2023-2024学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法正确的是( )
A. 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值
B. 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值
C. 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值
D. 函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值
2.已知{an}是等差数列，则下列数列必为等比数列的是( )
A. {a2n}B. {an⋅an+1}C. {lg2an}D. {2an}
3.函数y=f(x)的图象如图所示，y=f′(x)为函数y=f(x)的导函数，则不等式f′(x)x<0的解集为( )
A. (−3,−1)
B. (0,1)
C. (−3,−1)∪(0,1)
D. (−∞,−3)∪(1,+∞)
4.数列{an}满足a1a2…an=n2.给出如下两个结论：①a5=2516；②S5=1525144.则下面判断正确的为( )
A. ①对②错B. ①错②对C. ①②都对D. ①②都错
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.2与8的等比中项是______．
6.若f(x)=2x3，则f′(2)= ______．
7.等差数列{an}中a3=2，a9=−10，则a4= ______．
8.f(x)=x2sinx，则f′(x)= ______．
9.已知等差数列{an}中，a1=50，a8=15，则S8= ______．
10.函数f(x)=13x3−x−2的驻点是______．
11.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则an=______．
12.函数y=x−1x的极值点的个数是______．
13.已知数列{an}满足an+1=2an，a2=4，则数列{an}的前4项和等于______．
14.函数y=−x3+12x−1，x∈[0,3]的值域是______．
15.在数列1、x、y、15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是______．
16.已知函数f(x)=a2x2+lnx，若对任意两个不等的正数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2≥4恒成立，则a的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)求函数f(x)=x3+4x的单调区间．
(2)数列{an}的通项公式是an=2+(12)n，证明该数列是严格减数列．
18.(本小题10分)
已知数列{an}为等比数列，a1=1，a3=3a2．
(1)求a5的值；
(2)求数列{an+2}的前n项和．
19.(本小题10分)
圆锥的高为H，底面圆的半径为R，里面有一个内接圆柱，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，如图所示.当圆柱的高ℎ为多少时，圆柱的体积最大？最大为多少？
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+ln(ax)+1axex．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率；
(2)当a=−1时，讨论f(x)的单调性．
21.(本小题12分)
已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1=b1=−4，a4=2，a5=8b4．
(1)求通项公式{an}，{bn}；
(2)求满足am⋅bm>1的正整数m．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.±4
6.24
7.0
8.2xsinx+x2csx
9.260
10.1或−1
11.2n
12.0
13.30
14.[−1,15]
15.x=3y=9或x=−52y=254
16.[4,+∞)
17.(1)解：f′(x)=3x2+4>0在R上恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)，没有单调递减区间；
(2)证明：因为an=2+(12)n，
所以an+1−an=2+(12)n+1−2−(12)n=−(12)n<0，
所以an+1故数列{an}是严格减数列．
18.解：(1)等比数列中，a3=a2q=3a2，得q=3．
因为a1=1，得：an=a1⋅qn−1=3n−1(n∈N∗)，
即a5=34=81；
(2)an+2=3n−1+2，令Tn为其前n项和，则：
Tn=(1+2)+(31+2)++(3n−1+2)=1−3n1−3+2n=3n−12+2n (n∈N∗).
19.解：设圆柱的底面圆的半径为r，
又圆锥的高为H，底面圆的半径为R，
∴rR=H−ℎH，∴r=(H−ℎH)R，
∴圆柱的体积为πr2ℎ=π(H−ℎH)2ℎ，
=π2H⋅(H−ℎ)⋅(H−ℎ)⋅2ℎ≤π2H×(H−ℎ+H−ℎ+2ℎ3)3=4πH227，
当且仅当H−ℎ=2ℎ，即ℎ=H3时，等号成立，
∴圆柱的体积最大为4πH227．
20.解：(1)当a=1时，f(x)=x+lnx+xex，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为2e+2．
(2)当a=−1时，f(x)=x+ln(−x)−xex，易知f(x)的定义域为(−∞,0)，
又f′(x)=1+1x−(1+x)ex=(1+x)(1x−ex)，
因为x∈(−∞,0)，所以1x−ex<0，
所以x∈(−∞,−1)时，f′(x)>0，x∈(−1,0)时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)；单调递减区间为(−1,0)．
21.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由a1=b1=−4，a4=2，a5=8b4，可得−4+3d=2，−4+4d=−32q3，
解得d=2，q=−12，
则an=−4+2(n−1)=2n−6；bn=−4×(−12)n−1；
(2)由am⋅bm>1，可得−4(2m−6)×(−12)m−1=−8(m−3)×(−12)m−1>1，
即16(m−3)×(−12)m>1(∗)，
当m=1时，16>1成立；当m=2时，−4>1不成立；
当m=3时，0>1不成立；
当m>3，且m为奇数时，显然不等式(∗)不成立；
当m>3，且m为偶数时，设f(m)=16(m−3)2m，
f(m+2)−f(m)=16(m−1)2m+2−16(m−3)2m=4(11−3m)2m<0，
即1=f(4)>f(6)>f(8)>...，
可得不等式(∗)不成立．
综上可得，m=1．