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沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训03锐角三角比在相似三角形中的应用(原卷版+解析)
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这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训03锐角三角比在相似三角形中的应用(原卷版+解析)，共60页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，已知在中，，垂足为点 ， 点是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正弦值．
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为
(1)求证：△BDF∽△DCF；
(2)求BC的长．
3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．
（1）求CD的长；
（2）求点C到ED的距离．
4．已知中，，，，，点是的重心，延长线交于点．
（1）求的长；
（2）求证：．
5．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求平行四边形的面积．
6．如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD．
（1）求证：；
（2）若，S△AOD＝4，求S△BOC的值．
7．如图，在和中，，，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
8．在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)如图①中，在AB上找点C，使得AC：BC＝2：3；
(2)在图②中作∠DAB，使得tan∠DAB＝．（保留作图痕迹）
9．如图，在中，，于点，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当，，求的长
10．如图，已知点D、E分别在△ABC中的边BA、CA的延长线上，且DEBC．
(1)如果AD＝3，BD＝9，DE＝4，求BC的长；
(2)如果，AD＝4，sinB，过点D作BF⊥BC，垂足为点F，求DF的长．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
(1)求a，b的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．
12．如图，Rt△ABC中，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE．使，连接CE．则：
(1)求证：；
(2)若，求证：．
13．如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长．
14．如图1，中，点D在线段延长线上，点E在线段延长线上，且，交直线于点P，交直线于点F，．
(1)当时，求线段的长．
(2)若将“点D在线段延长线上，点E在线段延长线上”改为“点D在线段上，点E在线段延长线上”，其他条件不变（如图2）．图2中是否存在与相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由．
15．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且．
(1)求证：；
(2)如果，，求FC的长．
16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
17．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
18．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．
(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
19．已知点E在△ABC内，，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．
(1)当时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：；
(2)当时（如图2），②的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出的比值．
20．如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
(1)当点D是边AC中点时，求的值；
(2)求证：；
(3)当时，求．
21．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
22．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．
(1)当x＝3时，求tan∠BCE的值；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．
25．如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．
(1)求证：；
(2)联结，如果，求的正切值；
(3)联结，如果，求的值．
26．如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，连接BG，CG．
（1）求证:；
（2）如果，设．
①如图2，当∠ABG=90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
特训03 锐角三角比在相似三角形中的应用
一、解答题
1．如图，已知在中，，垂足为点 ， 点是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求出，在中由勾股定理可求出的长；
（2）过点作于点F，证明，根据相似三角形的性质求出EF，DF的长，根据勾股定理求出AE的长，再根据正弦的定义求解即可．
（1）
∵
∴和均为直角三角形，
∵
∴
∵
∴
∵
由勾股定理得，
（2）
过点作于点F，如图，
∵，
∴//
∴
∴
∵点是边的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在中，∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为
(1)求证：△BDF∽△DCF；
(2)求BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD~∆FDC，即可；
(2)设DE=x，则AC=2x， DF=x+5，由(1)可知△BDF-△DCF，根据相似三角形对应边的比相等及正切函数的定义得到=tan∠B=，则BF=2 (x+5) ，CF= (x+5)，BC=BF-CF= (x+5)，然后在直角△ABC中，根据tan∠B=，得到方程 (x+5) =2×2x，解方程即可求解．
（1）
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°
∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
∴∠B＝∠FDC，
又∵∠F＝∠F，
∴△BDF∽△DCF；
（2）
解：设DE＝x，则AC＝2DE＝2x，DF＝DE+EF＝x+5．
∵△BDF∽△DCF，
∴＝＝＝tan∠B＝，
∴BF＝2DF＝2（x+5），CF＝DF＝（x+5），
∴BC＝BF﹣CF＝（x+5），
在直角△ABC中，∵tan∠B＝＝，
∴BC＝2AC，即（x+5）＝2×2x，
解得x＝3
∴BC＝（3+5）＝12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，难度适中，解题的关键是由相似三角形的性质得到比例式．
3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．
（1）求CD的长；
（2）求点C到ED的距离．
【答案】（1）CD=5；（2）
【分析】（1）过A点作AF⊥BC于点F，通过等腰三角形三线合一求出BF的长度，进而求出的值，再通过垂直平分线求出BE的长度，在Rt△DEB中利用即可求出BD的长度，进而CD的长度可求；
（2）过C点作CH⊥ED于点H，通过平行线的判定得出CH∥AB，则有，进而可求出CH的长度，则点C到ED的距离可求．
【解析】解：（1）过A点作AF⊥BC于点F．
∵AB=AC=6，BC=4，AF⊥BC，
∴BF=FC=2，∠BFA=90°．
∴在Rt△ABF中，．
∵DE垂直平分AB，AB=6，
∴AE=BE=3，∠DEB=90°．
在Rt△DEB中，，
∴BD=9，
∴CD=BD-BC=5．
（2）过C点作CH⊥ED于点H．
∵CH⊥ED，AB⊥ED，
∴∠DEB=∠DHC=90°，
∴CH∥AB，
∴．
∵BE=3，BD=9，CD=5，
∴，
∴点C到ED的距离CH为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，锐角三角函数，平行线的判定和平行线分线段成比例，掌握等腰三角形的性质，锐角三角函数，平行线的判定和平行线分线段成比例是解题的关键．
4．已知中，，，，，点是的重心，延长线交于点．
（1）求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）在Rt△ABD中利用正切的定义得到AD＝2BD，然后利用勾股定理计算出BD＝1，则AD＝2，然后利用等腰直角三角形的性质得到CD＝AD＝2，从而得到BC的长；
（2）利用三角形重心的性质得到AG＝2GE，BE＝CE＝BC＝，则计算出DE的长，则，于是可判断△EDG∽△EBA，所以∠EDG＝∠B，然后根据平行线的判定得到结论．
【解析】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝2，
∴AD＝2BD，
∵BD2＋AD2＝AB2，
∴BD2＋4BD2＝（）2，解得BD＝1，
∴AD＝2，
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝2，
∴BC＝BD＋CD＝1＋2＝3；
（2）解：∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GE，BE＝CE＝BC＝，
∴DE＝BE−BD＝−1＝，
∵，，
∴，
而∠DEG＝∠BEA，
