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2022-2023学年山东省济南市平阴县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省济南市平阴县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市平阴县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是( )
A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线
C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线
2. 如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是( )
A. x<−1或x≥3 B. x≤−1或x>3 C. −1≤x<3 D. −1
A. −3 B. 3 C. 8 D. −8
4. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. (x+1)(x−1)=x2−1 B. x2−2x−1=x(x−2)−1
C. a(x+y)=ax+ay D. x2+2x+1=(x+1)2
5. 下列说法中正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形
C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分
6. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱.中汽协称，我国新能源汽车近两年来高速发展，连续8年位居全球第一，销量持续爆发式增长，2020年销量约为136万辆，到2022年销量达到680万辆.若年平均增长率相同设为x，则可列方程为( )
A. 680(1−x)2=136 B. 136(1+x)2=680
C. 136+136x2=680 D. 136(1+2x)=680
7. 若把分式x+y2xy中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值( )
A. 缩小6倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变
8. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5)，则关于x的不等式x+b>kx+6的解集为( )
A. x>3
B. x<3
C. x>5
D. x<5
9. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6，AB=5，则AE的长为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
10. 如图，坐标系中△ABC的顶点坐标分别为A(−1,1)、B(0,−2)、C(1,0)，点P(0,2)绕点A旋转得到点P1，点P1绕点B旋转得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转得到点P4…按此作法进行下去，则点P2023的坐标为( )
A. (0,2)
B. (−2,0)
C. (2,−4)
D. (−2,−2)
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：x2−6x+9=______．
12. 若ab=53，则aa−b= ______ ．
13. 如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE=______．
14. 如图所示，刘伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围起来放养小鸡，则需用篱笆的长是______米．
15. 关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是______．
16. 如图，菱形ABCD的对角线AC=12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则PD+PE的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式组：5x+2≥4x−1①x+14>x−32+1②，并写出它的正整数解．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(xx−3−13−x)÷x+1x2−9，其中x= 2−3．
19. (本小题8.0分)
解下列方程：
(1)x2−5x−6=0；
(2)xx−1=x−12x−2．
20. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB//OC，点B，C的坐标分别为(15,8)，(21,0)，动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动.M，N同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为t秒．
(1)在t=3时，M点坐标______ ，N点坐标______ ．
(2)当t为何值时，四边形OAMN是矩形？
21. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．
22. (本小题8.0分)
定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中常数项c是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
(1)已知关于x的方程x2+x+c=0是常数根一元二次方程，则c的值为______ ；
(2)如果关于x的方程x2+2mx+m+1=0是常数根一元二次方程，求m的值．
23. (本小题10.0分)
阅读材料：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
数学课上，老师在求代数式x2−4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2，对式子作如下变形：x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2)2+1．
因为(x−2)2≥0，
所以(x−2)2+1≥1，
因此(x−2)2+1有最小值为1，即x2−4x+5的最小值为1．
通过阅读，解下列问题：
(1)代数式x2+6x+12的最小值为______ ；
(2)求代数式−x2+2x+9的最大或最小值．
24. (本小题10.0分)
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1,3)，B(4,4)，C(2,1)．
(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1．
(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2．
(3)观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点(______ ，______ )中心对称．
