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沪教版七年级数学上册特训07期末解答题汇编(精选42题)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版七年级数学上册特训07期末解答题汇编(精选42题)(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（1）计算：
①；
②．
（2）化简求值：
①，其中，；
②，其中，．
2．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
3．因式分解：
(1)；
(2)．
4．因式分解：
(1)．
(2)．
(3)
(4)．
5．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
6．约分：
(1)
(2)
(3)
7．计算：
(1)；
(2)
(3)
(4)
8．计算：
9．解方程．
(1)；
(2)．
10．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)解方程：．
11．先化简，再求值：，其中， ．
12．先化简，再求值：．其中，实数的相反数是它本身．
13．先化简，再求值：，其中．
14．若关于的方程有增根，求实数的值．
15．当n为何取值范围时，分式方程的解不大于5．
16．已知，．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
17．小杰准备完成题目：化简，发现系数“■”印刷不清楚．
(1)他把“■”猜成3，请你化简；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？
18．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？
19．已知乘以得到的积中常数项为12，且不含有二次项，求的值．
20．已知化简的结果中不含项和项．
(1)求，的值；
(2)若是一个完全平方式，求的值．
21．求值：
(1)已知，求的值．
(2)已知，则的值？
22．已知：A＝，B＝C＝．
(1)求证：；
(2)当时，指出A与C哪个大？并说明理由；
(3)设，则m的取值范围为 ．（直接写出答案）
23．已知：如图，正方形由两个大小不同的正方形以及两个大小相同的长方形拼接而成，若，．（，是常数，且）
(1)用含有字母、的代数式表示正方形的面积．
(2)求的面积．（用含字母、的代数式表示并化简结果）
24．如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，
（1）当时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________．
（2）如图，用的代数式表示长方形ABCD与长方形的重叠部分的面积．
（3）如图，用的代数式表示六边形的面积．
25．若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
（1）若满足，求的值；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，．长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）
26．如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将他们按照图①和图②的形式摆放，
（1）用含有的代数式分别表示阴影面积： , ， .
（2）若，求的值；
（3）若，，，求出图③中的阴影部分面积.
27．数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
28．阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题
【阅读材料】
对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出后代入，就可以把多项式因式分解．
【解决问题】
(1)求式子中的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．
29．某校八（1）班和四川省某贫困县一所中学的八（2）班是牵手班级，八（1）班所有学生准备捐款3600元帮助小伙伴们来购置学习用品，在实际捐款中又有4名老师参加，如果总的捐款数不变，则参加捐款的每人平均少捐了10元，求这个班的人数．
30．2022年北京冬奥会开幕在即，参加女子1500米短道速滑的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平．在经过指导后，甲运动员的速度是原来的1.1倍，时间缩短了15秒，那么经过指导后，甲运动员的速度是多少？
31．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工12000个口罩，在实际生产中由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的1.5倍，从而提前2天完成任务．该企业原计划每天生产多少个口罩？
32．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工个口罩，在实际生产中，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的倍，从而提前天完成任务
（1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？
（2）如果该企业按原计划的工作效率加工了个口罩后，才将效率提高到原来的倍，则该企业完成这批口罩工作任务共用了多少天？（所得结果用含有的代数式表示：为大于零的整数）
33．某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书的定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，并按该书的定价7元售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的批发价为每本多少元？
（2）该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
34．如图所示，正方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后得到的；
(3)在平移过程中，线段扫过的图形的面积是______．
35．如图，已知四边形ABCD和直线MN．
(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是 ．
36．如图，在边长为1的正方形网格中，与是中心对称图形．
(1)在图中标出与的对称中心点O；
(2)如果将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；
(3)画出绕点O旋转180°后得到的；
(4)顺次连结、、、，所得到的图形______轴对称图形（填“是”或“不是”）
37．如图O是正五边形ABCDE的中心，OA=1．
（1）△ODE绕着点 按 方向旋转 度，可以得到△OBC；
（2） △ODE沿 所在直线翻折，可以得到三角形 ．
38．我们通常在施工项目附近的地面上，看到如下图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导，如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：
(1)画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；
(2)完成（1）后，图中AB与A'B'的位置关系是_______，数量关系是_______．
39．如图，已知和 及点O．
(1)画出关于点O对称的；
(2)若与关于点对称，请确定点的位置．
40．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转了多少度；
(2)求出的度数和的长．
41．如图，有三条格点线段AB、CD、DE（线段的端点是网格线的交点），它们组成的图形不是轴对称图形．现要通过平移或旋转，改变其中一条线段的位置，使运动后的这条线段与另两条线段组成一个轴对称图形．请分别填写三种平移方案和三种旋转方案平移方案：（移动方向限填“上”、“下”、“左”、“右”）
（1）将线段 向 平移1格；
（2）将线段 向 平移1格；
（3）将线段 向 平移1格；
旋转方案：（限填绕A、B、C、D、E中的一点旋转且任意两条线段不重合）
（4）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
（5）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
（6）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
42．如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点落在线段延长线上的点处，点落在点处．
（1）在图中画出旋转后得到的三角形；
（2）若旋转角的度数是，那么 ．
（3）连接，
①若，，，则 ．
②若，，则 ．（用含的代数式表示）
特训07 期末解答题汇编（精选42题）
一、解答题
1．（1）计算：
①；
②．
（2）化简求值：
①，其中，；
②，其中，．
【答案】（1）①；②；（2），17；②，
【分析】（1）①先计算单项式乘以单项式和幂的运算，再计算加减即可；
②先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，再合并同类项即可；
（2）①先计算单项式乘以多项式，再合并同类项，将a，b的值代入计算即可；
②先利用完全平方公式和多项式乘以多项式，并合并同类项，再计算多项式除以单项式，再将x，y的值代入计算即可．
【解析】解：（1）①原式
；
②原式
．
（2）①解：原式
，
当，时，
原式
．
②解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了整式的四则混合运算及化简求值，完全平方公式的应用，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．
2．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式进行计算；
（3）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解；
（4）根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握整式的乘法的运算法则以及乘法公式是解题的关键．
3．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．
【解析】（1）
；
（2）
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
4．因式分解：
(1)．
(2)．
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解；
（2）利用平方差公式分解因式；
（3）前3项分成一组利用完全平方公式分解，然后再与第四项利用平方差公式分解因式；
（4）把1+x看作一个整体，利用提公因式法分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
；
（3）
解：
；
（4）
解：
．
【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
5．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；
（2）利用换元法设，然后利用十字相乘法分解因式求解即可；
（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；
（4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．
【解析】（1）
；
（2）设，
∴原式
∴
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
6．约分：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)m
(3)
【分析】（1）首先确定分子分母的公因式，然后再约掉分子分母的公因式即可；
（2）把分子分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．
（1）
＝
=
（2）
＝
=m；
（3）
＝
=．
【点睛】此题主要考查了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式．
7．计算：
(1)；
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先算分式的乘方，再算分式的除法即可；
（2）将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可；
（3）将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可；
（4）先算分式的乘方，同时利用除法法则变形，再进行约分即可．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．计算：
【答案】
【分析】先计算乘方，再化简分式，最后相加即可．
【解析】解：
=
＝
=
=
=
=
=．
【点睛】考查了负整数指数幂和分式的加减法，解题关键是熟记其计算法则和运算顺序．
9．解方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后即可得到分式方程的解．
