2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共21页。

2．函数的单调递减区间为 ．
3．若α为第二象限角，sinα＝cs2α，则sinα＝ ．
4．点A从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点B的坐标是，记∠AOB＝α，则sin2α＝ ．
5．已知，则＝ ．
6．已知α，β为锐角，csα＝，则csβ＝ ．
7．已知扇形的周长为20cm，当它的面积最大时，它的圆心角的弧度数为 ．
8．把化为Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式 ．
9．若sin3θ﹣cs3θ≥csθ﹣sinθ，0≤θ＜2π，则角θ的取值范围是 ．
10．若对满足α±β≠k•360°的任何角α，β，都有，则数值 （m，n）＝ ．
11．设，若存在a∈R使得关于x的方程（f（x））2+af（x）+b＝0恰有六个解，则b的取值范围是 ．
12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2，都有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＜0时，f（x）＜0；若对任意，恒成立，则实数m的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知a，b为实数，则“a＞1，b＞1”是“lgab＞0”的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分又非必要
14．如果θ是第一象限角，则（ ）
A．sin2θ＞0且tan2θ＞0B．且tan2θ＞0
C．sin2θ＞0且D．且
15．已知，以下命题中所有正确的命题有（ ）个．
①已知sinθ，secθ的值，则可以确定θ的其余四个三角比的值
②已知θ的两个三角比的值，则可以确定θ的其余四个三角比的值
③已知tanθ的值，则可以确定θ的其余五个三角比的绝对值
④已知secθ的值和sinθ的符号，则可以确定θ所有六个三角比的值
A．4B．3C．2D．1
16．设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝xlgax﹣1的零点（其中a＞1），则x1+9x2的取值范围是（ ）
A．[6，+∞）B．（6，+∞）C．[10，+∞）D．（10，+∞）
三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．已知α，β均为锐角，且csα＝，tan（α﹣β）＝﹣．
（1）求cs（α﹣β）的值；
（2）求sinβ的值．
18．定义一个新运算，已知，则，已知，且，求与sinθ的值．
19．2023年10月17日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果．中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目．国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元）
已知2≤m≤8（m∈R），每销售n节智能型车厢时，需上交0.1n2百万元用于当地基础建设．假设生产的车厢当年都能销售完．
（1）设y1，y2分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出y1，y2与年产量x之间的函数关系式；
（2）①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值；
②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？
20．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，，AB＝1，扇形圆心角∠BAE＝x，，如图，将△ADC，△ABC以及扇形BAE的面积分别记为p（x），q（x），s（x）．
（1）写出p（x），q（x），s（x）的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；
（2）用表示梯形ABCD的面积t（x）；并证明：t（x）＞2•s（x）；
（3）设，，试用代数计算比较f（α）与f（α+φ）的大小．
21．若函数y＝f（x）满足在定义域内的某个集合A上，2x（f（x）﹣2x）（x∈A）是一个常数则称f（x）在A上具有P性质．
若I是函数y＝f（x）定义域的一个子集，称函数g（x）＝f（x），x∈I是函数y＝f（x）在I上的限制．
（1）设y＝f（x）是[﹣3，3]上只有P性质的奇函数，求x∈[﹣3，3]时不等式的解集；
