABD+∠BCD＝180°，对角线AC、BD 相交于点 E，H 为 BD 的中点．若 CE＝1，则 CH 长为___________．
45．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________．
46．如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点C（-1，0），点B在反比例函数的图像上，且y轴平分∠BAC，则k的值是_________．
47．如图，在正方形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长交于点，若的面积为1，则的面积为__________．
48．如图，已知和是等边三角形，连结，连结并延长交于点，交于点，，，那么的长为______．
49．如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．
50．如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．
专题18（双）X型相似解题方法专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接CD、OD．下列四个结论：①ACOD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④∠ADC=∠BOD．其中正确结论的序号是（ ）
A．①④B．①②④C．②③D．①②③④
2． 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，且AB＝BC＝4，AD＝2，点E是边BC上的一个动点，EF⊥BC交AD于点F，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，若两边重叠部分的面积为3，则BE的长为（ ）
A．或B．C．D．或4+
3．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短B．先变短后变长
C．不变D．先变短后变长再变短
4．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（ ）cm．
A．32B．24C．48D．64
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD＝30°；②S平行四边形ABCD＝；③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
第II卷（非选择题）
二、解答题
8．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+＝0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB＝90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．
9．（问题背景）如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；
（尝试应用）如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；
（拓展创新）如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若，请直接写出的值________．
10．王老师在一次校内公开课上展示“探析矩形折叠问题”内容，引起了同学们的广泛兴趣，他们对折纸进行了如下探究．如图有一矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．
（1）如图1，当射线DE与边BC的交点F到点C的距离为3时，求CQ的长；
（2）如图2，记射线QE与边DA的交点为P，若AP＝3，则CQ的长为 ．
（3）如图3，G为AD上一点，且GD＝2，连接AE、CE．
①试判断AE﹣2GE的值是否能若点Q的位置变化而变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②连接BE，当AE+2EB的值最小时，直接写出E到边AD的距离为 ．
11．如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N．
（1）当时，的长为________，________；
（2）已知．
①若，求此时的长；
②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．
12．已知如图，这正方形ABCD中，AB＝4，M是边AD的中线，E是边AB上的一个动点，GM⊥EM交边DC于点P，交边BC的延长线于点G，延长EM交边CD的延长线与F，联结FG
（1）求证：△AME∽△CPG；
（2）设A，E两点的距离为x，△CFG的面积为y，求x，y之间的函数关系式及定义域；
（3）当△PFG时等腰三角形时，求AE的长．
13．如图，在中，，，以为直径作半圆交于点，过点的切线交于点，交于点，的延长线与相交于点，若，求，的长．
14．如图在平面直角坐标系，抛物线与轴交于、两点，点、分别位于原点的左、右两侧，且．

（1）求，的值；
（2）如图，抛物线与轴交于点，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图，点为直线上一点，点为抛物线上一点，当是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
15．某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种花（如图所示）．
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2.当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若△AMB和△DMC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪一种花，刚好用完所筹集的资金？
16．在中，，，，是斜边上一点，过点作，垂足为，的延长线交于点．
（1）当时，求线段的长；
（2）当时，求线段的长．
17．如图①，在中，，为边上的中线，，线段交于点．
（1）若，，求的长；
（2）如图②，取外一点，连接，，，，与交于点，若，，，．
①求的值；
②求证：．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．点E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形；
（2）当△PEF的周长最小时，求的值．
19．如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F．
（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．
20．已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上（不与点A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．
（1）如图1，当AP＝2时，求CF的长；
（2）如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；
（3）当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．
21．如图，是的直径，，，点是上不与点，重合的点．
（1）请判断的形状，并证明你的结论；
（2）利用尺规作的平分线，交于点，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
①求弧的长度；
②求与的面积比．
22．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．点为抛物线上的一个动点．过点作轴于点，交直线于点．
（1）求、的值；
（2）设点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，直接写出点的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍？若存在，求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，是的直径，半径，垂足为O，直线l为的切线，A是切点，D是上一点，的延长线交直线l于点是上一点，的延长线交于点G，连接，已知的半径为3，，．
（1）求的长；
（2）求的值及的长．
24．如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．
25．如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B点，AE平分，交轴于点E．
（1）直接写出点A和点B的坐标．
（2）求直线AE的表达式．
（3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，判断四边形ACFD的形状并说明理由，求四边形ACFD的面积．
26．如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．
27．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=BE，CD与AE交于F．
（1）求∠AFD的度数；
（2）若BE=m，CE=n．
①求的值；（用含有m和n的式子表示）
②若=，直接写出的值．
28．如图，等边中，，点在上，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，关于的轴对称图形为．
（1）当为何值时，点在线段上；
（2）当时，求与的数量关系；
（3）当点、、三点共线时，求证：点为线段的中点．
29．已知，抛物线y＝x2﹣x+与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点F．
（1）A点坐标为 ；B点坐标为 ；F点坐标为 ；
（2）如图1，C为第一象限抛物线上一点，连接AC，BF交于点M，若BM＝FM，在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S△ACP＝4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，D、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AD、AE分别交y轴于M、N两点，若OM•ON＝，求证：直线DE必经过一定点．
30．如图，以AD为直径的⊙O交AB于C点，BD的延长线交⊙O于E点，连CE交AD于F点，若AC＝BC．
（1）求证：；
（2）若，求tan∠CED的值．
31．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，通过构造就可以解决问题（如图2）请回答：，．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图在四边形中对角线与相交于点，，，，．求的长．
32．如图，已知抛物线＝与轴交于、两点，与轴交于点，且＝．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为一边，在直线的同侧作等边三角形和，求的最大面积，并写出此时点的坐标；
（3）如图，若抛物线的对称轴与轴交于点，是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线与轴交于点．是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图，为等边三角形，过边上点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接，．过点E作，交于点F，交于点H，连接．
（1）求证：；
（2）设，，求y关于x的函数关系式；
（3）连接，若于点F，求的值．
34．如图1，A（﹣4，0）．正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．
（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα＝，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．
35．如图1，分别是的内角的平分线，过点 作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
36．如图，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴上，点在射线上，且．垂直轴于点．
点坐标为________，点坐标为________．
操作：将一足够大的三角板的直角顶点放在射线或射线上，一直角边始终过点，另一直角边与轴相交于点．问是否存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
37．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．
38．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
39．如图，在平行四边形中，，点、是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点．
（1）求的长；
（2）设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示）
40．如图，在平面直角坐标系x0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4， 轴，垂足为点A，AC与OB交于点M．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求阴影部分的面积．
三、填空题
41．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN=45°，则下列结论：①MN=BM+DN；②△AEF∽△BEM；③=；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是______．（填写正确序号）
42．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为__．
43．在矩形中，，点在直线上，且，连接和交于点，若，则的长为______．
44．如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ABD+∠BCD＝180°，对角线AC、BD 相交于点 E，H 为 BD 的中点．若 CE＝1，则 CH 长为___________．
45．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________．
46．如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点C（-1，0），点B在反比例函数的图像上，且y轴平分∠BAC，则k的值是_________．
47．如图，在正方形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长交于点，若的面积为1，则的面积为__________．
48．如图，已知和是等边三角形，连结，连结并延长交于点，交于点，，，那么的长为______．
49．如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．
50．如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．
参考答案
1．A
分析：
如图，利用圆周角定理得∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠2=∠3，于是可对①进行判断；利用AC∥OD可判定△ACE∽△DOE，则，再判定△AOC为等腰直角三角形得到AC=OA=OD，所以CE=OE，于是可对②进行判断；利用圆周角定理得到∠COD=2∠1，则根据相似三角形的判定方法可对③进行判断；利用圆周角定理可计算出∠ADC=45°，而∠BOD=45°，则可对④进行判断．
【详解】
解：如图，
∵点D是的中点，
即，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AC∥OD，所以①正确；
∴△ACE∽△DOE，
∴，
∵OC⊥OA，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴AC=OA=OD，
∴
∴CE=OE，所以②错误；
∵点D是的中点，
∴∠BOD=∠COD
∵∠BOD=2∠1
∴∠COD=2∠1，
而∠ODE=∠ADO，
∴△ODE与△ADE不相似，所以③错误；
∵∠ADC=∠AOC=45°，∠BOD=∠BOC=45°，
∴∠ADC=∠BOD，所以④正确．
∴正确的结论是①④，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了圆周角定理．
2．A
分析：
如图1，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为五边形EB′GDF，推出四边形ABEF是矩形，得到AB=EF=4，AF=BE，根据折叠的性质得到A′F=AF，B′E=BE，A′B′=AB=4，设BE=x，则AF=A′F=B′E=x，根据相似三角形的性质得到B′G=4（2-x），根据题意列方程得到[（2-x）+（4-x）]×4（4-2x）（8-4x）=3此方程无实数根，故这种情况不存在；如图2，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为矩形A′B′EF，设BE=x，则AF=A′F=B′E=x，根据题意列方程得到BE=；如图3，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为△CEG，设BE=x，则AF=A′F=B′E=x，根据相似三角形的性质得到EG=2（4-x），根据题意列方程得到结论．
【详解】
解：如图1，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为五边形EB′GDF，
∵AB⊥AD，AD∥BC，EF⊥BC，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝4，AF＝BE，
∵将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，
∴A′F＝AF，B′E＝BE，A′B′＝AB＝4，
设BE＝x，则AF＝A′F＝B′E＝x，
∴DF＝2﹣x，CE＝4﹣x，
∴A′D＝2x﹣2，CB′＝4﹣2x，
∵A′D∥B′C，
∴△A′DG∽△B′CG，
∴
∴，
∴B′G＝4（2﹣x），
∵两边重叠部分的面积为3，
∴ [（2﹣x）+（4﹣x）]×4﹣（4﹣2x）（8﹣4x）＝3
此方程无实数根，故这种情况不存在；
如图2，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为矩形A′B′EF，
设BE＝x，则AF＝A′F＝B′E＝x，
∵两边重叠部分的面积为3，
∴B′E•A′B′＝4x＝3，
解得：x＝，
∴BE＝；
如图3，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为△CEG，
设BE＝x，则AF＝A′F＝B′E＝x，
∴DF＝x﹣2，CE＝4﹣x，
∵DF∥CE，
∴△DFG∽△CEG，
∴
∴，
∴EG＝2（4﹣x），
∵两边重叠部分的面积为3，
∴×2（4﹣x）（4﹣x）＝3，
解得：x＝4﹣或x＝4+（不合题意舍去），
综上所述，BE的长为或4﹣，
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，矩形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
3．C
分析：
连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得.又AB∥CD，得出，设=a,DF=b（a,b为常数），可得出，从而可以得出，结合可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果.
