沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训01相似三角形(选填题)(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训01相似三角形(选填题)(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

特训第一阶——基础特训练
一、单选题
1．下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个矩形C．两个菱形D．两个等腰梯形
2．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一个角是100°的两个等腰三角形
B．各有一个角是90°的两个等腰三角形
C．各有一个角是60°的两个等腰三角形
D．各有一个角是50°的两个等腰三角形
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
4．在比例尺为1：50000的地图上量出A、B两地的距离是4cm，那么A、B两地的两地的实际距离是（ ）
A．200000米B．500千米C．20千米D．2千米
5．如果两个相似多边形的面积之比为，那么它们的周长之比是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知，求作，则下列作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知和都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．下列正确的有（ ）
（1）
（2）为单位向量，则
（3）平面内向量、，总存在实数m使得向量
（4）若，，，则，就是在、方向上的分向量
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A．B．C．D．
13．已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（ ）
A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直D．和之间夹角的正切值为5
14．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1
C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥
15．已知梯形ABCD的对角线交于O，AD∥BC，有以下四个结论：
①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC；③S△COD：S△AOD＝BC：AD；④S△COD＝S△AOB；正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（ ）
A．EF•BF＝DF•CFB．BE•CD＝BF•CF
C．AE•AB＝AD•ACD．AE•BE＝AD•DC
17．如图，点 是 的角平分线 的中点， 点 分别在 边上，线段 过点 ， 且 ，下列结论中， 错误的是（ ）
A．B．C．D．
18．如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（ ）
A． 与 相似B． 与 相似
C．D．
19．如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP，BP的延长线分别交边CD于点E，F，连结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
A．AE＝2DEB．△CFP∽△APHC．△CFP∽△ACPD．CP2＝PH•PB
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14B．15
C．D．
二、填空题
21．若：：，则______．
22．若，则＝______．
23．如图，已知，，求：（1）________；（2）________．
24．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是_______厘米．
25．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝_____．
26．如图, 已知，它们依次交直线 于点 和点 . 如 果 , 那么线段 的长是_______．
27．四边形和四边形是相似图形，点A、B、C、D分别与点、、、对应，已知，，，那么的长是______．
28．如图，已知，它们依次交直线，于点A，D，F和点B，C，E，如果AD＝6，DF＝3，BC＝5，那么BE＝______．
29．计算：________.
30．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，设，，那么向量用向量、表示为______．
31．已知：P为△ABC的重心，连接BP并延长，交AC于点D．设、，则________（请用含、的式子表示）；
32．如图，点D在的边上，当______时，与相似．
33．如图 ，在正六边形ABCDEF 中，设 BA  a ， BC  b ，那么向量 BF ( )．
34．的边长分别为的边长分别，则与____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
35．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米则球拍击球的高度h为_________米．
36．如图，中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFB :S四边形FEDC的值为__________
37．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点F在BC的延长线上，AF与BD相交于点E，与CD边相交于点G．如果AD＝2CF，那么∆DEG与∆CFG的面积之比等于________．
38．如图，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、、的延长线于点、、，则________．
培优特训练
特训第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．设n为正整数，为非零向量，那么下列说法不正确的是（ ）
A．n表示n个相乘B．-n表示n个-相加
C．n与是平行向量D．-n与n互为相反向量
2．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．ABCD被分别平行于两边的四条线段EJ、FI、LG、KH分割成9个小平行四边形，面积分别为S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD．若知道S1-9中的n个，就一定能算出平行四边形ABCD的面积，则n的最小值是（ ）．
A．2B．3C．4D．6
4．我们将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边和腰的比值为黄金分割比）．如图，已知，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，…，依次类推则第2021个黄金三角形的底边长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列结论不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在梯形中，，对角线交于点是梯形的中位线，与分别交于点，如果的面积为，那么梯形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知：如图，在△ABC中，于点G，于点F，，，以下结论：①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