（2）设y＝f（x）为[﹣3，3]上具有P性质的偶函数．若关于x的不等式f（2x）+2m•f（x）＜0在[﹣3，3]上有解，求实数m的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）在区间[﹣1，1]上的限制是具有P性质的奇函数，在[﹣2，﹣1）∪（1，2]上的限制是具有P性质的偶函数．若对于[﹣2，2]上的任意实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）+4＞mf（x3）恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1．已知，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝ {1} ．
【分析】先求出集合A，再利用集合的交集运算求解即可．
解：由，可得0＜x≤1，
所以A＝{x|0＜x≤1}，
又因为B＝{x|x≥1}，
所以A∩B＝{1}．
故答案为：{1}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．函数的单调递减区间为 [，+∞） ．
【分析】由题意，令u＝x2﹣4x﹣5＞0，则f（x）＝，本题即求函数u的增区间．再利用二次函数的性质可得结论．
解：∵函数，令u＝3x2﹣2x+5＞0，求得x∈R，
可得函数f（x）的定义域为R，函数的对称轴为x＝，且f（x）＝．
函数的单调递减区间，即函数u在[，+∞）上的增区间．
函数的单调递减区间为[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
3．若α为第二象限角，sinα＝cs2α，则sinα＝ ．
【分析】利用二倍角的余弦公式得到关于sinα的方程，解得即可．
解：∵sinα＝cs2α，
∴sinα＝1﹣2sin2α，解得或sinα＝﹣1，
∵α为第二象限角，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
4．点A从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点B的坐标是，记∠AOB＝α，则sin2α＝ ﹣ ．
【分析】由题意求得sinα，csα的值，利用二倍角公式即可计算得解．
解：由题意可得：sinα＝，csα＝﹣，
∴sin2α＝2sinαcsα＝2×（﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查计算能力，属于基础题．
5．已知，则＝ ．
【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解．
解：由题意得，，
令，由，得，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查函数求值问题，属于基础题．
6．已知α，β为锐角，csα＝，则csβ＝ ．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cs（α+β）的值，再利用两角差的三角公式求得csβ＝cs[（α+β）﹣α]的值．
解：∵α，β为锐角，csα＝＜，∴α＞，sinα＝．
又 sin（α+β）＝，∴α+β 为钝角，∴cs（α+β）＝﹣＝﹣，
∴csβ＝cs[（α+β）﹣α]＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝﹣•+•＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．
7．已知扇形的周长为20cm，当它的面积最大时，它的圆心角的弧度数为 2 ．
【分析】根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论．
解：∵扇形的周长为20，
∴l+2r＝20，
即l＝20﹣2r，
∴扇形的面积S＝lr＝（20﹣2r）•r＝﹣r2+10r＝﹣（r﹣5）2+25，
∴当半径r＝5时，扇形的面积最大为25，
此时，α＝＝2（rad），
故答案为：2．
【点评】本题考查扇形的面积公式和弧长公式的应用，属于基础题．
8．把化为Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式 2sin（2x+） ．
【分析】先利用二倍角公式进行化简，再利用差角的正弦函数，函数即可变形为y＝Asin（ωx+φ）．
解：＝
＝sin2x﹣cs2x＝2×
＝2sin（2x﹣）＝2sin（2x﹣）＝2sin（2x+）．
故答案为：2sin（2x+）．
【点评】本题考查三角函数的化简，主要考查二倍角的正弦和余弦公式以及两角和差的正弦公式的运用，属于基础题．
9．若sin3θ﹣cs3θ≥csθ﹣sinθ，0≤θ＜2π，则角θ的取值范围是 ．