【详解】
解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,
∴四边形CDFE为矩形.
∴DF∥GH,
∴
又AB∥CD，∴.
设=a，DF=b,
∴,
∴
∴
∴GH=，
∵a,b的长是定值不变，
∴当人从点走向点时两段影子之和不变．
故选：C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
4．D
分析：
①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=
BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=S△ABF，故④正确．
【详解】
如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，∴＝，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，∴CF＝2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．A
分析：
先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
6．C
分析：
根据平行线的性质及相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】
解：标出字母，如图：
∵在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAD=∠MAD，
∵DE∥AB交AC的延长线于点E，
∴∠EDA=∠MAD，∠BAC=∠CED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴ED=EA，
∵在三角形ABC与三角形CED中，
∠BAC=∠CED，∠BCA=∠ECD，
∴△ABC∽△CED，
∴，
∵AB=15cm，AC=12cm，
设ED=15k，
∴CE=12k，
∴ED=15k=EA=EC+CA=12k+12，
∴3k=12，
∴k=4，
∴CE=12k=48（cm），
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定与性质，本题的解题关键是由三角形相似边的比例关系即可得出答案．
7．C
分析：
由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；
由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故②正确；
根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6，故③错误；
由三角形的中位线可得BC∥OE，可判断△OEF∽△BCF，根据相似三角形的性质得到=2，求得S△OCF=2S△OEF；故④正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于点E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；
∵AC⊥BC，
∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC=BC，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE=BC，
∴OE：AC=：6；故③错误；
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴=2
∴S△OCF：S△OEF==2，
∴S△OCF=2S△OEF；故④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
8．（1）点A（0，-2）、C的坐标（2，0）；（2）CD、OD、BD之间的数量关系是BD-OD=CD，见解析；（3）的值不变化；1．
分析：
（1）利用实数的非负性，确定m，n的值，根据点的位置，坐标的特点，确定坐标即可；
（2）如图1，在BD上截取BE=OD，连接CE，根据∠ODB=∠OCB=90°，对顶角相等，确定∠DOC=∠EBC，从而证明△DOC≌△EBC，继而得到△DEC是等腰直角三角形，实现解题目标；
（3）根据∠OMF=∠FAB=90°，∠OFM=∠AFB，得到∠MOF=∠NBA，∠OMF=∠BNA=90°，
得到△OMF∽△BNA，；∠ABF=∠NBA，∠BAF=∠BNA=90°，
得到△BAF∽△BNA，,继而得到,将两个比例式相加即可．
【详解】
（1）∵+＝0，
∴m+2=0，n-2=0，
∴m= -2，n=2，
∴点A（0，-2）、C的坐标（2，0）；
（2）如图1，在BD上截取BE=OD，连接CE，∵∠ODB=∠OCB=90°，∠1=∠2，
∴∠DOC=∠EBC，
∵四边形ABCD是矩形，且OC=OA=2，
∴四边形ABCD是正方形，
∴CO=CB，
∵BE=OD，
∴△DOC≌△EBC，
∴DC=CE，∠DCO=∠ECB，
∵∠OCE+∠ECB=90°，
∴∠OCE+∠DCO =90°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=CD，
∴BD-OD=CD；
（3）的值不变化；1．理由如下：
如图2，∵∠OMF=∠FAB=90°，∠OFM=∠AFB，
∴∠MOF=∠NBA，
∵∠OMF=∠BNA=90°，
∴△OMF∽△BNA，
∴；
∵∠ABF=∠NBA，∠BAF=∠BNA=90°，
∴△BAF∽△BNA，
∴,
∴,
∴,
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=AB，
∴,
∴=1．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的全等，三角形的相似，熟练运用截长法和三角形相似是解题的关键．
9．（1）证明见解析；（2）8；（3）．
分析：
（1）要证明BA2＝BD•BC，只需证明，由已知判定即可解答；
（2）由3AD＝2AC 可知的相似比为，从而得出，设BD=4x，则BA=6x，BC=9x，再过F点作，交BC于M点，利用平行线构造相似三角形和等腰三角形，利用已知线段关系证明DF=FM，从而得出，由此即可求出BE长，
（3）延长BC到G，使CG=AC，过C点作CM⊥AG垂足为M，构造，由已知求出相似比为，再设，，解即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵∠BAD＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴，
∴，
∴BA2＝BD•BC；
（2）解：由（1）可得，
又∵3AD＝2AC
∴，
设BD=4x，则BA=6x，BC=9x，
如解图2，过F点作，交BC于M点，
∴∠ABD＝∠FMD，
∵BE＝ED，
∴∠ABD＝∠EDB，
又∵∠MDF＝∠EDB，
∴∠MDF＝∠FMD，
∴MF＝DF＝1，
由可得，，
∴，，
由∵BG＝2，MF＝DF＝1，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：延长BC到G，使CG=AC，过C点作CM⊥AG垂足为M，
∴∠CAG＝∠G，
∴∠ACB＝∠CAG+∠G=2∠CAG＝2∠G，
∵∠ACB＝2∠BAD，
∴∠BAD=∠CAG＝∠G，
∵，
∴，即，
∴，
∵，即
∴
又∵∠B=∠B，∠BAD＝∠G，
∴，
∴，
设，，则，，，
在中，，
在中，，
∴，
解关于x的方程得：，，
当时，不合题意舍去；
当时，，．
综上所述：．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是能通过作合适的辅助线构造相似三角形并最终求得结果．
10．（1）；
（2）2；
（3）①不变，AE-2GE=0；
②．
分析：
（1）勾股定理求DF=5，继而得到EF=1，设CQ=QE=x，则QF=3-x，在直角三角形QEF中，实施勾股定理求解即可；
（2）先证明△DEP∽△FCD，求得DF，继而确定EF的值，再证明△DPE∽△FQE即可得解；
（3）①利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，证明△DGE∽△DEA，得到AE=2GE，从而问题得证；
②根据两点之间线段最短，确定当B，E ，G三点共线时，BE+EG最小，从而2（BE+EG）最小即2EB+2EG最小，由①知AE=2GE，因此2BE+AE最小，过点E作EF⊥AD，垂足为F，利用平行线分线段成比例定理和勾股定理，转化成关于EF的一元二次方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCF=90°，
∴DF===5，
根据折叠的性质，得DE=CD=4，
∴EF=1，
设CQ=QE=x，则QF=3-x，
在直角三角形QEF中，
，
∴，
解得x=；
故CQ=；
（2）如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCF=90°，DA∥CQ，
∴∠PDE=∠DFC，
根据折叠的性质，得DE=CD=4，∠DCF=∠DEQ= ∠DEP= 90°，
∴△DEP∽△FCD，
∴，
∵AP=3，AD=8，
∴PD=5，
在直角三角形PDE中，
，
∴PE=3，
∴，
∴DF=，
∴EF=DF-DE=-4=，
∵DP∥QF，
∴△DPE∽△FQE ，
∴，
∴，
∴EQ=2，
∵EQ=CQ，
∴CQ=2；
（3）①AE-2GE的值保持不变，且AE-2GE=0；理由如下：
∵，∠GDE=∠EDA，
∴△DGE∽△DEA，，
∴，
∴AE=2GE，
∴AE-2GE=0；
②如图5，∵BE+GE≥BG，
∴当B，E ，G三点共线时，BE+EG取得最小值，
从而2（BE+EG）有最小值即2EB+2EG最小，由①知AE=2GE，因此2BE+AE最小，
如图6，过点E作EF⊥AD，垂足为F，
则FE∥AB，
∴，
∵GD=2，AD=8，
∴GA=6，
∴，
∴，
设EF=2x，则GF=3x，
在直角三角形DEF中，
，
∴，
解得x=或x=（舍去）；
∴2x=；
∴EF=；
故点E到边AD的距离为．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形的相似，平行线分线段成比例定理，勾股定理，折叠的性质，两点之间线段最短原理，一元二次方程的解法，熟练掌握性质，准确确定最小值，并熟练求解一元二次方程是解题的关键．
11．（1）；；（2）①；②存在，有8个．
分析：
解：（1）由四边形ABCD为正方形，得到△ACD为等腰直角三角形，在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的长，由MN=CD，可以求出MN的长，由AD∥BC得到△AEM∽△CEN.
