山东省济南市平阴县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

这是一份山东省济南市平阴县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷，共28页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．﹣2a＜﹣2bC．a﹣2＞b﹣2D．a+2＞b+2
3．（4分）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．D．
4．（4分）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．不能确定
5．（4分）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（ ）
A．160B．180C．320D．480
6．（4分）下列判断错误的是（ ）
A．邻边相等的四边形是菱形
B．有一角为直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．矩形的对角线互相平分且相等
7．（4分）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（ ）
A．2cmB．C．D．
8．（4分）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（ ）
A．﹣4＜x＜2B．x＜﹣4C．x＞2D．x＜﹣4或x＞2
9．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接AE、EF、AF，下列结论：①BE+DF＝EF；②AE平分∠BEF；③△CEF的周长为2；④S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°且DC＝BC，那么四边形ABCD就是邻等四边形．
问题解决：如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝ ．
12．（4分）如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝ ．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作EF⊥BD，交AD于点E、交BC于F，连接BE、DF．若AB＝3，AD＝4．则四边形BFDE的面积 ．
16．（4分）如图，已知线段AB＝12，点C是线段AB上一动点，将点A绕点C顺时针旋转60°得到点D，连接AD、CD；以CD为边在CD的右侧做矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接BM，则线段BM的最小值是 ．
三、解答题：（共10小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解不等式组：，并写出它的正整数解．
18．（6分）先化简，再求值：（1+），再从﹣2，﹣1，0，2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值．
19．（8分）解下列方程：
（1）x2+12x+27＝0；
（3）．
20．（6分）已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．
21．（8分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴，
解得．
故另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
仿照上面的方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式x2+3x﹣c有一个因式是（x﹣5），则c＝ ；
（2）已知二次三项式2x2﹣6x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
22．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
23．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）平移△ABC，点A的对应点A1的坐标为（1，﹣5），画出平移后对应的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到△A2B2C，按要求作出图形；
（3）如果△A2B2C通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．
24．（10分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
25．（12分）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a、b、c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根．
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m、n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t．
求：①4s2+7s+t；
②﹣的值．
26．（12分）综合与实践．
【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，交AC于点G，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
（1）如图2，当ED∥BC时：
①则α＝ °；
②判断BD与AE的位置关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系： ；
【拓展延伸】
（3）如图4，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图5，M为EF的中点，N为BE的中点．请说明△MND为等腰三角形．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
2．（4分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．﹣2a＜﹣2bC．a﹣2＞b﹣2D．a+2＞b+2
【分析】根据a＜b，运用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时乘以，不等式仍然成立，即，故本选项符合题意；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，故本选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边同时减去2，不等式仍然成立，即a﹣2＜b﹣2，故本选项不符合题意；
D、在不等式a＜b的两边同时加上2，不等式仍然成立，即a+2＜b+2，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3．（4分）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．D．
【分析】根据“分式的值为0的条件为分式的分子等于0，分母不等于0”，即可求解．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x+1＝0且2x﹣1≠0，
∴x＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
4．（4分）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．不能确定
【分析】把x＝1代入方程计算求出a+b+c的值．
【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（4分）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（ ）
A．160B．180C．320D．480
【分析】由题意可得：ab＝16，a+b＝10，然后把所求的式子利用提公因式法进行分解，即可解答．
【解答】解：由题意得：
2（a+b）＝20，ab＝16，
∴a+b＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝16×10
＝160，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
6．（4分）下列判断错误的是（ ）
A．邻边相等的四边形是菱形
B．有一角为直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．矩形的对角线互相平分且相等
【分析】根据正方形的性质和判定解答．
【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，错误，符合题意；
B、有一角为直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意；
D、矩形的对角线互相平分且相等，正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】考查正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形对角线，边和角的性质以及正方形和矩形，菱形的关系．
7．（4分）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（ ）
A．2cmB．C．D．
【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的概念求出BB′，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形，
∴BD＝＝2（cm），
由平移的性质可知，BB′＝1cm，
∴B′D＝（2﹣1）cm，
故选：D．
【点评】本题考查的是利用平移设计图案，平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出BB′是解题的关键．
8．（4分）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（ ）