∴△EDG∽△EBA，
∴∠EDG＝∠B，
∴DG∥AB．
【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了解直角三角形和平行线的判定．
5．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求平行四边形的面积．
【答案】(1)证明过程见详解；
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，且AB=CD，根据两直线平行，内错角相等，可得，再根据，可得AE∥CF，根据AAS得△ABE≌△CDF，得出AE=CF，即可得出四边形是平行四边形；
（2）根据锐角三角函数及勾股定理求出AE、BE，再根据，∠AEF=∠CFB=90°，得出△AEF∽△BFD，根据相似三角形对应边成比例求出EF，即可求出BD，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，即可得出平行四边形ABCD的面积．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，，
∴；
∵，
∴
∴，
在△ABE和△CDF中：
∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）
解：∵在Rt△ABE中，，
∴，
设AE=3x，则BE=4x，
∴，即：，
解得（-1舍去），
∴AE=3x=3，BE=4x=4，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴CF=AE=3，
∵，∠AEF=∠CFB=90°，
∴△AEF∽△BFC
∴，即，
解得：，或（舍去），
∴，
∴平行四边形的面积：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
6．如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD．
（1）求证：；
（2）若，S△AOD＝4，求S△BOC的值．
【答案】（1）见解析； （2）9．
【分析】（1）可证明，可得到，从而，即可求证；
（2）利用，可得，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【解析】（1）证明： AB⊥AC，CD⊥BD，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：在 中，，
，
，
，
S△AOD＝4，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，解题的关键是要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．
7．如图，在和中，，，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先证∽，得出，再证∽即可；
（2）证明∽，根据相似列出比例式即可求解．
【解析】（1）∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴∽．
（2）∵∽，
∴，即，
在中，，
∴
∴，
∵∽．
∴，
∵
∴∽，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理进行推理证明．
8．在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)如图①中，在AB上找点C，使得AC：BC＝2：3；
(2)在图②中作∠DAB，使得tan∠DAB＝．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求作；
（2）利用网格的特点，勾股定理构造直角三角形，根据正切的定义即可求解．
（1）
如图，点C即为所求作．
理由，,，
，
，
（2）
如图，∠DAB即为所求作．
理由，，
，，
,
是直角三角形，且，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形与网格问题，正切的定义，掌握以上知识是解题的关键．
9．如图，在中，，于点，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当，，求的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据∠AEC=90°+∠ABC，∠ACD=90°+∠ACB， 得证∠AEC=∠ACD即可．
(2) 先根据tan∠B=tan∠D=，设AE=x，则AB=AC=2x，结合△AEC∽△ACD，确定AD=4x，得ED=3x，利用勾股定理计算ED=，建立等式计算出x即可．
（1）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠AEC=90°+∠ABC，∠ACD=90°+∠ACB，
∴∠AEC=∠ACD，
∵∠EAC=∠CAD，
∴△AEC∽△ACD．
（2）
∵∠BAE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴∠ABE=∠CDE，
∴tan∠B=tan∠D=，
设AE=x，则AB=AC=2x，
∵△AEC∽△ACD，
∴，
∴AD=4x，
∴ED=AD-AE=3x，
∵CE=1，CD=2，
∴ED=，
∴3x=，
∴4x=，
即AD=．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．
10．如图，已知点D、E分别在△ABC中的边BA、CA的延长线上，且DEBC．
(1)如果AD＝3，BD＝9，DE＝4，求BC的长；
(2)如果，AD＝4，sinB，过点D作BF⊥BC，垂足为点F，求DF的长．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据DEBC可得，进而可得，代入数值进行计算即可求解；
（2）由（1）可得，求得，在中，根据sinB，即可求得的长．
(1)
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴
(2)
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，垂足为点，
∴，
在中，，
即，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，已知正弦求边长，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
(1)求a，b的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．
【答案】(1)a＝﹣，b＝﹣9，点A的坐标为（3，﹣4）
(2)见解析
(3)sin∠CDB＝
【分析】（1）将点P（﹣3，4）代入y＝ax，计算出a，将点P（﹣3，4）代入y＝计算出b，最后根据函数的对称性求出点A即可；
（2）先根据菱形的性质证明∠DCP＝∠OAE，再证明∠AEO＝∠CPD＝90°即可证得△CPD∽△AEO；
（3）先计算出AO的长度，再根据△CPD△AEO得到∠CDP＝∠AOE，计算出sin∠AOE即可得到答案．
（1）
解：将点P（﹣3，4）代入y＝ax，得：4＝﹣3a，
解得：a＝﹣，
∴正比例函数解析式为y＝﹣x；
将点P（﹣3，4）代入y＝，得：﹣12＝b﹣3，
解得：b＝﹣9，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A的坐标为（3，﹣4）．
（2）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，ABCD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD△AEO．
（3）
解：∵点A的坐标为（3，﹣4），
∴AE＝4，OE＝3，．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝．
【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的相关知识．
12．如图，Rt△ABC中，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE．使，连接CE．则：
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质可知，即得出，再结合题意，即得出，从而证明；
（2）过点E作于点H，由，即得出，，从而得出，得出．根据平行线的性质得出，从而得出．又易证，得出，即可证明．
（1）
∵，点D是边BC的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）
如图，过点E作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，DE=DE，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形以及全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
13．如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长．
【答案】(1)8；
(2)．
【分析】（1）根据，得出∠E=∠C，∠EDA=∠B，可证△DEA∽△BCA，得出，可求，根据，得出，求BC即可；
（2）根据，得出△DEA∽△BCA，得出，根据，得出，，在中，，代入数据得出，即可求出DF
（1）
解：∵，
∴∠E=∠C，∠EDA=∠B，
∴△DEA∽△BCA，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴．
（2）
解：∵，
∴△DEA∽△BCA，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为点，
∴．
在中，，
即，
∴．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，掌握平行线性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数是解题关键．
14．如图1，中，点D在线段延长线上，点E在线段延长线上，且，交直线于点P，交直线于点F，．
(1)当时，求线段的长．
(2)若将“点D在线段延长线上，点E在线段延长线上”改为“点D在线段上，点E在线段延长线上”，其他条件不变（如图2）．图2中是否存在与相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)PE＝6；
