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沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训05期中选填压轴题(第24-25章)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训05期中选填压轴题(第24-25章)(原卷版+解析)，共68页。试卷主要包含了填空题，单选题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·上海普陀·二模）如图，矩形中，，．矩形绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别是点、、，如果点恰好落在对角线上，连接，与交于点E，那么___________．
2．（2022·上海徐汇·九年级阶段练习）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长________．
3．（2022·上海市建平实验中学九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．
4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．
5．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，在中，，，，点在边上，联结，将绕着点旋转，使得点与边的中点重合，点的对应点是点，联结，则______．
6．（2022·上海·九年级专题练习）如图，中，，， ，，M是AD中点，过M的线段EF平分的周长，那么线段 BE的长是 ______ ．
7．（2021·上海市第四中学八年级期中）如图，在中，，，，垂足是，，，，把四边形沿直线翻折，那么重叠部分的面积为___________．
8．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，中，，，．四边形是正方形，点D是直线上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于平行，分别交，于点G，H，则的长是__________．
9．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．
10．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
11．（2021·上海·九年级专题练习）在中，∠C=90°，AC=2，BC=4， ，点分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点A时，线段的长为 ____________
12．（2021·上海·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝3，D为AB中点，点E在线段BC上，且BE＝2CE，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为F，连接DF，则DF的长为_____．
13．（2021·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，，线段PQ在边BA上运动，，
（1）若△ADQ∽△BPC，则AQ＝_____；
（2）四边形PCDQ面积的最大值为_____．
14．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，于点，于点，点在有延长线上，连接交延长线于点，，，若，则的长为_____________．
15．（2021··九年级专题练习）如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．
16．（2021·上海·九年级专题练习）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是__________．
17．（2021·上海·九年级专题练习）如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CE 平分∠ACB，点 D 在 CE的延长线上，连接 BD，过B作BF⊥BC交 CD 于点 F，连接 AF，若CF=2BD ，DE：CE=5：8 ， BF ，则AF的长为_________．
18．（2022·上海民办永昌学校九年级期中）如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．
19．（2021·上海·九年级专题练习）如图，是△的中线，点在边上，且⊥，将△绕着点旋转，使得点与点重合，点落在点处，联结交于点，如果，那么的值等于______．
20．（2018·上海浦东新·中考模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是 .
21．（2017·上海宋庆龄学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ．
22．（2022·上海普陀·九年级阶段练习）如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为____________．
23．（2022·上海黄浦·二模）如图，在中，是边上的中线，，．将沿直线翻折，点落在平面上的处，联结交于点，那么的值为______．
24．（2021·上海普陀·二模）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC=_____．=
25．（2021·上海·九年级专题练习）如图，矩形纸片，，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M、N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向下翻折，点A恰好落在线段的中点处．则线段的长为__________．
26．（2021·上海·九年级专题练习）如图，菱形中，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为____________．
27．（2021·上海·九年级专题练习）如图，中，，，，点为的中点，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，交于点，当为直角三角形时，的长为________．
28．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，点是边的中点，是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，在点的运动过程中线段的最小值为_____．
二、单选题
29．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝30，，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：①；②；③；④正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
30．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
31．（2022·广东实验中学附属天河学校九年级阶段练习）如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到，、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
32．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）如图，的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：
①EO⊥AC；②；③；④．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
33．（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得，连接BE并延长BE到F，使，BF与CD相交于点H，若，有下列结论：①；②；③四边形ABED的面积是，④．则其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
34．（2021·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，正方形，点E，F分别在边，上，，， 与交于点M，与交于点N．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形，点E，F分别在边，上，，， 与交于点M，与交于点N．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
36．（2022·湖南长沙·九年级期中）如图，正方形中，点在边上，且．将沿对折至，延长交于点，连接、、．下列结论中：①设正方形的周长为，的周长为，则；②是的中点；③记，，则；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
特训05 期中选填压轴题（第24-25章）
一、填空题
1．（2022·上海普陀·二模）如图，矩形中，，．矩形绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别是点、、，如果点恰好落在对角线上，连接，与交于点E，那么___________．
【答案】
【分析】过A点作AF⊥BD，交BD于点F，利用勾股定理求出BD=5，在根据是矩形ABD的面积求出AF，进而可求出，进而求出，再证明，即有，DE可求．
【解析】过A点作AF⊥BD，交BD于点F，如图，
∵矩形中AB=3，BC=AD=4，∠BAC=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据旋转可知：，，，
∵，
∴，即，
∴，
根据旋转可知：，，，
∴根据两个等腰三角形中顶角相等，则其底角也相等，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出是解答本题的关键．
2．（2022·上海徐汇·九年级阶段练习）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长________．
【答案】
【分析】根据题意，延长交于H，连接，通过证明、得到，再由得到，进而即可求得的长．
【解析】解：延长交于H，连接，
∵由沿折叠得到，
∴，，
∵E为中点，正方形边长为2，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．
3．（2022·上海市建平实验中学九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．
【答案】
【分析】根据题意作图如下，过作的垂线，交于，由勾股定理求得，根据翻折的性质，可得：，
若△BCE是等腰三角形，则，勾股定理求出，在证明，求出，根据，即可求出．
【解析】解：在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，根据题意作图如下，过作的垂线，交于，
在中，
，
根据翻折的性质，可得：，
当点D在边AC之间上动时，且BE交直线AC于点F，
故，
若△BCE是等腰三角形，
则，
根据等腰三角形的三线合一的性质知，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长．
4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．
【答案】##
【分析】先说明三角形CDE为等腰直角三角形，并求得其斜边CE的长，然后再说明三角形CEG为等腰三角形，最后根据△EFA∽△BGF得出比例式，结合DF AF=2BF得出CG与DE的倍数关系，最后根据BG=BC+CG进行计算即可.
【解析】解：.∵矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与AD交于E；
∴CD=AB=,∠DCE=∠BCE=45°，
∴CD=DE=，
∵直角三角形CDE，
∴CE= ，
又∵∠AEC的角平分线EG与AB交于点F，
∴∠AEG=∠CEG
∵AD//BC
∴∠G=∠AEG
∴∠CEG=∠G
∴CG=CE=6，
∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG，
∴△AEF∽△BGF
∴
设BG=x，AE=2x，则BC=AD=+2x
.∵CG=BC+BG
∴6=+2x+x，解得x=.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，证得三角形CEG为等腰三角形成为解答本题的关键.
5．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，在中，，，，点在边上，联结，将绕着点旋转，使得点与边的中点重合，点的对应点是点，联结，则______．
【答案】3
【分析】如图，延长交于 过作于 求解 由旋转的性质可得：求解 证明 证明 结合 求解 证明 再利用相似三角形的性质求解 从而可得答案.
【解析】解：如图，延长交于 过作于
是的中点，
由旋转的性质可得：
故答案为：3
【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建相似三角形是解题的关键.