8．正方形中，两条对角线交于点O，点E为边的中点，过点D作，交于点F，交于点M，与交于点N，记，则有（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC， AB的中点，连接AE，DF交于点O，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG．有以下结论：①AE⊥DF；②AH＝EH；③；④S四边形BEOF :S△AOF＝4，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，正方形中，为上一点，是延长线上一点，且，连结，，，是中点，连结，设与相交于点N．则个结论：；∽∽；；若，则；正确的结论有（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，已知D是的边AC上一点，且AD＝2DC．如果，，那么向量关于、的分解式是_____
12．如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知，AC＝5，那么△DBF的面积等于_____．
13．如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．
14．如如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，AC与BD相交于O，E为DC上的一点，过点O作OF⊥OE交BC于F，记d=，则d的最小值为 _____．
15．如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为______．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为_______．
特训01 相似三角形（选填题）
基础特训练
特训第一阶——基础特训练
一、单选题
1．下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个矩形C．两个菱形D．两个等腰梯形
【答案】A
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；
【解析】解：A、两个等边三角形，三个角都是60°
∴它们是相似图形，符合题意；
B、两个矩形四个角都是90°，但对应边的比不一定相等
∴它们不是相似图形，不符合题意；
C、两个菱形角不一定相等
∴它们不是相似图形，不符合题意；
D、两个等腰梯形对应边的比不一定相等，
∴它们不是相似图形；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
2．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一个角是100°的两个等腰三角形
B．各有一个角是90°的两个等腰三角形
C．各有一个角是60°的两个等腰三角形
D．各有一个角是50°的两个等腰三角形
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．
【解析】A、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；
B、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；
C、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；
D、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据成比例线段的定义（在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段）逐项判断即可得．
【解析】解：A、，则此项四条线段成比例，符合题意；
B、，则此项四条线段不是成比例线段，不符合题意；
C、，则此项四条线段不是成比例线段，不符合题意；
D、，则此项四条线段不是成比例线段，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了成比例线段，熟记定义是解题关键．
4．在比例尺为1：50000的地图上量出A、B两地的距离是4cm，那么A、B两地的两地的实际距离是（ ）
A．200000米B．500千米C．20千米D．2千米
【答案】D
【分析】比例尺就是图上距离与实地距离之比，变形计算即可．
【解析】4×50000＝200000cm＝2000m，故选D．
【点睛】本题考查比例尺的相关计算，较为简单．
5．如果两个相似多边形的面积之比为，那么它们的周长之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【解析】解：∵两个相似多边形面积的比为，
∴两个相似多边形周长的比等于，
∴这两个相似多边形周长的比是．
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
6．如图，已知，求作，则下列作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先在射线上依次截取，，在射线上截取，连接，过作CE∥BD，交于，则即，再根据，即可得出结论．
【解析】如图，需要在射线上依次截取，，在射线上截取，
连接，过作CE∥BD，交于，则
，即，
所以；
因为，
所以DE=x即即为所求．
故选：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的基本作图，熟练掌握定理是解题的关键．
7．已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．
【解析】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，
∵线段是和的比例中项，
∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，
∴x2+x－1=0，
解得：，（舍去），
∴PB=1－= ，
∴ ，，，，
故选：C．
【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．
8．如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解析】解：，
，，
，故A错误；
，故D正确；
根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
9．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质得，由得到,从而得到＝，＝，则可对B、C进行判断；由 得,从而得到＝，则可对A进行判断；由于＝，利用BC＝AD，则可对D进行判断．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝，所以B选项结论正确，C选项错误；
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝
所以A选项的结论正确；
∵BC＝AD
∴＝
所以D选项的结论正确．
故选：C
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的性质，根据图形找见相似的条件是解题的切入点．
