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2023-2024学年山东省济南市平阴县八年级（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年山东省济南市平阴县八年级（下）期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知aA. a2b−2D. a+2>b+2
3.若分式x+12x−1的值为0，则x的值是( )
A. x=1B. x=−1C. x=12D. x=−12
4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是x=1，则a+b+c的值是( )
A. 0B. −1C. 1D. 不能确定
5.如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为( )
A. 160 B. 180
C. 320 D. 480
6.下列判断错误的是( )
A. 邻边相等的四边形是菱形
B. 有一角为直角的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D. 矩形的对角线互相平分且相等
7.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为( )
A. 2cm B. 2cm C. ( 2−1)cm D. (2 2−1)cm
8.如图，直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(−4,0)，点B(2,0)，则x+b>0kx+4>0解集为( )
A. −42D. x<−4或x>2
9.如图，正方形ABCD中，AB=1，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接AE、EF、AF，下列结论：①BE+DF=EF；②AE平分∠BEF；③△CEF的周长为2；④S△CEF=S△ABE+S△ADF，其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
10.定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.例如：如图①，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°且DC=BC，那么四边形ABCD就是邻等四边形．
问题解决：如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形(点D在格点上)，则所有符合条件的点D共有( )个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：xy−y2= ______．
12.如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1= ______．
13.若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14.若关于x的分式方程1−xx−2=m2−x−2有增根，则m的值是______．
15.如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作EF⊥BD，交AD于点E、交BC于F，连接BE、DF.若AB=3，AD=4.则四边形BFDE的面积______．
16.如图，已知线段AB=12，点C是线段AB上一动点，将点A绕点C顺时针旋转60°得到点D，连接AD、CD；以CD为边在CD的右侧做矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接BM，则线段BM的最小值是______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组：2(x−1)≤x+3①x+1318.(本小题6分)
先化简，再求值：(1+3a−2)÷a+1a2−4，再从−2，−1，0，2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值．
19.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2+12x+27=0；
(3)1x−1=1x2−1．
20.(本小题6分)
已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE=BF．
21.(本小题8分)
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x+n)，则x2−4x+m=(x+3)(x+n)，
即x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴n+3=−43n=m，
解得n=−7m=−21．
故另一个因式为(x−7)，m的值为−21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式x2+3x−c有一个因式是(x−5)，则c= ______；
(2)已知二次三项式2x2−6x−k有一个因式是(x−5)，求另一个因式以及k的值．
22.(本小题8分)
如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
(1)求证：BD=EC；
(2)若∠E=50°，求∠BAO的大小．
23.(本小题10分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)平移△ABC，点A的对应点A1的坐标为(1,−5)，画出平移后对应的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
(2)△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到△A2B2C，按要求作出图形；
(3)如果△A2B2C通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．
24.(本小题10分)
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题12分)
阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1，x2和系数a、b、c，有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根．
∴m+n=1，mn=−1．
则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2= ______，x1x2= ______．
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m、n，求m2+n2的值；
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，且s≠t．
求：①4s2+7s+t；
②1s−1t的值．
26.(本小题12分)
综合与实践．
【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，交AC于点G，连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)如图2，当ED//BC时：
①则α= ______°；
②判断BD与AE的位置关系，并说明理由．
【深入探究】
(2)如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：______；
【拓展延伸】
(3)如图4，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上(不与A重合)，以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图5，M为EF的中点，N为BE的中点.请说明△MND为等腰三角形．
答案解析
1.A
2.A
3.B
4.A
5.A
6.A
7.D
8.A
9.C
10.B
11.y(x−y)
12.45°
13.k<1
14.1
15.758
16.6
17.解：2(x−1)≤x+3①x+13解不等式①，得x≤5，
解不等式②，得x>2，
所以不等式组的解集是2所以不等式组的整数解是3，4，5．
18.解：(1+3a−2)÷a+1a2−4
=a+1a−2×(a+2)(a−2)a+1
=a+2；
把a=0代入上式得：
原式=0+2=2．
19.解：(1)(x+3)(x+9)=0，
x+3=0或x+9=0，
所以x1=−3，x2=−9；