(2)AC＝BF，证明见解析．
【分析】（1）解直角三角形求出∠ACB＝30°＝∠ADP，然后证明DP＝CP＝BC＝CE，再由PFAC得出△DFP∽△DAC，△BAC∽△BFE，利用相似三角形的性质求出FP和EF即可；
（2）求出∠BCD＝∠A，可证△CBD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得，由FEAC，根据平行线分线段成比例可求出，进而得到，再根据BE＝CD，即可得出AC＝BF．
（1）
解：∵，，，
∴AC，，
∴∠ACB＝30°＝∠ADP，
∴∠BCD＝60°，∠ACD＝60°−30°＝30°，
∵PEAC，
∴∠E＝∠ACB＝30°，∠CPE＝∠ACD＝30°，
∴CP＝CE，
∵BE＝CD，
∴BC＝DP，
∵∠ABC＝90°，∠D＝30°，
∴BC＝CD，
∴DP＝CD，
∴DP＝CP＝BC＝CE，
又∵PFAC，
∴△DFP∽△DAC，
∴，
∴FP＝AC＝2，
又∵FEAC，
∴△BAC∽△BFE，
∴，
∴FE＝2AC＝8，
∴PE＝FE−FP＝8−2＝6；
（2）
解：AC＝BF，
证明：∵∠ADP＝∠ACD＋∠A，∠ACB＝∠ACD＋∠BCD，∠ADP＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠A，
又∵∠CBD＝∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴，
∵FEAC，
∴，即，
∴，
∵BE＝CD，
∴AC＝BF．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识；证明三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例列式是解答本题的关键．
15．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且．
(1)求证：；
(2)如果，，求FC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证；
（2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解．
（1）
证明：∵ ，
∴△EAD∽△ECB，
∴ ，即，
∵，∠AEB=∠DEF，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∴，
∴；
（2）
解：∵， ，，
∴ ，即AC=9，
∴ ，
∵，
∴AD=3，
∵，
∴∠BAD=90°，
∴ ，
∵△EAD∽△ECB，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，，
∴EC=6， ，
∵，
∴ ，
∴EF=4，
∴FC=EC-EF=6-4=2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键．
16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，证出，得出比例式求出，即可得出结果；
（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．
（1）
解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2，，
∴，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
∴，
∴；
（2）
解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=31=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．
17．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
【答案】(1)atanα+b米
(2)3.8米
【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度；
（2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得；
（1）
解：如图
由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四边形CDBE为矩形，
则BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt∆ACE中，tanα= ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：灯杆AB的高度为atanα+b米
（2）
由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴∆ABF~∆EDF，
此时
即①，
∵AB∥GC
∴∆ABH~∆GCH，
此时，
②
联立①②得
，
解得：
答：灯杆AB的高度为3.8米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．
18．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．
(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠CAD=∠BDC=45°，∠OBP+∠OPB=90°，再由，可得∠OBP=∠OPE，即可求证；
（2）设OE=a，根据∠QED等于60°，可得∠BEP=60°，然后利用锐角三角函数，可得BD=2OB=6a， ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求解．
（1）
证明：在正方形ABCD中，
∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴∠OBP+∠OPB=90°，
∵，
∴∠BPQ=90°，
∴∠OPE+∠OPB=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
∴；
（2）
解：设OE=a，
在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD，
∵∠QED等于60°，
∴∠BEP=60°，
在 中，
，，
∵，∠BEP=60°，
∴∠PBE=30°，
∴， ，
∴OA=OB=BE-OE=3a，
∴BD=2OB=6a，
∴ ，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
19．已知点E在△ABC内，，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．
(1)当时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：；
(2)当时（如图2），②的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出的比值．
【答案】(1)①△ABC是等边三角形，理由见解析；②△EBD也是等边三角形，理由见解析
(2)结论不成立，理由见解析
【分析】（1）①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．
（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x，在Rt△EBD中DE=2x，BE=，最后由相似比即得到比值．
（1）
解：（1）①判断：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形．
②△EBD也是等边三角形，理由如下：
如图1，连接DC，
则AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝60°－∠EBC＝∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB＝150°，
∴∠EDC＝150°－∠BDE＝90°，
∴在Rt△EDC中，．
（2）
解：如图2：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴，即
又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°，∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2
∴，即．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，证得△ABE∽△CBD是解答本题的关键．
20．如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
(1)当点D是边AC中点时，求的值；
(2)求证：；
(3)当时，求．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)5：3
【分析】（1）过D作DH⊥AB于H，设，，由勾股定理得，由中点定义和三角形的等面积法求得DH，再根据勾股定理求得AH、BH，由求解即可；
（2）根据相似三角形的判定证明△DEB∽△ADB、△DFB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（3）设，，则DF=4k，根据余切定义和勾股定理可求得EB、BF、BD，再根据相似三角形的性质求得AB即可求解．
(1)
解：过D作DH⊥AB于H，
在中，，，
设，，
∴，
∵D为AC的中点，
∴AD= AC= ，
∴，
∴，
在Rt△AHD中，，
∴BH=AB－AH= －= ，
在Rt△BHD中，；
(2)
证明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，
∴△DEB∽△ADB，
∴，
∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，
∴△DFB∽△ACB，
∴，
∴即；
(3)
解：由可设，，则DF=4k，
∵，
∴ct∠BDE=ct∠A=，
∴，
∴，又∠F=90°，
∴，
，
∵△DEB∽△ADB，
∴即，
∴AB=8k，
∴AE=AB－EB=5k，
∴AE：EB=5k：3k=5：3．
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
21．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
【答案】(1)
(2)1或
(3)