10．已知和都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的性质进行一一分析判断．
【解析】解：、向量与方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意；
、当向量与方向相反时，，故本选项不符合题意；
、当向量与方向相同时，，故本选项不符合题意；
、由题意知，，故本选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
11．下列正确的有（ ）
（1）
（2）为单位向量，则
（3）平面内向量、，总存在实数m使得向量
（4）若，，，则，就是在、方向上的分向量
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据向量的运算法则和性质逐一判断即可．
【解析】∵，
∴结论(1)不符合题意；
∵为单位向量，
∴
∴结论(2)不符合题意；
∵向量、是平行向量时，总存在实数m使得向量
∴结论(3)不符合题意；
∵若，，，则，就是在、方向上的分向量，
∴结论(4)符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了向量的性质，平行向量的性质，向量的运算，熟练掌握向量的性质是解题的关键．
12．如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出即可解决问题．
【解析】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，
∴AD＝3DG，
∴＝3＝3，
∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，
∴＝2＝6﹣2，
故选：C．
【点睛】此题考查三角形的重心，平面向量，三角形法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（ ）
A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直D．和之间夹角的正切值为5
【答案】B
【分析】根据平行向量的性质解决问题即可．
【解析】∵已知，为非零向量，如果＝﹣5，
∴∥，与的方向相反，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
14．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1
C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥
【答案】D
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解析】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．
B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是＝1．
C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．
D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
15．已知梯形ABCD的对角线交于O，AD∥BC，有以下四个结论：
①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC；③S△COD：S△AOD＝BC：AD；④S△COD＝S△AOB；正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式对各选项进行一一判断即可．
【解析】解：∵AD∥BC，
∵∠BAO不一定等于∠CDO，
∴△AOB与△COD不一定相似，①错误；
△AOD∽△BOC，②正确；
∴S△DOC：S△AOD＝CO：AO＝BC：AD，③正确；
S△COD＝S△AOB，④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和判定、梯形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
16．如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（ ）
A．EF•BF＝DF•CFB．BE•CD＝BF•CF
C．AE•AB＝AD•ACD．AE•BE＝AD•DC
【答案】C
【分析】根据条件证明出，根据性质得：，变形即可得到．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，解题的关键是证明出．
17．如图，点 是 的角平分线 的中点， 点 分别在 边上，线段 过点 ， 且 ，下列结论中， 错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据AG平分∠BAC，可得∠BAG=∠CAG，再由点 是 的中点，可得 ，然后根据，可得到△DAE∽△CAB，进而得到△EAF∽△BAG，△ADF∽△ACG，即可求解．
【解析】解：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠CAG，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵，∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△CAB，
∴ ，
∴∠AED=∠B，
∴△EAF∽△BAG，
∴ ，故C正确，不符合题意；
∵，∠BAG=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG，
∴ ，故A正确，不符合题意；D错误，符合题意；
∴，故B正确，不符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18．如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（ ）
A． 与 相似B． 与 相似
C．D．
【答案】D
【分析】根据外角的性质可得，结合已知条件即可证明，从而判断A，进而可得，根据是中点，代换，进而根据两边成比例夹角相等可证，进而判断B，C，对于D选项，利用反证法证明即可．
【解析】解：，
又
故A选项正确
为的中点
又
故B、C选项正确
若
则
根据现有条件无法判断，故
故D选项不正确
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
19．如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP，BP的延长线分别交边CD于点E，F，连结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
A．AE＝2DEB．△CFP∽△APHC．△CFP∽△ACPD．CP2＝PH•PB
【答案】C
【分析】由四边形ABCD是正方形，可得∠D=∠ABC=∠DAB=90°，AB∥CD，∠BAH=∠BCH=45°，AB=BC，由△ABP是等边三角形，可得∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，AB=BP=AP，即可得到∠DAE=∠PBC=30°，BP=BC，由此即可判断A；由AB∥CD，可得∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，再由BC=BP，∠PBC=30°，推出∠BPC=∠BCP=75°，则∠CPF=105°，即可推出∠PHA=∠CPF，证明△CFP∽△APH，即可判断B；由∠CPA=∠APB+∠BPC=135°≠∠CPF，即可判断C；证明△PCH∽△PBC，得到，即可判断D．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠DAB=90°，AB∥CD，∠BAH=∠BCH=45°，AB=BC，