A．﹣4＜x＜2B．x＜﹣4C．x＞2D．x＜﹣4或x＞2
【分析】结合图象，写出两个函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵当x＞﹣4时，y＝x+b＞0，
当x＜2时，y＝kx+4＞0，
∴解集为﹣4＜x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断．
9．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接AE、EF、AF，下列结论：①BE+DF＝EF；②AE平分∠BEF；③△CEF的周长为2；④S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，则EG＝BE+DF，先证△ABG和△ADF全等得∠2＝∠1，AG＝AF，由此可证∠EAG＝∠EAF＝45°，进而再证△AEG和△AEF全等得EG＝EF，据此可对结论①进行判断；
②由△AEG≌△AEF得∠GEA＝∠FEA，据此可对结论②进行判断；
③根据BE+DF＝EF得CE+CF+EF＝BC+CD＝2，据此可对结论③进行判断；
④设DF＝a，BE＝b，则CF＝1﹣a，CE＝1﹣b，EF＝a+b，由勾股定理得EF2＝CE2+CF2，即ab＝1﹣a﹣b，则S△ABE+S△ADF＝（a+b），而S△CEF＝（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣（a+b），据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，如下图所示：
则EG＝BE+BG＝BE+DF，
∵四边形ABC为正方形，AB＝1，
∴∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
∴∠ABG＝∠D＝90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠2＝∠1，AG＝AF，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝∠DAB﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠2+∠2＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF＝BE+DF，
故结论①正确；
②∵△AEG≌△AEF，
∴∠GEA＝∠FEA，
即AE平分∠BEF，
故结论②正确；
③∵BE+DF＝EF，
∴CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2，
即△CEF的周长为2，
故结论③正确；
④设DF＝a，BE＝b，则CF＝1﹣a，CE＝1﹣b，EF＝BE+DF＝a+b，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，
即（a+b）2＝（1﹣a）2+（1﹣b）2，
整理得：ab＝1﹣a﹣b，
∵S△ABE＝BE•AB＝b，S△ADF＝DF•AD＝a，
∴S△ABE+S△ADF＝（a+b），
又∵S△CEF＝CE•CF＝（1﹣a）（1﹣b）＝（1﹣a﹣b+ab），
将ab＝1﹣a﹣b代入上式得：S△CEF＝1﹣（a+b），
∴S△CEF≠S△ABE+S△ADF，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
10．（4分）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°且DC＝BC，那么四边形ABCD就是邻等四边形．
问题解决：如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出条件的点D的位置即可．
【解答】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知，
所有符合条件的点D共有3个，即图形中的D1，D2，D3，
故选：B．
【点评】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝ y（x﹣y） ．
【分析】直接提取公因式y，进而得出答案．
【解答】解：xy﹣y2＝y（x﹣y）．
故答案为：y（x﹣y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（4分）如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝ 45° ．
【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴每一个外角为360°÷8＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
14．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 1 ．
【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把x＝2代入计算，即可求出m的值．
【解答】解：∵，
去分母，得：1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2）；
∵分式方程有增根，
∴x＝2，
把x＝2代入1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2），
则1﹣2＝﹣m﹣2（2﹣2），
解得：m＝1；
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作EF⊥BD，交AD于点E、交BC于F，连接BE、DF．若AB＝3，AD＝4．则四边形BFDE的面积 ．
【分析】首先判定四边形BFDE是平行四边形，然后根据对 角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；由EF垂直平分BD，得到EB＝ED，由AD﹣ED＝AE，在直角三角形ABE中，设AE＝x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求解．
【解答】解；四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EDO＝∠OBF，
∵O是BD中点，
∴BO＝DO，
∵∠EOD＝∠BOF，
在△DEO和△BFO中，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴ED＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形；
∴ED＝EB，
设AE＝x，则ED＝EB＝4﹣x，
在Rt△ABE中，BE2﹣AB2＝AE2，
即（4﹣x）2＝x2+32，
解得，
∴，
∴，
∴四边形BFDE的面积＝．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16．（4分）如图，已知线段AB＝12，点C是线段AB上一动点，将点A绕点C顺时针旋转60°得到点D，连接AD、CD；以CD为边在CD的右侧做矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接BM，则线段BM的最小值是 6 ．
【分析】连接CM，EM，过点A，M作射线AM，过点B作BN⊥射线AM于N，由矩形性质得点C，M，E在同一条直线上，则DM＝CM＝FM＝EM，再由旋转的性质得△ACD为等边三角形，则AD＝AC，∠DAC＝60°，进而可依据“SSS”判定△ADM和△ACM全等，则∠DAM＝∠CAM＝∠DAC＝30°，进而得当点C在线段AB上运动时，点M始终在∠DAC的平分线上运动，然后根据“垂线段最短”得：当BM⊥AM时，BM为最小，最小值为线段BM的长，最后在Rt△ABN中根据直角三角形的性质求出BN即可．
【解答】解：连接CM，EM，过点A，M作射线AM，过点B作BN⊥射线AM于N，如下图所示：
∵四边形CDEF为矩形，点M为对角线DF的中点，
∴点C，M，E在同一条直线上，
∴DM＝CM＝FM＝EM，
由旋转的性质得：CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD＝AC，∠DAC＝60°，
在△ADM和△ACM中，
AD＝AC，AM＝AM，DM＝CM，
∴△ADM≌△ACM（SSS），
∴∠DAM＝∠CAM＝∠DAC＝30°，
即射线为∠DAC的平分线，
∴当点C在线段AB上运动时，点M始终在∠DAC的平分线上运动，
根据“垂线段最短”得：当BM⊥AM时，BM为最小，最小值为线段BM的长，
在Rt△ABN中，∠CAM＝30°，AB＝12，
∴BN＝AB＝6，
∴BM的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了图形的旋转及其性质，矩形的性质，垂线段的性质，全等三角形的判定和性质，理解图形的旋转及其性质，矩形的性质，垂线段的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三、解答题：（共10小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解不等式组：，并写出它的正整数解．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤5，
解不等式②，得x＞2，
所以不等式组的解集是2＜x≤5，
所以不等式组的整数解是3，4，5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：（1+），再从﹣2，﹣1，0，2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先进行通分，再把除法转化成乘法，然后进行约分，再选一个适当的值代入即可．
【解答】解：
＝×
＝a+2；
把a＝0代入上式得：
原式＝0+2＝2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
19．（8分）解下列方程：
（1）x2+12x+27＝0；
（3）．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x+9＝0，然后解一次方程即可；