【分析】（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据＝tan∠B＝，即可求得答案；
（2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，，根据△CDE∽CBD，得出，建立方程求解即可．
(1)
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在△DCE和△DBE中，
，
∴△DCE≌△DBE（ASA），
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝4，
∴CE＝BE＝2，
∵，
∴，
∴DE＝；
(2)
∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴，
∴tan∠CDE＝tan45°＝1；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∴，
综上所述，∠CDE的正切值为1或；
(3)
如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，
∴BD＝2DF，
∴DG＝BG，
∵EG⊥BD，
∴DE＝BE，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，
∴，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽CBD，
∴，即，
解得：CD＝3，，
∴，
故这时AD的长为．
【点睛】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
22．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
【答案】(1)见详解
(2)①CE=1；②∠BAC的正弦值为或．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB=∠CBE，则有∠BAE=∠BDA，然后可证△ABE∽△DBA，进而问题可求证；
（2）①过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；②由题意易知当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，然后分类讨论当四边形ABCD是平行四边形时和当四边形ABCD是等腰梯形时，进而问题可求解．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBE，
∵，
∴∠BAE=∠BDA，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴；
(2)
解：①过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵AD∥BC，
∴当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
当四边形ABCD是平行四边形时，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，如图所示：
∴EN∥AM，，，
∴，
∴，
∵在Rt△ABM中，，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴（负根舍去），
∴，
∴；
当四边形ABCD是等腰梯形时，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EQ⊥BC于点Q，如图所示：
∴，
在△BAD和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
过点D作DP∥AB交AC于点P，则∠DPA=∠BAC，
∴，
∴，
∵DP∥AB，
∴，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴BC=AB=4，
∴，
由以上可知：，
∴，
∵AH⊥BC，EQ⊥BC，
∴AH∥EQ，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BEQ中，由勾股定理得：，
∴；
综上所述：∠BAC的正弦值为或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．
(1)当x＝3时，求tan∠BCE的值；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．
【答案】(1)
(2)y=4(4−x)9（0＜x＜4）．
(3)．
【分析】（1）运用直角关系证明∠BCE=∠DAC即可；
（2）作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N．利用面积法解决问题即可；
（3）作DH⊥AB于H．设BH=x，想办法求出tan∠BAD的值，再利用相似三角形的性质证明∠CBG=∠BAD即可解决问题．
(1)
∵BC=4，BD=3，
∴CD=1，
∵AD⊥CE，
∴∠AFC=∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠DCF=90°，∠ACF+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∴．
(2)
作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N．则四边形EMCN是矩形．
∵，
∵EM=CN，，
∴
∴y=4(4−x)9（0＜x＜4）．
(3)
作DH⊥AB于H．设BH=p．
∵BC=4，BD=3，
∴CD=1，
在Rt△ACD中，，
在Rt△ABC中，，
∵DH2=AD2-AH2=BD2-BH2，
∴10-（5-p）2=32-p2，
∴p=，
∴DH==，AH==，
∴，
当△MNF∽△ABC，
∴∠MNF=∠ABC，
∵∠MNF=∠ABN+∠BAD，∠ABD=∠ABN+∠CBG，
∴∠CBG=∠BAD，
∴tan∠CBG=tan∠BAD==，
∴CG=，
∴AG=AC-CG=．
【点睛】本题考查相似形综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，学会用转化的思想思考问题．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．
（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．
（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．
（1）
如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠BEF，
∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，
∴△ADE≌△BFE（ASA），
∴AD＝BF，
∴AD＝5+CF＝5+CD，
∵AC＝CD+AD＝12，
∴CD+5+CD＝12，
∴CD＝，
∴正方形CDEF的面积为．
（2）
如图2中，
∵∠ABG＝∠EBH，
∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，
∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，
∴△CBG∽△CAB，
∴＝CG•CA，
∴CG＝，
∴BG＝==，
∴AG＝AC﹣CG＝，
过点A作AM⊥BE于M，
∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，
∴∠GAM＝∠CBG，
∴cs∠GAM＝cs∠CBG＝，
∴AM＝，
∵AB＝=13，
∴sin∠ABM＝．
（3）
如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．
∵AE＝AG＝AN，
∴∠GEN＝90°，
由（1）可知，△NDE≌△BFR，
∴ND＝BF，
设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，
∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，
在Rt△ADE中，
∵，
∴，
∴x＝或（舍弃），
∴CD＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的全等，三角形相似的性质和判定，一元二次方程的解法，三角函数的正弦值，熟练掌握勾股定理，准确解一元二次方程，正弦值是解题的关键．
25．如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．
(1)求证：；
(2)联结，如果，求的正切值；
(3)联结，如果，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)30
【分析】（1）作CG⊥CE，交FD延长线于G点，可根据题意得出四边形FECG为矩形，再结合矩形和正方形的性质推出△BCE≌△DCG，从而得到CE=CG，即四边形FECG为正方形，即可证得结论；
（2）在（1）的基础之上，连接CF，首先通过旋转的性质和三角形的内角定理推出△CEF和△DFP均为等腰直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质推出PF和EF之间的关系，从而表示出BE的长度，即可求出∠BCE的正切值，再根据余角的关系证明∠ABP=∠BCE，即可得出结论；
（3）根据正方形的性质以及前面两个问题的求解过程推断出A、C、D、F四点共圆，即可得到在变化过程中，∠AFC始终为90°，从而在Rt△ACF中运用特殊角的三角函数值求解角度即可得出结论．
（1）
：如图所示，作CG⊥CE，交FD延长线于G点，
∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，
∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，
∴四边形FECG为矩形，∠G=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，BC=DC，
∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，
∴∠BCE+∠ECD =∠ECD+∠DCG，
即：∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG(AAS)，
∴CE=CG，
∴四边形FECG为正方形，
∴CE=EF；
（2）
解：如图所示，连接CF，