∵△ABP是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，AB=BP=AP，
∴∠DAE=∠PBC=30°，BP=BC，
∴AE=2DE，故A不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，
∵BC=BP，∠PBC=30°，
∴∠BPC=∠BCP=75°，
∴∠CPF=105°，
又∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，
∴∠PHA=∠CPF，
又∵∠APB=∠CFP=60°，
∴△CFP∽△APH，故B不符合题意；
∵∠CPA=∠APB+∠BPC=135°≠∠CPF，
∴△PFC与△PCA不相似，故C符合题意；
∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，
∴∠PCH=∠PBC，
∵∠CPH=∠BPC，
∴△PCH∽△PBC，
∴，
∴PC2=PH•PB，故D不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A．14B．15
C．D．
【答案】A
【分析】方法一：连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得，进而可求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长．
方法二：设AB交CR于点M，先证得，可得、，进而可求得PC＝5，CQ＝10，设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长．
【解析】方法一：
解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，
∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴，
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10，
∵EC:CH＝1:2，
∴AC:BC＝1:2，
设AC＝a，则BC＝2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC为平行四边形，
∴AB＝CQ＝10，
∵，
∴，
∴（舍负）
∴，，
∵，
∴，
∵JR＝AF＝AB＝10，
∴CR＝CJ＋JR＝14，
故选：A．
方法二：
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10
设，则
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
由勾股定理得
由等面积法得
设与交于点J
∵四边形ABGF是正方形
PQ⊥CR，CR⊥AB，∠ACB＝90°
∴CQAB，ACBQ，四边形AMRF是矩形
∴四边形ABQC为平行四边形，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用及等面积法，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
二、填空题
21．若：：，则______．
【答案】
【分析】根据比例设，，然后代入比例式计算即可得解．
【解析】解：，
设，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设法”求解更加简便．
22．若，则＝______．
【答案】
【分析】根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果．
【解析】∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值，根据比例的性质变形是关键．
23．如图，已知，，求：（1）________；（2）________．
【答案】 1 1
【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得，，即可求解；
（2）根据平行线分线段成比例可得，，即可求解．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
；
故答案为：1；
（2）∵，
，
∵，，
，
；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
24．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是_______厘米．
【答案】4
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求．
【解析】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝2×8＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
25．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝_____．
【答案】##
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解析】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP是较长线段；
则AP＝2×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点即线段上一点把线段分成较长和较短的两条线段，且较长线段的平方等于较短线段与全线段的积，熟练掌握黄金分割点的公式是解题的关键．
26．如图, 已知，它们依次交直线 于点 和点 . 如 果 , 那么线段 的长是_______．
【答案】
【分析】先证明再利用求解从而可得答案.
【解析】解：

设 则



解得： 经检验符合题意；
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“利用平行线分线段成比例列方程”是解本题的关键.
27．四边形和四边形是相似图形，点A、B、C、D分别与点、、、对应，已知，，，那么的长是______．
【答案】
【分析】根据相似图形的性质即可得．
【解析】四边形和四边形是相似图形，且点分别与点对应，
，
又，，，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的性质是解题关键．
28．如图，已知，它们依次交直线，于点A，D，F和点B，C，E，如果AD＝6，DF＝3，BC＝5，那么BE＝______．
【答案】7.5
【分析】由平行线分线段成比例可得到，代入相关数据可求得CE，再根据线段的和可求得BE．
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴，
又AD＝6，DF＝3，BC＝5，
∴，
解得CE＝2.5，
∴BE＝BC＋CE＝5＋2.5＝7.5．
故答案为7.5
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
29．计算：________.