（2）①过点E作EG⊥AD于点G．由AM∥CN，得到△AEM∽△CEN．得到对应边成比例，由勾股定理求出GM的长，再由AM=AG+GM可求出．
②画出图形，过点F作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，根据点M与点F关于BC对称，计算出PE+PF的最小值，与PE+PF=9比较．得出BC上存在两个点，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9．
【详解】
解：（1），
∵四边形ABCD为正方形
∴△ACD为等腰直角三角形，
则，在Rt△ACD中有AD=AC，
AD2+DC2=AC2，
∵AC=12，
解得：AD=CD=6，
又∵MN⊥BC，CD⊥BC
∴MN∥CD，且MN=CD，
即MN=DC=6，
又∵AD∥BC
∴△AEM∽△CEN.
（2）①如图，过点E作于点G．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
②存在，这样的点有8个．
如图，过点F作点F关于的对称点M，连接交于点N，连接，
∵点E，F将对角线三等分，且，
∴，．
∵点M与点F关于对称，
∴，．
∴．
∴．
则在线段上存在点N到点E和点F的距离之和最小为．
∴在线段上，点N的左右两边各有一个点P使．
同理在线段，，上都存在两个点使．
即共有8个点P满足．
【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质、线段和的最值问题等，体现了逻辑推理、直观想象核心素养.
12．（1）证明见解析；（2）y=x2＋3x﹣4（1＜x≤4）；（3）AE．
分析：
（1）只要证明两角对应相等即可解决问题；
（2）只要证明△AME∽△DPM，△AME≌△DMF，可得 ，AE＝DF＝x，推出DP，PC＝4，由△AME∽△CPG，推出 ，可得 ，推出CG＝2x﹣2，根据y•CF•CG即可解决问题；
（3）由△PCG≌△PMF，推出CG＝MF＝EM＝2x﹣2，在Rt△AEM中，根据，可得，解方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠BCD＝∠PCG＝90°，AD∥CD，
∴∠PGC＝∠PMD，
∵GM⊥EF，
∴∠EMG＝90°
∴∠PMD＋∠AME＝90°，∠AME＋∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠PMD＝∠PGC，
∴△AME∽△CPG；
（2）解：∵∠A＝∠EMP＝∠MDP＝90°，
∴∠AME＋∠AEM＝90°，∠AME＋∠DMP＝90°，
∴△AME∽△DPM，
∴，
∵AM＝DM，∠AME＝∠DMF，∠A＝∠MDF＝90°，
∴△AME≌△DMF，
∴AE＝DF＝x，
∴DP，PC＝4，
∵△AME∽△CPG，
∴，
∴，
∴CG＝2x﹣2，
∴y=x2＋3x﹣4（1＜x≤4）．
（3）解：∵△PFG是等腰三角形，∠FPG是钝角，
∴只有PF＝PG，
∵∠PMF＝∠PCG＝90°，∠MPF＝∠CPG，
∴△PCG≌△PMF，
∴CG＝MF＝EM＝2x﹣2，
在Rt△AEM中，∵，
∴，
解得x或0（舍弃），
∴AE．
【点评】
本题考查相似综合题，正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
13．，
分析：
连接OE、OD，过D点作AB垂线，交AB于点N，交AF延长线于点M，通过HL定理可证AE＝DE，利用等腰三角形性质可得CE＝DE，然后运用勾股定理解三角形得BE的值；证得，计算得出MD的值，通过线段之间的比例得出PE的长．
【详解】
解：连接OE、OD，如图：
∵OE＝OE，OA＝OD，，
∴（HL），
∴AE＝DE，
∵，OD＝OB，
∴，（任意角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∵DE是⊙的切线，
∴，
∴，
∵，
∴DE＝CE，
∴，
∵OA＝1，
∴AB=2，BC＝4，，
∴，
在中，，
即：，
∴；
过点D作AB的垂线，交AB于点N，交AF延长线于点M，如图：
∵在中，BD＝1，，
∴，，
∴，
在中，与互余，
在中，与互余，
∴，
∵
∴，
∴，即：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，即：，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质综合，用勾股定理解三角形和切线的性质，利用相似三角形的性质求出对应线段的比例是解题关键．
14．（1），；（2）；（3）点P的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)．
分析：
（1）根据BO=3AO，求得点A和点B的坐标，然后代入解析式中即可求解；
（2）作轴交于点，过D作轴交于点R，然后求得直线BC的解析式，设D (，)，利用相似三角形的判定和性质得到，然后得到关于t的二次函数，根据二次函数的性质即可确定最大值；
（3）分为四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质分别求出P点坐标即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴A(-1，0)，B(3，0)，
∴抛物线解析式为，
∴，；
（2）由（1）可知，抛物线解析式为，
令，，
则C(0，-3)，
如图1，作轴交于点，过D作轴交于点R，

∵△BED和△ABE的底在AD上，顶点都是点B，
∴，
又∵轴， 轴，
∴AF∥DR，
∴∠FAE=∠RDE，∠AFE=∠DRE，
∴△AEF△DER，
∴，
设直线BC的解析式为，
代入B(3，0)，得，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
又∵A的坐标为(-1，0)，轴，
∴F的坐标为(-1，-4)，
∴AF=，
设点D的坐标为(，)，
则点R的坐标为(，)，
∴DR=，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为；
（3）当△CPQ是以C为直角顶点的等腰三角形时，如图2，
过P作轴，过Q作轴分别交y轴于点M，N，
∵△CPQ是以C为直角顶点的等腰三角形，
∴CP=CQ，∠PCQ=，
∴∠PCM+∠QCN=-∠PCQ=，
又∵轴， 轴，
∴∠PMC=∠CNQ=，
∴在△CPQ中，
∠PCM+∠CPM=-∠PMC=，
∴∠CPM=∠QCN，
在△PCM和△CQN中，，
∴△PCM△CQN，
∴PM=CN，CM=QN，
设点P的坐标为(，)，则点Q的坐标为(，)，
∴PM=，CN=，
CM=，QN=，
∴，
解得：或(舍去)，
∴点P的坐标为(，)；
同理，，
∴的横坐标为，
∴点的坐标为(，)；
当△CPQ是P为直角顶点的等腰三角形时，如图3，
过P作轴交y轴于点M，过Q作交MP的延长线于点N，
同理可得：△PCM△QPN，
∴PM=CN，CM=QN，
设点P的坐标为(，)，则点Q的坐标为(，)，
∴PM=，QN=，
CM=，PN=，
∴，
解得：或(舍去)，
∴点P的坐标为(，)；
当△CPQ是Q为直角顶点的等腰三角形时，如图4，
过Q作轴交y轴于点N，过P作于点M，
同理可得：△PQM△QCN，
∴PM=QN，QM=CN，
设点P的坐标为(，)，则点Q的坐标为(，)，
∴PM=，QN=，
QM=，CN=，
∴，
解得：或(舍去)，
∴点P的坐标为(，)；
综上，点P的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)．
【点睛】
本题考查了二次函数综合问题，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，题目较为复杂，分类讨论，数形结合思想是解决本类题的关键．
15．（1）640元；（2）茉莉花．
分析：
（1）由梯形的性质得到AD平行BC从而得到△AMD和△CMB相似，通过相似的性质即可得到△BMC的面积，即可算出所需费用；
（2）通过三角形等高时，得到面积比等于底的比，即可通过△AMD得到△AMB的面积，同理得到△DMC的面积，再分别算出种植两种花时所需的费用，比较大小即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴．
∵种满△AMD地带花费160元，∴S△AMD==20（m2），∴S△CMB=4S△AMD=80（m2），∴种满△BMC地带所需的费用为80×8=640（元）．
（2）∵△AMD∽△CMB，∴===．
∵△AMD与△AMB等高，∴，∴S△AMB=2S△AMD=40（m2）．
同理可求S△DMC=40m2．
当△AMB和△DMC地带种植玫瑰花时，所需总费用为160＋640＋80×12=1760（元），
当△AMB和△DMC地带种植茉莉花时，所需总费用为160＋640＋80×10=1600（元），
∴种植茉莉花刚好用完所筹资金．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质、梯形的几何特征，熟知三角形的性质是解题的关键．
16．（1）；（2）或AD=．
分析：
（1）先求出AC，BC的长，证出∠CAF=∠BCD，再得到∠CAF和∠BCD的三角函数值都与∠BCD的三角函数值相等，进一步得到BF的长；
（2）分两种情况①当点F在线段BC上时，根据三角函数值相等得到比例式，进而得到方程，求出BG的长，再由平行得到△ACD和△BDG相似从而得到相似比，得出方程求出AD的长；②当点F在CB的延长线上时，方法可参照①．
【详解】
解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=，
∴BC=4，AC=3，
∵AE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD
∴tan∠CAF=tan∠BCD=，
又∵∠ACB=90°，AC=3，
∴CF=，BF=；
（2）①如图1中，当点F在线段BC上时，过点B作BG//AC，交CD延长线于点G，
∵tan∠CAF=tan∠BCD，
∴=，即，
∴BG=，
∵BG//AC，
∴∠ACD=∠G，∠CAD=∠DBG，