【分析】首先构造函数f（x）＝x3+x，利用定义法证明函数恒单调递增，则将原不等式变形后可得f（sinθ）≥f（csθ），由单调性可得sinθ≥csθ，则答案可求．
解：构造函数f（x）＝x3+x，
则f′（x）＝3x2+1＞0，
所以f（x）在R上单调递增，
原式变形得sin3θ+sinθ≥cs3θ+csθ，即f（sinθ）≥f（csθ）
所以sinθ≥csθ，又0≤θ＜2π，则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
10．若对满足α±β≠k•360°的任何角α，β，都有，则数值 （m，n）＝ （） ．
【分析】根据三角和差化积公式，对等式左边进行整理，与右边比较即可得m，n的值．
解：由题意，左边＝
＝﹣
＝，
与右边比较得．
故答案为：（）．
【点评】本题考查三角和差化积公式，属基础题．
11．设，若存在a∈R使得关于x的方程（f（x））2+af（x）+b＝0恰有六个解，则b的取值范围是 （4+2，+∞） ．
【分析】分类去绝对值符号，可作f（x）的图象，依据图象可求x＜0或x＞0的最小值，令t＝f（x），则t2+at+b＝0，令g（t）＝t2+at+b，由题意可得，可求b的取值范围．
解：当x≥1时，f（x）＝x++1﹣＝x+1，
当0＜x＜1时，f（x）＝x++﹣1＝x+﹣1，
当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣+1﹣＝﹣x﹣+1，
则f（x）的图象如图所示：
当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣+1﹣＝﹣x﹣+1≥2+1，
当x＞0时，f（x）min＝2，
令t＝f（x），则t2+at+b＝0，
∵关于x的方程（f（x））2+af（x）+b＝0恰有六个解，
∴关于t的方程t2+at+b＝0恰有两个解t1，t2，设t1＜t2，
则t1∈（2，2+1），t2∈（2+1，+∞），
令g（t）＝t2+at+b，则，
∴a＞且a＜，
要存在a满足条件，则＜，解得b＞4+2．
∴b的取值范围是（4+2，+∞）．
故答案为：（4+2，+∞）．
【点评】本题考查分类讨论思想的应用，考查数形结合思想，考查根的分布，属中档题．
12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2，都有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＜0时，f（x）＜0；若对任意，恒成立，则实数m的取值范围是 （3，+∞） ．
【分析】用赋值法可得f（x）为奇函数，由奇函数的性质要确定当x＞0时，f（x）＞0，利用已知关系将原不等式转化为m＞t+在t∈[1，]上恒成立（其中t＝sinθ+csθ），结合对勾函数的性质求解即可．
解：令x1＝x2＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），解得f（0）＝0，
即x1＝x，x2＝﹣x，则有f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x），
即有f（x）+f（﹣x）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）是R上的奇函数，
因为当x＜0时，f（x）＜0，所以当x＞0时，f（x）＞0，
令t＝sinθ+csθ＝sin（θ+），
则sin2θ＝2sinθcsθ＝t2﹣1，
当时，θ+∈[，]，
所以sin（θ+）∈[，1]，t∈[1，]，
由恒成立，
可得f（[sin2θ﹣（2+m）（sinθ+csθ﹣]+3+2m）＞0恒成立，
所以sin2θ﹣（2+m）（sinθ+csθ）﹣+3+2m＞0恒成立，
即t2﹣1﹣（2+m）t﹣＞﹣3﹣2m在t∈[1，]上恒成立，
即（2﹣t）m＞2t﹣t2+﹣2，m＞＝t+，
所以m＞t+，
由对勾函数的性质可知y＝t+在t∈[1，]上单调递减，
所以（t+）max＝3，
所以m＞3，
所以实数m的取值范围是（3，+∞）．
故答案为：（3，+∞）．
【点评】本题考查了奇函数的性质、对勾函数的性质、转化思想及三角恒等变换，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知a，b为实数，则“a＞1，b＞1”是“lgab＞0”的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分又非必要
【分析】根据充分条件、必要条件的定义以及对数函数的性质判断．
解：由或，
所以由a＞1，b＞1推得出lgab＞0，故充分性成立，
由lgab＞0推不出a＞1，b＞1，故必要性不成立，
