第二章 第二节 函数的单调性及最值-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第二节 函数的单调性与最值

知识回顾 

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

[熟记常用结论]

1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性．

(2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．

(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．

2．复合函数的单调性

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．

3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．

课前检测

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．

①y＝；    ②y＝(x－1)2；

③y＝2－x;     ④y＝log0.5(x＋1)．

2．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：

①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；

②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；

③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．

其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．

3．函数f (x)＝(－2x2＋x)的单调增区间是________；f (x)的值域是________．

4．函数y＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．

5．设函数f (x)＝是单调函数．则a的取值范围是________；若f (x)的值域是R，则a＝________.

课中讲解

考点一.判断函数的单调性

例1　(1)判断函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．

(2)求函数y＝的单调区间．

变式1.(1)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．

(2)求函数y＝(x2－4x＋3)的单调区间．

变式2.函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)

A.　　　　　　 B.和[2，＋∞)

C．(－∞，1]和  D.和[2，＋∞)

考点二.函数单调性的应用

例1.已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b　　　　　　 B．c>b>a

C．a>c>b  D．b>a>c

　变式1.(1)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1,1)  B．(0,1)

C．(－1,0)∪(0,1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

(2)定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．

例2.　(1)已知f (x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B.

C.   D.

(2)已知函数f (x)＝若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．

变式2.(1)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

(2)已知f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．

例3．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]  B．[1,4]

C．[4，＋∞)  D．(－∞，1]∪[4，＋∞)

变式3．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．

考点三.最值问题

例1.（2020•安徽省肥东县）函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为______。

变式1.(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．

(2)函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.

例2.(1)已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D.

(2)函数f(x)＝的最大值为________．

课后练习

一．单选题

1. (2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2)   B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)   D．(4，＋∞)

2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________．

3．函数y＝在[2,3]上的最大值是________．

4．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

5．函数y＝的单调递减区间为________．

6．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．

7．函数f(x)＝的最大值为________．

8.函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．

9.(2017·郑州模拟)函数y＝的单调递增区间为(　　)

A．(1，＋∞)   B.

C.   D.

10.函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)

A．[1,2]   B．[－1,0]

C．(0,2]   D．[2，＋∞)

11.函数 的单调递减区间为(　　)

A．

B．

C．

D．

12.【2019年河南周口项城市第三高级中学高一上学期期中考试数学试卷】

下列函数中，在区间 上是增函数的是(　　)

A．

B．

C．

D．

13.【2019年10月福建厦门福建省厦门双十中学高一上学期月考数学试卷】

函数 的值域是(　　)

A．

B．

C．

D．

14.【2019年浙江杭州西湖区绿城育华学校高一上学期期中考试】

函数的单调递减区间为(　　)

A．，

B．，

C．

D．

15.【2019年10月江苏南京鼓楼区南京市第二十九中学高一上学期月考数学试卷】

若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是(　　)

A．

B．

C．

D．

二．多选题

16．(多选)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则(　　)

A．πe<3e   B．3e－2π<3πe－2

C．logπe<log3e   D．πlog3e>3logπe