（2）先移项得到3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或3x+2＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）（x+3）（x+9）＝0，
x+3＝0或x+9＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝﹣9；
（2）两边乘（x+1）（x﹣1）得，
x+1＝1，
∴x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20．（6分）已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，进而推出∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，结合AO＝CO，利用AAS证明△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
21．（8分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴，
解得．
故另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
仿照上面的方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式x2+3x﹣c有一个因式是（x﹣5），则c＝ 40 ；
（2）已知二次三项式2x2﹣6x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】（1）仿照范例进行解答即可；
（2）设另一个因式为（2x+n），则：2x2﹣6x﹣k＝（x﹣5）（2x+n），对应列出方程组解答即可．
【解答】解：（1）设另一个因式为（x+n），则x2+3x﹣c＝（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，
∴，解得，
∴c＝40，
故答案为：40．
（2）设另一个因式为（2x+n），则：2x2﹣6x﹣k＝（x﹣5）（2x+n），
即：2x2﹣6x﹣k＝2x2+（n﹣10）x﹣5n，
∴，
解得．
故另一个因式为（2x+4），k的值为20．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，以及十字相乘法在因式分解中的应用，要熟练掌握．
22．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
23．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）平移△ABC，点A的对应点A1的坐标为（1，﹣5），画出平移后对应的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到△A2B2C，按要求作出图形；
（3）如果△A2B2C通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．
【分析】（1）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（3）利用旋转图形的性质，得到对应点，对应点连线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；B1坐标为（2，﹣2）；
（2）如图所示，△AA2B2C即为所求．
（3）如图所示，点P即为所求，P的坐标为（﹣1，﹣5）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
24．（10分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列分式方程，求解即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定如何进货才能获得最大利润，并求出最大利润即可．
【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得，
解得x＝10或x＝﹣12（舍去），
经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，
解得m≤300，
w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，
∵2＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
25．（12分）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a、b、c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根．
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ ﹣ ，x1x2＝ ﹣ ．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m、n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t．
求：①4s2+7s+t；
②﹣的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣，mn＝﹣，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出结论；
（3）由实数s、t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t＝﹣，st＝﹣，①代入所求代数式计算即可；②（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再将其代入＝中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；
故答案为：﹣，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；
（3）①∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴2s2+3s＝1，s+t＝﹣，
∴4s2+7s+t＝4s2+6s+s+t＝2（2s2+3s）+（s+t）＝2+（﹣）＝；
②∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，
∴t﹣s＝±，
∴＝＝＝±．
【点评】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
26．（12分）综合与实践．
【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，交AC于点G，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
（1）如图2，当ED∥BC时：
①则α＝ 45 °；
②判断BD与AE的位置关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系： BF＝AF+CF ；
【拓展延伸】
（3）如图4，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图5，M为EF的中点，N为BE的中点．请说明△MND为等腰三角形．
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到∠CDE＝45°，根据平行线的性质即可得到结论；
②根据余角的性质得到∠ECA＝∠BCD，根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠DBC，求得∠AFG＝90°，得到BD⊥AE；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DF＝CF，根据全等三角形的性质得到AF＝BD，由BF＝DF+BD，得到BF＝AF+CF；
（3）连接BF，CE，延长CE交MN于P，交BF于O，根据等边三角形的性质得到BD＝CD，根据三角形中位线定理得到MN＝BF，DN＝EC，根据全等三角形的性质得到BF＝EC，根据等腰三角形的判定定理得到结论．
【解答】解：（1）①∵△CED是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
∵ED∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE＝45°，即α＝45°，
故答案为：45；
②BD⊥AE，
理由：∵∠BCA＝∠ECD＝90°，
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠ECD﹣∠DCA，
∴∠ECA＝∠BCD，
∵EC＝CD，AC＝CB，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴∠EAC＝∠DBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BGC+∠GBC＝90°，
∴∠AGF+∠EAC＝90°，
∴∠AFG＝90°，
∴BD⊥AE；
（2）BF＝AF+CF，
理由如下：
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DF＝CF，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AF＝BD，
∵BF＝DF+BD，
∴BF＝AF+CF；
故答案为：BF＝AF+CF；
（3）连接BF，CE，延长CE交MN于P，交BF于O，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵M为EF的中点，N为BE的中点，
∴MN，ND分别是△BEF，△BCE的中位线，
∴MN＝BF，DN＝EC，
∵∠FAE＝∠BAC＝60°，
∴∠FAE+∠EAB＝∠BAC+∠EAB，
∴∠FAB＝∠EAC，
∵AF＝AE，AB＝AC，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴BF＝EC，
∴MN＝DN，
∴△MND为等腰三角形．
【点评】本题是几何变换的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．