所以“a＞1，b＞1”是“lgab＞0”的充分非必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
14．如果θ是第一象限角，则（ ）
A．sin2θ＞0且tan2θ＞0B．且tan2θ＞0
C．sin2θ＞0且D．且
【分析】根据θ的象限确定的象限，即可排除B、D，再确定2θ的象限，即可排除A．
解：因为θ是第一象限角，则，k∈Z，
所以，k∈Z，
所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D；
又4kπ＜2θ＜π+4kπ，k∈Z，
所以2θ的终边在第一、第二象限或在y轴正半轴，则sin2θ＞0，
当2θ的终边在y轴正半轴时tan2θ无意义，故排除A．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值的符号，牢记：一全正、二正弦、三正切、四余弦是解题的关键，属于基础题．
15．已知，以下命题中所有正确的命题有（ ）个．
①已知sinθ，secθ的值，则可以确定θ的其余四个三角比的值
②已知θ的两个三角比的值，则可以确定θ的其余四个三角比的值
③已知tanθ的值，则可以确定θ的其余五个三角比的绝对值
④已知secθ的值和sinθ的符号，则可以确定θ所有六个三角比的值
A．4B．3C．2D．1
【分析】利用三角函数的定义，逐一判断各个命题即得．
解：依题意，sinθcscθ＝1，csθsecθ＝1，，tanθctθ＝1，
给定sinθ，secθ，可求出cscθ，csθ，tanθ，ctθ，故①正确；
已知θ的两个三角比的值，如给出tanθ与ctθ的值，
由于tanθctθ＝1，相当于只给出其中一个值，
显然sinθ，csθ，secθ，cscθ值的正负不确定，此时不能确定θ的其余四个三角比的值，故②错误；
由tanθ的值，可求出ctθ的值，
由及sin2θ+cs2θ＝1，可求出|sinθ|，|csθ|，
求出|cscθ|，|ctθ|，
可得tanθ的值，可以确定θ的其余五个三角比的绝对值，故③正确；
由secθ的值，可求出csθ的值，由结合sinθ的符号可求出sinθ，
可得cscθ，tanθ，ctθ，故④正确，
可得所有正确的命题有3个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
16．设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝xlgax﹣1的零点（其中a＞1），则x1+9x2的取值范围是（ ）
A．[6，+∞）B．（6，+∞）C．[10，+∞）D．（10，+∞）
【分析】根据零点定义，可得x1，x2分别是和的解．结合函数与方程的关系可知x1，x2分别是函数与函数y＝ax和函数y＝lgax交点的横坐标，所以可得0＜x1＜1，x2＞1．而y＝ax与y＝lgax互为反函数．则由反函数定义可得x1•x2＝1．再根据基本不等式，即可求得x1+x2的最小值，将x1+9x2化为x1+x2+8x2，即可得解．
解：因为x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝xlgax﹣1的零点，
则x1，x2分别是和的解，
所以x1，x2分别是函数与函数y＝ax和函数y＝lgax交点的横坐标，
所以交点分别为，
因为a＞1，
所以0＜x1＜1，x2＞1，
由于函数与函数y＝ax和函数y＝lgax都关于y＝x对称，
所以点A与点B关于y＝x对称，
因为关于y＝x对称的点坐标为，
所以，
即x1•x2＝1，且x1≠x2，
所以x1+9x2＝x1+x2+8x2＞2+8x2，
由于x1≠x2所以不能取等号，
因为x2＞1，
所以2+8x2＞2+8＝10，
即x1+9x2∈（10，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查了反函数的定义及性质综合应用，函数与方程的关系应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题．
三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．已知α，β均为锐角，且csα＝，tan（α﹣β）＝﹣．
（1）求cs（α﹣β）的值；
（2）求sinβ的值．
【分析】根据平方关系和α是锐角即可得出sinα，再利用基本关系式即可得出tanα，利用两角和的正切公式即可得出tanβ，利用基本关系式可得sinβ，csβ，利用两角和的余弦公式展开即可得出．
解：（1）法一∵，，∴＝，∴＝．
∵，解得tanβ＝．
联立，解得．
∴cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ＝＝．
法二：令α﹣β＝θ，那么θ∈（﹣，0）
由tanθ＝＝﹣得：sinθ＝﹣csθ
∴cs2θ+cs2θ＝1