【解析】（1）解：分式方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解；
（2）解：分式方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解为．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，在解分式方程的时候，我们首先要在方程的两边同乘以公分母，将分式方程转化为整式方程，然后进行求解，最后需要注意的就是解分式方程我们必须进行验根，看方程的解能否使分式的分母为零，如果使分式的分母为零，则这个解就是方程的增根．
10．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)解方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)原方程无解
【分析】（1）根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（3）根据异分母分式加减运算法则进行计算即可；
（4）根据分式混合运算法则进行计算即可；
（5）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【解析】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：
∵，
检验：把代入得：，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，注意分式方程的解要进行检验．
11．先化简，再求值：，其中， ．
【答案】
【分析】先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入即可求解．
【解析】解：原式＝
＝
＝，
当，时，
原式＝
．
【点睛】此题主要考是查整式的化简求值，解题的关键熟知整式的乘除运算法则．
12．先化简，再求值：．其中，实数的相反数是它本身．
【答案】，0
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后求出a的值，最后代值计算即可．
【解析】解：
，
∵实数的相反数是它本身，
∴，即，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，相反数的定义，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．
13．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可．
【解析】解：
=
=
=
=，
把代入得：原式==．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决这类题目关键是掌握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
14．若关于的方程有增根，求实数的值．
【答案】-2或
【分析】先确定增根的值，再把该方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求解即可．
【解析】解：该方程的最简公分母是x(x+1)，
该方程的增根为或，
方程两边同乘以x(x+1)得， 2mx-(m+1)=x+1，
当时， 2m×0-(m+1)=0+1，
解得；
当时， 2m×(-1)-(m+1)=-1+1，
，
实数的值为或．
【点睛】此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能根据增根的意义，利用整式方程进行求解．
15．当n为何取值范围时，分式方程的解不大于5．
【答案】且且．
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，解整式方程可得，再由且且，列不等式组，从而可得答案．
【解析】解：
∴，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
∵且且，
∴
解得：且且．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握“根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围”是解本题的关键．
16．已知，．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)19
(2)13
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式可得，将，代入即可得到答案；
（2）利用完全平方公式，结合（1），代入即可得到答案；
（3）根据平方差公式可得，展开得，将，代入即可得到答案．
【解析】（1）解：
，
（2）解：，
由（1）得
（3）解：
，
【点睛】此题考查完全平方公式和平方差公式的运用，认真审题，仔细观察和分析题干的已知条件，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．
17．小杰准备完成题目：化简，发现系数“■”印刷不清楚．
(1)他把“■”猜成3，请你化简；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？
【答案】(1)；
(2)原题中的“■”是4．
【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得；
（2）设“■”是a，将a看作常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．
【解析】（1）解：
；
（2）解：设“■”是a，
则原式
，
∵标准答案的结果是常数，
∴，
解得：．
原题中的“■”是4．
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
18．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？
【答案】3x3-12x2y+12xy2
【分析】根据被除式=商×除式，所求多项式是3x（x-2y），根据多项式乘多项式的法则计算即可．
【解析】解：第一个多项式是：3x（x-2y）=3x2-6xy，
正确的结果应该是：（3x2-6xy）（x-2y）
=3x3-6x2y-6x2y+12xy2
=3x3-12x2y+12xy2．
【点睛】题考查了多项式乘多项式法则，根据被除式、除式、商三者之间的关系列出等式是解题的关键，熟练掌握运算法则也很重要．
19．已知乘以得到的积中常数项为12，且不含有二次项，求的值．
【答案】-27
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积中常数项为12，且不含二次项，
得到，由此求出，，最后代值计算即可．
【解析】解：
，
∵乘积中常数项为12，且不含二次项，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式中的不含某一项的问题，代数式求值，解二元一次方程组，熟知相关知识是解题的关键．
20．已知化简的结果中不含项和项．
(1)求，的值；
(2)若是一个完全平方式，求的值．
【答案】(1)
(2)25
【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含项和项可得 ，即可求解；
（2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中 作为一个整体，再变形为完全平方形式，即可求解．
(1)
解：
，
∵化简的结果中不含项和项，
∴ ，
解得：；
(2)
解：
∵是一个完全平方式，
∴，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键．
21．求值：
(1)已知，求的值．
(2)已知，则的值？
【答案】(1)－1
(2)125
【分析】（1）原式可化为，从而可表示为两个非负数的和为零，因此可分别求得a与b的值，从而可求得结果的值；
（2）由已知得，再代入所求整式中化简即可求得结果．
(1)
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
(2)
∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了完全平方公式、整式的乘法，熟练掌握乘法公式并能正确进行整式的乘法运算是关键．
22．已知：A＝，B＝C＝．
(1)求证：；
(2)当时，指出A与C哪个大？并说明理由；
(3)设，则m的取值范围为 ．（直接写出答案）
【答案】(1)证明见解析；
(2)C大，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）化简代数式即可证明；
（2）将的代数式进行化简，再判断当时，的正负即可得出结果；
（3）化简，再判断取值范围即可；
【解析】（1）证明：
（2）解：当时， C大，理由如下：
当时，，即．
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查多项式的应用，正确化简多项式，并结合完全平方公式判断式子的正负是解题的关键．
23．已知：如图，正方形由两个大小不同的正方形以及两个大小相同的长方形拼接而成，若，．（，是常数，且）
(1)用含有字母、的代数式表示正方形的面积．
(2)求的面积．（用含字母、的代数式表示并化简结果）
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）先根据正方形面积公式列式，然后运用完全平方公式计算即可；
（2）根据=正方形的面积减去三个三角形列式计算即可．
（1）
解：如图所示，
．
（2）
解：．
【点睛】本题主要考查了列式计算和完全平方公式等知识点，审清题意、正确列式成为解答本题的关键．
24．如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，
（1）当时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________．
（2）如图，用的代数式表示长方形ABCD与长方形的重叠部分的面积．
（3）如图，用的代数式表示六边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据平移方向和距离可求出重叠部分的长和宽，从而可求出重叠部分的面积；
（2）用x表示出重叠部分的长和宽，然后根据长方形面积公式列式整理即可；
（3）利用平移前后长方形的面积和加上两个正方形的面积，然后再送去重叠部分的面积列式进行计算即可得解．
【解析】解：（1）将长方形向右平移，再向下平移
所以，重叠部分的长为：10-4=6cm，宽为：8-5=3cm；
因此，重叠部分的面积为：；
（2）∵，，
∴重叠部分的长为（10-x）cm，宽为[8-(x+1)]cm，
∴重叠部分的面积=
= ．
=
（3）
=．
【点睛】本题考查了平移的性质和整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键．
25．若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
（1）若满足，求的值；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，．长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）
【答案】（1）120；（2）2014；（3）2100
【分析】（1）根据举例进行解答即可；
（2）设（2015-x）=c，（2013-x）=d，则（2015-x）2+（2013-x）2=c2+d2=4032，c-d=（2015-x）-（2013-x）=2，所以2cd=（c2+d2）-（c-d）2=4032-22=4028，可得cd=2014，即可解答；
（3）根据正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，所以DE=（x-10），DG=x-20，得到（x-10）（x-20）=500，设（x-10）=a，（x-20）=b，从而得到ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，根据举例求出a2+b2，即可求出阴影部分的面积．
【解析】解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，
则（30-x）（x-20）=mn=-10，m+n=（30-x）+（x-20）=10，
∴（30-x）2+（x-20）2=m2+n2=（m+n）2-2mn=（-10）2-2×（-10）=120；
（2）设（2015-x）=c，（2013-x）=d，
则（2015-x）2+（2013-x）2=c2+d2=4032，c-d=（2015-x）-（2013-x）=2，
2cd=（c2+d2）-（c-d）2=4032-22=4028，
∴cd=2014，
∴（2015-x）（2013-x）=cd=2014．
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，
∴DE=（x-10），DG=x-20，
∴（x-10）（x-20）=500，
设（x-10）=a，（x-20）=b，
∴ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=102+2×500=1100，
∴阴影部分的面积为：a2+b2+2ab=1100+2×500=2100．
【点睛】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式，进行转化运用．
26．如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将他们按照图①和图②的形式摆放，
（1）用含有的代数式分别表示阴影面积： , ， .