∴△BGD∽△ACD
∴，即，
∴AD=．
②如图2中，当点F在CB延长线上时，过点B作BG//AC，交CD延长线于点G，
∵tan∠CAF=tan∠BCD，
∴，即，
∴BG=7，
∵BG//AC，
∴∠ACD=∠G，∠CAD=∠DBG，
∴△BGD∽△ACD
∴，即
∴AD=．
【点睛】
本题考查三角形的三角函数的应用、相似的判定与性质，用到了分类讨论的思想，转化为方程去思考是解题的关键，本题是一道难度较大的综合题．
17．（1）；（2）①的值为；②见解析．
分析：
（1）找到△CEG和△BDG相似，得到，又因为CD为等腰三角形ABC中AB边上的中线，计算出BD、BG的长度，再使用勾股定理即可计算出DE的长度；
（2）①由题目中的信息可以得到推到出∠FDB＝∠HDC，∠DFB=∠DHC；可以证明△DFB和△DHC全等，有DF=DH，推算出，从而计算出题目所求；
（2）②根据已知信息，设，根据勾股定理可以计算出，，可以推导出△DAF和△FAB相似，有；又因为△DFB和△DHC全等，有，DF=DH，由于，从而可以证明题目所求．
【详解】
（1）∵
∴△CEG∽△BDG，
∴
∵在等腰三角形ABC中，，CD为AB边上的中线，
∴，
∴ ∴
∴，
∴，
∴在Rt△CED中，；
（2）①∵DE⊥DF， ∴∠FDE=∠CDB=90°，
∴∠FDB＝∠HDC，
∵BF⊥CF， ∴∠CFB＝∠EDF=90°，
∴∠CFB+∠DFH=∠EDF+∠DFH， ∴∠DFB=∠DHC，
∵△ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线，
∴BD=CD，
∵在△DFB和△DHC中，
∴，
∴△DFB≌△DHC（AAS）， ∴DF=DH，
∵∠EDF=90°，
∴，即的值为；
②∵△ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线，
设，
∴，
∴，
∵， ∴，
∵∠DAF＝∠FAB， ∴△DAF∽△FAB，
∴，即，
∵△DFB≌△DHC， ∴，DF=DH，
∵；
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形及性质、全等三角形、勾股定理的综合运用，熟练掌握和灵活应用以上内容的相关定义及性质是我们解题的关键；其中根据不同的条件灵活使用以上知识点，得出我们所需，能够更有效的解题．
18．（1）见解析；（2）
分析：
（1）连接AF，CE，AC交EF于点O，由“AAS”证明△AEO≌△CFO，可得四边形AFCE是平行四边形，再结合AC⊥EF，可证得结论；
（2）作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小，由AD∥BC，可得△DEP∽△CHP，由相似三角形的性质可得比例式进而求得答案．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接AF，CE，AC交EF于点O
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO
∵点A与点C关于EF所在的直线对称
∴AO＝CO，AC⊥EF
∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴AE＝CF，且AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF
∴四边形AFCE是菱形；
（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小
∵四边形AFCE是菱形
∴AF＝CF＝CE＝AE
∵AF2＝BF2+AB2
∴AF2＝（4﹣AF）2+4
∴AF＝
∵AD∥BC
∴△DEP∽△CHP
∴＝＝．
答：当△PEF的周长最小时，的值为．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）CH的长为6．
分析：
（1）根据四边形ABCO是矩形，可得OA=BC=8，OC=AB=6，根据勾股定理可得OE和CP的长，进而得EF和CF的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE⊥CD；
（2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB-AD=6-2=4，根据勾股定理可得CD=4，根据点G是CD的中点，可得CG=DG=2，所以得点G是CP的三等分点，根据OA∥BC，对应边成比例即可求出CH的长．
【详解】
（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴OA=BC=8，OC=AB=6，
在Rt△OCE中，CE=3，
∴OE=，
∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2，
∴，
∴，
∴PA=4，
∴PO=PA+OA=12，
∴在Rt△OPC中，OC=6，
∴CP=，
∵OA∥BC，即OP∥CE，
∴，
∴，
∴EF=OE=，
CF=CP=，
∵()2+()2==9，
∴EF2+CF2=CE2，
∴△CEF是直角三角形，
∴∠CFE=90°，
∴OE⊥CD；
（2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4，
根据勾股定理，得CD=，
∵点G是CD的中点，
∴CG=DG=2，
由（1）知：CP=6，
∴DP=CP﹣CD=2，
∴点G是CP的三等分点，
∵OA∥BC，即OP∥CH，
∴，
∴，
∴CH=6．
答：CH的长为6．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
20．（1）CF＝；（2）AP＝；（3）AP的长为6．
分析：
（1）如图1，先根据勾股定理计算AC=10，PC=6，证明△CEP∽△CPA，得，则CE=7.2，计算AE=10-7.2=2.8，由平行线分线段成比例定理列比例式可得CF的长；
（2）如图2，由（1）知：CE•CA=CP2=CD2+DP2，即可求解；
（3）分PF=PC、FC=PC、FC=FP三种情况，继续利用CE•CA=CP2=CD2+DP2，求解即可．
【详解】
（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
Rt△PDC中，∵AP＝2，
∴PD＝CD＝6，
∴PC＝＝6，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠CPE＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠CPE，
∵∠PCE＝∠PCA，
∴△CEP∽△CPA，
∴，即，
∴CE＝7.2，
∴AE＝10﹣7.2＝2.8，
∵AP∥CF，
∴，即，
∴CF＝；
（2）如图2，
∵AD∥BC，PF⊥BC，
∴AD⊥PF，
∴∠APE＝90°，
tan∠DAC＝
设EP＝3x，AP＝4x，则AE＝5x，BF＝AP＝4x，
∴CE＝10﹣5x，PD＝8﹣4x，
由（1）知：CP2＝CE•AC，
Rt△PCD中，PC2＝PD2+CD2，
∴PD2+CD2＝CE•AC，
∴62+（8﹣4x）2＝10（10﹣5x），
解得：x＝0（舍）或x＝，
∴AP＝4x＝；
（3）分三种情况：
①当PF＝PC时，如图3，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，CF＝2PD＝16﹣2x，
∵AP∥CF，
∴，即，
∴，
∴，
由（2）知：用CE•CA＝CP2＝CD2+DP2，
∴＝62+（8﹣x）2，
∵x≠0，
∴x2﹣32x+156＝0，
（x﹣6）（x﹣26）＝0，
x＝6或26（舍），
∴AP＝6；
②当FC＝PC，如图4，连接AF，
∴∠CPE＝∠CFP＝∠APE＝∠ACB＝∠PAC，
∴AE＝EP，EF＝CE，
∵∠AEF＝∠PEC，
∴△AEF≌△PEC（SAS），
∴AF＝PC＝CF，
设CF＝AF＝a，则BF＝8﹣a，
Rt△ABF中，由勾股定理得：62+（8﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
∴CF＝CP＝，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，
∵CP2＝CD2+DP2，
∴，
解得：x＝（舍）或；
当x＝时，AP＝CP＝CF＝AF，且AC＝PF
∴四边形AFCP是正方形，此种情况不存在；
③当FC＝FP，如图5，P与A重合，
该情况不符合题意；
综上：AP的长为6．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、三角函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会构建方程计算边的长，属于中考压轴题．
21．（1）等边三角形，证明见解析
（2）作图见解析；①；②
分析：
（1）运用圆的直径所对应的圆周角为直角的定理，求出，且根据题意可知，OB=OC，故，∠ACO的度数便可相减得出，故的形状便可判断出来；
（2）作图方式：先以C为圆心，取合适的长度为半径，交CA、CB于某两点，再分别以该两点为圆心，取合适的长度为半径，所画圆弧的交点与C点连线即为∠ACB的角平分线．
①因为画出了角平分线，所以∠ACD的度数便可求出，而∠ACD为的圆周角，∠AOD是的圆心角，圆心角度数为圆周角度数的两倍，已知圆的直径和圆心角度数，则圆弧的长度即可求得；
②连接OD，作，分别求出AC、BD的长度，证明，两相似三角形的面积之比为边长之比的平方，即可求得答案．
【详解】
解：（1）是等边三角形．
证明：∵AB是⊙O的直径，圆的直径所对应的圆周角为直角，
∴，
又∵，且OB=OC，
∴
∴∠ACO=∠ACB-∠BCO=90°-30°=60°，
又∵，
∴是等边三角形．
（2）尺规作图如下图所示，先以C为圆心，取合适的长度为半径，交CA、CB于某两点，再分别以该两点为圆心，取合适的长度为半径，所画圆弧的交点与C点连线即为∠ACB的角平分线．
①∵CD平分∠ACB，
∴，
∴弧AD所对的圆心角为，
∴弧AD的长度．
②由①得，点D是半圆ADB的中点，
连接OD，过点O作，垂足为点F，
∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，
在中，，
∴，
∵同弧所对应圆周角相等，
∴，且对顶角相等，
故，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了圆周角概念的判析、圆的弧长的求法、尺规作图画角平分线、用相似三角形定理求两个三角形的面积之比，这里要注意的是，两个相似三角形的面积之比为边长之比的平方，这里的计算千万不能出错．
22．（1）b=-2,c=-3;（2）F（1，-2）（3）P（5,12）
分析：
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意求出B点坐标，得到直线BC的解析式，再根据对称性可得P点为直线BC与对称轴的交点，即可求解；
（3）过P点作PG⊥BC的延长线于G点，过D点作DH⊥BC的延长线于H点，得到△DEH∽△PEG，根据题意可得，可设P（m, ）,E（m,m-3）表示出PE,DE，故可求出m的值，故可求解．
【详解】
（1）把，代入
得
解得
∴
（2）∵=
∴对称轴为x=1
∵A，
∴A点关于x=1对称的点B为（3,0）
如图，连接BC，
设直线BC解析式为y=px+q
把B（3,0）,C（0，-3）代入得
解得
∴直线BC解析式为y=x-3
当x=1时，y=-2
∴直线BC交对称轴x=1与F（1，-2）
∵C=AC+AF+CF=AC+BF+CF=AC+BC,
故此时的周长最小，F（1，-2）；
（3）存在点使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍，
设P（m, ）,
∴E（m,m-3）
如图，过P点作PG⊥BC的延长线于G点，过D点作DH⊥BC的延长线于H点，
∴DH∥PG
∴△DEH∽△PEG
∴
∵PE=-（m-3）=，DE=m-3
∴
解得m1=5，m2=3
m=3时，分母为0不符合题意，故舍去
∴P（5,12）．
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质、对称性及相似三角形的判定与性质．
23．（1）AE=2；（2）CG=，cs∠CAG=
分析：
(1)过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，证明四边形AOHE是矩形得到EH=OA=3，求得，即可得到AE；
(2)先证明△ADE∽△OCD求得AD=1.2，OD=1.8，根据求得BF=2，CF=，连接BG，证明△AFC∽△GFB，得到，求得，即可得到CG=CF+GF=，设CO延长线交于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，在Rt△CGN中，求得NG=，即可得到cs∠CAG=cs∠CNG=.
【详解】
(1)过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，
∵直线l为的切线，A是切点，
∴OA⊥AE，
∵OC⊥AB，
∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90°，
∴四边形AOHE是矩形，
∴EH=OA=3，AE=OH，
∵,
∴,
∴AE=OH=CH-OC=2；
(2)∵∠OAE=∠AOC=90°，
∴OC∥AE，
∴△ADE∽△OCD，
∴，
∴AD=1.2，OD=1.8，
∵，
∴BF=2，
∴OF=1，
∴AF=4，CF=，
连接BG，
∵∠ACF=∠B，∠AFC=∠GFB，
∴△AFC∽△GFB，
∴，
∴，
∴，
∴CG=CF+GF=，
设CO延长线交于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，
在Rt△CGN中，∠CGN=90°，CN=6，CG=,
∴NG=，
∴cs∠CAG=cs∠CNG=.
【点睛】
此题考查矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，圆切线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数解直角三角形，熟记各定理并熟练运用解题，正确连接辅助线是解此题的关键.
24．（1）2 （2）3 （3）见解析
分析：
（1）根据题意设点B的坐标为（x，），得出点M的坐标为（，），代入反比例函数（），即可得出k；
（2）连接，根据反比例函数系数k的性质可得，，可得，根据，可得点到的距离等于点到距离，由此可得出答案；
（3）设，，可得，，根据，可得，同理，可得，，证明，可得，根据，得出，根据，关于对称，可得，，，可得，再根据，即可证明是平行四边形．
【详解】
解：（1）∵点B在上，
∴设点B的坐标为（x，），
∴OB中点M的坐标为（，），
∵点M在反比例函数（），
∴k=·=2，
故答案为：2；
（2）连接，则，
，
∵，
∴，
∵，
∴点到的距离等于点到距离，
∴；
（3）设，，
，，
又∵，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，关于对称，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是平行四边形．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．
25．（1）A(0,6)，B(8,0)；（2）y=−2x+6；（3）四边形ACFD是菱形，证明见解析；S四边形ACFD=20
分析：
（1）一次函数，令x=0求出y值，可得A点坐标，令y=0，求出x值，可得B点坐标，此题得解；
（2）已知A，B点坐标，结合勾股定理可求出AB的长度，再利用角平分线的性质即可求出点E的坐标，根据点A、E的坐标利用待定系数法即可求出直线AE的表达式；
（3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，连接CD交AF于点G，可得四边形ACFD是平行四边形，证明AD=DF，即可得到四边形ACFD是菱形，证明△AOE∽△BFE，即可得到，，求得BF和EF，进而求得四边形ACFD的面积．
【详解】
（1）∵
当x=0时，y=6
∴A(0,6)
当y=0时，
解得x=8
∴B(8,0)
∴A(0,6)，B(8,0)
（2）过点E作EM⊥AB于D
∴OA=6，OB=8，
∴AB=
∵AE平分∠BAO，交x轴于点E
∴OE=ME
∴
∴
∴OE=BE
∵OE+BE=OB=8
∴OE=3，BE=5
∴点E的坐标为(3,0)
设直线AE的表达式为y=kx+b
将A(0,6)、E(3,0)代入y=kx+b
解得：
∴直线AE的表达式为y=−2x+6
（3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，连接CD交AF于点G
∵FD//OA，FC//AB
∴四边形ACFD是平行四边形
∴∠CAF=∠AFD
∵∠CAF=∠FAD
∴∠AFD=∠FAD
∴AD=DF
∴四边形ACFD是菱形
∵∠AOE=∠BFE=90°，∠AEO=∠BEF
∴△AOE∽△BFE
∴
∵OE=3，OA=6
∴AE=
∴
∴BF=
∵四边形ACFD是菱形
∴DG⊥AF，AG=GF
∴DG=BF=
∵
∴
∴EF=
∴AF=AE+EF=
S四边形ACFD=AF×DG=
故答案为：四边形ACFD是菱形，证明见解析；S四边形ACFD=20
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法，及利用待定系数法求一次函数解析式，本题是一次函数与几何问题的结合，解题过程中应用了相似的判定及性质，菱形的判定及性质等知识点．
26．（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
分析：
（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，则DB＝CD，易得；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，则AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得；
（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，则BE＝AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE＝AB，于是有，这实际是三角形的角平分线定理；
（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】
解：（1） 等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，

因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，
∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，
AD＝B1D，

综上：这两个等式都成立；
（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：
如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
线段AD为其内角角平分线
∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD
∴BE＝AB，
又∵BE＝AB．
∴，
即对任意三角形结论仍然成立；
（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，
∵AD为△ABC的内角角平分线，
∴
∵DE∥AC，


∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

【点睛】
本题考查的是三角形相似的判定与性质的应用，直角三角形，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
27．（1）60°；（2）①；②
分析：
（1）利用SAS证出△ABE≌△CAD，然后根据全等三角形的性质、四边形的内角和和等边三角形的性质即可求出结论；
