2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是( )
A. f(x)=tanxB. f(x)=x−1x
C. f(x)=x−csxD. f(x)=x(ex+e−x)
2.数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sin(a2π+π6)=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
3.设f(x)=ax2+bx+c，(a,b,c∈R).已知关于x的方程f(x)=0有纯虚数根，则关于x的方程f(f(x))=0( )
A. 只有纯虚数根B. 只有实数根
C. 有两个实数根，两个纯虚数根D. 既没有实数根，也没有纯虚数根
4.对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：
①“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”
②d(x,y)=d(y,x)
③对任意z∈A，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)
则称d(x,y)为集合A上的距离，记为dA.对于命题P、命题Q，下列说法正确的是( )
命题P：d(x,y)=|x−y|为dR
命题Q：d(x,y)=|sinx−siny|为dR
A. 命题P是真命题，命题Q是假命题B. 命题P是假命题，命题Q是真命题
C. 命题P和命题Q都是真命题D. 命题P和命题Q都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数y= −x2+x+6|x−3|的定义域为______．
6.已知复数z=2+i，则lg5|z|= ______．
7.在(x+1x)6的展开式中，常数项为______.(用数字作答)
8.已知平面直角坐标系xOy中，A(1,3)，B(2,−4)，则三角形AOB面积为______．
9.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p= ．
10.已知向量a=(−1,2),b=(x2,2)，且cs〈a,b〉=35，则x= ______．
11.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中m、n∈N.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则mn= ______．
12.已知α，β为锐角，sin(2α+β)=4sinβ，则tan(α+β)tanα= ______．
13.已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(B|A−)=0.2，那么P(B)= ______．
14.设l1、l2、l3为空间中三条不同的直线，若l1与l2所成角为α=π6，l1与l3所成角为β=π4，那么l2与l3所成角的取值范围为______．
15.已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线方程为x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．
16.在数列{an}中，若存在两个连续的三项ai，ai+1，ai+2与aj，aj+1，aj+2相同(i≠j)，则称{an}是“3阶可重复数列”.已知给定项数为m(m∈N,m≥4)的数列{an}，其中ai∈{0,1}(i=1，2，⋯，m)一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=cs2x+ 3sinxcsx−12．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若f(x)在区间[0,m]上的最大值为1，求m的最小值．
18.(本小题14分)
2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率．
(1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从顾客中随机抽取n人(n∈N∗)，记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为Pn，求i=1npi．
19.(本小题14分)
如图所示，在底半径为R、高为H(H,R为定值，且H≤R)的圆锥内部内接一个底半径为r、高为ℎ的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决.甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式(图甲)，乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式(图乙)．
(1)设V1、V2分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径r为自变量分别表示V1、V2；
(2)试分别求V1、V2的最大值(V1)max、(V2)max，并比较(V1)max、(V2)max的大小．
20.(本小题18分)
满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线．
(1)若圆E：x2+(y−2)2=1是集合M={l|l：mx+ny=1，m，n∈R}的包络曲线，求m，n满足的关系式；