（2）若，求的值；
（3）若，，，求出图③中的阴影部分面积.
【答案】（1）a2-4ab+4b2；a2-2ab+b2；2b2-ab；（2）-34；（3）38
【分析】（1）用含a和b的代数式表示出两个小正方形的边长，然后根据面积公式可得S1，S2的面积；用大正方形的面积减去左侧长方形的面积和两个正方形的面积可得S3的面积；
（2）把S1和S3代入，整理后根据完全平方公式变形，然后把代入计算即可；
（3）由，，，可求出a2，b2，ab的值，然后用割补法求解即可.
【解析】（1）∵图①中间小正方形的边长是2b-a，
∴S1=(2b-a)2=a2-4ab+4b2；
∵图①左上角正方形的边长a-b，
∴S2=(a-b)2=a2-2ab+b2；
S3= 2b2-ab；
（2）∵，
∴=2(a2-4ab+4b2)-3(2b2-ab)
=2a2+2b2-5ab
=2(a+b)2-9ab
=200-234
=-34；
（3）∵，，，
∴，
∴a2=76，b2=34，ab=50，
S阴影=a2+b2-b(a+b)- a2+b(a-b)
=a2
=38.
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算，恰当进行代数式变形是解答本题的关键．．
27．数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②-2
【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；
（2）由（1）直接可得关系式；
（3）①由（a-b）2=a2+b2-2ab=13，（a+b）2=a2+b2+2ab=25，两式子直接作差即可求解；②设2021-a=x，a-2020=y，可得x+y=1，再由已知可得x2+y2=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2020）=-2即可．
(1)
方法一：∵大正方形的边长为（a+b），
∴S=（a+b）2；
方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，
∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
(2)
由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；
(3)
①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，
（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，
由①-②得，-4ab=-12，
解得：ab=3；
②设2021-a=x，a-2020=y，
∴x+y=1，
∵（2021-a）2+（a-2020）2=5，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，
∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，
解得：xy=-2，
∴（2021-a）（a-2020）=-2．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键．
28．阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题
【阅读材料】
对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出后代入，就可以把多项式因式分解．
【解决问题】
(1)求式子中的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据x3-5x2+x+10=（x-2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程求出即可；
（2）由把x=-1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．
（1）
解：因为＝，
所以＝，
于是得，
解得；
（2）
解∶ 当x＝－1时，的值为0，
因此设＝，
所以得＝，
于是得，
解得，
所以＝＝．
【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型，同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．
29．某校八（1）班和四川省某贫困县一所中学的八（2）班是牵手班级，八（1）班所有学生准备捐款3600元帮助小伙伴们来购置学习用品，在实际捐款中又有4名老师参加，如果总的捐款数不变，则参加捐款的每人平均少捐了10元，求这个班的人数．
【答案】36人
【分析】设这个班有人，根据题意即可列出分式方程，解即可求得．
【解析】解：设这个班有人，
根据题意得，．
整理得
解得 ，
经检验，，都是原方程得根，因为人数不能为负数，
所以
答：这个班级有36人．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据数量关系列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
30．2022年北京冬奥会开幕在即，参加女子1500米短道速滑的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平．在经过指导后，甲运动员的速度是原来的1.1倍，时间缩短了15秒，那么经过指导后，甲运动员的速度是多少？
【答案】经过指导后，甲运动员的速度是10米/秒．
【分析】设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是1.1x米/秒，利用“时间＝路程÷速度”以及“经过指导后时间缩短了15秒”的等量关系列分式方程求解即可．
【解析】解：设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是1.1x米/秒，
依题意得：﹣＝15，
解得：x＝，
经检验，x＝是原方程的解，且符合题意，
∴1.1x＝1.1×＝10．
答：经过指导后，甲运动员的速度是10米/秒．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是审清题意、舍出未知数、根据等量关系列出分式方程．
31．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工12000个口罩，在实际生产中由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的1.5倍，从而提前2天完成任务．该企业原计划每天生产多少个口罩？
【答案】2000个．
【分析】设该企业原计划每天生产个口罩，则在实际生产中每天生产个口罩，利用原计划加工的天数比实际加工的天数多2天,列出分时方程即可求解．
【解析】解:设该企业原计划每天生产个口罩，则在实际生产中每天生产个口罩，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意．
答: 该企业原计划每天生产2000个口罩．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用,正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键.
注意:分时方程要检验．
32．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工个口罩，在实际生产中，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的倍，从而提前天完成任务
（1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？
（2）如果该企业按原计划的工作效率加工了个口罩后，才将效率提高到原来的倍，则该企业完成这批口罩工作任务共用了多少天？（所得结果用含有的代数式表示：为大于零的整数）
【答案】（1）企业原计划每天生产2000个口罩；（2）该企业完成这批口罩工作任务共用了天
【分析】（1）设企业原计划每天生产个口罩，则提高效率后每天生产个口罩，根据“原计划比实际多用2天完成”列出分式方程即可求出结论；
（2）根据“总时间=以原计划的工作效率加工个口罩所用时间＋以提高效率后的工作效率加工（12000－a）个所用时间”即可求出结论．
【解析】解：（1）设企业原计划每天生产个口罩，则提高效率后每天生产个口罩，
根据题意可得
解得：x=2000
经检验：x=2000是原方程的解，且符合题意
答：企业原计划每天生产2000个口罩．
（2）根据题意，该企业完成这批口罩工作任务共用（天）
答：该企业完成这批口罩工作任务共用了天．
【点睛】此题考查的是分式方程的应用和利用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．
33．某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书的定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，并按该书的定价7元售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的批发价为每本多少元？
（2）该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
【答案】（1）第一次购书的进价是5元；（2）该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【分析】（1）设第一次购书的单价为x元，则第二次购书的单价为（1+20%）x，然后根据第二次所购该书的数量比第一次多10本，列出分式方程，求出x的值即可得出答案；
（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出两次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．
【解析】（1）设第一次购书的单价为x元，则第二次购书的单价为（1+20%）x
根据题意得：+10＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意
答：第一次购书的进价是5元；
（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），
第二次购书为240+10＝250（本），
第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），
第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元），
所以两次共赚钱480+40＝520（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
34．如图所示，正方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后得到的；
(3)在平移过程中，线段扫过的图形的面积是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)9
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）连接AA1，CC1，则在平移过程中，线段AC扫过的图形为平行四边形ACC1A1，S平行四边形ACC1A1=S△AB1C+S△B1C1C+S△A1B1C1，结合三角形的面积公式求解即可．
（1）
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）
解：如图，△A1B2C2即为所求．
（3）
解：连接AA1，CC1，
则在平移过程中，线段AC扫过的图形为平行四边形ACC1A1，
S平行四边形ACC1A1=S△AB1C+S△B1C1C+S△A1B1C1=×3×2+×3×3+×3×1=9．
∴在平移过程中，线段AC扫过的图形面积为9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查作图－平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
35．如图，已知四边形ABCD和直线MN．
(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是 ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)关于直线成轴对称．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
（2）根据中心对称性质即可画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；
（3）结合以上画图确定四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系即可．
（1）
解：如图，A1B1C1D1即为所求；
（2）
解：如图，A2B2C2D2即为所求；
（3）
解：如图可知: 四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2关于直线CO成轴对称．
故答案为：关于直线CO成轴对称．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、中心对称的性质以及抽对称图形的识别，掌握轴对称和中心对称的性质成为解答本题的关键．
36．如图，在边长为1的正方形网格中，与是中心对称图形．
(1)在图中标出与的对称中心点O；
(2)如果将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；
(3)画出绕点O旋转180°后得到的；
(4)顺次连结、、、，所得到的图形______轴对称图形（填“是”或“不是”）
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)是
【分析】（1）如图1，按照要求作图即可；
（2）如图2，按照要求作图即可；
（3）如图3，按照要求作图即可；
（4）如图4，观察图象可得答案．
（1）
解：如图1，连接，交点即为对称中心点；
（2）
解：如图2
（3）
解：如图3
（4）
解：如图4
观察图形可知顺次连结，所得到的图形是轴对称图形，对称轴为和．
故答案为：是．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移、旋转，轴对称等知识．解题的关键在于明确轴对称与中心对称的概念．
37．如图O是正五边形ABCDE的中心，OA=1．
（1）△ODE绕着点 按 方向旋转 度，可以得到△OBC；
（2） △ODE沿 所在直线翻折，可以得到三角形 ．
【答案】（1）O，顺时针，144；(或逆时针 216);（2） OD，△ODC．（或OC，△OAB）
【分析】（1）先计算出正五边形的每各内角的度数，然后找到旋转中心，按照顺时针或逆时针找到一条对应边，看对应边的夹角是多少即可.