(4)在平面上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点D的坐标，若不存在，请说明理由．
26. (本小题12.0分)
在正方形ABCD中，点P是CD边上点，点E在AP的延长线上，将线段AE绕点A顺时针旋转90°，到线段AF，连接DE．
(1)如图1，连接BF，判断线段BF与线段DE的数量关系给出证明．
(2)如图2，若EF正好经过点B．
①直接用等式表示线段EF、DE和BE的数量关系为______ ．
②证明：BF⊥DE．
(3)如图3，当EF经过点C时，若CF=4，CE=2，请直接写出此时正方形边的长度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．
2.【答案】D
【解析】解：由图示可看出，从−1出发向右画出的折线且表示−1的点是空心圆，表示x>−1；
从3出发向左画出的折线且表示3的点是实心圆，表示x≤3．
所以这个不等式组为−1
不等式的解集表示−1与3之间的部分，其中不包含−1，而包含3．
此题主要考查利用数轴上表示的不等式组的解集来写出不等式组．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，得2x−6=0．
解得x=3．
当x=3时，x+8=11≠0，
所以x=3符合题意．
所以分式2x−6x+8的值是零，则x的值为3．
故选：B．
根据分式值为零的条件可得2x+6=0，通过解方程求得x的值；然后代入检验分母是否为零．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
4.【答案】D
【解析】解：A、(x+1)(x−1)=x2−1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、x2−2x−1=(x−1)2−2，不合题意；
C、a(x+y)=ax+ay，不合题意；
D、x2+2x+1=(x+1)2，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：D．
直接利用因式分解的意义分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键．
由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确．
【解答】
解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴A不正确；
∵对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴B不正确；
∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，
∴C不正确；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴D正确；
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得：136(1+x)2=680．
故选：B．
利用2022年的销量=2020年的销量×(1+年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：3x+3y18xy=x+y6xy=13×x+y2xy，
故选：C．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
8.【答案】A
【解析】解：由函数图象知，当x>3时，x+b>kx+6，
即不等式x+b>kx+6的解集为x>3．
故选：A．
观察函数图象得到当x>3时，函数y=x+b的图象都在y=kx+6的图象上方，所以关于x的不等式x+b>kx+6的解集为x>3．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．
由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=12BF=3，再根据平行四边形的性质得AF//BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=BE，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】
解：连接EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=12BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF//BE，
∴∠1=∠3，
∵AO平分∠BAF，则∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO= AB2−OB2= 52−32=4，
∴AE=2AO=8．
故选：C．
10.【答案】B
【解析】解：画图可知：P1(−2,0)，P2(2,−4)，P3(0,4)，P4(−2,−2)，P5(2,−2)，P6(0,2)，
∵6次一个循环，2023÷6=337…1，
∴P2020(−2,0)．
故选：B．
观察图形可知P6与P重合，6次一个循环，利用规律解决问题即可．
本题考查坐标由图形变化−旋转，规律型−点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
11.【答案】(x−3)2
【解析】解：原式=(x−3)2．
故答案为：(x−3)2
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12.【答案】52
【解析】解：根据题意，
可设a=5k，b=3k．
则aa−b=5k5k−3k=52．
故答案为：52．
根据比例的基本性质，可以用一个数分别表示出a和b，代入原式即可得出结果．
本题考查的是比例的性质，解此类题目最常用的解法是设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
13.【答案】18°
【解析】
【分析】
本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据多边形内角和公式，计算出正五边形ABCDE中，∠EAB=(5−2)×180°5=108°，正方形AMNP中，∠PAM=90°，∠PAE=∠EAB−∠PAM即可．
【解答】
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB=(5−2)×180°5=108°，
∵四边形AMNP为正方形，
∴∠PAM=90°，
∴∠PAE=∠EAB−∠PAM=108°−90°=18°．
故答案为18°．
14.【答案】25
【解析】解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，
∴BC=2EF=10(米)，
∵△ABC是等边三角形，
∴BE=CF=5(米)，
∴四边形BCFE的周长为：BC+BE+CF+EF=25(米)，
故答案为：25．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】−3
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2=−1，
∴m=−3，
故答案为−3，
利用根与系数之间的关系求解．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