6．（2022·上海·九年级专题练习）如图，中，，， ，，M是AD中点，过M的线段EF平分的周长，那么线段 BE的长是 ______ ．
【答案】2
【分析】先求出，，再求出，，设，得出，，，再判断出，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解析】解：点是上一点，，
，
，，
如图示，过点作交于，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
过点作交于，
同理得，，
，，，
的周长为，
过中点的直线将分成周长相等的两部分，
，
设，则，
，，
，
∴，
，
，
或，
当时，，点不在边上，此种情况不符合题意，
即，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．
7．（2021·上海市第四中学八年级期中）如图，在中，，，，垂足是，，，，把四边形沿直线翻折，那么重叠部分的面积为___________．
【答案】
【分析】将四边形ABCD沿CE翻折得到△ECF，重叠部分就是四边形AECH．作HN⊥BF于N，根据S四边形AECH＝S△ECF−S△AHF即可解决问题．
【解析】解：将四边形ABCD沿CE翻折得到△ECF，重叠部分就是四边形AECH．作HN⊥BF于N，
在RT△BCE中，∵∠BEC＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠BCE＝30°，BE＝BC＝2，EC＝2，
∴BE＝EF＝2，AF＝AE＝1，
∵CD∥AF，
∴，
∴FH：HC＝AF：CD＝1：3，
∵NH∥CE，
∴
∴，
∴NH＝×2=，
∴S四边形AECH＝S△ECF−S△AHF＝•2•2−•1•＝．
故答案为．
【点睛】本题考查翻折变换、平行四边形性质，直角三角形30度角性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．
8．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，中，，，．四边形是正方形，点D是直线上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于平行，分别交，于点G，H，则的长是__________．
【答案】或．
【分析】结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，然后分当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，进行分类讨论．
【解析】解：中，，，，
，，
，
为直角三角形，
①当点位于点左侧时，如图：
设直线交于点，
，
，，
又四边形是正方形，且，
，，
即，
解得：，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
②当点位于点右侧时，如图：
与①同理，此时，
，
解得：，
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出，特别注意分类思想的运用是解题关键．
9．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．
【答案】．
【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，．
【解析】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，
∵，，
∴，，为等腰．
由题意可得E为CD的中点，且，
∴，
在等腰中，，
，
又∵，
在，
∴（AAS）
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．
10．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
【答案】 13
【分析】（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．
【解析】解：（1）由题意，
∵，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．
∴，
∴△ABP∽△EDP，
∴，
即，
∴；
故答案为：13．
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,
在Rt△BDN中，
∵BD=12，DD′=5，
由勾股定理D′B=，
∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，
∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,
∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,
∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,
∴，，
∴,，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．
∴，
∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，
P′F= P′D′-FD′=9-，
∴即，
解得x=1.5，
经检验x=1.5是方程的解，
EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．
故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程是解题关键．
11．（2021·上海·九年级专题练习）在中，∠C=90°，AC=2，BC=4， ，点分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点A时，线段的长为 ____________
【答案】或
【分析】当直线经过点A时，有两种情况，均用三点共线特征及勾股定理求出AE长为5或3，采用两边对应成比例且夹角相等证得△CBD´∽△ABE´，利用相似三角形对应边成比例求解.
【解析】在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=2，BC=4，
由勾股定理得，AB=，
∵分别是边、的中点，
∴DE是△ACB的中位线，BD=2，BE= ，
∴DE∥AC，DE=
∴∠EDB=90°，
由旋转可得，BD´=2，D´E´=1，BE´=，∠BD´E´=90°，
第一种情况，如图1，
∵点A，D´，E´三点共线，
∴∠AD´B=90°，
由勾股定理得AD´=，
∴AE´=AD´+D´E´=5
∵∠ABC=∠D´BE´，
∴∠CBD´=∠ABE´，
∵ ，
∴△CBD´∽△ABE´，
∴，
∴，
∴CD´=
第一种情况，如图2，
∵点A，D´，E´三点共线，
∴∠AD´B=90°，
由勾股定理得AD´=，
∴AE´=AD´-D´E´=3
∵∠ABC=∠D´BE´，
∴∠CBD´=∠ABE´，
∵ ，
∴△CBD´∽△ABE´，
∴，
∴，
∴CD´=
∴CD´长为或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查图形旋转的综合应用，涉及知识点有勾股定理，三点共线，相似三角形的判定和性质，分类讨论并能正确画出图形很关键．
12．（2021·上海·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝3，D为AB中点，点E在线段BC上，且BE＝2CE，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为F，连接DF，则DF的长为_____．
【答案】
【分析】先求出AB、AD、BE、CE长，根据相似三角形和勾股定理先后求出AE、CF、AF，通过计算得到，从而证明△ADF∽△EAB，即可求出DF．
【解析】解：在Rt△ABC中，，
∵D为AB中点，
∴AD=，
∵AC＝BC＝3，BE＝2CE，
∴BE=2，CE=1，
∵∠ACB=90°，
∴，
∵CF⊥AE，
∴∠CFE=∠ACE=90°，
∵∠CEF=∠AEC，
∴△CEF∽△AEC，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵∠DAF=∠EAB，
∴△ADF∽△AEB，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和勾股定理等知识，难度较大，证明△ADF∽△AEB是解题关键．
13．（2021·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，，线段PQ在边BA上运动，，
（1）若△ADQ∽△BPC，则AQ＝_____；
（2）四边形PCDQ面积的最大值为_____．
【答案】 1或， ，
【分析】(1) 根据△ADQ∽△BPC，列出比例式，设AQ＝x，则BP＝，代入可求；
(2) 设AQ＝x，表示出四边形PCDQ的面积，根据函数的性质，可求最值．
【解析】解：(1)∵△ADQ∽△BPC，
∴，
设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝，
即，解得x＝1或，
故答案为： 1或．
(2)设AQ＝x，则BP＝，作QE⊥AC于E,作PF⊥BC于F,
∵∠A=60°，
∴QE=AQsin60°=，
同理，PF=，
则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝，
∵x的最大值为3﹣＝，
∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，于点，于点，点在有延长线上，连接交延长线于点，，，若，则的长为_____________．
【答案】
【分析】过F作FH⊥BA交BA延长线于H，根据题意设，BD=，利用AAS证明△ABD△CBE，求得，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解析】过F作FH⊥BA交BA延长线于H，
∵AD⊥BC，tan∠DCA=2，
∴，
设，则，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD△CBE(AAS)，
∴BD=BE，
∴DC=AE，
设BD=BE=，
∴AE+ BE=，BD=，，
在Rt△ABD中，，
∴，
解得：，
∵CE⊥AB，FH⊥BA，
∴EM∥FH，
∴△BEM△BHF，
∴，
∵BM：MF=25：38，则BM：BF=25：63，且EM=5，
∴，
∴FH=，
∵∠BAD=∠FAH，∠ADB=∠FHA=90，
∴△AFH△ABD，
∴，
而AB=AE+BE=，BD=，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用设参数的方法解决问题．
15．（2021··九年级专题练习）如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．
【答案】
【分析】根据 正方形的性质求出，证明得到，即可求出答案.
【解析】解：四边形是正方形，，
，OA=OB=OC=OD，
∵,
∴，
，
，
，即
，，
，，
，解得
故答案为：.
【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.
16．（2021·上海·九年级专题练习）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是__________．
【答案】
【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2=EC•EP，由此即可解决问题．
【解析】解：如图，作FH⊥PE于H，
∵四边形ABCD是正方形，AB=10，
∴AC=，∠ACD=∠FCH=45°，
∵∠FHC=90°，CF=4，
∴CH=HF=，
∵CE=4AE，
∴EC=，AE=，EH=，
在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2=，
∵∠GEF=∠GCF=90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG=∠ECG=45°，
∴∠ECF=∠EFP=135°，
∵∠CEF=∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴，
∴EF2=EC×EP，
∴EP=，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．（2021·上海·九年级专题练习）如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CE 平分∠ACB，点 D 在 CE的延长线上，连接 BD，过B作BF⊥BC交 CD 于点 F，连接 AF，若CF=2BD ，DE：CE=5：8 ， BF ，则AF的长为_________．
【答案】
【分析】取CF的中点为M连接BM，可证得与均为等腰三角形，设，通过角的计算可证得与均为等腰三角形，由，设，过B作于N，过A作于G，根据相似三角形的性质结合勾股定理可求得的值以及AG、FG的值，利用勾股定理即可求解．
【解析】取CF的中点为M连接BM，
∵BF⊥BC，
∴∠FBC=90，
∴CM=FM=BM==BD，
∴与均为等腰三角形，
，
设，则，，
，
，
∴可得与均为等腰三角形，
∵，
设，则，，，
∴，
过B作于N，过A作于G，
得，，
∵∠FBN+∠BFN=90，∠FCB+∠BFN=90，
∴∠FBN=∠FCB，
∴△RtFBNRt△BCN，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，
∵∠BEN=∠CEA，
∴Rt△BENRt△CEA，
∴，即，
∴,
∵∠BEN=∠AEG，
∴Rt△BENRt△AEG，
∴，即，
∴，，
∴，
在Rt△AFG中，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解本题的关键是利用比例的条件设未知数表示一些线段的长，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较难的中考题．
18．（2022·上海民办永昌学校九年级期中）如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．
【答案】
【分析】先根据直角三角形的中线、重心的性质得出，再旋转的性质、直角三角形的性质得出，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．
【解析】，是的中线
是的重心
（三角形的重心把中线分成两部分）
由旋转的性质得：
，
，
设，则
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形中线和重心的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，熟记旋转的性质和三角形重心的性质是解题关键．
19．（2021·上海·九年级专题练习）如图，是△的中线，点在边上，且⊥，将△绕着点旋转，使得点与点重合，点落在点处，联结交于点，如果，那么的值等于______．
【答案】
【分析】连接FC，证明,可得,即
,所以,可得,所以
因为DE⊥AD，DE=DF，所以AE=AF，进而可得出的值.