（2）根据翻折的性质，图形沿某条直线翻折，翻折后与翻折前图形能够完全重合，依次解决即可.
【解析】解：（1）正五边形的每各内角为360÷5=72，即72度，分两种情况讨论：
①△ODE绕着点O按顺时针方向旋转144度，即OE与OC重合，OD与OB,旋转角为∠DOB或∠EOC,可以得到△OBC；
②△ODE绕着点O按逆时针方向旋转216度，即OE与OC重合，OD与OB,可以得到△OBC；
(2)根据翻折的性质，翻折前后图形能够完全重合，即成轴对称，那条直线即为对称轴，可分两种情况：①故△ODE沿OD所在直线翻折，可以得到三角形ODC．
②故△ODE沿OC所在直线翻折，可以得到三角形OAB．
【点睛】本题考查了旋转和翻折的相关性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转和翻折的相关性质，能够根据相关性质找到相对应的边和角.
38．我们通常在施工项目附近的地面上，看到如下图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导，如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：
(1)画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；
(2)完成（1）后，图中AB与A'B'的位置关系是_______，数量关系是_______．
【答案】(1)见解析
(2)平行（或AB//A′B′），相等（或AB= A′B′）
【分析】（1）利用平移变换的性质求出平移后的图形即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可．
（1）
解：图形如图所示：
（2）
解：ABA′B′，AB＝A′B′，
故答案为：ABA′B′，AB＝A′B′．
【点睛】本题考查作图﹣利用平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
39．如图，已知和 及点O．
(1)画出关于点O对称的；
(2)若与关于点对称，请确定点的位置．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接三角形的各顶点与O的连线，并延长相同长度，找到对应点，顺次连接．
（2）若与关于点对称，连接两组对应点的连线的交点O就是对称点．
（1）
（2）
【点睛】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键．
40．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转了多少度；
(2)求出的度数和的长．
【答案】(1)旋转中心为点，旋转角度为
(2)，
【分析】（1）由三角形内角和定理可求，即可求解；
（2）由旋转的性质可得，，，即可求解．
【解析】（1）解：，
，
旋转中心为点A，旋转角度为；
（2）解：逆时针旋转一定角度后能与重合，
，，，
，
点是的中点，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
41．如图，有三条格点线段AB、CD、DE（线段的端点是网格线的交点），它们组成的图形不是轴对称图形．现要通过平移或旋转，改变其中一条线段的位置，使运动后的这条线段与另两条线段组成一个轴对称图形．请分别填写三种平移方案和三种旋转方案平移方案：（移动方向限填“上”、“下”、“左”、“右”）
（1）将线段 向 平移1格；
（2）将线段 向 平移1格；
（3）将线段 向 平移1格；
旋转方案：（限填绕A、B、C、D、E中的一点旋转且任意两条线段不重合）
（4）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
（5）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
（6）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
【答案】（1），右；（2），下；（3），左； （4）将线段绕点按顺时针方向旋转度；（5）将线段绕点按逆时针方向旋转度；（6）将线段绕点按逆时针方向旋转度；
【分析】（1）根据平移的性质及轴对称的定义将AB向右平移1格即可；
（2）根据平移的性质及轴对称的定义将DE向下平移1格即可；
（3）根据平移的性质及轴对称的定义将DE向左平移1格即可；
（4）根据旋转的性质及轴对称的定义将线段绕点按顺时针方向旋转度即可；
（5）根据旋转的性质及轴对称的定义将线段绕点按逆时针方向旋转度即可；
（6）根据旋转的性质及轴对称的定义将线段绕点按逆时针方向旋转度即可；
【解析】（1）将AB向右平移1格，运动后的这条AB线段与CD,DE线段组成一个轴对称图形；
故答案为：；右；
（2）将DE向下平移1格，运动后的这条DE线段与CD,AB线段组成一个轴对称图形；
故答案为：；下；
（3）将DE向左平移1格, 运动后的这条DE线段与CD,AB线段组成一个轴对称图形；
故答案为：；左；
（4）将线段绕点按顺时针方向旋转度, 运动后的这条CD线段与DE,AB线段组成一个轴对称图形；
故答案为：将线段绕点按顺时针方向旋转度；
（5）将线段绕点按逆时针方向旋转度, 运动后的这条DE线段与CD,AB线段组成一个轴对称图形；
故答案为：将线段绕点按逆时针方向旋转度；
（6）将线段绕点按逆时针方向旋转度, 运动后的这条DE线段与CD,AB线段组成一个轴对称图形；
故答案为：将线段绕点按逆时针方向旋转度.
【点睛】此题主要考查轴对称图形的设计，解题的关键是熟知轴对称图形的性质、平移与旋转的特点.