由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，则△CEF为等腰直角三角形，
由旋转的性质得：∠PAD=n°，AP=AD，
∴∠PAB=90°+n°，∠APD=（180°-∠PAD）=90°-n°，
∵AP=AB，
∴∠APB=（180°-∠PAB）=45°-n°，
∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFP=90°，
∴△DFP也为等腰直角三角形，PF=DF，
∴△DFP∽△CEF，
∵，
∴，
设PF= DF=x，则FE=CE=3x，
由（1）知四边形CEFG为正方形，
∴FG=FE=3x，
∴DG=FG-DF=2x，
∵△BCE≌△DCG，
∴BE=DG=2x，
∴在Rt△BEC中，，
∵∠ABP+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ABP=∠BCE，
∴；
（3）
解：∵，
∴如图所示，连接AF和对角线AC，
由（2）可知，∠EFC=45°，∠EFD=90°，
∴∠CFD=45°，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD=45°，AC=AB，
∴∠CAD=∠CFD，
∴点A、C、D、F四点共圆，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∵AF=AB，
∴AF=AC，
则在Rt△AFC中，，
∵∠ACF为锐角，
∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，
∵∠CAD=45°，
∴∠FAD=60°-45°=15°，
∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，
∴△AFP≌△AFD，
∴∠FAD=∠FAP=15°，
∴∠PAD=30°，
∴n=30．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直角三角形等，掌握图形的基本性质和判定方法，具有较强的综合分析能力是解题关键．
26．如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，连接BG，CG．
（1）求证:；
（2）如果，设．
①如图2，当∠ABG=90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
【答案】（1）见详解；（2）①；②m的值为或
【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，然后问题可求证；
（2）①由（1）及题意易得，则有△ABC是等腰三角形，然后可得BD=CD=5，进而根据三角函数可得，则，最后根据三角形面积公式可求解；②由题意可分当BG∥CE时和当CG∥BE时，然后分类求解即可．
【解析】（1）证明：∵锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DG=FD，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）①∵，
∴，
∵∠ABG=∠BDG=90°，
∴，
∴，
∴△ABC是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴在Rt△BDG中，，
∴，
∴；
②由①可知，
∵四边形BGCE是梯形，且当BG∥CE时，
∴，
∵∠BDG=90°，
∴，
∴△BDG和△ADC都为等腰直角三角形，
设BD=x，则CD=AD=10-x，
在Rt△ADB中，，且AB=8，
即，解得：，
∵△ABC是锐角三角形，
∴，
∴；
当CG∥BE时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴；
综上所示：m的值为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
1．如图，已知在中，，垂足为点 ， 点是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正弦值．
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为
(1)求证：△BDF∽△DCF；
(2)求BC的长．
3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．
（1）求CD的长；
（2）求点C到ED的距离．
4．已知中，，，，，点是的重心，延长线交于点．
（1）求的长；
（2）求证：．
5．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求平行四边形的面积．
6．如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD．
（1）求证：；
（2）若，S△AOD＝4，求S△BOC的值．
7．如图，在和中，，，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
8．在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)如图①中，在AB上找点C，使得AC：BC＝2：3；
(2)在图②中作∠DAB，使得tan∠DAB＝．（保留作图痕迹）
9．如图，在中，，于点，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当，，求的长
10．如图，已知点D、E分别在△ABC中的边BA、CA的延长线上，且DEBC．
(1)如果AD＝3，BD＝9，DE＝4，求BC的长；
(2)如果，AD＝4，sinB，过点D作BF⊥BC，垂足为点F，求DF的长．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
(1)求a，b的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．
12．如图，Rt△ABC中，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE．使，连接CE．则：
(1)求证：；
(2)若，求证：．
13．如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长．
14．如图1，中，点D在线段延长线上，点E在线段延长线上，且，交直线于点P，交直线于点F，．
(1)当时，求线段的长．
(2)若将“点D在线段延长线上，点E在线段延长线上”改为“点D在线段上，点E在线段延长线上”，其他条件不变（如图2）．图2中是否存在与相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由．
15．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且．
(1)求证：；
(2)如果，，求FC的长．
16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
17．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
18．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．
(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
19．已知点E在△ABC内，，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．
(1)当时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：；
(2)当时（如图2），②的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出的比值．
20．如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
(1)当点D是边AC中点时，求的值；
(2)求证：；
(3)当时，求．
21．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
22．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．
(1)当x＝3时，求tan∠BCE的值；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．
25．如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．
(1)求证：；
(2)联结，如果，求的正切值；
(3)联结，如果，求的值．
26．如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，连接BG，CG．
（1）求证:；
（2）如果，设．
①如图2，当∠ABG=90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
特训03 锐角三角比在相似三角形中的应用
一、解答题
1．如图，已知在中，，垂足为点 ， 点是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求出，在中由勾股定理可求出的长；
（2）过点作于点F，证明，根据相似三角形的性质求出EF，DF的长，根据勾股定理求出AE的长，再根据正弦的定义求解即可．
（1）
∵
∴和均为直角三角形，
∵
∴
∵
∴
∵
由勾股定理得，
（2）
过点作于点F，如图，
∵，
∴//
∴
∴
∵点是边的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在中，∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为
(1)求证：△BDF∽△DCF；
(2)求BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD~∆FDC，即可；
(2)设DE=x，则AC=2x， DF=x+5，由(1)可知△BDF-△DCF，根据相似三角形对应边的比相等及正切函数的定义得到=tan∠B=，则BF=2 (x+5) ，CF= (x+5)，BC=BF-CF= (x+5)，然后在直角△ABC中，根据tan∠B=，得到方程 (x+5) =2×2x，解方程即可求解．
（1）
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°
∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
∴∠B＝∠FDC，
又∵∠F＝∠F，
∴△BDF∽△DCF；
（2）
解：设DE＝x，则AC＝2DE＝2x，DF＝DE+EF＝x+5．
∵△BDF∽△DCF，
∴＝＝＝tan∠B＝，
∴BF＝2DF＝2（x+5），CF＝DF＝（x+5），
∴BC＝BF﹣CF＝（x+5），
在直角△ABC中，∵tan∠B＝＝，
∴BC＝2AC，即（x+5）＝2×2x，
解得x＝3
∴BC＝（3+5）＝12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，难度适中，解题的关键是由相似三角形的性质得到比例式．
3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．
（1）求CD的长；
（2）求点C到ED的距离．
【答案】（1）CD=5；（2）
【分析】（1）过A点作AF⊥BC于点F，通过等腰三角形三线合一求出BF的长度，进而求出的值，再通过垂直平分线求出BE的长度，在Rt△DEB中利用即可求出BD的长度，进而CD的长度可求；
（2）过C点作CH⊥ED于点H，通过平行线的判定得出CH∥AB，则有，进而可求出CH的长度，则点C到ED的距离可求．
【解析】解：（1）过A点作AF⊥BC于点F．
∵AB=AC=6，BC=4，AF⊥BC，
∴BF=FC=2，∠BFA=90°．
∴在Rt△ABF中，．
∵DE垂直平分AB，AB=6，
∴AE=BE=3，∠DEB=90°．
在Rt△DEB中，，
∴BD=9，
∴CD=BD-BC=5．
（2）过C点作CH⊥ED于点H．
∵CH⊥ED，AB⊥ED，
∴∠DEB=∠DHC=90°，
∴CH∥AB，
∴．
∵BE=3，BD=9，CD=5，
∴，
∴点C到ED的距离CH为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，锐角三角函数，平行线的判定和平行线分线段成比例，掌握等腰三角形的性质，锐角三角函数，平行线的判定和平行线分线段成比例是解题的关键．
4．已知中，，，，，点是的重心，延长线交于点．
（1）求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）在Rt△ABD中利用正切的定义得到AD＝2BD，然后利用勾股定理计算出BD＝1，则AD＝2，然后利用等腰直角三角形的性质得到CD＝AD＝2，从而得到BC的长；
（2）利用三角形重心的性质得到AG＝2GE，BE＝CE＝BC＝，则计算出DE的长，则，于是可判断△EDG∽△EBA，所以∠EDG＝∠B，然后根据平行线的判定得到结论．
【解析】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝2，
∴AD＝2BD，
∵BD2＋AD2＝AB2，
∴BD2＋4BD2＝（）2，解得BD＝1，
∴AD＝2，
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝2，
∴BC＝BD＋CD＝1＋2＝3；
（2）解：∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GE，BE＝CE＝BC＝，
∴DE＝BE−BD＝−1＝，
∵，，
∴，
而∠DEG＝∠BEA，
∴△EDG∽△EBA，
∴∠EDG＝∠B，
∴DG∥AB．
【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了解直角三角形和平行线的判定．
5．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求平行四边形的面积．
【答案】(1)证明过程见详解；
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，且AB=CD，根据两直线平行，内错角相等，可得，再根据，可得AE∥CF，根据AAS得△ABE≌△CDF，得出AE=CF，即可得出四边形是平行四边形；
（2）根据锐角三角函数及勾股定理求出AE、BE，再根据，∠AEF=∠CFB=90°，得出△AEF∽△BFD，根据相似三角形对应边成比例求出EF，即可求出BD，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，即可得出平行四边形ABCD的面积．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，，
∴；
∵，
∴
∴，
在△ABE和△CDF中：
∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）
解：∵在Rt△ABE中，，
∴，
设AE=3x，则BE=4x，
∴，即：，
解得（-1舍去），
∴AE=3x=3，BE=4x=4，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴CF=AE=3，
∵，∠AEF=∠CFB=90°，
∴△AEF∽△BFC
∴，即，
解得：，或（舍去），
∴，
∴平行四边形的面积：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
6．如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD．
（1）求证：；
（2）若，S△AOD＝4，求S△BOC的值．
【答案】（1）见解析； （2）9．
【分析】（1）可证明，可得到，从而，即可求证；
（2）利用，可得，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【解析】（1）证明： AB⊥AC，CD⊥BD，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：在 中，，
，
，
，
S△AOD＝4，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，解题的关键是要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．
7．如图，在和中，，，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先证∽，得出，再证∽即可；
（2）证明∽，根据相似列出比例式即可求解．
【解析】（1）∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴∽．
（2）∵∽，
∴，即，
在中，，
∴
∴，
∵∽．
∴，
∵
∴∽，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理进行推理证明．
8．在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)如图①中，在AB上找点C，使得AC：BC＝2：3；
(2)在图②中作∠DAB，使得tan∠DAB＝．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求作；
（2）利用网格的特点，勾股定理构造直角三角形，根据正切的定义即可求解．
（1）
如图，点C即为所求作．
理由，,，
，
，
（2）
如图，∠DAB即为所求作．
理由，，
，，
,
是直角三角形，且，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形与网格问题，正切的定义，掌握以上知识是解题的关键．
9．如图，在中，，于点，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当，，求的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据∠AEC=90°+∠ABC，∠ACD=90°+∠ACB， 得证∠AEC=∠ACD即可．
(2) 先根据tan∠B=tan∠D=，设AE=x，则AB=AC=2x，结合△AEC∽△ACD，确定AD=4x，得ED=3x，利用勾股定理计算ED=，建立等式计算出x即可．
（1）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠AEC=90°+∠ABC，∠ACD=90°+∠ACB，
∴∠AEC=∠ACD，
∵∠EAC=∠CAD，
∴△AEC∽△ACD．
（2）
∵∠BAE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴∠ABE=∠CDE，
∴tan∠B=tan∠D=，
设AE=x，则AB=AC=2x，
∵△AEC∽△ACD，
∴，
∴AD=4x，
∴ED=AD-AE=3x，
∵CE=1，CD=2，
∴ED=，
∴3x=，
∴4x=，
即AD=．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．
10．如图，已知点D、E分别在△ABC中的边BA、CA的延长线上，且DEBC．
(1)如果AD＝3，BD＝9，DE＝4，求BC的长；
(2)如果，AD＝4，sinB，过点D作BF⊥BC，垂足为点F，求DF的长．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据DEBC可得，进而可得，代入数值进行计算即可求解；
（2）由（1）可得，求得，在中，根据sinB，即可求得的长．
(1)
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴
(2)
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，垂足为点，
∴，
在中，，
即，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，已知正弦求边长，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
(1)求a，b的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．
【答案】(1)a＝﹣，b＝﹣9，点A的坐标为（3，﹣4）
(2)见解析
(3)sin∠CDB＝
【分析】（1）将点P（﹣3，4）代入y＝ax，计算出a，将点P（﹣3，4）代入y＝计算出b，最后根据函数的对称性求出点A即可；
（2）先根据菱形的性质证明∠DCP＝∠OAE，再证明∠AEO＝∠CPD＝90°即可证得△CPD∽△AEO；
（3）先计算出AO的长度，再根据△CPD△AEO得到∠CDP＝∠AOE，计算出sin∠AOE即可得到答案．
（1）
解：将点P（﹣3，4）代入y＝ax，得：4＝﹣3a，
解得：a＝﹣，
∴正比例函数解析式为y＝﹣x；
将点P（﹣3，4）代入y＝，得：﹣12＝b﹣3，