【解析】解：如图，连接FC，
∵将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，
∴BD=CD，ED=FD，
∵∠EDB=∠FDC，
∴△EDB≌△FDC（SAS），
∴ED=DF，∠EBD=∠FCD，FC=BE，
∴FC∥AB，
∴△CFG∽△BAG，
∴
∵DE⊥AD，DE=DF，
∴AE=AF，
故答案为
【点睛】本题考查图形旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
20．（2018·上海浦东新·中考模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是 .
【答案】
【解析】解：如图；
作CH⊥AB于H.
在Rt△ABC中，∵BC=8，，
∴AB=10，AC=8，CH=,BH=,
由题意EF=BF,设EF=BF=a,则BD=a,
∵∠BDE=∠AEC,
∴∠CED+∠ECB=∠ECB+∠B,
∴∠CED =∠B,
∵∠ECD=∠BCE,
∴△ECD∽△BCE,
∴EC2=CD·CB,
∴()2+(2a-)2=(8-a)×8,
解得a=或0，（舍）
BE=2a=
故答案为.
点睛：此题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.
21．（2017·上海宋庆龄学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ．
【答案】
【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：
第1步：利用角平分线的性质，得到BD=CD；
第2步：延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；
第3步：过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG；
第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出．
【解析】已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵，
∴BD=CD．
如下图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD=5m．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，
∴，
∴CK=CD，
∴KD=CD．
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（对顶角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN=DG=2FD．
∵点H为AC中点，AC=4CM，
∴．
∵MN∥AD，
∴，即，
∴．
【点睛】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．
22．（2022·上海普陀·九年级阶段练习）如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为____________．
【答案】
【分析】根据题意以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q，由可设，，，由旋转可得，，，则，，写出点坐标，由角平分线的性质得，即可得出，即可得，故可推出，求出点P坐标，由得，推出，故得，由相似三角形的性质即可得解．
【解析】
如图，以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q，
∵，
∴设，，，
由旋转可得：，，，
∴，，
∴，，，
∵AN是平分线，
∴，
∴，即可得，
∴，
设直线BE的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、正切值、角平分线的性质以、用待定系数法求一次函数及相似三角形的判定与性质，根据题意建立出适当的坐标找线段长度是解题的关键．
23．（2022·上海黄浦·二模）如图，在中，是边上的中线，，．将沿直线翻折，点落在平面上的处，联结交于点，那么的值为______．
【答案】
【分析】过A作AF⊥BC于F，过B'作B'G⊥BC于G，设AD＝m，根据翻折及∠ADC＝60°，用m的代数式表示CE、BE即可得出答案．
【解析】解：过A作AF⊥BC于F，过B′作B′G⊥BC于G，如图：
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，
∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，
∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′Dm，
Rt△ADF中，DF＝AD•cs60°m，AF＝AD•sin60°m，
∴BF＝BD+DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝m
Rt△B′DG中，DG＝B′D•cs60°m，B′G＝B′D•sin60°m，
∴FG＝DG﹣DFm，
∵AF⊥BC，B′G⊥BC，
∴AF∥B′G，
∴，
∵FE+GE＝FGm，
∴FEm，
∴BE＝BF+EFm，CE＝CF﹣EFm，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折、特殊角的三角函数及相似三角形性质等综合知识，解题的关键是做垂线把60°角放入直角三角形．
24．（2021·上海普陀·二模）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC=_____．=
【答案】
【分析】延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，易证△ABE≌△A′CE，得出AB=A′C=4；利用勾股定理求出AE的长，进而得出sin∠A′．利用互余角的三角函数的关系，得出cs∠2，在Rt△FHN和Rt△A′FN中利用cs∠2的值列出方程，即可求得结论．
【解析】解：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，AB∥CD，
∴∠1=∠A′．
在△ABE和△A′CE中，
．
∴△ABE≌△A′CE（AAS）．
∴AB=A′C=4．
∵E为边BC的中点，
∴BE=EC=BC=2．
∴AE=．
∴sin∠1=．
∴sin∠A′=．
∵AE⊥MN，
∴∠A′FN=90°．
∴∠A′+∠2=90°．
∴cs∠2=sin∠A′=．
∵FN=FC，FH⊥CN，
∴NH=CH=CN．
设NH=x，则NC=2x．
∴A′N=A′C+NC=4+2x．
在Rt△FHN中，，
∴FN=x．
在Rt△A′FN中，cs∠2=，
∴．
∴x=．
∴FC=FN=x=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．（2021·上海·九年级专题练习）如图，矩形纸片，，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M、N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向下翻折，点A恰好落在线段的中点处．则线段的长为__________．
【答案】2
【分析】如图，作⊥AD于G，⊥AB于H，交MN于O，连接A交MN于K，设AM＝M＝x，在Rt△MG中，利用勾股定理求出AM的长，利用sin∠MAK＝＝，求出MK的长，再证明MN＝4MK，即可解决问题．
【解析】解：如图，作⊥AD于G，⊥AB于H，交MN于O，连接A 交MN于K．
由题意四边形DCE 是正方形，△DG是等腰直角三角形，
∴DG＝G＝3，AG＝AD−DG＝9，设AM＝M＝x，
在Rt△MG中，x2＝（9−x）2＋32，
∴x＝5，A＝，
∵sin∠MAK＝＝，
∴，解得：MK=，
∵AM∥O，AK＝K，
∴MK＝KO，
∵BN∥H∥AD，D＝E，
∴MO＝ON，
∴MN＝4MK＝2
故答案为2．
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质．矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
26．（2021·上海·九年级专题练习）如图，菱形中，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为____________．
【答案】
【分析】在BC上取一点G，使得BG=BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过等A作AH⊥GF于H．证明∠BGF=120°，推出点F在射线GF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，求出AH即可．
【解析】解：在BC上取一点G，使得BG=BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过等A作AH⊥GF于H．
∵∠B=60°，BE=BG，
∴△BEG是等边三角形，
∴EB=EG，∠BEG=∠BGE=60°，
∵PE=PF，∠EPF=60°，
∴△EPF是等边三角形，
∴∠PEF=60°，EF=EP，
∵∠BEG=∠PEF，
∴∠BEP=∠GEF，
∴△BEP≌△GEF（SAS），
∴∠EGF=∠B=60°，
∴∠BGF=120°，
∴点F在射线GF上运动，
根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，
∵AB=9，BE=2AE，
∴BE=6，AE=3，
∵∠BEG=∠EGF=60°，
∴GT∥AB，
∵BG∥AT，
∴四边形ABGT是平行四边形，
∴AT=BG=BE=6，∠ATH=∠B=60°，
∴AH=AT•sin60°=，
∴AF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27．（2021·上海·九年级专题练习）如图，中，，，，点为的中点，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，交于点，当为直角三角形时，的长为________．
【答案】1或
【分析】根据勾股定理可求出AC，然后根据直角三角形的性质可得BD=AD=CD，进而可得∠DBC=∠C，由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况：当∠DME=90°时，如图1，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，然后解Rt△BMF即可求出BF；当∠MDE=90°时，如图2，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，根据三角形的内角和定理可得∠BFM=∠MDE=90°，再解Rt△BMF即可求出BF，从而可得答案．
【解析】解：中，∵，，，
∴，
∵点为的中点，
∴BD=AD=CD=，
∴∠DBC=∠C，
由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况：
当∠DME=90°时，如图1，∵以为对称轴折叠得到，
∴∠E=∠C，DE=DC=5，
∴，
∴BM=BD－DM=2，
∴；
当∠MDE=90°时，如图2，，
∴，
∵∠DBC=∠C=∠E，∠BMF=∠EMD，
∴∠BFM=∠MDE=90°，
∴；
综上，的长为1或．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相关知识、灵活应用转化的思想是解题的关键．
28．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，点是边的中点，是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，在点的运动过程中线段的最小值为_____．
【答案】
【分析】如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N．首先说明点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为），根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为．
【解析】解：如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N，则四边形BMJN是矩形，
∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，
∴AC＝2BC＝8，AB＝BC＝4，
∵AD＝DC，DM∥AB，
∴DM＝AB＝2，BM＝CM＝2，
∵四边形BMJN是矩形，
∴JN＝BM＝2，
∵∠FDJ＋∠EDM＝90°，∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠FDJ＝∠DEM，
∵∠FJD＝∠DME＝90°，
∴△FJD≌△DME（AAS），
∴FJ＝DM＝2，
∴FN＝FJ＋JN＝2＋2，
∴点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为2＋2），
根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为2＋2，
故答案为2＋2．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、单选题
29．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝30，，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：①；②；③；④正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】A
【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明△BAF≌△DAF，故①正确；由，得△ABF∽△CEF，可知，故②正确；首先证明△ABC是等边三角形，从而得出面积，再利用等高的两个三角形面积之比等于底之比可判断③正确；连接BD交AC于O，设CF=2x，则AF=3x，得OC=52x，OF=12x，利用含30°角的直角三角形的性质得OD的长，再利用勾股定理可得DF的长，从而可判断④错误．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠BAF=∠DAF，
∵AF=AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），故①正确；
即同理可得，△BCF≌△DCF（SAS），
∵四边形ABCD是菱形，AB=30，
∴，AB=DC=30，
∴△ABF∽△CEF，
∴，
∵DE=10，
∴，
即，故②正确；
∵∠BCD=120°，
∴∠ACB=60°，∠ABC=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
等边三角形的面积公式推导如下：
正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，如图，
在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，
∵XV⊥YZ，
∴，∠XVY=90°，
∴在Rt△XYV中，有，
∴正△XYZ的面积为：，
∴，
∵，
∴，
∵△BCF≌△DCF（SAS），
∴，
∵DE=10，CE=20，
∴，故③正确；