【答案】
【分析】去括号，按照向量的加减法法则计算即可．
【解析】原式=
故答案为：．
【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握向量的线性运算法则是解答本题的关键．数乘向量满足下列运算律：设，为实数，则①，②，③．
30．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，设，，那么向量用向量、表示为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形性质可得,再用向量进行表示即可．
【解析】∵平行四边形
∴，，
∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是注意向量的方向，属于中考常考题型．
31．已知：P为△ABC的重心，连接BP并延长，交AC于点D．设、，则________（请用含、的式子表示）；
【答案】
【分析】先根据向量的加法法则表示，根据重心为三角形中线的交点且将中线分为2：1和向量的减法法则求得，再由求解即可．
【解析】解：∵、，
∴，
∵P为△ABC的重心，
∴，，
∴=，
∴==，
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的线性运算、三角形的重心性质，熟练掌握向量加减法的运算法则，熟知三角形的重心性质是解答的关键．
32．如图，点D在的边上，当______时，与相似．
【答案】
【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要满足即可．
【解析】由∠BAC=∠CAD共用，
当时，
∽．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形判定问题，关键是掌握相似三角形的判定定理．
33．如图 ，在正六边形ABCDEF 中，设 BA  a ， BC  b ，那么向量 BF ( )．
【答案】##
【分析】连接CF，由向量共线可得，利用三角形法则：，即可得出答案．
【解析】解：连接CF，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
AB∥CF，CF=2BA，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则．
34．的边长分别为的边长分别，则与____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
【答案】不一定
【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
【解析】解：∵的边长分别为的边长分别，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时，，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似，
∴与不一定相似，
故答案为：不一定．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
35．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米则球拍击球的高度h为_________米．
【答案】1.4
【分析】由于DBEC，可得△ADB∽△AEC，故可用相似三角形的性质求解．
【解析】解：如图，
∵DB//EC，
∴△ADB∽△AEC，
∴，即0.8×（4+3）=4h，
∴h=1.4 (m)．
故答案为1.4．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解答此题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
36．如图，中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFB :S四边形FEDC的值为__________
【答案】
【分析】证明，根据相似三角形的性质可得，设，则，，分别求得S△AFB :S四边形FEDC即可求解．
【解析】四边形是平行四边形
，
是边AD的中点，
设，则，
S四边形FEDC
S△AFB :S四边形FEDC的值为
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
37．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点F在BC的延长线上，AF与BD相交于点E，与CD边相交于点G．如果AD＝2CF，那么∆DEG与∆CFG的面积之比等于________．
【答案】16:7
【分析】根据△ADG∽△FCG和△ADE∽△FBE，根据相似三角形对应边比值相等和相似三角形面积比为相似比的平方即可解题．
【解析】解：∵AD∥BC，
∴△ADG∽△FCG，
∴=2，
∴△ADG与△CFG的面积比是4：1，
△ADE∽△FBE，
∴，
∴令GF=1，则AG=2，
设AE=x，EG=y，
则x：（y+1）=2：5，
x+y=2，
解得，
∴△DEG与△ADE的面积比是8：6=4：3，
∴△DEG与△CFG的面积比是16：7．
故答案为16：7．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了相似三角形面积比为相似比的平方的性质．
38．如图，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、、的延长线于点、、，则________．
【答案】3
【分析】过点M作MGDF，点G在AB上，过点N作NHDF，H在AB上，NH交AM于I，则有MGDFNHAC，利用平行线分线段成比例和平行线判定三角形相似可得，再利用DFNH得到，从而得解．
【解析】过点M作MGDF，点G在AB上，过点N作NHDF，H在AB上，NH交AM于I，
则有MGDFNHAC
∵GMNH，
∴△BMG∽△BNH
∴
又∵BM=，
∴
∵MGNHAC，
∴
∴
∵MGNH
∴△AHI∽△AGM
∴
又∵
∴
∴
又∵DFNH
∴△AHI∽△ADE，△ANI∽△AFE，
∴
∴
∴
故答案是：3．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例和三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
培优特训练
特训第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．设n为正整数，为非零向量，那么下列说法不正确的是（ ）
A．n表示n个相乘B．-n表示n个-相加
C．n与是平行向量D．-n与n互为相反向量
【答案】A
【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案．
【解析】根据向量的性质和意义，可知：A、n表示n个相加，错误；
B、-n表示n个-相加，正确；
C、n与是平行向量，正确；
D、﹣n与n互为相反向量，正确；
故选A.
2．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【解析】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
B. 符合向量的长度及方向，正确；
C. 得出的是a的方向不是单位向量，故错误；
D. 左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误.
故答案选B.
【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.