42．如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点落在线段延长线上的点处，点落在点处．
（1）在图中画出旋转后得到的三角形；
（2）若旋转角的度数是，那么 ．
（3）连接，
①若，，，则 ．
②若，，则 ．（用含的代数式表示）
【答案】（1）图形见解析；（2）50；（3）①300；②．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据平角的定义求出∠ACB，由旋转的性质得到∠ECD=∠ACB，再由角的和差即可得出结论；
（3）①由旋转的性质得到DE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论；
②过A作AF⊥BC于F．设BC=a，AC=b，AB=c，AF=h．用含h的式子表示出a、b、c，由，代入即可得到结论．
【解析】（1）如图所示：
（2）∵∠ACD=115°，
∴∠ACB=180°－∠ACD=180°－115°=65°，
由旋转的性质可知，∠ECD=∠ACB=65°，
∴∠ACE=∠ACD－∠ECD=115°－65°=50°．
（3）①∵BC=25，AC=7，AB=24，
∴DE=AB=24．
∵∠A=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点A落在线段BC延长线上的点D处，点B落在点E处，
∴DE⊥BC，
∴=300．
②过A作AF⊥BC于F．设BC=a，AC=b，AB=c，AF=h．
∵∠A=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点A落在线段BC延长线上的点D处，点B落在点E处，
∴DE⊥BC，AB=DE，AC=CD．
∵，，
∴，，
∴，，，
∴=．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的面积公式．掌握旋转的性质是解答本题的关键，
1．（1）计算：
①；
②．
（2）化简求值：
①，其中，；
②，其中，．
2．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
3．因式分解：
(1)；
(2)．
4．因式分解：
(1)．
(2)．
(3)
(4)．
5．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
6．约分：
(1)
(2)
(3)
7．计算：
(1)；
(2)
(3)
(4)
8．计算：
9．解方程．
(1)；
(2)．
10．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)解方程：．
11．先化简，再求值：，其中， ．
12．先化简，再求值：．其中，实数的相反数是它本身．
13．先化简，再求值：，其中．
14．若关于的方程有增根，求实数的值．
15．当n为何取值范围时，分式方程的解不大于5．
16．已知，．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
17．小杰准备完成题目：化简，发现系数“■”印刷不清楚．
(1)他把“■”猜成3，请你化简；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？
18．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？
19．已知乘以得到的积中常数项为12，且不含有二次项，求的值．
20．已知化简的结果中不含项和项．
(1)求，的值；
(2)若是一个完全平方式，求的值．
21．求值：
(1)已知，求的值．
(2)已知，则的值？
22．已知：A＝，B＝C＝．
(1)求证：；
(2)当时，指出A与C哪个大？并说明理由；
(3)设，则m的取值范围为 ．（直接写出答案）
23．已知：如图，正方形由两个大小不同的正方形以及两个大小相同的长方形拼接而成，若，．（，是常数，且）
(1)用含有字母、的代数式表示正方形的面积．
(2)求的面积．（用含字母、的代数式表示并化简结果）
24．如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，
（1）当时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________．
（2）如图，用的代数式表示长方形ABCD与长方形的重叠部分的面积．
（3）如图，用的代数式表示六边形的面积．
25．若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
（1）若满足，求的值；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，．长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）
26．如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将他们按照图①和图②的形式摆放，
（1）用含有的代数式分别表示阴影面积： , ， .
（2）若，求的值；
（3）若，，，求出图③中的阴影部分面积.
27．数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
28．阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题
【阅读材料】
对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出后代入，就可以把多项式因式分解．
【解决问题】
(1)求式子中的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．
29．某校八（1）班和四川省某贫困县一所中学的八（2）班是牵手班级，八（1）班所有学生准备捐款3600元帮助小伙伴们来购置学习用品，在实际捐款中又有4名老师参加，如果总的捐款数不变，则参加捐款的每人平均少捐了10元，求这个班的人数．
30．2022年北京冬奥会开幕在即，参加女子1500米短道速滑的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平．在经过指导后，甲运动员的速度是原来的1.1倍，时间缩短了15秒，那么经过指导后，甲运动员的速度是多少？
31．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工12000个口罩，在实际生产中由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的1.5倍，从而提前2天完成任务．该企业原计划每天生产多少个口罩？
32．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工个口罩，在实际生产中，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的倍，从而提前天完成任务
（1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？
（2）如果该企业按原计划的工作效率加工了个口罩后，才将效率提高到原来的倍，则该企业完成这批口罩工作任务共用了多少天？（所得结果用含有的代数式表示：为大于零的整数）
33．某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书的定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，并按该书的定价7元售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的批发价为每本多少元？
（2）该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
34．如图所示，正方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后得到的；
(3)在平移过程中，线段扫过的图形的面积是______．
35．如图，已知四边形ABCD和直线MN．
(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是 ．
36．如图，在边长为1的正方形网格中，与是中心对称图形．
(1)在图中标出与的对称中心点O；
(2)如果将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；
(3)画出绕点O旋转180°后得到的；
(4)顺次连结、、、，所得到的图形______轴对称图形（填“是”或“不是”）
37．如图O是正五边形ABCDE的中心，OA=1．
（1）△ODE绕着点 按 方向旋转 度，可以得到△OBC；
（2） △ODE沿 所在直线翻折，可以得到三角形 ．
38．我们通常在施工项目附近的地面上，看到如下图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导，如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：
(1)画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；
(2)完成（1）后，图中AB与A'B'的位置关系是_______，数量关系是_______．
39．如图，已知和 及点O．
(1)画出关于点O对称的；
(2)若与关于点对称，请确定点的位置．
40．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转了多少度；
(2)求出的度数和的长．
41．如图，有三条格点线段AB、CD、DE（线段的端点是网格线的交点），它们组成的图形不是轴对称图形．现要通过平移或旋转，改变其中一条线段的位置，使运动后的这条线段与另两条线段组成一个轴对称图形．请分别填写三种平移方案和三种旋转方案平移方案：（移动方向限填“上”、“下”、“左”、“右”）
（1）将线段 向 平移1格；
（2）将线段 向 平移1格；
（3）将线段 向 平移1格；
旋转方案：（限填绕A、B、C、D、E中的一点旋转且任意两条线段不重合）
（4）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
（5）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
（6）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
42．如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点落在线段延长线上的点处，点落在点处．
（1）在图中画出旋转后得到的三角形；
（2）若旋转角的度数是，那么 ．
（3）连接，
①若，，，则 ．
②若，，则 ．（用含的代数式表示）
特训07 期末解答题汇编（精选42题）
一、解答题
1．（1）计算：
①；
②．
（2）化简求值：
①，其中，；
②，其中，．
【答案】（1）①；②；（2），17；②，
【分析】（1）①先计算单项式乘以单项式和幂的运算，再计算加减即可；
②先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，再合并同类项即可；
（2）①先计算单项式乘以多项式，再合并同类项，将a，b的值代入计算即可；
②先利用完全平方公式和多项式乘以多项式，并合并同类项，再计算多项式除以单项式，再将x，y的值代入计算即可．
【解析】解：（1）①原式
；
②原式
．
（2）①解：原式
，
当，时，
原式
．
②解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了整式的四则混合运算及化简求值，完全平方公式的应用，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．
2．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式进行计算；
（3）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解；
（4）根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握整式的乘法的运算法则以及乘法公式是解题的关键．
3．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．
【解析】（1）
；
（2）
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
4．因式分解：
(1)．
(2)．
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解；
（2）利用平方差公式分解因式；
（3）前3项分成一组利用完全平方公式分解，然后再与第四项利用平方差公式分解因式；
（4）把1+x看作一个整体，利用提公因式法分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
；
（3）
解：
；
（4）
解：
．
【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
5．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；
（2）利用换元法设，然后利用十字相乘法分解因式求解即可；
（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；
（4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．
【解析】（1）
；
（2）设，
∴原式
∴
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
6．约分：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)m
(3)
【分析】（1）首先确定分子分母的公因式，然后再约掉分子分母的公因式即可；
（2）把分子分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．
（1）
＝
=
（2）
＝
=m；
（3）
＝
=．
【点睛】此题主要考查了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式．
7．计算：
(1)；
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先算分式的乘方，再算分式的除法即可；