16.【答案】4 10
【解析】解：连接BD交AC于O，连接PB，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴B，D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE，
∴当P在BE上时，PD+PE最小，最小值为BE的长度，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2×2412=4，∠AOB=90°，
∴AO=6，BO=2，
∴AB= AO2+BO2=2 10，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4 10，
∴PD+PE最小值为4 10；
故答案为：4 10．
连接BD交AC于O，连接PB，根据四边形ABCD是菱形，得PD=PB，故当P在BE上时，PD+PE最小，最小值为BE的长度，求出BD=2×2412=4，由勾股定理可得AB= AO2+BO2=2 10，从而BE=AB=4 10，即得PD+PE最小值为4 10．
本题考查轴对称−最短路径问题，涉及菱形的性质，等边三角形性质，解题的关键是求出等边三角形的边长．
17.【答案】解：5x+2≥4x−1①x+14>x−32+1②，
解不等式①，得x≥−3，
解不等式②，得x<3，
所以不等式组的解集是−3≤x<3，
即不等式组的正整数解是1，2，3．
【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的正整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
18.【答案】解：原式=(xx−3+1x−3)⋅(x+3)(x−3)x+1
=x+1x−3⋅(x+3)(x−3)x+1
=x+3，
当x= 2−3时，原式= 2−3+3= 2．
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中第二项变形后利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
19.【答案】解：(1)x2−5x−6=0；
分解因式得：(x−6)(x+1)=0，
∴x−6=0或x+1=0，
解得：x1=6，x2=−1．
(2)xx−1=x−12x−2，
方程两边同乘2(x−1)得：2x=x−1，
解得：x=−1，
检验：把x=−1代入得：x−1≠0，
∴原方程的解为x=−1．
【解析】(1)先移项，用因式分解法解一元二次方程即可；
(2)先去分母，将分式方程变为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后对方程的解进行检验即可．
本题主要考查了解一元二次方程和分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算，注意解分式方程最后要进行检验．
20.【答案】(3,8) (15,0)
【解析】解：(1)∵B(15,8)，C(21,0)，
∴AB=15，OA=8，OC=21，
当t=3时，AM=1×3=3，CN=2×3=6，
∴ON=OC−CN=21−6=15，
∴点M(3,8)，N(15,0)；
故答案为：(3,8)；(15,0)；
(2)根据题意：AM=t，CN=2t，
则ON=OC−CN=21−2t，
当四边形OAMN是矩形时，AM=ON，
∴t=21−2t，
解得：t=7，
∴t=7时，四边形OAMN是矩形．
(1)根据点B、C的坐标求出AB、OA、OC，再根据路程=速度×时间求出AM、CN，然后求出ON，即可得出结论；
(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当AM=ON时，四边形OAMN是矩形，然后列出方程求解即可．
本题考查了矩形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴DF//BE，
∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形．
(2)∵AB//CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF，
在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，
∴AD= 32+42=5=DF，
∴矩形的面积为DF·DE=5×4=20．
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
(1)根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．
(2)首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．
22.【答案】0或−2
【解析】解：(1)∵关于x的方程x2+x+c=0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x=c，
代入方程得，c2+2c=0，
解得c=0或−2；
故答案为：0或−2；
(2)∵关于x的方程x2+2mx+m+1=0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x=m+1，
代入方程得，(m+1)2+2m(m+1)+m+1=0，
整理得，3m2+5m+2=0，
解得m=−23或−1．
(1)根据常数根一元二次方程的定义，把x=c代入方程，解关于c的方程即可；
(2)根据常数根一元二次方程的定义，把x=m+1代入方程，解关于m的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c(m)的方程．
23.【答案】3
【解析】解：(1)原式=(x2+6x+9)+3
=(x+3)2+3，
∵(x+3)2≥0，
∴(x+3)2+3≥3，
即代数式x2+6x+12的最小值为3，
故答案为：3；
(2)原式=−(x2−2x)+9
=−(x2−2x+1−1)+9
=−(x2−2x+1)+1+9
=−(x−1)2+10，
∴−(x−1)2≤0，
∴−(x−1)2+10≤10，
则代数式−x2+2x+9的最大值为10．
利用配方法将代数式进行变形后再利用偶次幂的非负性即可求得答案．
本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法将原式化为“完全平方式+常数”的形式是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为(1−20%)x元，
由题意得：1000(1−20％)x=1200x+10
解得：x=5，
经检验：x=5是原方程的解，且符合题意，
则5×(1−20%)=4(元)，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果(150−m)千克，利润为w元，
由题意得：w=(6−4)m+(8−5)(150−m)=−m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 (150−m)，
解得：m≥100，
∵−1<0，则w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w最大，最大值=−100+450=350，