⇒cs（α﹣β）＝
（2）由（1）可得．
【点评】本题中考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．
18．定义一个新运算，已知，则，已知，且，求与sinθ的值．
【分析】根据题意结合三角恒等变换整理得，再结合角的范围，利用三角恒等变换分别求，注意三角函数值的符号．
解：因为，
可得
＝，
由可得，解得，
且θ∈（π，2π），则，可得，
所以，
所以；
又因为，解得，
由θ∈（π，2π）可知，
则，所以．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，属于中档题．
19．2023年10月17日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果．中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目．国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元）
已知2≤m≤8（m∈R），每销售n节智能型车厢时，需上交0.1n2百万元用于当地基础建设．假设生产的车厢当年都能销售完．
（1）设y1，y2分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出y1，y2与年产量x之间的函数关系式；
（2）①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值；
②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？
【分析】（1）根据题意，分别求出y1，y2与年产量x之间的函数关系式即可；
（2）①对于传统型车厢，它的平均利润为＝10﹣m﹣（其中0＜x≤200，且x∈N），利用其单调性可求出其最大值，对于智能型车厢，它的平均利润为＝10﹣（0.1x+），利用基本不等式可求出其最大值；
②比较两种车厢的平均利润求解即可；
解：（1）生产传统型的年利润为y1＝10x﹣（20+mx）＝（10﹣m）x﹣20（其中0＜x≤200，且x∈N），
生产智能型的年利润y2＝18x﹣（8x+40）﹣0.1x2＝﹣0.1x2+10x﹣40（其中0＜x≤120，且x∈N）；
（2）①对于传统型车厢，它的平均利润为＝10﹣m﹣（其中0＜x≤200，且x∈N），
显然当x＝200时，平均利润最大，最大为10﹣m﹣＝﹣m，
对于智能型车厢，它的平均利润为＝﹣0.1x+10﹣＝10﹣（0.1x+）＝6，
当且仅当0.1x＝，即x＝20时，等号成立，
所以当x＝20时，平均利润最大，最大为6，
综上所述，传统型车厢的平均利润的最大值为（﹣m）百万元，智能型车厢的平均利润的最大值为6百万元；
②当＞6，即2≤m＜3.9时，传统型车厢的平均利润更大，此时该厂选择生产传统型车厢，
当，即3.9＜m≤8时，智能型车厢平均利润更大，此时该厂选择生产智能型车厢，
当＝6，即m＝3.9时，两种车厢平均利润相等，此时该厂选择生产传统型车厢和智能型车厢都一样，
综上所述，当2≤m＜3.9时，该厂选择生产传统型车厢；当3.9＜m≤8时，选择生产智能型车厢；当m＝3.9时，该厂选择生产传统型车厢和智能型车厢都一样．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
20．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，，AB＝1，扇形圆心角∠BAE＝x，，如图，将△ADC，△ABC以及扇形BAE的面积分别记为p（x），q（x），s（x）．
（1）写出p（x），q（x），s（x）的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；
（2）用表示梯形ABCD的面积t（x）；并证明：t（x）＞2•s（x）；
（3）设，，试用代数计算比较f（α）与f（α+φ）的大小．
【分析】（1）用x表示出AB和BC，而后再表示出△ADC，△ABC以及扇形BAE的面积；
（2）先用表示梯形ABCD的面积t（x），而后构造函数证明t（x）＞2•s（x）；
（3）结合（1）表示出f（x），构造函数分析其增长性．
解：（1）由几何关系可得AD＝AEcs（）＝sinx，BC＝ABtanx＝tanx，
所以p（x）＝，
q（x）＝，
s（x）＝π×AB2×＝；
（2）t（x）＝＝＝，
2s（x）＝x，
令g（t）＝tant﹣t，当，g′（t）＝sec2t﹣1＞0，
又g（0）＝0，所以g（t）＞g（0）＝0，
所以当，tan﹣2×＞0，即tan＞2×＝x，
此时，所以0＜tan1，所以0＜1﹣tan4＜1，
所以t（x）＞2s（x）；
（3）结合（1）f（x）＝，
f′（x）＝，