（2）过点E作EH∥AB交CD于点H，可证△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，然后列出比例式，结合（1）中全等即可求出结论；
（3）根据（2）的结论可设，然后根据相似三角形的判定定理证出△AFD∽ABE，列出比例式即可求出a的值，然后用m和n表示出EF和DF，再结合已知条件即可求出结论．
【详解】
解（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠BCA=∠BAC=60°
又AD=BE，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ADC=∠BEA
∵∠BDF＋∠ADC =180°
∴∠BDF+∠BEF=180°，
∴∠B+∠DFE=180°，
∵∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠AFD=∠B=60°
（2）过点E作EH∥AB交CD于点H，
∴△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，
∴，
由（1）△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=m，则BD=CE=n，
∴，，
∴
（3）∵
可设
则AE=AF＋EF=
∵∠AFD=∠B=60°，∠DAF=∠EAB
∴△AFD∽ABE
∴
即
解得：
∴，
∵=
∴
整理，得
∴或（不符合实际，舍去）
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质，此题难度较大，构造相似三角形并列出比例式是解决此题的关键．
28．（1）1秒；（2）当0＜t≤1时，∠BDF﹣∠AEF＝120°；当1＜t＜4时，∠BDF+∠AEF＝120°；（3）见解析
分析：
（1）由折叠的性质可得DF=DC，EF=EC，可证△DCF是等边三角形，可求CE的长，即可求解；
（2）分两种情况讨论，由折叠的性质和四边形内角和定理可求解；
（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可得结论．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，
∴DF＝DC，EF＝EC，且点F在AC上，∠C＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴CD＝CF＝AB﹣BD＝2，
∴CE＝1，
∴t＝＝1s；
（2）如图1，当0＜t≤1时，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，
∴∠F＝∠C＝60°，∠FDE＝∠CDE，∠CED＝∠FED，
∵∠C+∠CDE+∠CED＝180°，
∴∠C+∠F+∠CDE+∠EDF+∠CED+∠FED＝360°，
∴∠CDF+180°+∠AEF＝360°﹣120°
∴180°﹣∠BDF+180°+∠AEF＝240°，
∴∠BDF﹣∠AEF＝120°；
如图2，当1＜t＜4时，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，
∴∠F＝∠C＝60°，∠FDE＝∠CDE，∠CED＝∠FED，
∵∠FDC+∠C+∠F+∠CEF＝360°，
∴180°﹣∠BDF+120°+180°﹣∠AEF＝360°，
∴∠BDF+∠AEF＝120°；
（3）如图3，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE
∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°，EF＝EC，
∵GD⊥EF，∠EFD＝60°
∴FG＝1，DG＝FG＝，
∵BD2＝BG2+DG2，
∴16＝3+（BF+1）2，
∴BF＝﹣1
∴BG＝，
∵EH⊥BC，∠C＝60°
∴CH＝，EH＝HC＝EC，
∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°
∴△BGD∽△BHE，
∴，
∴，
∴EC＝﹣1，
∴EC＝EF＝BF＝﹣1，
∴点F是线段BE的中点．
【点睛】
考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题关键是添加恰当的辅助线构造相似三角形．
29．（1）（1，0），（3，0），（0，）；（2）在直线AC下方的抛物线上不存在点P，使S△ACP＝4，见解析；（3）见解析
分析：
（1）根据坐标轴上点的特点建立方程求解，即可得出结论；
（2）在直线AC下方轴x上一点，使S△ACH＝4，求出点H坐标，再求出直线AC的解析式，进而得出点H坐标，最后用过点H平行于直线AC的直线与抛物线解析式联立求解，即可得出结论；
（3）联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立，得出，进而得出，，再由得出，进而求出，同理可得，再根据，即可得出结论．
【详解】
（1）针对于抛物线，
令x＝0，则，
∴，
令y＝0，则，
解得，x＝1或x＝3，
∴，
综上所述：,,；
（2）由（1）知，，，
∵BM＝FM，
∴，
∵，
∴直线AC的解析式为：，
联立抛物线解析式得：，
解得：或，
∴，
如图1，设H是直线AC下方轴x上一点，AH＝a且S△ACH＝4，
∴，
解得：，
∴，
过H作l∥AC，
∴直线l的解析式为，
联立抛物线解析式，解得，
∴，
即：在直线AC下方的抛物线上不存在点P，使；
（3）如图2，过D，E分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，
设，，直线DE的解析式为，
联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立，得，
∴，，
∵DG⊥x轴，
∴DG∥OM，
∴，
∴，
即，
∴，同理可得
∴，
∴，
即，
∴，
∴直线DE的解析式为，
∴直线DE必经过一定点．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一次函数的综合应用，交点的求法，待定系数法求函数解析式等方法式解决本题的关键.
30．（1）见解析；（2）tan∠CED＝
分析：
（1）欲证明，只要证明即可；
（2）由，可得，设FO＝2a，OC＝3a，则DF＝a，DE＝1.5a，AD＝DB＝6a，由，可得BD•BE＝BC•BA，设AC＝BC＝x，则有，由此求出AC、CD即可解决问题.
【详解】
（1）证明：如下图，连接AE，
∵AD是直径，
∴，
∴DC⊥AB，
∵AC＝CB，
∴DA＝DB，
∴∠CDA＝∠CDB，
∵，，
∴∠BDC＝∠EAC，
∵∠AEC＝∠ADC，
∴∠EAC＝∠AEC，
∴；
（2）解：如下图，连接OC，
∵AO＝OD，AC＝CB，
∴OC∥BD，
∴，
∴，
设FO＝2a，OC＝3a，则DF＝a，DE＝1.5a，AD＝DB＝6a，
∵∠BAD＝∠BEC，∠B＝∠B，
∴，
∴BD•BE＝BC•BA，设AC＝BC＝x，
则有，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题属于圆的综合题，涉及到三角形的相似，解直角三角形等相关考点，熟练掌握三角形相似的判定及解直角三角形等相关内容是解决本题的关键.
31．（1），；（2）
分析：
(1) 根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°,结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA,利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ ADB,由等角对等边可得出;
(2) 过点B作BE∥ AD交AC于点E，同(1) 可得出AE，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【详解】
解: (1) ，
.
又
，
.
，
故答案为：；.
(2)过点作交于点，如图所示.
，
.
,
在中，，即，解得：
在中，
.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、相似三角形性质及勾股定理，构造相似三角形是解题的关键，利用勾股定理进行计算是解决本题的难点．
32．（1）；（2），(1，0)；（3）存在，、、或
分析：
（1）令x=0得，y=4，求出点C（0，4），根据OB=OC=4，得到点B（4，0）代入抛物线表达式求出a的值，即可解答；
（2）过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，设P（x，0），△PMN的面积为S，分别表示出，，，，根据＝，利用二次函数的性质当x=1时，S有最大值是，此时点的坐标是；
（3）存在点F，使得△DOE与△AOC相似．有两种可能情况：①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA，先求出点E的坐标，再求出直线DE的解析式，利用方程组求出点F的坐标，即可解答．
【详解】
解：（1）令＝得，＝，
∴，
∴＝＝，
∴，
代入抛物线表达式得：
＝，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，
由抛物线得：，
设，的面积为，
则，，，，
∴＝，
S，
∵，
∴当＝时，有最大值是，
∴的最大面积是，此时点的坐标是，
（3）存在点，使得与相似．有两种可能情况：①；②，
由抛物线得：，对称轴为直线＝，
∴＝，＝，＝，
①若，则，
∴，
解得＝，
∴点的坐标是或，
若点的坐标是，
则直线为：＝，
解方程组，
得：，（不合题意，舍去），
此时满足条件的点的坐标为，
若点的坐标是，
同理可求得满足条件的点的坐标为，
②若，
同理也可求得满足条件的点的坐标为，
满足条件的点的坐标为，
综上所述，存在满足条件的点，点的坐标为：
、、或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键.