则150−m=50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
【解析】(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为x(1−20%)元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果(150−m)千克，利润为w元，由题意得w=−m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 (150−m)，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】−2 0
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)如图，连接C1C2、A1A2相交于点P，
此时点P的坐标是(−2,0)，
∴△A1B1C1与△A2B2C2关于点(−2,0)中心对称，
故答案为：−2，0；
(4)存在，如图，
①以AC、AB为一组邻边，BC为对角线时，点D1的坐标为(5,2)；
②以AC、BC为一组邻边，AB为对角线时，点D2的坐标为(3,6)；
③以AB、BC为一组邻边，AC为对角线时，点D3的坐标为(−1,0)；
∴符合条件的所有点D的坐标是(5,2)或(3,6)或(−1,0)．
(1)根据平移的方向和距离即可得到平移后的三角形；
(2)根据△ABC绕原点O旋转180°画出旋转后的三角形即可；
(3)依据对称点连线中点的位置，即可对称对称中心的坐标；
(4)分三种情况讨论，分别以BC、AB、AC为对角线时确定点D的坐标．
本题考查了平移变换和旋转变换，本题的关键是作各个关键点的对应点，注意考虑全面，不要丟解．
26.【答案】BE2+BF2=2AB2
【解析】(1)解：BF=DE，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∵将线段AE绕点A顺时针旋转90°，到线段AF，
∴AE=AF，∠EAF=90°=∠BAD，
∴∠BAF=∠DAE，
∴△ABF≌△ADE(SAS)，
∴BF=DE；
(2)①解：BE2+BF2=2AB2；
理由如下：如图2，连接DB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AB2+AD2=BD2，
∴BD2=2AB2，
∵∠DEF=90°，
∴BE2+DE2=DB2，
∴BE2+BF2=2AB2；
故答案为：BE2+BF2=2AB2；
②证明：∵AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
∵△ABF≌△ADE，
∴∠AFB=∠AED=45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF=90°，
∴DE⊥BF；
(3)解：如图3，连接AC，过点A作AH⊥EF于H，
∵CF=4，CE=2，
∴EF=6，
∵AE=AF，∠EAF=90°，AH⊥EF，
∴AH=FH=EH=3，
∴CH=1，
∵AC2=AH2+CH2=AB2+BC2，
∴9+1=2AB2，
∴AB= 5，
∴正方形的边长为 5．
(1)由正方形的性质和旋转的性质可得AB=AD，AE=AF，∠EAF=90°=∠BAD，由“SAS”可证△ABF≌△ADE，可得BF=DE；
(2)①由等腰直角三角形的性质可得∠AFE=∠AEF=45°，由全等三角形的性质可得∠AFB=∠AED=45°，可得结论；
②由正方形的性质和勾股定理可求BD2=2AB2，在Rt△DBE中，BE2+DE2=DB2，可得结论；
(3)连接AC，过点A作AH⊥EF于H，由等腰直角三角形的性质可得AH=FH=EH=3，由勾股定理可得AH2+CH2=AB2+BC2，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2022-2023学年山东省济南市平阴县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是( )
A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线
C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线
2. 如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是( )
A. x<−1或x≥3 B. x≤−1或x>3 C. −1≤x<3 D. −1
A. −3 B. 3 C. 8 D. −8
4. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. (x+1)(x−1)=x2−1 B. x2−2x−1=x(x−2)−1
C. a(x+y)=ax+ay D. x2+2x+1=(x+1)2
5. 下列说法中正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形
C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分
6. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱.中汽协称，我国新能源汽车近两年来高速发展，连续8年位居全球第一，销量持续爆发式增长，2020年销量约为136万辆，到2022年销量达到680万辆.若年平均增长率相同设为x，则可列方程为( )
A. 680(1−x)2=136 B. 136(1+x)2=680
C. 136+136x2=680 D. 136(1+2x)=680
7. 若把分式x+y2xy中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值( )
A. 缩小6倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变
8. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5)，则关于x的不等式x+b>kx+6的解集为( )
A. x>3
B. x<3
C. x>5
D. x<5
9. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6，AB=5，则AE的长为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
10. 如图，坐标系中△ABC的顶点坐标分别为A(−1,1)、B(0,−2)、C(1,0)，点P(0,2)绕点A旋转得到点P1，点P1绕点B旋转得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转得到点P4…按此作法进行下去，则点P2023的坐标为( )
A. (0,2)
B. (−2,0)
C. (2,−4)
D. (−2,−2)
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：x2−6x+9=______．
12. 若ab=53，则aa−b= ______ ．
13. 如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE=______．
14. 如图所示，刘伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围起来放养小鸡，则需用篱笆的长是______米．