解得：b＝﹣9，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A的坐标为（3，﹣4）．
（2）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，ABCD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD△AEO．
（3）
解：∵点A的坐标为（3，﹣4），
∴AE＝4，OE＝3，．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝．
【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的相关知识．
12．如图，Rt△ABC中，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE．使，连接CE．则：
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质可知，即得出，再结合题意，即得出，从而证明；
（2）过点E作于点H，由，即得出，，从而得出，得出．根据平行线的性质得出，从而得出．又易证，得出，即可证明．
（1）
∵，点D是边BC的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）
如图，过点E作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，DE=DE，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形以及全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
13．如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长．
【答案】(1)8；
(2)．
【分析】（1）根据，得出∠E=∠C，∠EDA=∠B，可证△DEA∽△BCA，得出，可求，根据，得出，求BC即可；
（2）根据，得出△DEA∽△BCA，得出，根据，得出，，在中，，代入数据得出，即可求出DF
（1）
解：∵，
∴∠E=∠C，∠EDA=∠B，
∴△DEA∽△BCA，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴．
（2）
解：∵，
∴△DEA∽△BCA，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为点，
∴．
在中，，
即，
∴．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数，掌握平行线性质，三角形相似判定与性质，锐角三角函数是解题关键．
14．如图1，中，点D在线段延长线上，点E在线段延长线上，且，交直线于点P，交直线于点F，．
(1)当时，求线段的长．
(2)若将“点D在线段延长线上，点E在线段延长线上”改为“点D在线段上，点E在线段延长线上”，其他条件不变（如图2）．图2中是否存在与相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)PE＝6；
(2)AC＝BF，证明见解析．
【分析】（1）解直角三角形求出∠ACB＝30°＝∠ADP，然后证明DP＝CP＝BC＝CE，再由PFAC得出△DFP∽△DAC，△BAC∽△BFE，利用相似三角形的性质求出FP和EF即可；
（2）求出∠BCD＝∠A，可证△CBD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得，由FEAC，根据平行线分线段成比例可求出，进而得到，再根据BE＝CD，即可得出AC＝BF．
（1）
解：∵，，，
∴AC，，
∴∠ACB＝30°＝∠ADP，
∴∠BCD＝60°，∠ACD＝60°−30°＝30°，
∵PEAC，
∴∠E＝∠ACB＝30°，∠CPE＝∠ACD＝30°，
∴CP＝CE，
∵BE＝CD，
∴BC＝DP，
∵∠ABC＝90°，∠D＝30°，
∴BC＝CD，
∴DP＝CD，
∴DP＝CP＝BC＝CE，
又∵PFAC，
∴△DFP∽△DAC，
∴，
∴FP＝AC＝2，
又∵FEAC，
∴△BAC∽△BFE，
∴，
∴FE＝2AC＝8，
∴PE＝FE−FP＝8−2＝6；
（2）
解：AC＝BF，
证明：∵∠ADP＝∠ACD＋∠A，∠ACB＝∠ACD＋∠BCD，∠ADP＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠A，
又∵∠CBD＝∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴，
∵FEAC，
∴，即，
∴，
∵BE＝CD，
∴AC＝BF．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识；证明三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例列式是解答本题的关键．
15．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且．
(1)求证：；
(2)如果，，求FC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证；
（2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解．
（1）
证明：∵ ，
∴△EAD∽△ECB，
∴ ，即，
∵，∠AEB=∠DEF，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∴，
∴；
（2）
解：∵， ，，
∴ ，即AC=9，
∴ ，
∵，
∴AD=3，
∵，
∴∠BAD=90°，
∴ ，
∵△EAD∽△ECB，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，，
∴EC=6， ，
∵，
∴ ，
∴EF=4，
∴FC=EC-EF=6-4=2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键．
16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，证出，得出比例式求出，即可得出结果；
（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．
（1）
解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2，，
∴，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
∴，
∴；
（2）
解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=31=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．
17．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
【答案】(1)atanα+b米
(2)3.8米
【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度；
（2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得；
（1）
解：如图
由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四边形CDBE为矩形，
则BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt∆ACE中，tanα= ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：灯杆AB的高度为atanα+b米
（2）
由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴∆ABF~∆EDF，
此时
即①，
∵AB∥GC
∴∆ABH~∆GCH，
此时，
②
联立①②得
，
解得：
答：灯杆AB的高度为3.8米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．
18．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．
(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠CAD=∠BDC=45°，∠OBP+∠OPB=90°，再由，可得∠OBP=∠OPE，即可求证；
（2）设OE=a，根据∠QED等于60°，可得∠BEP=60°，然后利用锐角三角函数，可得BD=2OB=6a， ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求解．
（1）
证明：在正方形ABCD中，
∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴∠OBP+∠OPB=90°，
∵，
∴∠BPQ=90°，
∴∠OPE+∠OPB=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
∴；
（2）
解：设OE=a，
在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD，
∵∠QED等于60°，
∴∠BEP=60°，
在 中，
，，
∵，∠BEP=60°，
∴∠PBE=30°，
∴， ，
∴OA=OB=BE-OE=3a，
∴BD=2OB=6a，
∴ ，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
19．已知点E在△ABC内，，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．
(1)当时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：；
(2)当时（如图2），②的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出的比值．
【答案】(1)①△ABC是等边三角形，理由见解析；②△EBD也是等边三角形，理由见解析
(2)结论不成立，理由见解析
【分析】（1）①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．
（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x，在Rt△EBD中DE=2x，BE=，最后由相似比即得到比值．