33．（1）证明见解析；（2）；（3）．
分析：
（1）先证明是等边三角形，再利用SAS证明，然后可得出结论；
（2）根据已知易得四边形是平行四边形，再结合（1）中的全等可证明为等边三角形，根据等边三角形的性质以及面积公式可得出结果；
（3）先根据等边三角形的性质得出，令，由平行可得，再根据，然后用含a的式子表示出BH，AH，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴是等边三角形．
∴，．
∵
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．，．
由（1）知，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形．
∵，
∴；
（3）解：∵为等边三角形，∴．
∵，
∴在中，．
令，则，
∴．
∴．
∵，∴．
∴．
又∵，∴，．
∴．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质与判定，相似的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识点，掌握基本性质与判定定理是解题的关键．
34．(1)y＝x+；(2);(3) △OEP的其中两边的比能为：1，点P的坐标是：P（0，4），P（﹣4，12），P（﹣12，24），P（﹣4，0），P（﹣12，4）．
分析：
（1）过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M，由已知条件证明△AEO为正三角形，求出点E的坐标及OM的长度，再利用E、M的坐标即可求出解析式；
（2）无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，当AE⊥OQ时，线段AE的长最小利用α为锐角，tanα＝及勾股定理求出边长OE2，即可求出正方形的面积；
（3）分点F在y轴的正半轴上或负半轴上，且点P与点F或点A重合或不重合时，利用△OEP的两边之比为：1分别求出点P的坐标.
【详解】
（1）如图1，过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．
∵OE＝OA，α＝60°，
∴△AEO为正三角形，
则OH＝2，EH＝2，故点E（﹣2，2），
∠EOM＝30°，OM＝＝，
设EF的函数表达式为：y＝kx+，
将点E的坐标代入上式并解得：k＝，
故直线EF的表达式为：y＝x+；
（2）射线OQ与OA的夹角为α（α为锐角，tanα＝）．
无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，
∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．
在Rt△AOE中，设AE＝a，则OE＝3a，
则a2+（3a）2＝42，解得：a2＝，
OE＝3a，
正方形OEFG的面积＝（3a）2＝；
（3）设正方形边长为m．
当点F落在y轴正半轴时．
如图3，
当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有或．
在Rt△AOP中，∠APO＝45°，OP＝OA＝4，
∴点P1的坐标为（0，4）．
在图3的基础上，
当减小正方形边长时，
点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为：1；
当增加正方形边长时，存在（图4）和（图5）两种情况．
如图4，
△EFP是等腰直角三角形，
有,
即 ,
此时有AP∥OF．
在Rt△AOE中，∠AOE＝45°，
∴OE＝OA＝4，
∴PE＝OE＝8，PA＝PE+AE＝12，
∴点P的坐标为（﹣4，12）．
如图5，
过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF＝n．
在Rt△POG中，PO2＝PG2+OG2＝m2+（m+n）2＝2m2+2mn+n2，
在Rt△PEF中，PE2＝PF2+EF2＝m2+n2，
当时，
∴PO2＝2PE2．
∴2m2+2mn+n2＝2（m2+n2），得n＝2m．
∵EO∥PH，
∴△AOE∽△AHP，
∴ ,
∴AH＝4OA＝16，
∴m＝6．
在等腰Rt△PRH中，PR＝HR＝PH＝24，
∴OR＝RH﹣OH＝12，
∴点P的坐标为（﹣12，24）．
当点F落在y轴负半轴时，
如图6，
P与A重合时，在Rt△POG中，OP＝OG，
又∵正方形OGFE中，OG＝OE，
∴OP＝OE．
∴点P的坐标为（﹣4，0）．
在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中
两边之比不可能为：1；当正方形边长增加时，存在（图7）这一种情况．
如图7，过P作PR⊥x轴于点R，
设PG＝n．
在Rt△OPG中，PO2＝PG2+OG2＝n2+m2，
在Rt△PEF中，PE2＝PF2+FE2＝（m+n ）2+m2＝2m2+2mn+n2．
当时，
∴PE2＝2PO2．
∴2m2+2mn+n2＝2n2+2m2，
∴n＝2m，
由于NG＝OG＝m，则PN＝NG＝m，
∵OE∥PN，
∴△AOE∽△ANP，
∴,
即AN＝OA＝4．
在等腰Rt△ONG中，ON＝m，
∴8＝m，
∴m＝4，
在等腰Rt△PRN中，RN＝PR＝4，
∴点P的坐标为（﹣12，4）．
所以，△OEP的其中两边的比能为：1，
点P的坐标是：P（0，4），P（﹣4，12），P（﹣12，24），P（﹣4，0），P（﹣12，4）．
【点睛】
此题是一道综合题，考查正方形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，三角函数，待定系数法，坐标系中的动点问题，（3）是难点，分情况进行讨论求解.
35．（1）证明见解析；（2） ；（3）当， ；当，．
分析：
（1）先利用角平分线的性质，得 ， ，再利用外角、三角形内角和进行换算即可；
（2）延长AD，构造平行相似，得到，再按条件进行计算；
（3）利用△ABC与△ADE相似，得到 ，所以得到 或，再利用三角函数求值．
【详解】
（1）如图1中
∵
∴ ,
∵AD平分
∴ ，同理得
∵ ，

∴
∴
（2）延长AD交BC于点F
∵
∴
BE平分∠ABC
∴
∴
∴
∴ ，
∵
∴
（3）∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC中必有一个内角和为90°
∵∠ABC是锐角
∴
当 时
∵
∴
∵
∴ ，
∵分别是的内角的平分线
∴
∴
∵
∴
代入解得

②当 时

∵△ABC与△ADE相似
∴
∵分别是的内角的平分线
∴
∴
此时
综上所述，当， ；当，
【点睛】
本题考查了相似三角形的综合题，掌握相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及锐角三角函数是解题的关键．
36．（1）（2）存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等
分析：
（1）根据点E在x轴正半轴上，OE=OF=10，即可得出E（10，0），再根据点F在射线BA上，可设F（x，x+2），则OH=x，FH=x+2，最后根据勾股定理求得x即可；
（2）当点Q在射线HF上时，分两种情况：①QE=OE=10，②QP=OE=10；当点Q在射线AF上时，分两种情况：①QE=OE=10，②QP=OE=10，分别作辅助线构造直角三角形或相似三角形，求得QH的长，即可得出点Q的坐标．
【详解】
（1）∵点E在x轴正半轴上，OE=OF=10，∴E（10，0）．
∵点F在射线BA上，∴可设F（x，x+2），则OH=x，FH=x+2，如图，连接OF，则
Rt△OHF中，x2+（x+2）2=102，解得：x=6，∴x+2=8，∴F（6，8）．
故答案为（10，0），（6，8）；
（2）存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等．
当点Q在射线HF上时，分两种情况：
①如图所示，若QE=OE=10，而HE=10﹣6=4，∴在Rt△QHE中，QH===2，∴Q（6，2）；
②如图所示，若QP=OE=10，作PK⊥FH于K，则∠PKQ=∠QHE=90°，QK==8．
∵∠PQK+∠EQH=∠QEH+∠EQH=90°，∴∠PQK=∠QEH，∴△PQK∽△QEH，∴=，即=，解得：QH=3，∴Q（6，3）；
当点Q在射线AF上时，分两种情况：
①如图所示，若QE=OE=10，设Q（x，x+2），作QR⊥x轴于R，则RE=10﹣x，QR=x+2，∴Rt△QRE中，（10﹣x）2+（x+2）2=102，解得：x=4±，∴Q（4+，6+）或（4﹣，6﹣）；
②如图所示，若QP=OE=10，则QE=OP，设Q（x，x+2）．
∵∠POE=90°，∴四边形OPQE是矩形，∴x=OE=10．
∵Q在射线AF上，∴x+2=QE=12，∴Q（10，12）．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的性质，矩形的性质以及勾股定理的综合应用．解决第（2）题的关键是分类讨论，运用勾股定理以及相似三角形的对应边成比例进行计算求解．分类时注意不能遗漏，也不能重复．
37．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析．
分析：
（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC= k，BD=4 k，得到BH=DH=2 k，根据平行线分线段成比例定理得到，求得GM=2MC；
②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．
【详解】
（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，
∵BA=BD，BE=BE，
∴△ABE≌△DBE；
（2）①过G作GH∥AD交BC于H，
∵AG=BG，
∴BH=DH，
∵BD=4DC，
设DC=k，BD=4k，
∴BH=DH=2k，
∵GH∥AD，
∴，
∴GM=2MC；
②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，
∴△AGM∽△NCM，
∴，
由①知GM=2MC，
∴2NC=AG，
∵∠BAC=∠AEB=90°，
∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，
∴△ACN∽△BAF，
∴，
∵AB=AG，
∴，
∴2CN•AG=AF•AC，
∴AG2=AF•AC．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；和差倍分．
38．（1）证明见解析；（2）24．
分析：
（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；
（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中

∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
39．（1）；（2）
分析：
（1）由△ADE∽△GBE，可求出BG的长，再由△HDF∽△GBF，即可求出HD的长；
（2）由△ADE∽△GBE，可求出S△ADE=4S△BGE=4a，再由△HDF∽△GBF，即可求出S△DHF=S△BGF，由三角形的面积公式可求出S△DHF=S△BGF，进而可求四边形的面积．
【详解】
解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8，
∴△ADE∽△GBE，
∴．
∵，
∴BG=AD=4．
∵AD//BC，
∴△HDF∽△GBF，
∴．
∵，
∴HD=BG=2；
（2）∵△ADE∽△GBE， ，
∴S△ADE=4S△BGE=4a．
∵△HDF∽△GBF，
∴S△DHF=S△BGF．
∵，
∴S△BGF=2S△BGE，
∴S△DHF=S△BGE=a，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
40．（1）；（2）
分析：
（1）先根据题意求出点A、B的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）易证，且相似比为1：2，然后利用S阴影代入数据计算即可．