连接BD交AC于O，
根据菱形的性质有：AO=OC，BO=DO，AC⊥BD，
∵，
即设CF=2x，则AF=3x，AC=AB=CD=5x，
∴，则，
∵根据菱形的性质有∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ODC=30°，
∴，
∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴，
∴，
故④错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
30．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝，通过证明△ACF∽△BHF，可得＝，可求CF的长，即可求解．
【解析】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，
∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，
∴AD＝＝＝，
∵，
∴CE＝＝，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，
∴∠ADC＝∠H，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，
∴AC∥BH，
∴△ACF∽△BHF，
∴＝，
∴CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
31．（2022·广东实验中学附属天河学校九年级阶段练习）如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到，、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，得到△FDE≌△ADC，再由矩形的性质得出∠DAG＋∠DEF＝90°从而判断①；由∠DAG＋∠DEF＝90°，可得∠BGC＝90°，从而判断②；由Rt△FCB∽Rt△FDE和BC＝AD＝DF，DE＝DC，得出，可以判断③；在线段EF上作EG′＝CG，如图所示，连接DG′，通过证明△DCG≌△DEG′，得出△GDG′是等腰直角三角形，可以判断④．
【解析】解：是绕点逆时针旋转得到的，
，
，，，
又四边形是矩形，
，
，
即，
，
即，
故①正确；
，
，
即是直角三角形，而显然不是直角三角形，
故②错误；
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
故③正确；
在线段上取并连接，如图，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似．
32．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）如图，的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：
①EO⊥AC；②；③；④．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①根据已知的条件首先证明是等边三角形，因此可得，所以可得，再根据O、E均为AC和AB的中点，故可得，便可证明；②首先证明，因此可得，故可得 和的比. ③根据勾股定理可计算的AC：BD；④根据③分别表示FB、OF、DF，代入证明即可.
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误，
设，则，，，
∴，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
综上所述：正确的是①③④，共3个．
故选C．
【点睛】本题是一道平行四边形的综合性题目，考查等边三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质，三角形中位线，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键，考察难度系数偏大，但是是常考点的组合，应当熟练掌握．
33．（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得，连接BE并延长BE到F，使，BF与CD相交于点H，若，有下列结论：①；②；③四边形ABED的面积是，④．则其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①证明△BCE≌△DCE（SAS），再求角即可；②在EF上截取EQ=EC，连接CQ，证明△CQF≌△CEB（SAS），得到ED=FQ，即可求解；③连接BD交AC于点O，可得∠ODE=30°，求出OE，再由S△CDE=S△COD-S△ODE，可得S四边形ABED=S正方形ABCD-2S△CDE；④证明EDCQ，△DEH∽△CQH，得，可得．
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠ACB=∠DCA=45°，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE=∠CDE，
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEH=60°，
故①符合题意；
②在EF上截取EQ=EC，连接CQ，
∴△ECQ是等边三角形，
∴CQ=EC，∠EQC=60°，
∴∠FQC=120°，
∵BC=CF，
∴∠F=∠CBE=15°，
∴∠QCF=45°，
∴∠ECB=∠QCF，
∴△CQF≌△CEB（SAS），
∴FQ=BE，
∵BE=ED，
∴ED=FQ，
∴CE+DE=EQ+FQ=EF，
故②符合题意；
③连接BD交AC于点O，
∵，
∴OD=1，
∵∠CDE=15°，∠DOC=45°，
∴∠ODE=30°，
∴，
∴
∴S四边形ABED=S正方形ABCD-2S△CDE=故③符合题意；
④∵∠DBE=∠DBC-∠HBC=45°-15°=30°，∠ODE=30°，
∴∠DEH=60°，
∵∠HQC=60°，
∴EDCQ，
∴△DEH∽△CQH
∴
∵
∴
∴
∴
故④不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题是正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
34．（2021·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，正方形，点E，F分别在边，上，，， 与交于点M，与交于点N．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】证明△ADF≌△DCE（SAS），得出∠ADF+∠DEC=90°，①正确；设AF=2，利用ABCD证明△AFN∽△CDN，即可判断②正确；设△ANF的面积为m，由ABCD，得到，△AFN∽△CDN，由此得到△AND的面积为3m，△ADC的面积=△ABC的面积=12m，由此判断③错误；证明即可判断④正确．
【解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AF=DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，
∴∠DME=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
设AF=2，则FB=4，AB=CD=AD=6，
∴，
∵ABCD，
∴△AFN∽△CDN，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故②正确；
设△ANF的面积为m，
∵ABCD，
∴，△AFN∽△CDN，
∴△AND的面积为3m，△CDN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴，故③错误；
由题可知，
四边形为正方形，
，故④正确．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形，点E，F分别在边，上，，， 与交于点M，与交于点N．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】证明△ADF≌△DCE（SAS），得出∠ADF+∠DEC=90°，①正确；设AF=2，利用ABCD证明△AFN∽△CDN，即可判断②正确；设△ANF的面积为m，由ABCD，得到，△AFN∽△CDN，由此得到△AND的面积为3m，△ADC的面积=△ABC的面积=12m，由此判断③错误；证明即可判断④正确．
【解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AF=DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，
∴∠DME=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
设AF=2，则FB=4，AB=CD=AD=6，
∴，
∵ABCD，
∴△AFN∽△CDN，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故②正确；
设△ANF的面积为m，
∵ABCD，
∴，△AFN∽△CDN，
∴△AND的面积为3m，△CDN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴，故③错误；
由题可知，
四边形为正方形，
，故④正确．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．
36．（2022·湖南长沙·九年级期中）如图，正方形中，点在边上，且．将沿对折至，延长交于点，连接、、．下列结论中：①设正方形的周长为，的周长为，则；②是的中点；③记，，则；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】根据证明，可得，由线段的和差关系可得，可判断①；由勾股定理可得，可判断②；由折叠的性质可得，可判断③；分别求出，的长，可判断④，即可求解．
【解析】解：①设正方形的周长为，的周长为，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠的性质可知，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长为：，
∴，
∴，
故①符合题意；
②设，则，
∵，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
即是的中点，
故②符合题意；
③∵，，
由折叠的性质可知：，
由，可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故③不符合题意；
④∵是的中点，，
∴，
在四边形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故④符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，直角三角形全等的判定定理与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，四边形的内角和等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
1．（2022·上海普陀·二模）如图，矩形中，，．矩形绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别是点、、，如果点恰好落在对角线上，连接，与交于点E，那么___________．
2．（2022·上海徐汇·九年级阶段练习）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长________．
3．（2022·上海市建平实验中学九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．
4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．
5．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，在中，，，，点在边上，联结，将绕着点旋转，使得点与边的中点重合，点的对应点是点，联结，则______．
6．（2022·上海·九年级专题练习）如图，中，，， ，，M是AD中点，过M的线段EF平分的周长，那么线段 BE的长是 ______ ．
7．（2021·上海市第四中学八年级期中）如图，在中，，，，垂足是，，，，把四边形沿直线翻折，那么重叠部分的面积为___________．
8．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，中，，，．四边形是正方形，点D是直线上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于平行，分别交，于点G，H，则的长是__________．
9．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．
10．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
11．（2021·上海·九年级专题练习）在中，∠C=90°，AC=2，BC=4， ，点分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点A时，线段的长为 ____________
12．（2021·上海·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝3，D为AB中点，点E在线段BC上，且BE＝2CE，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为F，连接DF，则DF的长为_____．
13．（2021·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，，线段PQ在边BA上运动，，
（1）若△ADQ∽△BPC，则AQ＝_____；
（2）四边形PCDQ面积的最大值为_____．
14．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，于点，于点，点在有延长线上，连接交延长线于点，，，若，则的长为_____________．
15．（2021··九年级专题练习）如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．
16．（2021·上海·九年级专题练习）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是__________．
17．（2021·上海·九年级专题练习）如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CE 平分∠ACB，点 D 在 CE的延长线上，连接 BD，过B作BF⊥BC交 CD 于点 F，连接 AF，若CF=2BD ，DE：CE=5：8 ， BF ，则AF的长为_________．
18．（2022·上海民办永昌学校九年级期中）如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．
19．（2021·上海·九年级专题练习）如图，是△的中线，点在边上，且⊥，将△绕着点旋转，使得点与点重合，点落在点处，联结交于点，如果，那么的值等于______．
20．（2018·上海浦东新·中考模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是 .