(2)两边乘(x+1)(x−1)得，
x+1=1，
∴x=0，
经检验x=0是分式方程的解．
20.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO ∠OEA=∠OFC AO=CO ，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴DE=BF．
21.(1)40．
(2)设另一个因式为(2x+n)，则：2x2−6x−k=(x−5)(2x+n)，
即：2x2−6x−k=2x2+(n−10)x−5n，
∴n−10=−6−5n=−k，
解得n=4k=20．
故另一个因式为(2x+4)，k的值为20．
22.(1)证明：∵菱形ABCD，
∴AB=CD，AB//CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE//CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=EC；
(2)解：∵平行四边形BECD，
∴BD//CE，
∴∠ABO=∠E=50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC丄BD，
∴∠BAO=90°−∠ABO=40°．
23.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；B1坐标
为(2,−2)；
(2)如图所示，△AA2B2C即为所求．
(3)如图所示，点P即为所求，P的坐标为(−1,−5)．
24.解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得240x−4=240x+2，
解得x1=10，x2=−12(舍去)，
经检验，x1=10，x2=−12都是原分式方程的根，但x2=−12不合题意舍去，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得(10+2)m+10(400−m)≤4600，
解得m≤300，
w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵2>0，
∴w随着m增大而增大，
当m=300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400=3000(元)，
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
25.(1)−32，−12；
(2)∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为m，n，
∴m+n=−32，mn=−12，
∴m2+n2=(m+n)2−2mn=94+1=134；
(3)①∵实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根，
∴2s2+3s=1，s+t=−32，
∴4s2+7s+t=4s2+6s+s+t=2(2s2+3s)+(s+t)=2+(−32)=12；
②∵实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根，
∴s+t=−32，st=−12，
∵(t−s)2=(t+s)2−4st=(−32)2−4×(−12)=174，
∴t−s=± 172，
∴1s−1t=t−sst=± 172−12=± 17．
26. 解：(1)①45；
②BD⊥AE，
理由：∵∠BCA=∠ECD=90°，
∴∠BCA−∠DCA=∠ECD−∠DCA，
∴∠ECA=∠BCD，
∵EC=CD，AC=CB，
∴△AEC≌△BDC(SAS)，
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BGC+∠GBC=90°，
∴∠AGF+∠EAC=90°，
∴∠AFG=90°，
∴BD⊥AE；
(2)BF=AF+ 2CF，
(3)连接BF，CE，延长CE交MN于P，交BF于O，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵M为EF的中点，N为BE的中点，
∴MN，ND分别是△BEF，△BCE的中位线，
∴MN=12BF，DN=12EC，
∵∠FAE=∠BAC=60°，
∴∠FAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，
∴∠FAB=∠EAC，
∵AF=AE，AB=AC，
∴△ACE≌△ABF(SAS)，
∴BF=EC，
∴MN=DN，
∴△MND为等腰三角形．
1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知a
3.若分式x+12x−1的值为0，则x的值是( )
A. x=1B. x=−1C. x=12D. x=−12
4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是x=1，则a+b+c的值是( )
A. 0B. −1C. 1D. 不能确定
5.如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为( )
A. 160 B. 180
C. 320 D. 480
6.下列判断错误的是( )
A. 邻边相等的四边形是菱形
B. 有一角为直角的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D. 矩形的对角线互相平分且相等
7.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为( )
A. 2cm B. 2cm C. ( 2−1)cm D. (2 2−1)cm
8.如图，直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(−4,0)，点B(2,0)，则x+b>0kx+4>0解集为( )
A. −4
9.如图，正方形ABCD中，AB=1，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接AE、EF、AF，下列结论：①BE+DF=EF；②AE平分∠BEF；③△CEF的周长为2；④S△CEF=S△ABE+S△ADF，其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
10.定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.例如：如图①，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°且DC=BC，那么四边形ABCD就是邻等四边形．
问题解决：如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形(点D在格点上)，则所有符合条件的点D共有( )个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：xy−y2= ______．
12.如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1= ______．
13.若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14.若关于x的分式方程1−xx−2=m2−x−2有增根，则m的值是______．
15.如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作EF⊥BD，交AD于点E、交BC于F，连接BE、DF.若AB=3，AD=4.则四边形BFDE的面积______．
16.如图，已知线段AB=12，点C是线段AB上一动点，将点A绕点C顺时针旋转60°得到点D，连接AD、CD；以CD为边在CD的右侧做矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接BM，则线段BM的最小值是______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组：2(x−1)≤x+3①x+13
先化简，再求值：(1+3a−2)÷a+1a2−4，再从−2，−1，0，2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值．
19.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2+12x+27=0；
(3)1x−1=1x2−1．
20.(本小题6分)
已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE=BF．
21.(本小题8分)