（2）将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可；
（3）将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可；
（4）先算分式的乘方，同时利用除法法则变形，再进行约分即可．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．计算：
【答案】
【分析】先计算乘方，再化简分式，最后相加即可．
【解析】解：
=
＝
=
=
=
=
=．
【点睛】考查了负整数指数幂和分式的加减法，解题关键是熟记其计算法则和运算顺序．
9．解方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后即可得到分式方程的解．
【解析】（1）解：分式方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解；
（2）解：分式方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解为．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，在解分式方程的时候，我们首先要在方程的两边同乘以公分母，将分式方程转化为整式方程，然后进行求解，最后需要注意的就是解分式方程我们必须进行验根，看方程的解能否使分式的分母为零，如果使分式的分母为零，则这个解就是方程的增根．
10．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)解方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)原方程无解
【分析】（1）根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（3）根据异分母分式加减运算法则进行计算即可；
（4）根据分式混合运算法则进行计算即可；
（5）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【解析】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：
∵，
检验：把代入得：，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，注意分式方程的解要进行检验．
11．先化简，再求值：，其中， ．
【答案】
【分析】先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入即可求解．
【解析】解：原式＝
＝
＝，
当，时，
原式＝
．
【点睛】此题主要考是查整式的化简求值，解题的关键熟知整式的乘除运算法则．
12．先化简，再求值：．其中，实数的相反数是它本身．
【答案】，0
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后求出a的值，最后代值计算即可．
【解析】解：
，
∵实数的相反数是它本身，
∴，即，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，相反数的定义，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．
13．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可．
【解析】解：
=
=
=
=，
把代入得：原式==．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决这类题目关键是掌握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
14．若关于的方程有增根，求实数的值．
【答案】-2或
【分析】先确定增根的值，再把该方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求解即可．
【解析】解：该方程的最简公分母是x(x+1)，
该方程的增根为或，
方程两边同乘以x(x+1)得， 2mx-(m+1)=x+1，
当时， 2m×0-(m+1)=0+1，
解得；
当时， 2m×(-1)-(m+1)=-1+1，
，
实数的值为或．
【点睛】此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能根据增根的意义，利用整式方程进行求解．
15．当n为何取值范围时，分式方程的解不大于5．
【答案】且且．
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，解整式方程可得，再由且且，列不等式组，从而可得答案．
【解析】解：
∴，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
∵且且，
∴
解得：且且．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握“根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围”是解本题的关键．
16．已知，．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)19
(2)13
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式可得，将，代入即可得到答案；
（2）利用完全平方公式，结合（1），代入即可得到答案；
（3）根据平方差公式可得，展开得，将，代入即可得到答案．
【解析】（1）解：
，
（2）解：，
由（1）得
（3）解：
，
【点睛】此题考查完全平方公式和平方差公式的运用，认真审题，仔细观察和分析题干的已知条件，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．
17．小杰准备完成题目：化简，发现系数“■”印刷不清楚．
(1)他把“■”猜成3，请你化简；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？
【答案】(1)；
(2)原题中的“■”是4．
【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得；
（2）设“■”是a，将a看作常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．
【解析】（1）解：
；
（2）解：设“■”是a，
则原式
，
∵标准答案的结果是常数，
∴，
解得：．
原题中的“■”是4．
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
18．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？
【答案】3x3-12x2y+12xy2
【分析】根据被除式=商×除式，所求多项式是3x（x-2y），根据多项式乘多项式的法则计算即可．
【解析】解：第一个多项式是：3x（x-2y）=3x2-6xy，
正确的结果应该是：（3x2-6xy）（x-2y）
=3x3-6x2y-6x2y+12xy2
=3x3-12x2y+12xy2．
【点睛】题考查了多项式乘多项式法则，根据被除式、除式、商三者之间的关系列出等式是解题的关键，熟练掌握运算法则也很重要．
19．已知乘以得到的积中常数项为12，且不含有二次项，求的值．
【答案】-27
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积中常数项为12，且不含二次项，
得到，由此求出，，最后代值计算即可．
【解析】解：
，
∵乘积中常数项为12，且不含二次项，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式中的不含某一项的问题，代数式求值，解二元一次方程组，熟知相关知识是解题的关键．
20．已知化简的结果中不含项和项．
(1)求，的值；
(2)若是一个完全平方式，求的值．
【答案】(1)
(2)25
【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含项和项可得 ，即可求解；
（2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中 作为一个整体，再变形为完全平方形式，即可求解．
(1)
解：
，
∵化简的结果中不含项和项，
∴ ，
解得：；
(2)
解：
∵是一个完全平方式，
∴，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键．
21．求值：
(1)已知，求的值．
(2)已知，则的值？
【答案】(1)－1
(2)125
【分析】（1）原式可化为，从而可表示为两个非负数的和为零，因此可分别求得a与b的值，从而可求得结果的值；
（2）由已知得，再代入所求整式中化简即可求得结果．
(1)
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
(2)
∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了完全平方公式、整式的乘法，熟练掌握乘法公式并能正确进行整式的乘法运算是关键．
22．已知：A＝，B＝C＝．
(1)求证：；
(2)当时，指出A与C哪个大？并说明理由；
(3)设，则m的取值范围为 ．（直接写出答案）
【答案】(1)证明见解析；
(2)C大，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）化简代数式即可证明；
（2）将的代数式进行化简，再判断当时，的正负即可得出结果；
（3）化简，再判断取值范围即可；
【解析】（1）证明：
（2）解：当时， C大，理由如下：
当时，，即．
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查多项式的应用，正确化简多项式，并结合完全平方公式判断式子的正负是解题的关键．
23．已知：如图，正方形由两个大小不同的正方形以及两个大小相同的长方形拼接而成，若，．（，是常数，且）
(1)用含有字母、的代数式表示正方形的面积．
(2)求的面积．（用含字母、的代数式表示并化简结果）
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）先根据正方形面积公式列式，然后运用完全平方公式计算即可；
（2）根据=正方形的面积减去三个三角形列式计算即可．
（1）
解：如图所示，
．
（2）
解：．
【点睛】本题主要考查了列式计算和完全平方公式等知识点，审清题意、正确列式成为解答本题的关键．
24．如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，
（1）当时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________．
（2）如图，用的代数式表示长方形ABCD与长方形的重叠部分的面积．
（3）如图，用的代数式表示六边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据平移方向和距离可求出重叠部分的长和宽，从而可求出重叠部分的面积；
（2）用x表示出重叠部分的长和宽，然后根据长方形面积公式列式整理即可；
（3）利用平移前后长方形的面积和加上两个正方形的面积，然后再送去重叠部分的面积列式进行计算即可得解．
【解析】解：（1）将长方形向右平移，再向下平移
所以，重叠部分的长为：10-4=6cm，宽为：8-5=3cm；
因此，重叠部分的面积为：；
（2）∵，，
∴重叠部分的长为（10-x）cm，宽为[8-(x+1)]cm，
∴重叠部分的面积=
= ．
=
（3）
=．
【点睛】本题考查了平移的性质和整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键．
25．若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
（1）若满足，求的值；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，．长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）
【答案】（1）120；（2）2014；（3）2100
【分析】（1）根据举例进行解答即可；
（2）设（2015-x）=c，（2013-x）=d，则（2015-x）2+（2013-x）2=c2+d2=4032，c-d=（2015-x）-（2013-x）=2，所以2cd=（c2+d2）-（c-d）2=4032-22=4028，可得cd=2014，即可解答；
（3）根据正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，所以DE=（x-10），DG=x-20，得到（x-10）（x-20）=500，设（x-10）=a，（x-20）=b，从而得到ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，根据举例求出a2+b2，即可求出阴影部分的面积．
【解析】解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，
则（30-x）（x-20）=mn=-10，m+n=（30-x）+（x-20）=10，
∴（30-x）2+（x-20）2=m2+n2=（m+n）2-2mn=（-10）2-2×（-10）=120；
（2）设（2015-x）=c，（2013-x）=d，
则（2015-x）2+（2013-x）2=c2+d2=4032，c-d=（2015-x）-（2013-x）=2，
2cd=（c2+d2）-（c-d）2=4032-22=4028，
∴cd=2014，
∴（2015-x）（2013-x）=cd=2014．
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，
∴DE=（x-10），DG=x-20，
∴（x-10）（x-20）=500，
设（x-10）=a，（x-20）=b，
∴ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=102+2×500=1100，
∴阴影部分的面积为：a2+b2+2ab=1100+2×500=2100．
【点睛】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式，进行转化运用．
26．如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将他们按照图①和图②的形式摆放，
（1）用含有的代数式分别表示阴影面积： , ， .