21．（2017·上海宋庆龄学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ．
22．（2022·上海普陀·九年级阶段练习）如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为____________．
23．（2022·上海黄浦·二模）如图，在中，是边上的中线，，．将沿直线翻折，点落在平面上的处，联结交于点，那么的值为______．
24．（2021·上海普陀·二模）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC=_____．=
25．（2021·上海·九年级专题练习）如图，矩形纸片，，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M、N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向下翻折，点A恰好落在线段的中点处．则线段的长为__________．
26．（2021·上海·九年级专题练习）如图，菱形中，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为____________．
27．（2021·上海·九年级专题练习）如图，中，，，，点为的中点，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，交于点，当为直角三角形时，的长为________．
28．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，点是边的中点，是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，在点的运动过程中线段的最小值为_____．
二、单选题
29．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝30，，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：①；②；③；④正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
30．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
31．（2022·广东实验中学附属天河学校九年级阶段练习）如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到，、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
32．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）如图，的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：
①EO⊥AC；②；③；④．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
33．（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得，连接BE并延长BE到F，使，BF与CD相交于点H，若，有下列结论：①；②；③四边形ABED的面积是，④．则其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
34．（2021·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，正方形，点E，F分别在边，上，，， 与交于点M，与交于点N．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形，点E，F分别在边，上，，， 与交于点M，与交于点N．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
36．（2022·湖南长沙·九年级期中）如图，正方形中，点在边上，且．将沿对折至，延长交于点，连接、、．下列结论中：①设正方形的周长为，的周长为，则；②是的中点；③记，，则；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
特训05 期中选填压轴题（第24-25章）
一、填空题
1．（2022·上海普陀·二模）如图，矩形中，，．矩形绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别是点、、，如果点恰好落在对角线上，连接，与交于点E，那么___________．
【答案】
【分析】过A点作AF⊥BD，交BD于点F，利用勾股定理求出BD=5，在根据是矩形ABD的面积求出AF，进而可求出，进而求出，再证明，即有，DE可求．
【解析】过A点作AF⊥BD，交BD于点F，如图，
∵矩形中AB=3，BC=AD=4，∠BAC=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据旋转可知：，，，
∵，
∴，即，
∴，
根据旋转可知：，，，
∴根据两个等腰三角形中顶角相等，则其底角也相等，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出是解答本题的关键．
2．（2022·上海徐汇·九年级阶段练习）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长________．
【答案】
【分析】根据题意，延长交于H，连接，通过证明、得到，再由得到，进而即可求得的长．
【解析】解：延长交于H，连接，
∵由沿折叠得到，
∴，，
∵E为中点，正方形边长为2，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．
3．（2022·上海市建平实验中学九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，点D在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，若△BCE是等腰三角形，则AF的长是_____．
【答案】
【分析】根据题意作图如下，过作的垂线，交于，由勾股定理求得，根据翻折的性质，可得：，
若△BCE是等腰三角形，则，勾股定理求出，在证明，求出，根据，即可求出．
【解析】解：在边AC上，将△ABD沿着直线BD翻折得△EBD，BE交直线AC于点F，联结CE，根据题意作图如下，过作的垂线，交于，
在中，
，
根据翻折的性质，可得：，
当点D在边AC之间上动时，且BE交直线AC于点F，
故，
若△BCE是等腰三角形，
则，
根据等腰三角形的三线合一的性质知，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是根据题意作出相应图形，利用三角形相似来求边长．
4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．
【答案】##
【分析】先说明三角形CDE为等腰直角三角形，并求得其斜边CE的长，然后再说明三角形CEG为等腰三角形，最后根据△EFA∽△BGF得出比例式，结合DF AF=2BF得出CG与DE的倍数关系，最后根据BG=BC+CG进行计算即可.
【解析】解：.∵矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与AD交于E；
∴CD=AB=,∠DCE=∠BCE=45°，
∴CD=DE=，
∵直角三角形CDE，
∴CE= ，
又∵∠AEC的角平分线EG与AB交于点F，
∴∠AEG=∠CEG
∵AD//BC
∴∠G=∠AEG
∴∠CEG=∠G
∴CG=CE=6，
∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG，
∴△AEF∽△BGF
∴
设BG=x，AE=2x，则BC=AD=+2x
.∵CG=BC+BG
∴6=+2x+x，解得x=.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，证得三角形CEG为等腰三角形成为解答本题的关键.
5．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，在中，，，，点在边上，联结，将绕着点旋转，使得点与边的中点重合，点的对应点是点，联结，则______．
【答案】3
【分析】如图，延长交于 过作于 求解 由旋转的性质可得：求解 证明 证明 结合 求解 证明 再利用相似三角形的性质求解 从而可得答案.
【解析】解：如图，延长交于 过作于
是的中点，
由旋转的性质可得：
故答案为：3
【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建相似三角形是解题的关键.