15. 关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是______．
16. 如图，菱形ABCD的对角线AC=12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则PD+PE的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式组：5x+2≥4x−1①x+14>x−32+1②，并写出它的正整数解．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(xx−3−13−x)÷x+1x2−9，其中x= 2−3．
19. (本小题8.0分)
解下列方程：
(1)x2−5x−6=0；
(2)xx−1=x−12x−2．
20. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB//OC，点B，C的坐标分别为(15,8)，(21,0)，动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动.M，N同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为t秒．
(1)在t=3时，M点坐标______ ，N点坐标______ ．
(2)当t为何值时，四边形OAMN是矩形？
21. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．
22. (本小题8.0分)
定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中常数项c是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
(1)已知关于x的方程x2+x+c=0是常数根一元二次方程，则c的值为______ ；
(2)如果关于x的方程x2+2mx+m+1=0是常数根一元二次方程，求m的值．
23. (本小题10.0分)
阅读材料：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
数学课上，老师在求代数式x2−4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2，对式子作如下变形：x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2)2+1．
因为(x−2)2≥0，
所以(x−2)2+1≥1，
因此(x−2)2+1有最小值为1，即x2−4x+5的最小值为1．
通过阅读，解下列问题：
(1)代数式x2+6x+12的最小值为______ ；
(2)求代数式−x2+2x+9的最大或最小值．
24. (本小题10.0分)
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1,3)，B(4,4)，C(2,1)．
(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1．
(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2．
(3)观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点(______ ，______ )中心对称．
(4)在平面上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点D的坐标，若不存在，请说明理由．
26. (本小题12.0分)
在正方形ABCD中，点P是CD边上点，点E在AP的延长线上，将线段AE绕点A顺时针旋转90°，到线段AF，连接DE．
(1)如图1，连接BF，判断线段BF与线段DE的数量关系给出证明．
(2)如图2，若EF正好经过点B．
①直接用等式表示线段EF、DE和BE的数量关系为______ ．
②证明：BF⊥DE．
(3)如图3，当EF经过点C时，若CF=4，CE=2，请直接写出此时正方形边的长度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．
2.【答案】D
【解析】解：由图示可看出，从−1出发向右画出的折线且表示−1的点是空心圆，表示x>−1；
从3出发向左画出的折线且表示3的点是实心圆，表示x≤3．
所以这个不等式组为−1
不等式的解集表示−1与3之间的部分，其中不包含−1，而包含3．
此题主要考查利用数轴上表示的不等式组的解集来写出不等式组．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，得2x−6=0．
解得x=3．
当x=3时，x+8=11≠0，
所以x=3符合题意．
所以分式2x−6x+8的值是零，则x的值为3．
故选：B．
根据分式值为零的条件可得2x+6=0，通过解方程求得x的值；然后代入检验分母是否为零．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
4.【答案】D
【解析】解：A、(x+1)(x−1)=x2−1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、x2−2x−1=(x−1)2−2，不合题意；
C、a(x+y)=ax+ay，不合题意；
D、x2+2x+1=(x+1)2，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：D．
直接利用因式分解的意义分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键．
由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确．
【解答】
解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴A不正确；
∵对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴B不正确；
∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，
∴C不正确；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴D正确；
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得：136(1+x)2=680．
故选：B．
利用2022年的销量=2020年的销量×(1+年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：3x+3y18xy=x+y6xy=13×x+y2xy，
故选：C．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
8.【答案】A
【解析】解：由函数图象知，当x>3时，x+b>kx+6，
即不等式x+b>kx+6的解集为x>3．
故选：A．
观察函数图象得到当x>3时，函数y=x+b的图象都在y=kx+6的图象上方，所以关于x的不等式x+b>kx+6的解集为x>3．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．