（2）若，求的值；
（3）若，，，求出图③中的阴影部分面积.
【答案】（1）a2-4ab+4b2；a2-2ab+b2；2b2-ab；（2）-34；（3）38
【分析】（1）用含a和b的代数式表示出两个小正方形的边长，然后根据面积公式可得S1，S2的面积；用大正方形的面积减去左侧长方形的面积和两个正方形的面积可得S3的面积；
（2）把S1和S3代入，整理后根据完全平方公式变形，然后把代入计算即可；
（3）由，，，可求出a2，b2，ab的值，然后用割补法求解即可.
【解析】（1）∵图①中间小正方形的边长是2b-a，
∴S1=(2b-a)2=a2-4ab+4b2；
∵图①左上角正方形的边长a-b，
∴S2=(a-b)2=a2-2ab+b2；
S3= 2b2-ab；
（2）∵，
∴=2(a2-4ab+4b2)-3(2b2-ab)
=2a2+2b2-5ab
=2(a+b)2-9ab
=200-234
=-34；
（3）∵，，，
∴，
∴a2=76，b2=34，ab=50，
S阴影=a2+b2-b(a+b)- a2+b(a-b)
=a2
=38.
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算，恰当进行代数式变形是解答本题的关键．．
27．数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②-2
【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；
（2）由（1）直接可得关系式；
（3）①由（a-b）2=a2+b2-2ab=13，（a+b）2=a2+b2+2ab=25，两式子直接作差即可求解；②设2021-a=x，a-2020=y，可得x+y=1，再由已知可得x2+y2=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2020）=-2即可．
(1)
方法一：∵大正方形的边长为（a+b），
∴S=（a+b）2；
方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，
∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
(2)
由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；
(3)
①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，
（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，
由①-②得，-4ab=-12，
解得：ab=3；
②设2021-a=x，a-2020=y，
∴x+y=1，
∵（2021-a）2+（a-2020）2=5，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，
∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，
解得：xy=-2，
∴（2021-a）（a-2020）=-2．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键．
28．阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题
【阅读材料】
对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出后代入，就可以把多项式因式分解．
【解决问题】
(1)求式子中的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据x3-5x2+x+10=（x-2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程求出即可；
（2）由把x=-1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．
（1）
解：因为＝，
所以＝，
于是得，
解得；
（2）
解∶ 当x＝－1时，的值为0，
因此设＝，
所以得＝，
于是得，
解得，
所以＝＝．
【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型，同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．
29．某校八（1）班和四川省某贫困县一所中学的八（2）班是牵手班级，八（1）班所有学生准备捐款3600元帮助小伙伴们来购置学习用品，在实际捐款中又有4名老师参加，如果总的捐款数不变，则参加捐款的每人平均少捐了10元，求这个班的人数．
【答案】36人
【分析】设这个班有人，根据题意即可列出分式方程，解即可求得．
【解析】解：设这个班有人，
根据题意得，．
整理得
解得 ，
经检验，，都是原方程得根，因为人数不能为负数，
所以
答：这个班级有36人．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据数量关系列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
30．2022年北京冬奥会开幕在即，参加女子1500米短道速滑的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平．在经过指导后，甲运动员的速度是原来的1.1倍，时间缩短了15秒，那么经过指导后，甲运动员的速度是多少？
【答案】经过指导后，甲运动员的速度是10米/秒．
【分析】设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是1.1x米/秒，利用“时间＝路程÷速度”以及“经过指导后时间缩短了15秒”的等量关系列分式方程求解即可．
【解析】解：设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是1.1x米/秒，
依题意得：﹣＝15，
解得：x＝，
经检验，x＝是原方程的解，且符合题意，
∴1.1x＝1.1×＝10．
答：经过指导后，甲运动员的速度是10米/秒．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是审清题意、舍出未知数、根据等量关系列出分式方程．
31．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工12000个口罩，在实际生产中由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的1.5倍，从而提前2天完成任务．该企业原计划每天生产多少个口罩？
【答案】2000个．
【分析】设该企业原计划每天生产个口罩，则在实际生产中每天生产个口罩，利用原计划加工的天数比实际加工的天数多2天,列出分时方程即可求解．
【解析】解:设该企业原计划每天生产个口罩，则在实际生产中每天生产个口罩，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意．
答: 该企业原计划每天生产2000个口罩．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用,正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键.
注意:分时方程要检验．
32．为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工个口罩，在实际生产中，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的倍，从而提前天完成任务
（1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？
（2）如果该企业按原计划的工作效率加工了个口罩后，才将效率提高到原来的倍，则该企业完成这批口罩工作任务共用了多少天？（所得结果用含有的代数式表示：为大于零的整数）
【答案】（1）企业原计划每天生产2000个口罩；（2）该企业完成这批口罩工作任务共用了天
【分析】（1）设企业原计划每天生产个口罩，则提高效率后每天生产个口罩，根据“原计划比实际多用2天完成”列出分式方程即可求出结论；
（2）根据“总时间=以原计划的工作效率加工个口罩所用时间＋以提高效率后的工作效率加工（12000－a）个所用时间”即可求出结论．
【解析】解：（1）设企业原计划每天生产个口罩，则提高效率后每天生产个口罩，
根据题意可得
解得：x=2000
经检验：x=2000是原方程的解，且符合题意
答：企业原计划每天生产2000个口罩．
（2）根据题意，该企业完成这批口罩工作任务共用（天）
答：该企业完成这批口罩工作任务共用了天．
【点睛】此题考查的是分式方程的应用和利用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．
33．某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书的定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，并按该书的定价7元售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的批发价为每本多少元？
（2）该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
【答案】（1）第一次购书的进价是5元；（2）该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【分析】（1）设第一次购书的单价为x元，则第二次购书的单价为（1+20%）x，然后根据第二次所购该书的数量比第一次多10本，列出分式方程，求出x的值即可得出答案；
（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出两次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．
【解析】（1）设第一次购书的单价为x元，则第二次购书的单价为（1+20%）x
根据题意得：+10＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意
答：第一次购书的进价是5元；
（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），
第二次购书为240+10＝250（本），
第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），
第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元），
所以两次共赚钱480+40＝520（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
34．如图所示，正方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后得到的；
(3)在平移过程中，线段扫过的图形的面积是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)9
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）连接AA1，CC1，则在平移过程中，线段AC扫过的图形为平行四边形ACC1A1，S平行四边形ACC1A1=S△AB1C+S△B1C1C+S△A1B1C1，结合三角形的面积公式求解即可．
（1）
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）
解：如图，△A1B2C2即为所求．
（3）
解：连接AA1，CC1，
则在平移过程中，线段AC扫过的图形为平行四边形ACC1A1，
S平行四边形ACC1A1=S△AB1C+S△B1C1C+S△A1B1C1=×3×2+×3×3+×3×1=9．
∴在平移过程中，线段AC扫过的图形面积为9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查作图－平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
35．如图，已知四边形ABCD和直线MN．
(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是 ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)关于直线成轴对称．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；
（2）根据中心对称性质即可画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；
（3）结合以上画图确定四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系即可．
（1）
解：如图，A1B1C1D1即为所求；
（2）
解：如图，A2B2C2D2即为所求；
（3）
解：如图可知: 四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2关于直线CO成轴对称．
故答案为：关于直线CO成轴对称．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、中心对称的性质以及抽对称图形的识别，掌握轴对称和中心对称的性质成为解答本题的关键．
36．如图，在边长为1的正方形网格中，与是中心对称图形．
(1)在图中标出与的对称中心点O；
(2)如果将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；
(3)画出绕点O旋转180°后得到的；
(4)顺次连结、、、，所得到的图形______轴对称图形（填“是”或“不是”）
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)是
【分析】（1）如图1，按照要求作图即可；
（2）如图2，按照要求作图即可；
（3）如图3，按照要求作图即可；
（4）如图4，观察图象可得答案．
（1）
解：如图1，连接，交点即为对称中心点；
（2）
解：如图2
（3）
解：如图3
（4）
解：如图4
观察图形可知顺次连结，所得到的图形是轴对称图形，对称轴为和．
故答案为：是．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移、旋转，轴对称等知识．解题的关键在于明确轴对称与中心对称的概念．
37．如图O是正五边形ABCDE的中心，OA=1．
（1）△ODE绕着点 按 方向旋转 度，可以得到△OBC；
（2） △ODE沿 所在直线翻折，可以得到三角形 ．
【答案】（1）O，顺时针，144；(或逆时针 216);（2） OD，△ODC．（或OC，△OAB）
【分析】（1）先计算出正五边形的每各内角的度数，然后找到旋转中心，按照顺时针或逆时针找到一条对应边，看对应边的夹角是多少即可.