(2)求证：集合A={l|l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0，(a∈R)}的包络曲线E为：y=x2；
(3)在(2)的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，l1∩l2=P，P在直线y=x−4上若|AB|=2|AP|，求点P的坐标．
21.(本小题18分)
函数F(x)的定义域为D⊆R，如果存在t∈D，使得F(t)=t，称t为F(x)的一个不动点.函数g(x)=ex+(1− e)x−a(a∈R,e为自然对数的底数)，定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=x2，且当x≤0时，f′(x)(1)求证：f1(x)=f(x)−12x2为奇函数；
(2)当a变化时，求函数g(x)不动点个数；
(3)若存在，x0∈{x|f(x)+12≥f(1−x)+x}，且x0为函数g(x)的一个不动点，求a的取值范围．
答案解析
1.D
【解析】解：对于A，f(x)=tanx为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意；
对于B，f(x)=x−1x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，
在(−∞,0)和(0,+∞)上分别单调递增，不符合题意；
对于C，f(x)=x−csx，f(−x)=−x−cs(−x)=−x−csx≠−f(x)，故函数不是奇函数，不符合题意；
由排除法可知选项D符合题意．
故选：D．
由函数的奇偶性与单调性及排除法进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．
2.D
【解析】解：根据题意，数字串2024，经过一步之后为404，经过第二步之后为303，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即a=123，
则sin(a2π+π6)=sin(123π2+π6)=−csπ6=− 32．
故选：D．
根据题意可得数字a为123，然后利用诱导公式即可求解．
本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于基础题．
3.D
【解析】解：因为f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R)，关于x的方程f(x)=0有纯虚数根，
可设为x=mi(m≠0,m∈R)，
所以a(mi)2+bmi+c=0，所以−am2+bmi+c=0，
所以bm=0，c=am2，所以b=0，a≠0，a、c同号，
所以f(x)=ax2+c(a≠0,a,c∈R)，
所以f(f(x))=a(ax2+c)2+c=a(a2x4+2acx2+c2)+c=a3x4+2a2cx2+ac2+c=0，
令x2=t≥0，则a3t2+2a2ct+ac2+c=0，
因为Δ=4a4c2−4a4c2−4a3c=−4a3c=−4a2⋅ac<0，
所以x2=−2a2c±i 4a3c2a3=−ca± aca2i，
所以x不可能为纯虚数，也不可能为实数，
即关于x的方程f(f(x))=0既没有实数根，也没有纯虚数根．
故选：D．
可设x=mi(m≠0,m∈R)是方程f(x)=0的根，代入方程得出b=0，a≠0，a，c同号，再求f(f(x))=0，得出x2，由此求出结果．
本题考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4.A
【解析】解：对于命题P，当x，y∈R时，①d(x,y)=|x−y|=0，即x=y；
若x=y，则d(x,y)=|x−y|=|x−x|=0，所以“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”，故
②d(x,y)=|x−y|=|y−x|=d(y,x)；
③对任意z，x，y∈R，|x−y|=|(x−z)+(z−y)|≤|x−z|+|z−y|，故命题P为真命题．
对于命题Q，当x，y∈R时，d(x,y)=|sinx−siny|，即d(x,y)=|sinx−siny|=0，
即sinx=siny，此时若x=0，y=π，则x≠y，故命题Q为假命题．
故选：A．
直接根据新定义对命题P，Q判断即可得出所求的答案．
本题考查命题的真假判断，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
5.[−2,3)
【解析】解：y= −x2+x+6|x−3|，
则−x2+x+6≥0|x−3|≠0，解得−2≤x<3，
故函数的定义域为[−2,3)．
故答案为：[−2,3)．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
6.12
【解析】解：由题意，|z|= 4+1= 5，
则lg5|z|=lg5 5=12．
故答案为：12．
根据复数的模长以及对数的运算求解．
本题考查复数的模长，属于基础题．
7.20
【解析】解：Tk+1=C6kx6−kxk=C6kx6−2k．
令6−2k=0得，k=3．
常数项为T4=C63=20．
故答案为：20．
求出通项，并令x的指数为零即可．
本题考查二项式展开式的应用．属于基础题．
8.5
【解析】解：A(1,3)，B(2,−4)，
则|AB|= (1−2)2+(3+4)2=5 2，
kAB=3−(−4)1−2=−7，
故直线AB的方程为y−3=−7(x−1)，即7x+y−10=0，