3．ABCD被分别平行于两边的四条线段EJ、FI、LG、KH分割成9个小平行四边形，面积分别为S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD．若知道S1-9中的n个，就一定能算出平行四边形ABCD的面积，则n的最小值是（ ）．
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】由题述相似关系得AL：AE=KB：FD，设AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y．
又AB：AD=AL：AE=KB：FD可得（kx+LK+kz）：（x+y+z）=kx：x=ky：y=k，LK=ky．
只需知道S1，S3，S5，便可由x2：y2：z2= S1：S3：S5得到x：y：z=，于是
SABCD= S1·=．
【解析】解：如图，
由题述相似关系得AL：AE=KB：FD，
设AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y．
∵AB：AD=AL：AE=KB：FD
∴（kx+LK+kz）：（x+y+z）=kx：x=ky：y=k，
∴LK=ky．
只需知道S1，S3，S5，便可由
x2：y2：z2= S1：S3：S5
得到x：y：z=，
于是SABCD= S1·=，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了相似四边形的性质，关键在于设出未知数，用正确的表达式表示面积．
4．我们将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边和腰的比值为黄金分割比）．如图，已知，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，…，依次类推则第2021个黄金三角形的底边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由黄金三角形的定义得BC=AB=，同理：△BCD是第二个黄金三角形，，△CDE是第三个黄金三角形，则CE=，由此得出规律，即可得出结论．
【解析】解：∵AB=AC=1，∠A=36°，△ABC是第一个黄金三角形，
∴底边与腰之比等于，
即，
∴BC=AB=，
同理：△BCD是第二个黄金三角形，
∴
△CDE是第三个黄金三角形，
则CE= …，
∴第2021个黄金三角形的底边长
故选：B
【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．
5．如图，在ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列结论不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可．
【解析】解：∵DEBC，EFCD，
∴∠ADE=∠B，∠ACD=∠AEF，
又∵∠ACD=∠B，
∴∠ADE=∠AEF，
∵∠ADE=∠AEF，∠A=∠A，
∴AEF∽ADE，
∴，
∴，故选项A正确；
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴ACD∽ABC，
∴，
∴，故选项B正确；
∵DEBC，
∴，
∵EFCD，
∴，
∴，
∴，故选项D正确；
∵EFCD，
∴，
∴，故选项C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
6．如图，在梯形中，，对角线交于点是梯形的中位线，与分别交于点，如果的面积为，那么梯形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设AD=2x，BC=6x，根据EF是梯形的中位线，求得EG=FH==x，GF==3x，证得GH=AD，由此得到，，，即可求出答案．
【解析】设AD=2x，BC=6x，
∵EF是梯形的中位线，
∴点E、F、G、H分别为AB、CD、BD、AC的中点，EF∥AD∥BC，
∴EF=x，
∴EG=FH==x，GF==3x，
∴GH=2x，
∴GH=AD，
∵GH∥AD,
∴△OAD∽△OHG,
∴，
∴OG=OD，，
∵GH∥BC,
∴△OGH∽△OBC，
∵
∴，
∵O是DG的中点，G是BD的中点，
∴，
，
故选：C．
．
【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相似三角形的性质，这是一道与中位线相关的综合题．
7．已知：如图，在△ABC中，于点G，于点F，，，以下结论：①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性质及直角三角形的两锐角互余可以判断结论①；证可判断结论③的正误；再证可判断②④结论的正确性．
【解析】解：∵于点G，于点F，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，故结论①正确；
∵，，
∴，
∴，故结论③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论②错误，结论④正确，
∴正确的结论有①③④，
故选：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
8．正方形中，两条对角线交于点O，点E为边的中点，过点D作，交于点F，交于点M，与交于点N，记，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质，推导得q=2，根据相似三角形的性质，推导得r=2，再根据相似三角形的性质，通过证明，得p>2，从而完成求解．
【解析】过点B作，延长DF交BQ于点Q，点Z为DF与AE的交点
∵正方形，两条对角线交于点O，
∴，，
∵点E为边的中点
∴
∵
∴
∴
∴q=2
∵
∴，
∴
∵点E为边的中点
∴
∴r=2
∵
∵
∴
∴
∵ ，，
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴AZ>AM
∵
∴，
∴
∴
∴
∴QB∵
∴
∴p>2