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x+n)，则x2−4x+m=(x+3)(x+n)，
即x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴n+3=−43n=m，
解得n=−7m=−21．
故另一个因式为(x−7)，m的值为−21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式x2+3x−c有一个因式是(x−5)，则c= ______；
(2)已知二次三项式2x2−6x−k有一个因式是(x−5)，求另一个因式以及k的值．
22.(本小题8分)
如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
(1)求证：BD=EC；
(2)若∠E=50°，求∠BAO的大小．
23.(本小题10分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)平移△ABC，点A的对应点A1的坐标为(1,−5)，画出平移后对应的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
(2)△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到△A2B2C，按要求作出图形；
(3)如果△A2B2C通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．
24.(本小题10分)
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题12分)
阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1，x2和系数a、b、c，有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根．
∴m+n=1，mn=−1．
则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2= ______，x1x2= ______．
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m、n，求m2+n2的值；
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，且s≠t．
求：①4s2+7s+t；
②1s−1t的值．
26.(本小题12分)
综合与实践．
【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，交AC于点G，连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)如图2，当ED//BC时：
①则α= ______°；
②判断BD与AE的位置关系，并说明理由．
【深入探究】
(2)如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：______；
【拓展延伸】
(3)如图4，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上(不与A重合)，以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图5，M为EF的中点，N为BE的中点.请说明△MND为等腰三角形．
答案解析
1.A
2.A
3.B
4.A
5.A
6.A
7.D
8.A
9.C
10.B
11.y(x−y)
12.45°
13.k<1
14.1
15.758
16.6
17.解：2(x−1)≤x+3①x+13
解不等式②，得x>2，
所以不等式组的解集是2
18.解：(1+3a−2)÷a+1a2−4
=a+1a−2×(a+2)(a−2)a+1
=a+2；
把a=0代入上式得：
原式=0+2=2．
19.解：(1)(x+3)(x+9)=0，
x+3=0或x+9=0，
所以x1=−3，x2=−9；
(2)两边乘(x+1)(x−1)得，
x+1=1，
∴x=0，
经检验x=0是分式方程的解．
20.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO ∠OEA=∠OFC AO=CO ，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴DE=BF．
21.(1)40．
(2)设另一个因式为(2x+n)，则：2x2−6x−k=(x−5)(2x+n)，
即：2x2−6x−k=2x2+(n−10)x−5n，
∴n−10=−6−5n=−k，
解得n=4k=20．
故另一个因式为(2x+4)，k的值为20．
22.(1)证明：∵菱形ABCD，
∴AB=CD，AB//CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE//CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=EC；
(2)解：∵平行四边形BECD，
∴BD//CE，
∴∠ABO=∠E=50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC丄BD，
∴∠BAO=90°−∠ABO=40°．
23.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；B1坐标
为(2,−2)；
(2)如图所示，△AA2B2C即为所求．
(3)如图所示，点P即为所求，P的坐标为(−1,−5)．
24.解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得240x−4=240x+2，
解得x1=10，x2=−12(舍去)，
经检验，x1=10，x2=−12都是原分式方程的根，但x2=−12不合题意舍去，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得(10+2)m+10(400−m)≤4600，
解得m≤300，
w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵2>0，
∴w随着m增大而增大，
当m=300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400=3000(元)，
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
25.(1)−32，−12；
(2)∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为m，n，
∴m+n=−32，mn=−12，
∴m2+n2=(m+n)2−2mn=94+1=134；
(3)①∵实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根，
∴2s2+3s=1，s+t=−32，
∴4s2+7s+t=4s2+6s+s+t=2(2s2+3s)+(s+t)=2+(−32)=12；
②∵实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根，
∴s+t=−32，st=−12，
∵(t−s)2=(t+s)2−4st=(−32)2−4×(−12)=174，
∴t−s=± 172，
∴1s−1t=t−sst=± 172−12=± 17．
26. 解：(1)①45；
②BD⊥AE，
理由：∵∠BCA=∠ECD=90°，
∴∠BCA−∠DCA=∠ECD−∠DCA，
∴∠ECA=∠BCD，
∵EC=CD，AC=CB，
∴△AEC≌△BDC(SAS)，
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BGC+∠GBC=90°，
∴∠AGF+∠EAC=90°，
∴∠AFG=90°，
∴BD⊥AE；
(2)BF=AF+ 2CF，
(3)连接BF，CE，延长CE交MN于P，交BF于O，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵M为EF的中点，N为BE的中点，
∴MN，ND分别是△BEF，△BCE的中位线，
∴MN=12BF，DN=12EC，
∵∠FAE=∠BAC=60°，
∴∠FAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，
∴∠FAB=∠EAC，
∵AF=AE，AB=AC，
∴△ACE≌△ABF(SAS)，
∴BF=EC，
∴MN=DN，
∴△MND为等腰三角形．
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