6．（2022·上海·九年级专题练习）如图，中，，， ，，M是AD中点，过M的线段EF平分的周长，那么线段 BE的长是 ______ ．
【答案】2
【分析】先求出，，再求出，，设，得出，，，再判断出，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解析】解：点是上一点，，
，
，，
如图示，过点作交于，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
过点作交于，
同理得，，
，，，
的周长为，
过中点的直线将分成周长相等的两部分，
，
设，则，
，，
，
∴，
，
，
或，
当时，，点不在边上，此种情况不符合题意，
即，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．
7．（2021·上海市第四中学八年级期中）如图，在中，，，，垂足是，，，，把四边形沿直线翻折，那么重叠部分的面积为___________．
【答案】
【分析】将四边形ABCD沿CE翻折得到△ECF，重叠部分就是四边形AECH．作HN⊥BF于N，根据S四边形AECH＝S△ECF−S△AHF即可解决问题．
【解析】解：将四边形ABCD沿CE翻折得到△ECF，重叠部分就是四边形AECH．作HN⊥BF于N，
在RT△BCE中，∵∠BEC＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠BCE＝30°，BE＝BC＝2，EC＝2，
∴BE＝EF＝2，AF＝AE＝1，
∵CD∥AF，
∴，
∴FH：HC＝AF：CD＝1：3，
∵NH∥CE，
∴
∴，
∴NH＝×2=，
∴S四边形AECH＝S△ECF−S△AHF＝•2•2−•1•＝．
故答案为．
【点睛】本题考查翻折变换、平行四边形性质，直角三角形30度角性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．
8．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，中，，，．四边形是正方形，点D是直线上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于平行，分别交，于点G，H，则的长是__________．
【答案】或．
【分析】结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，然后分当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，进行分类讨论．
【解析】解：中，，，，
，，
，
为直角三角形，
①当点位于点左侧时，如图：
设直线交于点，
，
，，
又四边形是正方形，且，
，，
即，
解得：，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
②当点位于点右侧时，如图：
与①同理，此时，
，
解得：，
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出，特别注意分类思想的运用是解题关键．
9．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．
【答案】．
【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，．
【解析】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，
∵，，
∴，，为等腰．
由题意可得E为CD的中点，且，
∴，
在等腰中，，
，
又∵，
在，
∴（AAS）
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．
10．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
【答案】 13
【分析】（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．
【解析】解：（1）由题意，
∵，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．
∴，
∴△ABP∽△EDP，
∴，
即，
∴；
故答案为：13．
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,
在Rt△BDN中，
∵BD=12，DD′=5，
由勾股定理D′B=，
∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，
∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,
∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,
∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,
∴，，
∴,，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．
∴，
∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，
P′F= P′D′-FD′=9-，
∴即，
解得x=1.5，
经检验x=1.5是方程的解，
EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．
故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程是解题关键．
11．（2021·上海·九年级专题练习）在中，∠C=90°，AC=2，BC=4， ，点分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点A时，线段的长为 ____________
【答案】或
【分析】当直线经过点A时，有两种情况，均用三点共线特征及勾股定理求出AE长为5或3，采用两边对应成比例且夹角相等证得△CBD´∽△ABE´，利用相似三角形对应边成比例求解.
【解析】在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=2，BC=4，
由勾股定理得，AB=，
∵分别是边、的中点，
∴DE是△ACB的中位线，BD=2，BE= ，
∴DE∥AC，DE=
∴∠EDB=90°，
由旋转可得，BD´=2，D´E´=1，BE´=，∠BD´E´=90°，
第一种情况，如图1，
∵点A，D´，E´三点共线，
∴∠AD´B=90°，
由勾股定理得AD´=，
∴AE´=AD´+D´E´=5
∵∠ABC=∠D´BE´，
∴∠CBD´=∠ABE´，
∵ ，
∴△CBD´∽△ABE´，
∴，
∴，
∴CD´=
第一种情况，如图2，
∵点A，D´，E´三点共线，
∴∠AD´B=90°，
由勾股定理得AD´=，
∴AE´=AD´-D´E´=3
∵∠ABC=∠D´BE´，
∴∠CBD´=∠ABE´，
∵ ，
∴△CBD´∽△ABE´，
∴，
∴，
∴CD´=
∴CD´长为或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查图形旋转的综合应用，涉及知识点有勾股定理，三点共线，相似三角形的判定和性质，分类讨论并能正确画出图形很关键．
12．（2021·上海·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝3，D为AB中点，点E在线段BC上，且BE＝2CE，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为F，连接DF，则DF的长为_____．
【答案】
【分析】先求出AB、AD、BE、CE长，根据相似三角形和勾股定理先后求出AE、CF、AF，通过计算得到，从而证明△ADF∽△EAB，即可求出DF．
【解析】解：在Rt△ABC中，，
∵D为AB中点，
∴AD=，
∵AC＝BC＝3，BE＝2CE，
∴BE=2，CE=1，
∵∠ACB=90°，
∴，
∵CF⊥AE，
∴∠CFE=∠ACE=90°，
∵∠CEF=∠AEC，
∴△CEF∽△AEC，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵∠DAF=∠EAB，
∴△ADF∽△AEB，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和勾股定理等知识，难度较大，证明△ADF∽△AEB是解题关键．
13．（2021·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，，线段PQ在边BA上运动，，
（1）若△ADQ∽△BPC，则AQ＝_____；
（2）四边形PCDQ面积的最大值为_____．
【答案】 1或， ，
【分析】(1) 根据△ADQ∽△BPC，列出比例式，设AQ＝x，则BP＝，代入可求；
(2) 设AQ＝x，表示出四边形PCDQ的面积，根据函数的性质，可求最值．
【解析】解：(1)∵△ADQ∽△BPC，
∴，
设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝，
即，解得x＝1或，
故答案为： 1或．
(2)设AQ＝x，则BP＝，作QE⊥AC于E,作PF⊥BC于F,
∵∠A=60°，
∴QE=AQsin60°=，
同理，PF=，
则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝，
∵x的最大值为3﹣＝，
∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，于点，于点，点在有延长线上，连接交延长线于点，，，若，则的长为_____________．
【答案】
【分析】过F作FH⊥BA交BA延长线于H，根据题意设，BD=，利用AAS证明△ABD△CBE，求得，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解析】过F作FH⊥BA交BA延长线于H，
∵AD⊥BC，tan∠DCA=2，
∴，
设，则，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD△CBE(AAS)，
∴BD=BE，
∴DC=AE，
设BD=BE=，
∴AE+ BE=，BD=，，
在Rt△ABD中，，
∴，
解得：，
∵CE⊥AB，FH⊥BA，
∴EM∥FH，
∴△BEM△BHF，
∴，
∵BM：MF=25：38，则BM：BF=25：63，且EM=5，
∴，
∴FH=，
∵∠BAD=∠FAH，∠ADB=∠FHA=90，
∴△AFH△ABD，
∴，
而AB=AE+BE=，BD=，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用设参数的方法解决问题．
15．（2021··九年级专题练习）如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．
【答案】
【分析】根据 正方形的性质求出，证明得到，即可求出答案.
【解析】解：四边形是正方形，，
，OA=OB=OC=OD，
∵,
∴，
，
，
，即
，，
，，
，解得
故答案为：.
【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.
16．（2021·上海·九年级专题练习）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是__________．
【答案】
【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2=EC•EP，由此即可解决问题．
【解析】解：如图，作FH⊥PE于H，
∵四边形ABCD是正方形，AB=10，
∴AC=，∠ACD=∠FCH=45°，
∵∠FHC=90°，CF=4，
∴CH=HF=，
∵CE=4AE，
∴EC=，AE=，EH=，
在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2=，
∵∠GEF=∠GCF=90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG=∠ECG=45°，
∴∠ECF=∠EFP=135°，
∵∠CEF=∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴，
∴EF2=EC×EP，
∴EP=，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．（2021·上海·九年级专题练习）如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CE 平分∠ACB，点 D 在 CE的延长线上，连接 BD，过B作BF⊥BC交 CD 于点 F，连接 AF，若CF=2BD ，DE：CE=5：8 ， BF ，则AF的长为_________．
【答案】
【分析】取CF的中点为M连接BM，可证得与均为等腰三角形，设，通过角的计算可证得与均为等腰三角形，由，设，过B作于N，过A作于G，根据相似三角形的性质结合勾股定理可求得的值以及AG、FG的值，利用勾股定理即可求解．
【解析】取CF的中点为M连接BM，
∵BF⊥BC，
∴∠FBC=90，
∴CM=FM=BM==BD，
∴与均为等腰三角形，
，
设，则，，
，
，
∴可得与均为等腰三角形，
∵，
设，则，，，
∴，
过B作于N，过A作于G，
得，，
∵∠FBN+∠BFN=90，∠FCB+∠BFN=90，
∴∠FBN=∠FCB，
∴△RtFBNRt△BCN，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，
∵∠BEN=∠CEA，
∴Rt△BENRt△CEA，
∴，即，
∴,
∵∠BEN=∠AEG，
∴Rt△BENRt△AEG，
∴，即，
∴，，
∴，
在Rt△AFG中，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解本题的关键是利用比例的条件设未知数表示一些线段的长，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较难的中考题．
18．（2022·上海民办永昌学校九年级期中）如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．
【答案】
【分析】先根据直角三角形的中线、重心的性质得出，再旋转的性质、直角三角形的性质得出，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．
【解析】，是的中线
是的重心
（三角形的重心把中线分成两部分）
由旋转的性质得：
，
，
设，则
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形中线和重心的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，熟记旋转的性质和三角形重心的性质是解题关键．
19．（2021·上海·九年级专题练习）如图，是△的中线，点在边上，且⊥，将△绕着点旋转，使得点与点重合，点落在点处，联结交于点，如果，那么的值等于______．
【答案】
【分析】连接FC，证明,可得,即
,所以,可得,所以
因为DE⊥AD，DE=DF，所以AE=AF，进而可得出的值.