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC， AB的中点，连接AE，DF交于点O，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG．有以下结论：①AE⊥DF；②AH＝EH；③；④S四边形BEOF :S△AOF＝4，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①根据正方形的性质可得AD=AB=BC，∠DAB=∠B=90°，从而可证△DAF≌△ABE，进而可得∠BAE=∠ADF，然后可得∠BAE+∠AFD=90°，即可解答；②根据正方形的性质可得，从而可得∠DAE=∠AEB，再利用折叠可得∠AEB=∠AEG，进而可得∠DAE=∠AEG，即可解答；③由折叠得：∠AEB=∠AEG=(180°−∠GEC)，GE=EC，从而可得∠EGC=∠ECG=(180°−∠GEC)，进而可得∠AEB=∠GCE，即可解答；④在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，然后证明△AOF∽△ABE，利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠B=90°，
∴∠ADF+∠AFD=90°，
∵点E，F分别是边BC，AB的中点，
∴AF=AB，BE=EC=BC，
∴AF=BE，
∴△DAF≌△ABE(SAS)，
∴∠BAE=∠ADF，
∴∠BAE+∠AFD=90°，
∴∠AOF=180°−(∠BAE+∠AFD)=90°，
∴AE⊥DF，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴∠DAE=∠AEB，
由折叠得：∠AEB=∠AEG，
∴∠DAE=∠AEG，
∴AH=EH，
故②正确；
由折叠得：∠AEB=∠AEG=(180°−∠GEC)，GE=EC，
∴∠EGC=∠ECG=(180°−∠GEC)，
∴∠AEB=∠GCE，
∴，
故③正确；
∵∠B=90°，AB=4，AF=2，BE=2，
∴，
∵∠B=∠AOF=90°，∠FAO=∠BAE，
∴△AOF∽△ABE，
∴，
∴，
故④正确；
所以，以上结论，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换(折叠问题)，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．如图，正方形中，为上一点，是延长线上一点，且，连结，，，是中点，连结，设与相交于点N．则个结论：；∽∽；；若，则；正确的结论有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，判断出①正确；根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据两组角对应相等的三角形相似得到∽∽，判断出②正确；根据勾股定理可得，再利用相似三角形对应边成比例列式整理可得，然后求出，判断出③正确；连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后判断出直线垂直平分，过点作于，得到，然后求出，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，判断出④正确．
【解析】解：正方形中，，
在和中，
，
≌，
，
，故①正确；
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，，
∽，
∽∽，故②正确；
在中，由勾股定理得，，
由∽得，，
，
，
，故③正确；
连接、，
是的中点，、是直角三角形，
，
又，
直线是的垂直平分线，
过点作于，则，
，
，
是的中点，，，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，平行线分线段成比例定理，熟记各性质与定理并作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
11．如图，已知D是的边AC上一点，且AD＝2DC．如果，，那么向量关于、的分解式是_____
【答案】
【分析】根据向量的运算法则计算即可.
【解析】解：∵AD＝2DC，
∴，
根据题意，可得：
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是向量的运算法则，熟悉向量的计算遵循三角形法则是解题的关键.
12．如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知，AC＝5，那么△DBF的面积等于_____．
【答案】．
【分析】根据相似三角形的性质得到，∠CBD＝∠A，得到CD＝2，AD＝3，根据旋转的性质得到∠ABC＝∠EBD，∠E＝∠A，AB＝BE，DE＝AC，得到∠EBF＝∠A，根据平行线的判定和性质得到∠ADF＝∠E，等量代换得到∠E＝∠EBF＝∠A＝∠ADF，根据等腰三角形的判定得到EF＝BF，AF＝DF，得到AB＝DE＝AC＝5，根据相似三角形的性质得到，过A 作AH⊥BC于H，于是得到结论．
【解析】∵△BDC∽△ABC，
∴，∠CBD＝∠A，
∴，
∵，AC＝5，
∴CD＝2，
∴AD＝3，
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，
∴∠ABC＝∠EBD，∠E＝∠A，AB＝BE，DE＝AC，
∴∠EBF＝∠CBD，
∴∠EBF＝∠A，
∴BE∥AC，
∴∠ADF＝∠E，
∴∠E＝∠EBF＝∠A＝∠ADF，
∴EF＝BF，AF＝DF，
∴AF+BF＝EF+DF，
即AB＝DE＝AC＝5，
∵AD∥BE，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
∴，
过A 作AH⊥BC于H，
∴，
∵，
∴△DBF的面积＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13．如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．
【答案】
【分析】由勾股定理可求A'C=5，可得A'D= A'C-CD=2，由△ECD∽△A'CB'，对应边成比例即可求出DE的长，再由△A'DF∽△CDE求出DF的长，最后在Rt△DFC中由勾股定理即可求出DF.