点O到直线的距离d=|0+0−10| 72+12= 2，
故三角形AOB面积为12|AB|×d=12×5 2× 2=5．
故答案为：5．
根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查三角形的面积公式，属于基础题．
9.13
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．
直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．
【解答】
解：随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，
可得np=30，np(1−p)=20，则p=13，
故答案为：13．
10.±1
【解析】解：因为向量a=(−1,2),b=(x2,2)，
所以a⋅b=4−x2，|a|= 5，|b|= 4+x4，
则cs〈a,b〉=35=4−x2 5× 4+x4，
整理得，x4−10x2−11=0，
解得，x=±1．
故答案为：±1．
由已知结合向量数量积性质的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，属于基础题．
11.38
【解析】解：根据茎叶图知，乙的中位数是12×(32+34)=33，所以m=3，
所以甲的平均数是13×(27+33+39)=33，
所以14×(20+n+32+34+38)=33，解得n=8；
所以mn=38．
故答案为：38．
根据茎叶图中的数据，计算乙的中位数和甲的平均数，从而求出m、n的值．
本题考查了利用茎叶图计算平均数和中位数的应用问题，是基础题．
12.53
【解析】解：已知α，β为锐角，sin(2α+β)=4sinβ，
则sin[(α+β)+α]=4sin[(α+β)−α]，
即sin(α+β)csα+cs(α+β)sinα=4sin(α+β)csα−4cs(α+β)sinα，
即3sin(α+β)csα=5cs(α+β)sinα，
则tan(α+β)tanα=53．
故答案为：53．
结合已知可得sin[(α+β)+α]=4sin[(α+β)−α]，然后结合两角和与差的三角函数求解即可．
本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了同角三角函数的关系，属中档题．

【解析】解：因为P(A)=0.6，所以P(A−)=0.4，
因为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.5，所以P(AB)=0.5P(A)=0.3，
因为P(B|A−)=P(A−B)P(A−)=0.2，所以P(A−B)=0.2P(A−)=0.08，
所以P(B)=P(AB)+P(A−B)=0.38．
故答案为：0.38．
根据条件概率公式即可求解．
本题主要考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.[π12,5π12]
【解析】解：设l1、l2、l3相交于点S.如图：
根据题意构造两个圆锥，其中底面圆心为O，轴SO所在直线为l1，
小圆锥的母线所在直线为l2，轴截面SCD；
大圆锥的母线所在直线为l3，轴截面SAB，
且A，B，C，D，O在一条直线上．
由题意∠OSC=∠OSD=α，∠OSA=∠OSB=β，又0≤α<β≤π4，
可知∠CSD<∠ASB<π2，由图可知，当l2移动到SD，l3移动到SB时，
可得l2与l3所成角的最小，最小值为∠DSB=β−α=π4−π6=π12；
当l2移动到SC，l3移动到SB时，
可得l2与l3所成角的最大，最大值为∠CSB=β+α=π4+π6=512π，
所以l2与l3所成角的取值范围为[π12,5π12].
故答案为：[π12,5π12].
设l1、l2、l3相交于点S，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得l2与l3所成角的最小值与最大值，可得答案．
本题考查了异面直线所成的角相关的知识，属于中档题．
15. 3+1
【解析】解：椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线方程为x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)，
若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标F2(c,0)，F1(−c,0)，正六边形的一个顶点A(c2, 32c).
AF1+AF2= (c2+c)2+( 3c2)2+ (c2−c)2+( 3c2)2=2a，
∵ 3c+c=2a，
∴椭圆离心率e1=ca= 3−1，
同时，双曲线的渐近线的斜率为 3，即nm，
可得双曲线的离心率为e2= 1+n2m2=2．
3−1+2= 3+1
故答案为： 3+1．
利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．属于中档题．
16.11
【解析】解：因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情况，
若m=11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，
即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；
若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”，