【详解】
解：（1），
所以点A坐标为（0，4)，点C坐标为（1，0），
又轴，点B坐标为（2，4），
设直线BC的表达式为y=kx+b，将点B，C坐标代入表达式，
得，解得：k=4，b=﹣4，
所以直线的表达式为．
(2) 轴，∴AB∥x轴，
，
∴，
∵，
∴，
∴S阴影．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的关系式、相似三角形的判定和性质以及阴影面积的计算等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
41．①②③④
分析：
将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，根据正方形的性质和且∠MAN=45°可证明MN=BM+DN；根据BD是正方形ABCD的对角线，推出∠EBM=∠MAN=45°，于是得到△AEF∽△BEM；根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△FEM，根据相似三角形的性质得到∠EMF=∠ABE=45°，推出△AFM是等腰直角三角形，于是得到；根据全等三角形的性质得到AF=CF，等量代换得到△FMC是等腰三角形．
【详解】
将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，
∴∠M′AD=∠MAB，AM′=AM，BM=DM′，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°，
∴∠M′AN=∠DAN+∠M′AD=∠DAN+∠MAB=45°，
在△AMN和△AM′N中，
，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN；故①正确；
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBM=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EBM=∠MAN=45°，
∵∠AEF =∠BEM，
∴△AEF∽△BEM，故②正确；
∴，即，
∵∠AEB=∠MEF，
∴△AEB∽△FEM，
∴∠EMF=∠ABE=45°，
∵∠MAN=45°，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴，故③正确；
在△ADF与△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF=CF，
∵AF=MF，
∴FM=FC，
∴△FMC是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
42．
分析：
利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明△CAB∽△CP′O利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
故答案为：．
【点睛】
考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
43．或．
分析：
先根据矩形的性质、勾股定理求出，再分点P在线段BC上和点P在BC的延长线上两种情况，分别利用勾股定理、线段的和差分别求出AP、BP的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【详解】
设，
四边形ABCD是矩形，，
，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
即，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，点P在线段BC上，
，
，
在中，，
，
，
，
，
（2）如图2，点P在BC的延长线上，
，
，
在中，，
，
，
，
，
综上，AQ的长为或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．
44．
分析：
证明△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝4，过点B作∠ABF＝∠CBD，交AC于F，作BN⊥AC于N，则AN＝CN＝2，BN＝AB=，证明△ABF≌△CBE（ASA），得出AF＝CE＝1，求出CF＝3，FE＝AC−AF−CE＝2，FN＝EN＝EF＝1，得出BF＝BE，得出∠BFE＝∠BEF，证出BF∥CD，得出△FEB∽△CED，得出，求出CD＝BF＝，连接FD并延长交BC的延长线于M，则CD是△BFM的中位线，得出DM＝DF，证明CH是△BDM的中位线，得出CH＝DM＝DF，证明DC＝DE，作DG⊥AC于G，得CG＝EG＝CE＝，得出FG＝EF＋EG＝，由勾股定理得出DG＝，DF＝，即可得出答案．
【详解】
∵AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝4，
过点B作∠ABF＝∠CBD，交AC于F，作BN⊥AC于N，如图所示：
则 AN＝CN＝2，，
在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE＝1，
∴CF＝3，FE＝AC﹣AF﹣CE＝4﹣1﹣1＝2，FNEN，
∴BF＝BE，BF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∵∠ABD+∠BCD＝180°，
∴∠ABD＝∠CBD+∠CDB，
∵∠ABD＝∠ABF+∠FBE＝∠CBD+∠FBE，
∴∠FBE＝∠CDB
∴BF∥CD，
∴△FEB∽△CED
CD=BF=
连接FD并延长交BC的延长线于M，则CD是△BFM的中位线，
∴DM＝DF，
∵H为BD的中点，
∴CH是△BDM的中位线，
，
∵BF∥CD，
∴∠DCE＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠DEC，
DCDE，
作DGAC于G，
CGEGCE，
FGEFEG，
DG 
 DF，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
45．
分析：
过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，证明△BEG∽△BAF，求出EG的长，再证明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出，，再求出BG=GF=BF=，从而求出NG和MG，可得MN的长.
【详解】
解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，
由题意可知：EH∥BC，
∴△BEG∽△BAF，
∴，
∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，
∴BE=2，AF=3，
∴，
∴EG=，
∵EH∥BC，
∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，
∴，,
∴，，
即，，
∴，，
∵E为AB中点，EH∥BC，
∴G为BF中点，
∴BG=GF=BF=，
∴NG==，MG=BG=，
∴MN=NG+MG=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH，得到相似三角形.
46．
分析：
作BE⊥x轴，垂直为E，先证明△AOC≌△CEB，得OC=BE=1,AO=CE；再证明△AOC≌△AOD，得OC=OD=1；设DE=m，通过证明△BED∽△AOD，构造方程，求出m，确定E的坐标，即可求解．
【详解】
解：作BE⊥x轴，垂直为E,则∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∴∠ACO=∠CBE，
∵∠AOC=∠CEB=90°，
∴△AOC≌△CEB，
∴OC=BE=1,AO=CE．
∵y轴平分∠BAC，
∴∠CAO=∠DAO，
∵OA=OA, ∠AOC=∠AOD=90°，
∴△AOC≌△AOD，
∴OC=OD=1．
设DE=m，则CE=OA=2+m，
∵BE∥OA，
∴△BED∽△AOD，
∴，
即： ，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴OE=OD+DE=，
∴点B的坐标为()，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点比较多，见到△ABC为等腰直角三角形，考虑做辅助线，化斜为直，构造全等或相似，这是解决平面直角坐标系中求点的坐标的常见思路，要深刻领会．
47．9
分析：
根据正方形的性质得OB=OD，AD∥BC，根据三角形相似的性质和判定得：，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD，AD∥BC，
∴△BEF∽△DEA，
∴，
∵E是OB的中点，
∴，
∴，
∴，
∵△BEF的面积为1，
∴△AEB的面积为3，
∵，
∴，
∴△AED的面积为9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形面积，三角形相似的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是关键．
48．
分析：
如图，过点F作FM⊥EG于M，根据等边三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=60°，AB=AC，CE=CD，利用线段的和差关系可得CF=4，根据角的和差关系可得∠BCE=∠ACD，利用SAS可证明△BCE≌△ACD，可得∠BEC=∠ADC，根据∠GFE=∠CFD即可证明△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°，根据相似三角形的性质可得，可得，根据含30°角的直角三角形的性质可得MG=GF，设GF=2a，则EG=3a，MG=a，即可得出ME=2a，在Rt△EMF中，利用勾股定理列方程可求出a的值，进而可求出EG的长．
【详解】
如图，过点F作FM⊥EG于M，
∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC，CE=CD，
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
∵CD=6，EF=2，CE=EF+CF，
∴CF=CE-EF=CD-EF=4，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD，
∴∠BEC=∠ADC，
∵∠GFE=∠CFD，
∴△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°，
∴，
∴，
设GF=2a，则EG=3a，
∵FM⊥EG，∠EGF=60°，
∴∠GFM=30°，
∴MG=GF=a，
∴MF=a，ME=EG-MG=2a，
∴EF2=ME2+MF2，即4a2+3a2=4，
解得：a=，（负值舍去）
∴EG=3a=．
故答案为：
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
49．12
分析：
如图（见解析），延长BQ交射线EF于点M，先根据中位线定理得出，再根据角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的定义得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质得出，从而可求出EM的长．
【详解】
如图，延长BQ交射线EF于点M
、分别是、的中点
平分
由得
即
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
50．
分析：
将补成矩形，延长交于点，可得，结合已知可求、，再由即可求出CE．
【详解】
解：如解图，补成矩形，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴设，则，
又∵在矩形中，，
∴，
∴，即，
解得．
∴．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，证明是本题的关键．