【解析】解：由旋转前后对应边相等可知：A'B'=AB=3，B'C=BC=4
∴由勾股定理可知：A'C=，
∴A'D= A'C-CD=2，
又∠ADC=∠B'=90°，且∠ECD=∠A'CB'，
∴△ECD∽△A'CB'，
∴，代入数据：，
∴，
又A'F∥CE，
∴∠CED=∠A'FD，且∠EDC=∠FDA'，
∴△A'DF∽△CDE，
，代入数据：，
∴，
在Rt△DFC中由勾股定理可知：
.
故答案为：.
【点睛】本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决此题的关键.
14．如如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，AC与BD相交于O，E为DC上的一点，过点O作OF⊥OE交BC于F，记d=，则d的最小值为 _____．
【答案】10
【分析】延长EO交AB于G，根据ASA可证△DOE≌△BOG，可得BG=DE，则d=，即为FG的长；过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OIF，设BG=x，用x表示出BF，再根据函数的最值即可求解．
【解析】解：延长EO交AB于G，连接GF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠ODE，
在△DOE与△BOG中，
，
∴△DOE≌△BOG（ASA），
∴BG=DE，
∴d==FG，
过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，
∴四边形HBIO是矩形，
∴∠OHG=∠OIB=∠HOI=90°，
∴∠OIF=90°=∠OHG，
∵∠EOF=90°，
∴∠GOF=180°-90°=90°，
∴∠HOG=∠IOF，
∴△OHG∽△OIF，
∴，
∵O为AC的中点，HO∥BC，
∴HO=BC，
同理IO=AB，
∵AB=12，BC=16，
∴，
设BG=x，则HG=6-x，
IF=，
BF=，
d=，
∵0≤x≤6，
∴当x=6时，d最小为10，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是设BG=x，用x表示出BF．
15．如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为______．
【答案】
【分析】过点F分别作FH⊥BC，FP⊥BG，垂足分别为H、P，由正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，可分别求得H N、HM的长，则可求得MN的长．
【解析】过点F分别作FH⊥BC，FP⊥BG，垂足分别为H、P，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，AD=AB=CD=BC=3，
∴∠PBH=∠FHB=∠FPB=90°，
∴四边形FPBH是矩形．
∵BF平分∠CBG，FH⊥BC，FP⊥BG，
∴FP=FH，
∴四边形FPBH是正方形，
∴BH=BP=FP=FH．
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEA+∠FEP=90°，
∵∠DEA +∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠FEP，
∴Rt△DAE∽△Rt△EPF，
∴．
∵BE=2AE，AB=3，
∴AE=1，BE=2，
即
∴PE=3FP，即BE+PB=3FP，
∵PB=FP，
∴2+PB=3PB，
∴PB=FP=1，
∴BH=FH=1，CH=BC−BH=2．
设HN=a，则CN=CH−HN=2−a，
∵∠FHN=∠C=90°，∠FNH=∠DNC，
∴△FHN∽△DCN，
∴，
即，
解得：．
设HM=b，则BM=BH−HM=1−b．
∵∠FHM=∠ABC=90°，∠FMH=∠EMB，
∴△FHM∽△EBM，
∴，
∴BM=2HM，即，
解得：；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，关键是相似三角形判定与性质的运用，综合性较强．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为_______．
【答案】或1
【分析】分两种情况讨论，当时，过点O作于H，由平行线分线段成比例可得，由折叠的性质可得，可求，可得；当∠PFD＝90°时，由勾股定理和矩形的性质可得，通过证明，可得，可求OF的长，通过证明，可得，可求PD的长．
【解析】解：如图1，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
当∠PFD＝90°时，
∵AB＝6，BC＝8，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴PD，
综上所述：PD或1，
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．