【解析】解：如图，连接FC，
∵将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，
∴BD=CD，ED=FD，
∵∠EDB=∠FDC，
∴△EDB≌△FDC（SAS），
∴ED=DF，∠EBD=∠FCD，FC=BE，
∴FC∥AB，
∴△CFG∽△BAG，
∴
∵DE⊥AD，DE=DF，
∴AE=AF，
故答案为
【点睛】本题考查图形旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
20．（2018·上海浦东新·中考模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是 .
【答案】
【解析】解：如图；
作CH⊥AB于H.
在Rt△ABC中，∵BC=8，，
∴AB=10，AC=8，CH=,BH=,
由题意EF=BF,设EF=BF=a,则BD=a,
∵∠BDE=∠AEC,
∴∠CED+∠ECB=∠ECB+∠B,
∴∠CED =∠B,
∵∠ECD=∠BCE,
∴△ECD∽△BCE,
∴EC2=CD·CB,
∴()2+(2a-)2=(8-a)×8,
解得a=或0，（舍）
BE=2a=
故答案为.
点睛：此题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.
21．（2017·上海宋庆龄学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ．
【答案】
【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：
第1步：利用角平分线的性质，得到BD=CD；
第2步：延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；
第3步：过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG；
第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出．
【解析】已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵，
∴BD=CD．
如下图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD=5m．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，
∴，
∴CK=CD，
∴KD=CD．
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（对顶角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN=DG=2FD．
∵点H为AC中点，AC=4CM，
∴．
∵MN∥AD，
∴，即，
∴．
【点睛】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．
22．（2022·上海普陀·九年级阶段练习）如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为____________．
【答案】
【分析】根据题意以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q，由可设，，，由旋转可得，，，则，，写出点坐标，由角平分线的性质得，即可得出，即可得，故可推出，求出点P坐标，由得，推出，故得，由相似三角形的性质即可得解．
【解析】
如图，以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q，
∵，
∴设，，，
由旋转可得：，，，
∴，，
∴，，，
∵AN是平分线，
∴，
∴，即可得，
∴，
设直线BE的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、正切值、角平分线的性质以、用待定系数法求一次函数及相似三角形的判定与性质，根据题意建立出适当的坐标找线段长度是解题的关键．
23．（2022·上海黄浦·二模）如图，在中，是边上的中线，，．将沿直线翻折，点落在平面上的处，联结交于点，那么的值为______．
【答案】
【分析】过A作AF⊥BC于F，过B'作B'G⊥BC于G，设AD＝m，根据翻折及∠ADC＝60°，用m的代数式表示CE、BE即可得出答案．
【解析】解：过A作AF⊥BC于F，过B′作B′G⊥BC于G，如图：
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，
∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，
∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′Dm，
Rt△ADF中，DF＝AD•cs60°m，AF＝AD•sin60°m，
∴BF＝BD+DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝m
Rt△B′DG中，DG＝B′D•cs60°m，B′G＝B′D•sin60°m，
∴FG＝DG﹣DFm，
∵AF⊥BC，B′G⊥BC，
∴AF∥B′G，
∴，
∵FE+GE＝FGm，
∴FEm，
∴BE＝BF+EFm，CE＝CF﹣EFm，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折、特殊角的三角函数及相似三角形性质等综合知识，解题的关键是做垂线把60°角放入直角三角形．
24．（2021·上海普陀·二模）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC=_____．=
【答案】
【分析】延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，易证△ABE≌△A′CE，得出AB=A′C=4；利用勾股定理求出AE的长，进而得出sin∠A′．利用互余角的三角函数的关系，得出cs∠2，在Rt△FHN和Rt△A′FN中利用cs∠2的值列出方程，即可求得结论．
【解析】解：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，
∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，AB∥CD，
∴∠1=∠A′．
在△ABE和△A′CE中，
．
∴△ABE≌△A′CE（AAS）．
∴AB=A′C=4．
∵E为边BC的中点，
∴BE=EC=BC=2．
∴AE=．
∴sin∠1=．
∴sin∠A′=．
∵AE⊥MN，
∴∠A′FN=90°．
∴∠A′+∠2=90°．
∴cs∠2=sin∠A′=．
∵FN=FC，FH⊥CN，
∴NH=CH=CN．
设NH=x，则NC=2x．
∴A′N=A′C+NC=4+2x．
在Rt△FHN中，，
∴FN=x．
在Rt△A′FN中，cs∠2=，
∴．
∴x=．
∴FC=FN=x=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．（2021·上海·九年级专题练习）如图，矩形纸片，，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M、N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向下翻折，点A恰好落在线段的中点处．则线段的长为__________．
【答案】2
【分析】如图，作⊥AD于G，⊥AB于H，交MN于O，连接A交MN于K，设AM＝M＝x，在Rt△MG中，利用勾股定理求出AM的长，利用sin∠MAK＝＝，求出MK的长，再证明MN＝4MK，即可解决问题．
【解析】解：如图，作⊥AD于G，⊥AB于H，交MN于O，连接A 交MN于K．
由题意四边形DCE 是正方形，△DG是等腰直角三角形，
∴DG＝G＝3，AG＝AD−DG＝9，设AM＝M＝x，
在Rt△MG中，x2＝（9−x）2＋32，
∴x＝5，A＝，
∵sin∠MAK＝＝，
∴，解得：MK=，
∵AM∥O，AK＝K，
∴MK＝KO，
∵BN∥H∥AD，D＝E，
∴MO＝ON，
∴MN＝4MK＝2
故答案为2．
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质．矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
26．（2021·上海·九年级专题练习）如图，菱形中，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为____________．
【答案】
【分析】在BC上取一点G，使得BG=BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过等A作AH⊥GF于H．证明∠BGF=120°，推出点F在射线GF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，求出AH即可．
【解析】解：在BC上取一点G，使得BG=BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过等A作AH⊥GF于H．
∵∠B=60°，BE=BG，
∴△BEG是等边三角形，
∴EB=EG，∠BEG=∠BGE=60°，
∵PE=PF，∠EPF=60°，
∴△EPF是等边三角形，
∴∠PEF=60°，EF=EP，
∵∠BEG=∠PEF，
∴∠BEP=∠GEF，
∴△BEP≌△GEF（SAS），
∴∠EGF=∠B=60°，
∴∠BGF=120°，
∴点F在射线GF上运动，
根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，
∵AB=9，BE=2AE，
∴BE=6，AE=3，
∵∠BEG=∠EGF=60°，
∴GT∥AB，
∵BG∥AT，
∴四边形ABGT是平行四边形，
∴AT=BG=BE=6，∠ATH=∠B=60°，
∴AH=AT•sin60°=，
∴AF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27．（2021·上海·九年级专题练习）如图，中，，，，点为的中点，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，交于点，当为直角三角形时，的长为________．
【答案】1或
【分析】根据勾股定理可求出AC，然后根据直角三角形的性质可得BD=AD=CD，进而可得∠DBC=∠C，由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况：当∠DME=90°时，如图1，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，然后解Rt△BMF即可求出BF；当∠MDE=90°时，如图2，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，根据三角形的内角和定理可得∠BFM=∠MDE=90°，再解Rt△BMF即可求出BF，从而可得答案．
【解析】解：中，∵，，，
∴，
∵点为的中点，
∴BD=AD=CD=，
∴∠DBC=∠C，
由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况：
当∠DME=90°时，如图1，∵以为对称轴折叠得到，
∴∠E=∠C，DE=DC=5，
∴，
∴BM=BD－DM=2，
∴；
当∠MDE=90°时，如图2，，
∴，
∵∠DBC=∠C=∠E，∠BMF=∠EMD，
∴∠BFM=∠MDE=90°，
∴；
综上，的长为1或．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相关知识、灵活应用转化的思想是解题的关键．
28．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，点是边的中点，是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，在点的运动过程中线段的最小值为_____．
【答案】
【分析】如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N．首先说明点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为），根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为．
【解析】解：如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N，则四边形BMJN是矩形，
∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，
∴AC＝2BC＝8，AB＝BC＝4，
∵AD＝DC，DM∥AB，
∴DM＝AB＝2，BM＝CM＝2，
∵四边形BMJN是矩形，
∴JN＝BM＝2，
∵∠FDJ＋∠EDM＝90°，∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠FDJ＝∠DEM，
∵∠FJD＝∠DME＝90°，
∴△FJD≌△DME（AAS），
∴FJ＝DM＝2，
∴FN＝FJ＋JN＝2＋2，
∴点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为2＋2），
根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为2＋2，