则3≤m<10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}，
所以，要使数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值为11．
故答案为：11．
由题意可知连续3项共有8种情况，然后分类讨论，分m=11，m=10和3≤m<10根据题意讨论即可．
本题考查了数列的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．
17.解：(Ⅰ)函数f(x)=cs2x+ 3sinxcsx−12
=cs2x+12+ 32sin2x−12
=sin(2x+π6)，
函数f(x)的单调递增区间满足：
−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ].(k∈Z)．
(Ⅱ)f(x)=sin(2x+π6)在区间[0,m]上的最大值为1，
所以2m+π6⩾π2，即m⩾π6，
∴m的最小值为π6．
【解析】本题考查函数的单调递增区间，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
(Ⅰ)函数f(x)=cs2x+ 3sinxcsx−12=cs2x+12+ 32sin2x−12=sin(2x+π6)，由此能求出函数f(x)的单调递增区间．
(Ⅱ)f(x)=sin(2x+π6)在区间[0,m]上的最大值为1，则2m+π6⩾π2，可得m的最小值．
18.解：(1)由题意可得，X的所有可能取值为3，4，5，6，
∴P(X=3)=(13)3=127，P(X=4)=C31×23×(13)2=29，P(X=5)=C32×(23)2×13=49，P(X=6)=(23)3=827．
∴X的分布列为：
∴E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5；
(2)∵这n人的合计得分恰为n+1分，则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，
∴Pn=Cn1×23×(13)n−1=2n3n，
设Sn=P1+P2+⋯+Pn=23+432+633+⋯+2n3n①，
13Sn=232+433+634+⋯+2n3n+1②，
①−②得23Sn=23+232+233+⋯⋅+23n−2n3n+1=2×13(1−13n)1−13−2n3n+1=1−2n+33n+1，
∴Sn=P1+P2+⋯+Pn=32(1−2n+33n+1)．
【解析】(1)由X的取值，计算相应的概率，得到分布列，利用公式计算数学期望；
(2)n人的合计得分恰为n+1分，有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，计算概率，用错位相减法求数列前项和．
本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.解：(1)如图，设AC=H，CB=R，DE=x，EF=y，
根据三角形相似得，xR=H−yH=1−yH，
则x=R(1−yH),y=H(1−xR)，
①若圆柱“竖放”，则x=r，ℎ=y，
所以ℎ=H(1−rR)(0故V1=πr2ℎ=πr2H(1−rR)=πH(r2−r3R)(0②若圆柱“横放”，则x=ℎ2,y=2r，
所以ℎ=2R(1−2rH)(0故V2=πr2ℎ=πr22R(1−2rH)=2πR(r2−2r3H)(0(2)①因为V1=πH(r2−r3R)(0则V1′=πH(2r−3r2R) (0令V1′=πH(2r−3r2R)=0，解得r=23R，
当r∈(0,23R)时，V′1>0，则V1单调递增；
当r∈(23R,R)时，V′1<0，则V1单调递减；
所以(V1)max=π(23R)2H3=427πR2H；
②因为V2=2πR(r2−2r3H)(0则V2′=2πR(2r−6r2H)(0令V2′=2πR(2r−6r2H)=0，解得r=13H，
当r∈(0,13H)时，V′2>0，则V2单调递增；
当r∈(13H,H2)时，V′2<0，则V2单调递减；
所以(V2)max=π(H3)223R=227πRH2．
因为(V1)max−(V2)max=427πR2H−227πRH2=227πRH(2R−H)，
又H≤R，
所以(V1)max−(V2)max>0，
故(V1)max>(V2)max．
【解析】(1)设AC=H，CB=R，DE=x，EF=y，利用三角形相似，求出x，分别求解圆柱“竖放”和圆柱“横放”中的高ℎ，然后由体积公式求解即可；
(2)利用导数研究函数的单调性，确定函数的最值，作差比较大小即可．
本题考查了空间几何体的理解与应用，利用导数研究函数单调性以及函数最值的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
20.解：(1)由定义可知，mx+ny=1与x2+(y−2)2=1相切，
则圆E的圆心(0,2)到直线mx+ny=1的距离等于1，
即d=|2n−1| m2+n2=1，
化简得：m2=3n2−4n+1；
证明：(2)在y=x2上任取一点Q(x1,x12)，则y′=2x，
所以y=x2在该点处的切线斜率为k=2x1，
则y=x2在Q(x1,x12)点处的切线方程为：y=2x1x−x12，
即2x1x−y−x12=0，
令直线族l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0中的2(a−1)=2x1，