由（2）知当当，x﹣tanx＜0，又csx＞0，x2＞0，
所以f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，）单调递减，
因为0＜α＜α+φ＜，所以f（α）＞f（α+φ）．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，构造函数并利用导数分析函数的增减性是解决本题的关键，属中档题．
21．若函数y＝f（x）满足在定义域内的某个集合A上，2x（f（x）﹣2x）（x∈A）是一个常数则称f（x）在A上具有P性质．
若I是函数y＝f（x）定义域的一个子集，称函数g（x）＝f（x），x∈I是函数y＝f（x）在I上的限制．
（1）设y＝f（x）是[﹣3，3]上只有P性质的奇函数，求x∈[﹣3，3]时不等式的解集；
（2）设y＝f（x）为[﹣3，3]上具有P性质的偶函数．若关于x的不等式f（2x）+2m•f（x）＜0在[﹣3，3]上有解，求实数m的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）在区间[﹣1，1]上的限制是具有P性质的奇函数，在[﹣2，﹣1）∪（1，2]上的限制是具有P性质的偶函数．若对于[﹣2，2]上的任意实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）+4＞mf（x3）恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由f（x）在[﹣3，3]上具有P性质，可得f（x）＝2x+，再由奇函数的定义可得k的值，由指数不等式的解法可得所求解集；
（2）由f（x）在[﹣3，3]上具有P性质和偶函数的定义，可得f（x）的解析式，再由参数分离和指数函数和函数的单调性，可得所求取值范围；
（3）分别求得f（x）＝2x﹣2﹣x在[﹣1，1]上的值域，当﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2时，f（x）＝2x+2﹣x的值域，结合不等式恒成立思想和分类讨论思想，可得所求取值范围．
解：（1）y＝f（x）是[﹣3，3]上具有P性质的奇函数，可得2x（f（x）﹣2x）＝k（k为常数），
则f（x）＝2x+，
又f（x）为[﹣3，3]上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
即2﹣x+k•2x＝﹣（2x+k•2﹣x），整理可得（k+1）（2x+2﹣x）＝0，
解得k＝﹣1，即f（x）＝2x﹣2﹣x，
当x∈[﹣3，3]时，不等式f（x）＞，即为2（2x）2﹣3•2x﹣2＞0，
可得2x＞2，即x＞1，
则原不等式的解集为（1，3]；
（2）y＝f（x）为[﹣3，3]上具有P性质的偶函数，
可得f（x）＝2x+k•2﹣x为[﹣3，3]上的偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
即2﹣x+k•2x＝2x+k•2﹣x，整理可得（k﹣1）（2x﹣2﹣x）＝0，
解得k＝1，即f（x）＝2x+2﹣x，
若关于x的不等式f（2x）+2m•f（x）＜0在[﹣3，3]上有解，
可得22x+2﹣2x+2m（2x+2﹣x）＜0，即为（2x+2﹣x）2﹣2+2m（2x+2﹣x）＜0在[﹣3，3]上有解．
设t＝2x+2﹣x，由x∈[﹣3，3]，可得t∈[2，]，
则t2﹣2+2mt＜0在t∈[2，]上有解．
即为﹣2m＞t﹣在t∈[2，]上有解．
由y＝t﹣在t∈[2，]递增，可得y＝t﹣的最小值为2﹣1＝1，
所以﹣2m＞1，即m＜﹣，
即有m的取值范围是（﹣∞，﹣）；
（3）由题意可得当﹣1≤x≤1时，f（x）＝2x﹣2﹣x；当﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2时，f（x）＝2x+2﹣x，
可得当﹣1≤x≤1时，f（x）∈[﹣，]；当﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2时，f（x）∈（，]．
对于[﹣2，2]上的任意实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）+4＞mf（x3）恒成立，
可得m≥0时，2f（x）min+4＞mf（x）max，
即有2×（﹣）+4＞m，
解得0≤m＜；
m＜0时，2f（x）min+4＞mf（x）min，
即为2×（﹣）+4＞﹣m，解得﹣＜m＜0．
即m的取值范围是（﹣，）．
【点评】本题考查函数的新定义的理解和应用，以及函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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