由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=12BF=3，再根据平行四边形的性质得AF//BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=BE，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】
解：连接EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=12BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF//BE，
∴∠1=∠3，
∵AO平分∠BAF，则∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO= AB2−OB2= 52−32=4，
∴AE=2AO=8．
故选：C．
10.【答案】B
【解析】解：画图可知：P1(−2,0)，P2(2,−4)，P3(0,4)，P4(−2,−2)，P5(2,−2)，P6(0,2)，
∵6次一个循环，2023÷6=337…1，
∴P2020(−2,0)．
故选：B．
观察图形可知P6与P重合，6次一个循环，利用规律解决问题即可．
本题考查坐标由图形变化−旋转，规律型−点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
11.【答案】(x−3)2
【解析】解：原式=(x−3)2．
故答案为：(x−3)2
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12.【答案】52
【解析】解：根据题意，
可设a=5k，b=3k．
则aa−b=5k5k−3k=52．
故答案为：52．
根据比例的基本性质，可以用一个数分别表示出a和b，代入原式即可得出结果．
本题考查的是比例的性质，解此类题目最常用的解法是设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
13.【答案】18°
【解析】
【分析】
本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据多边形内角和公式，计算出正五边形ABCDE中，∠EAB=(5−2)×180°5=108°，正方形AMNP中，∠PAM=90°，∠PAE=∠EAB−∠PAM即可．
【解答】
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB=(5−2)×180°5=108°，
∵四边形AMNP为正方形，
∴∠PAM=90°，
∴∠PAE=∠EAB−∠PAM=108°−90°=18°．
故答案为18°．
14.【答案】25
【解析】解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，
∴BC=2EF=10(米)，
∵△ABC是等边三角形，
∴BE=CF=5(米)，
∴四边形BCFE的周长为：BC+BE+CF+EF=25(米)，
故答案为：25．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】−3
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2=−1，
∴m=−3，
故答案为−3，
利用根与系数之间的关系求解．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
16.【答案】4 10
【解析】解：连接BD交AC于O，连接PB，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴B，D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE，
∴当P在BE上时，PD+PE最小，最小值为BE的长度，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2×2412=4，∠AOB=90°，
∴AO=6，BO=2，
∴AB= AO2+BO2=2 10，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4 10，
∴PD+PE最小值为4 10；
故答案为：4 10．
连接BD交AC于O，连接PB，根据四边形ABCD是菱形，得PD=PB，故当P在BE上时，PD+PE最小，最小值为BE的长度，求出BD=2×2412=4，由勾股定理可得AB= AO2+BO2=2 10，从而BE=AB=4 10，即得PD+PE最小值为4 10．
本题考查轴对称−最短路径问题，涉及菱形的性质，等边三角形性质，解题的关键是求出等边三角形的边长．
17.【答案】解：5x+2≥4x−1①x+14>x−32+1②，
解不等式①，得x≥−3，
解不等式②，得x<3，
所以不等式组的解集是−3≤x<3，
即不等式组的正整数解是1，2，3．
【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的正整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
18.【答案】解：原式=(xx−3+1x−3)⋅(x+3)(x−3)x+1
=x+1x−3⋅(x+3)(x−3)x+1
=x+3，
当x= 2−3时，原式= 2−3+3= 2．
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中第二项变形后利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
19.【答案】解：(1)x2−5x−6=0；
分解因式得：(x−6)(x+1)=0，
∴x−6=0或x+1=0，
解得：x1=6，x2=−1．
(2)xx−1=x−12x−2，
方程两边同乘2(x−1)得：2x=x−1，
解得：x=−1，
检验：把x=−1代入得：x−1≠0，
∴原方程的解为x=−1．
【解析】(1)先移项，用因式分解法解一元二次方程即可；
(2)先去分母，将分式方程变为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后对方程的解进行检验即可．
本题主要考查了解一元二次方程和分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算，注意解分式方程最后要进行检验．
20.【答案】(3,8) (15,0)
【解析】解：(1)∵B(15,8)，C(21,0)，
∴AB=15，OA=8，OC=21，
当t=3时，AM=1×3=3，CN=2×3=6，
∴ON=OC−CN=21−6=15，
∴点M(3,8)，N(15,0)；
故答案为：(3,8)；(15,0)；
(2)根据题意：AM=t，CN=2t，
则ON=OC−CN=21−2t，
当四边形OAMN是矩形时，AM=ON，
∴t=21−2t，
解得：t=7，
∴t=7时，四边形OAMN是矩形．
(1)根据点B、C的坐标求出AB、OA、OC，再根据路程=速度×时间求出AM、CN，然后求出ON，即可得出结论；
(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当AM=ON时，四边形OAMN是矩形，然后列出方程求解即可．
本题考查了矩形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴DF//BE，
∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形．
(2)∵AB//CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF，
在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，
∴AD= 32+42=5=DF，
∴矩形的面积为DF·DE=5×4=20．
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
(1)根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．
(2)首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．
22.【答案】0或−2
【解析】解：(1)∵关于x的方程x2+x+c=0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x=c，
代入方程得，c2+2c=0，
解得c=0或−2；
故答案为：0或−2；
(2)∵关于x的方程x2+2mx+m+1=0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x=m+1，
代入方程得，(m+1)2+2m(m+1)+m+1=0，
整理得，3m2+5m+2=0，
解得m=−23或−1．
(1)根据常数根一元二次方程的定义，把x=c代入方程，解关于c的方程即可；
(2)根据常数根一元二次方程的定义，把x=m+1代入方程，解关于m的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c(m)的方程．
23.【答案】3
【解析】解：(1)原式=(x2+6x+9)+3
=(x+3)2+3，
∵(x+3)2≥0，
∴(x+3)2+3≥3，
即代数式x2+6x+12的最小值为3，
故答案为：3；
(2)原式=−(x2−2x)+9
=−(x2−2x+1−1)+9
=−(x2−2x+1)+1+9
=−(x−1)2+10，
∴−(x−1)2≤0，
∴−(x−1)2+10≤10，
则代数式−x2+2x+9的最大值为10．
利用配方法将代数式进行变形后再利用偶次幂的非负性即可求得答案．
本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法将原式化为“完全平方式+常数”的形式是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为(1−20%)x元，
由题意得：1000(1−20％)x=1200x+10
解得：x=5，
经检验：x=5是原方程的解，且符合题意，
则5×(1−20%)=4(元)，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果(150−m)千克，利润为w元，
由题意得：w=(6−4)m+(8−5)(150−m)=−m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 (150−m)，
解得：m≥100，
∵−1<0，则w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w最大，最大值=−100+450=350，
则150−m=50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
【解析】(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为x(1−20%)元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果(150−m)千克，利润为w元，由题意得w=−m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 (150−m)，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】−2 0
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)如图，连接C1C2、A1A2相交于点P，
此时点P的坐标是(−2,0)，
∴△A1B1C1与△A2B2C2关于点(−2,0)中心对称，
故答案为：−2，0；
(4)存在，如图，
①以AC、AB为一组邻边，BC为对角线时，点D1的坐标为(5,2)；
②以AC、BC为一组邻边，AB为对角线时，点D2的坐标为(3,6)；
③以AB、BC为一组邻边，AC为对角线时，点D3的坐标为(−1,0)；
∴符合条件的所有点D的坐标是(5,2)或(3,6)或(−1,0)．
(1)根据平移的方向和距离即可得到平移后的三角形；
(2)根据△ABC绕原点O旋转180°画出旋转后的三角形即可；
(3)依据对称点连线中点的位置，即可对称对称中心的坐标；
(4)分三种情况讨论，分别以BC、AB、AC为对角线时确定点D的坐标．
本题考查了平移变换和旋转变换，本题的关键是作各个关键点的对应点，注意考虑全面，不要丟解．
26.【答案】BE2+BF2=2AB2
【解析】(1)解：BF=DE，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∵将线段AE绕点A顺时针旋转90°，到线段AF，
∴AE=AF，∠EAF=90°=∠BAD，
∴∠BAF=∠DAE，
∴△ABF≌△ADE(SAS)，
∴BF=DE；
(2)①解：BE2+BF2=2AB2；
理由如下：如图2，连接DB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AB2+AD2=BD2，
∴BD2=2AB2，
∵∠DEF=90°，
∴BE2+DE2=DB2，
∴BE2+BF2=2AB2；
故答案为：BE2+BF2=2AB2；
②证明：∵AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
∵△ABF≌△ADE，
∴∠AFB=∠AED=45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF=90°，
∴DE⊥BF；
(3)解：如图3，连接AC，过点A作AH⊥EF于H，
∵CF=4，CE=2，
∴EF=6，
∵AE=AF，∠EAF=90°，AH⊥EF，
∴AH=FH=EH=3，
∴CH=1，
∵AC2=AH2+CH2=AB2+BC2，
∴9+1=2AB2，
∴AB= 5，
∴正方形的边长为 5．
(1)由正方形的性质和旋转的性质可得AB=AD，AE=AF，∠EAF=90°=∠BAD，由“SAS”可证△ABF≌△ADE，可得BF=DE；
(2)①由等腰直角三角形的性质可得∠AFE=∠AEF=45°，由全等三角形的性质可得∠AFB=∠AED=45°，可得结论；
②由正方形的性质和勾股定理可求BD2=2AB2，在Rt△DBE中，BE2+DE2=DB2，可得结论；
(3)连接AC，过点A作AH⊥EF于H，由等腰直角三角形的性质可得AH=FH=EH=3，由勾股定理可得AH2+CH2=AB2+BC2，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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