则直线为2x1x−y−x12=0，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0都是抛物线在点(a−1,(a−1)2)处的切线，
所以集合A={l|l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0，(a∈R)}的包络曲线E为：y=x2；
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，
则抛物线E在点A处的切线方程为：
y−y1=2x1(x−x1)，
即y=2x1x−2x12+y1，又y1=x12，
故y=2x1x−2y1+y1，即2x1x−y−y1=0，
同理，抛物线C在点B处的切线方程为2x2x−y−y2=0，
又两切线的交点为P(x0,y0)，
所以2x1x0−y0−y1=02x2x0−y0−y2=0，所以直线AB的方程为2x0x−y−y0=0，
联立2x0x−y−y0=0y=x2，消去y得x2−2x0x+y0=0，
则Δ=4x02−4y0>0，x1+x2=2x0x1x2=y0，
因为|AB|=2|AP|，
所以 1+(2x0)2|x1−x2|=2 1+(2x1)2|x1−x0|，
即 1+(2x0)2|x1−x2|=2 1+(2x1)2|x1−x1+x22|，
即 1+(2x0)2|x1−x2|=2 1+(2x1)2|x1−x2|，
由于x1≠x2≠x0，所以x0=−x1，
又因为x1+x2=2x0，所以x2=−3x1，
所以y0=x1x2=−3x12，即P(−x1,−3x12)，
又点P在直线y=x−4上，所以−3x12=−x1−4，
解得：x1=−1,x1=43，
故点P(1,−3)或P(−43,−163)．
【解析】(1)利用圆E的圆心(0,2)到直线mx+ny=1的距离等于1即可求解；
(2)在y=x2上任取一点Q(x1,x12)，然后求出则y=x2在Q(x1,x12)点处的切线方程为2x1x−y−x12=0，再令直线族l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0中的2(a−1)=2x1并结合包络曲线的定义即可得证；
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，然后求出抛物线E在点A处的切线方程2x1x−y−y1=0及抛物线C在点B处的切线方程2x2x−y−y2=0，然后联立两切线方程即可得x1+x2=2x0x1x2=y0，然后代入|AB|=2|AP|中利用弦长公式即可求解．
本题考查了圆锥曲线的性质及直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题．
21.解：(1)f(−x)+f(x)=x2，
故f(−x)−12(−x)2+f(x)−12x2=0，
其中f1(x)=f(x)−12x2，
则f1(−x)+f1(x)=0，其中f1(x)=f(x)−12x2定义域为R，
故f1(x)=f(x)−12x2为奇函数．
(2)由g(x)=x得ex− ex=a，令ℎ(x)=ex− ex，
则ℎ′(x)=ex− e，令ℎ′(x)=ex− e>0，
解得x>12，令ℎ(x)<0，解得x<12，
所以ℎ(x)=ex− ex在(−∞,12)单调递减，在(12,+∞)上单调递增，
其中ℎ(12)= e− e2= e2，
故当a< e2时，ex− ex=a无解，
当a= e2时，ex− ex=a有1个解，
a> e2时，ex− ex=a有2个解；
综上，当a< e2时，函数g(x)没有不动点；当a= e2时，函数g(x)有1个不动点；当a> e2时，函数g(x)有2个不动点．
(3)当x≤0时，f′(x)所以f1(x)=f(x)−12x2在(−∞,0]上单调递减，
根据奇函数的对称性，可得f1(x)=f(x)−12x2在R上单调递减，
因为存在x0∈{x|f(x)+12≥f(1−x)+x}，
即f(x0)+12≥f(1−x0)+x0，
则f(x0)−12x02≥f(1−x0)−12x02+x0−12=f(1−x0)−12(1−x0)2，
故f1(x0)≥f1(1−x0)，则x0≤1−x0，即x0≤12，因为x0为函数g(x)一个不动点，所以g(x)=x在x≤12时有解，
令q(x)=g(x)−x=ex− ex−a,x≤12．
因为当x≤12时，q′(x)=ex− e≤e12− e=0，
所以q(x)在x∈(−∞,12]上单调递减，且x趋向于−∞时，q(x)趋向于+∞；
所以只需q(12)≤0，即 e− e2−a≤0，解得a≥ e2，故a的取值范围是[ e2,+∞)．
【解析】(1)根据f(−x)+f(x)=x2变形得到f(−x)−12(−x)2+f(x)−12x2=0，从而得到f1(−x)+f1(x)=0证明出结论；
(2)由g(x)=x得ex− ex=a，令ℎ(x)=ex− ex，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到ex− ex=a的解的情况，得到答案；
(3)由题目条件得到f1(x)=f(x)−12x2在R上单调递减，变形得到f(x0)−12x02≥f(1−x0)−12(1−x0)2即f1(x0)≥f1(1−x0)，由函数单调性得到x0≤12，根据不动点得到g(x)=x在x≤12时有解，构造q(x)=g(x)−x，x≤12，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围．
本题以函数新定义为数学背景考查学生的信息提取和利用能力，属于难题．X
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