（2）根据翻折的性质，图形沿某条直线翻折，翻折后与翻折前图形能够完全重合，依次解决即可.
【解析】解：（1）正五边形的每各内角为360÷5=72，即72度，分两种情况讨论：
①△ODE绕着点O按顺时针方向旋转144度，即OE与OC重合，OD与OB,旋转角为∠DOB或∠EOC,可以得到△OBC；
②△ODE绕着点O按逆时针方向旋转216度，即OE与OC重合，OD与OB,可以得到△OBC；
(2)根据翻折的性质，翻折前后图形能够完全重合，即成轴对称，那条直线即为对称轴，可分两种情况：①故△ODE沿OD所在直线翻折，可以得到三角形ODC．
②故△ODE沿OC所在直线翻折，可以得到三角形OAB．
【点睛】本题考查了旋转和翻折的相关性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转和翻折的相关性质，能够根据相关性质找到相对应的边和角.
38．我们通常在施工项目附近的地面上，看到如下图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导，如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：
(1)画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；
(2)完成（1）后，图中AB与A'B'的位置关系是_______，数量关系是_______．
【答案】(1)见解析
(2)平行（或AB//A′B′），相等（或AB= A′B′）
【分析】（1）利用平移变换的性质求出平移后的图形即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可．
（1）
解：图形如图所示：
（2）
解：ABA′B′，AB＝A′B′，
故答案为：ABA′B′，AB＝A′B′．
【点睛】本题考查作图﹣利用平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
39．如图，已知和 及点O．
(1)画出关于点O对称的；
(2)若与关于点对称，请确定点的位置．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接三角形的各顶点与O的连线，并延长相同长度，找到对应点，顺次连接．
（2）若与关于点对称，连接两组对应点的连线的交点O就是对称点．
（1）
（2）
【点睛】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键．
40．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转了多少度；
(2)求出的度数和的长．
【答案】(1)旋转中心为点，旋转角度为
(2)，
【分析】（1）由三角形内角和定理可求，即可求解；
（2）由旋转的性质可得，，，即可求解．
【解析】（1）解：，
，
旋转中心为点A，旋转角度为；
（2）解：逆时针旋转一定角度后能与重合，
，，，
，
点是的中点，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
41．如图，有三条格点线段AB、CD、DE（线段的端点是网格线的交点），它们组成的图形不是轴对称图形．现要通过平移或旋转，改变其中一条线段的位置，使运动后的这条线段与另两条线段组成一个轴对称图形．请分别填写三种平移方案和三种旋转方案平移方案：（移动方向限填“上”、“下”、“左”、“右”）
（1）将线段 向 平移1格；
（2）将线段 向 平移1格；
（3）将线段 向 平移1格；
旋转方案：（限填绕A、B、C、D、E中的一点旋转且任意两条线段不重合）
（4）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
（5）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
（6）将线段 绕点 按 时针方向旋转 度；
【答案】（1），右；（2），下；（3），左； （4）将线段绕点按顺时针方向旋转度；（5）将线段绕点按逆时针方向旋转度；（6）将线段绕点按逆时针方向旋转度；
【分析】（1）根据平移的性质及轴对称的定义将AB向右平移1格即可；
（2）根据平移的性质及轴对称的定义将DE向下平移1格即可；
（3）根据平移的性质及轴对称的定义将DE向左平移1格即可；
（4）根据旋转的性质及轴对称的定义将线段绕点按顺时针方向旋转度即可；
（5）根据旋转的性质及轴对称的定义将线段绕点按逆时针方向旋转度即可；
（6）根据旋转的性质及轴对称的定义将线段绕点按逆时针方向旋转度即可；
【解析】（1）将AB向右平移1格，运动后的这条AB线段与CD,DE线段组成一个轴对称图形；
故答案为：；右；
（2）将DE向下平移1格，运动后的这条DE线段与CD,AB线段组成一个轴对称图形；
故答案为：；下；
（3）将DE向左平移1格, 运动后的这条DE线段与CD,AB线段组成一个轴对称图形；
故答案为：；左；
（4）将线段绕点按顺时针方向旋转度, 运动后的这条CD线段与DE,AB线段组成一个轴对称图形；
故答案为：将线段绕点按顺时针方向旋转度；
（5）将线段绕点按逆时针方向旋转度, 运动后的这条DE线段与CD,AB线段组成一个轴对称图形；
故答案为：将线段绕点按逆时针方向旋转度；
（6）将线段绕点按逆时针方向旋转度, 运动后的这条DE线段与CD,AB线段组成一个轴对称图形；
故答案为：将线段绕点按逆时针方向旋转度.
【点睛】此题主要考查轴对称图形的设计，解题的关键是熟知轴对称图形的性质、平移与旋转的特点.
42．如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点落在线段延长线上的点处，点落在点处．
（1）在图中画出旋转后得到的三角形；
（2）若旋转角的度数是，那么 ．
（3）连接，
①若，，，则 ．
②若，，则 ．（用含的代数式表示）
【答案】（1）图形见解析；（2）50；（3）①300；②．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据平角的定义求出∠ACB，由旋转的性质得到∠ECD=∠ACB，再由角的和差即可得出结论；
（3）①由旋转的性质得到DE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论；
②过A作AF⊥BC于F．设BC=a，AC=b，AB=c，AF=h．用含h的式子表示出a、b、c，由，代入即可得到结论．
【解析】（1）如图所示：
（2）∵∠ACD=115°，
∴∠ACB=180°－∠ACD=180°－115°=65°，
由旋转的性质可知，∠ECD=∠ACB=65°，
∴∠ACE=∠ACD－∠ECD=115°－65°=50°．
（3）①∵BC=25，AC=7，AB=24，
∴DE=AB=24．
∵∠A=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点A落在线段BC延长线上的点D处，点B落在点E处，
∴DE⊥BC，
∴=300．
②过A作AF⊥BC于F．设BC=a，AC=b，AB=c，AF=h．
∵∠A=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点A落在线段BC延长线上的点D处，点B落在点E处，
∴DE⊥BC，AB=DE，AC=CD．
∵，，
∴，，
∴，，，
∴=．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形的面积公式．掌握旋转的性质是解答本题的关键，
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