故答案为2＋2．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、单选题
29．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝30，，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：①；②；③；④正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】A
【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明△BAF≌△DAF，故①正确；由，得△ABF∽△CEF，可知，故②正确；首先证明△ABC是等边三角形，从而得出面积，再利用等高的两个三角形面积之比等于底之比可判断③正确；连接BD交AC于O，设CF=2x，则AF=3x，得OC=52x，OF=12x，利用含30°角的直角三角形的性质得OD的长，再利用勾股定理可得DF的长，从而可判断④错误．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠BAF=∠DAF，
∵AF=AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），故①正确；
即同理可得，△BCF≌△DCF（SAS），
∵四边形ABCD是菱形，AB=30，
∴，AB=DC=30，
∴△ABF∽△CEF，
∴，
∵DE=10，
∴，
即，故②正确；
∵∠BCD=120°，
∴∠ACB=60°，∠ABC=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
等边三角形的面积公式推导如下：
正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，如图，
在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，
∵XV⊥YZ，
∴，∠XVY=90°，
∴在Rt△XYV中，有，
∴正△XYZ的面积为：，
∴，
∵，
∴，
∵△BCF≌△DCF（SAS），
∴，
∵DE=10，CE=20，
∴，故③正确；
连接BD交AC于O，
根据菱形的性质有：AO=OC，BO=DO，AC⊥BD，
∵，
即设CF=2x，则AF=3x，AC=AB=CD=5x，
∴，则，
∵根据菱形的性质有∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ODC=30°，
∴，
∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴，
∴，
故④错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
30．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝，通过证明△ACF∽△BHF，可得＝，可求CF的长，即可求解．
【解析】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，
∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，
∴AD＝＝＝，
∵，
∴CE＝＝，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，
∴∠ADC＝∠H，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，
∴AC∥BH，
∴△ACF∽△BHF，
∴＝，
∴CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
31．（2022·广东实验中学附属天河学校九年级阶段练习）如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到，、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，得到△FDE≌△ADC，再由矩形的性质得出∠DAG＋∠DEF＝90°从而判断①；由∠DAG＋∠DEF＝90°，可得∠BGC＝90°，从而判断②；由Rt△FCB∽Rt△FDE和BC＝AD＝DF，DE＝DC，得出，可以判断③；在线段EF上作EG′＝CG，如图所示，连接DG′，通过证明△DCG≌△DEG′，得出△GDG′是等腰直角三角形，可以判断④．
【解析】解：是绕点逆时针旋转得到的，
，
，，，
又四边形是矩形，
，
，
即，
，
即，
故①正确；
，
，
即是直角三角形，而显然不是直角三角形，
故②错误；
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
故③正确；
在线段上取并连接，如图，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似．
32．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）如图，的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：
①EO⊥AC；②；③；④．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①根据已知的条件首先证明是等边三角形，因此可得，所以可得，再根据O、E均为AC和AB的中点，故可得，便可证明；②首先证明，因此可得，故可得 和的比. ③根据勾股定理可计算的AC：BD；④根据③分别表示FB、OF、DF，代入证明即可.
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误，
设，则，，，
∴，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
综上所述：正确的是①③④，共3个．
故选C．
【点睛】本题是一道平行四边形的综合性题目，考查等边三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质，三角形中位线，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键，考察难度系数偏大，但是是常考点的组合，应当熟练掌握．
33．（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得，连接BE并延长BE到F，使，BF与CD相交于点H，若，有下列结论：①；②；③四边形ABED的面积是，④．则其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①证明△BCE≌△DCE（SAS），再求角即可；②在EF上截取EQ=EC，连接CQ，证明△CQF≌△CEB（SAS），得到ED=FQ，即可求解；③连接BD交AC于点O，可得∠ODE=30°，求出OE，再由S△CDE=S△COD-S△ODE，可得S四边形ABED=S正方形ABCD-2S△CDE；④证明EDCQ，△DEH∽△CQH，得，可得．
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠ACB=∠DCA=45°，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE=∠CDE，
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEH=60°，
故①符合题意；
②在EF上截取EQ=EC，连接CQ，
∴△ECQ是等边三角形，
∴CQ=EC，∠EQC=60°，
∴∠FQC=120°，
∵BC=CF，
∴∠F=∠CBE=15°，
∴∠QCF=45°，
∴∠ECB=∠QCF，
∴△CQF≌△CEB（SAS），
∴FQ=BE，
∵BE=ED，
∴ED=FQ，
∴CE+DE=EQ+FQ=EF，
故②符合题意；
③连接BD交AC于点O，
∵，
∴OD=1，
∵∠CDE=15°，∠DOC=45°，
∴∠ODE=30°，
∴，
∴
∴S四边形ABED=S正方形ABCD-2S△CDE=故③符合题意；
④∵∠DBE=∠DBC-∠HBC=45°-15°=30°，∠ODE=30°，
∴∠DEH=60°，
∵∠HQC=60°，
∴EDCQ，
∴△DEH∽△CQH
∴
∵
∴
∴
∴
故④不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题是正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
34．（2021·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，正方形，点E，F分别在边，上，，， 与交于点M，与交于点N．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】证明△ADF≌△DCE（SAS），得出∠ADF+∠DEC=90°，①正确；设AF=2，利用ABCD证明△AFN∽△CDN，即可判断②正确；设△ANF的面积为m，由ABCD，得到，△AFN∽△CDN，由此得到△AND的面积为3m，△ADC的面积=△ABC的面积=12m，由此判断③错误；证明即可判断④正确．
【解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AF=DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，
∴∠DME=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
设AF=2，则FB=4，AB=CD=AD=6，
∴，
∵ABCD，
∴△AFN∽△CDN，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故②正确；
设△ANF的面积为m，
∵ABCD，
∴，△AFN∽△CDN，
∴△AND的面积为3m，△CDN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴，故③错误；
由题可知，
四边形为正方形，
，故④正确．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形，点E，F分别在边，上，，， 与交于点M，与交于点N．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】证明△ADF≌△DCE（SAS），得出∠ADF+∠DEC=90°，①正确；设AF=2，利用ABCD证明△AFN∽△CDN，即可判断②正确；设△ANF的面积为m，由ABCD，得到，△AFN∽△CDN，由此得到△AND的面积为3m，△ADC的面积=△ABC的面积=12m，由此判断③错误；证明即可判断④正确．
【解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AF=DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，
∴∠DME=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
设AF=2，则FB=4，AB=CD=AD=6，
∴，
∵ABCD，
∴△AFN∽△CDN，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故②正确；
设△ANF的面积为m，
∵ABCD，
∴，△AFN∽△CDN，
∴△AND的面积为3m，△CDN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴，故③错误；
由题可知，
四边形为正方形，
，故④正确．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．
36．（2022·湖南长沙·九年级期中）如图，正方形中，点在边上，且．将沿对折至，延长交于点，连接、、．下列结论中：①设正方形的周长为，的周长为，则；②是的中点；③记，，则；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】根据证明，可得，由线段的和差关系可得，可判断①；由勾股定理可得，可判断②；由折叠的性质可得，可判断③；分别求出，的长，可判断④，即可求解．
【解析】解：①设正方形的周长为，的周长为，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠的性质可知，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长为：，
∴，
∴，
故①符合题意；
②设，则，
∵，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
即是的中点，
故②符合题意；
③∵，，
由折叠的性质可知：，
由，可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故③不符合题意；
④∵是的中点，，
∴，
在四边形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故④符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，直角三角形全等的判定定理与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，四边形的内角和等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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