（1）
解：（1）①判断：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形．
②△EBD也是等边三角形，理由如下：
如图1，连接DC，
则AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝60°－∠EBC＝∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB＝150°，
∴∠EDC＝150°－∠BDE＝90°，
∴在Rt△EDC中，．
（2）
解：如图2：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴，即
又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°，∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2
∴，即．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，证得△ABE∽△CBD是解答本题的关键．
20．如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
(1)当点D是边AC中点时，求的值；
(2)求证：；
(3)当时，求．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)5：3
【分析】（1）过D作DH⊥AB于H，设，，由勾股定理得，由中点定义和三角形的等面积法求得DH，再根据勾股定理求得AH、BH，由求解即可；
（2）根据相似三角形的判定证明△DEB∽△ADB、△DFB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（3）设，，则DF=4k，根据余切定义和勾股定理可求得EB、BF、BD，再根据相似三角形的性质求得AB即可求解．
(1)
解：过D作DH⊥AB于H，
在中，，，
设，，
∴，
∵D为AC的中点，
∴AD= AC= ，
∴，
∴，
在Rt△AHD中，，
∴BH=AB－AH= －= ，
在Rt△BHD中，；
(2)
证明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，
∴△DEB∽△ADB，
∴，
∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，
∴△DFB∽△ACB，
∴，
∴即；
(3)
解：由可设，，则DF=4k，
∵，
∴ct∠BDE=ct∠A=，
∴，
∴，又∠F=90°，
∴，
，
∵△DEB∽△ADB，
∴即，
∴AB=8k，
∴AE=AB－EB=5k，
∴AE：EB=5k：3k=5：3．
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
21．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
【答案】(1)
(2)1或
(3)
【分析】（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据＝tan∠B＝，即可求得答案；
（2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，，根据△CDE∽CBD，得出，建立方程求解即可．
(1)
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在△DCE和△DBE中，
，
∴△DCE≌△DBE（ASA），
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝4，
∴CE＝BE＝2，
∵，
∴，
∴DE＝；
(2)
∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴，
∴tan∠CDE＝tan45°＝1；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∴，
综上所述，∠CDE的正切值为1或；
(3)
如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，
∴BD＝2DF，
∴DG＝BG，
∵EG⊥BD，
∴DE＝BE，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，
∴，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽CBD，
∴，即，
解得：CD＝3，，
∴，
故这时AD的长为．
【点睛】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
22．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
【答案】(1)见详解
(2)①CE=1；②∠BAC的正弦值为或．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB=∠CBE，则有∠BAE=∠BDA，然后可证△ABE∽△DBA，进而问题可求证；
（2）①过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；②由题意易知当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，然后分类讨论当四边形ABCD是平行四边形时和当四边形ABCD是等腰梯形时，进而问题可求解．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBE，
∵，
∴∠BAE=∠BDA，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴；
(2)
解：①过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵AD∥BC，
∴当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
当四边形ABCD是平行四边形时，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，如图所示：
∴EN∥AM，，，
∴，
∴，
∵在Rt△ABM中，，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴（负根舍去），
∴，
∴；
当四边形ABCD是等腰梯形时，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EQ⊥BC于点Q，如图所示：
∴，
在△BAD和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
过点D作DP∥AB交AC于点P，则∠DPA=∠BAC，
∴，
∴，
∵DP∥AB，
∴，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴BC=AB=4，
∴，
由以上可知：，
∴，
∵AH⊥BC，EQ⊥BC，
∴AH∥EQ，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BEQ中，由勾股定理得：，
∴；
综上所述：∠BAC的正弦值为或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．
(1)当x＝3时，求tan∠BCE的值；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．
【答案】(1)
(2)y=4(4−x)9（0＜x＜4）．
(3)．
【分析】（1）运用直角关系证明∠BCE=∠DAC即可；
（2）作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N．利用面积法解决问题即可；
（3）作DH⊥AB于H．设BH=x，想办法求出tan∠BAD的值，再利用相似三角形的性质证明∠CBG=∠BAD即可解决问题．
(1)
∵BC=4，BD=3，
∴CD=1，
∵AD⊥CE，
∴∠AFC=∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠DCF=90°，∠ACF+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∴．
(2)
作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N．则四边形EMCN是矩形．
∵，
∵EM=CN，，
∴
∴y=4(4−x)9（0＜x＜4）．
(3)
作DH⊥AB于H．设BH=p．
∵BC=4，BD=3，
∴CD=1，
在Rt△ACD中，，
在Rt△ABC中，，
∵DH2=AD2-AH2=BD2-BH2，
∴10-（5-p）2=32-p2，
∴p=，
∴DH==，AH==，
∴，
当△MNF∽△ABC，
∴∠MNF=∠ABC，
∵∠MNF=∠ABN+∠BAD，∠ABD=∠ABN+∠CBG，
∴∠CBG=∠BAD，
∴tan∠CBG=tan∠BAD==，
∴CG=，
∴AG=AC-CG=．
【点睛】本题考查相似形综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，学会用转化的思想思考问题．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．
（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．
（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．
（1）
如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠BEF，
∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，
∴△ADE≌△BFE（ASA），
∴AD＝BF，
∴AD＝5+CF＝5+CD，
∵AC＝CD+AD＝12，
∴CD+5+CD＝12，
∴CD＝，
∴正方形CDEF的面积为．
（2）
如图2中，
∵∠ABG＝∠EBH，
∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，
∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，
∴△CBG∽△CAB，
∴＝CG•CA，
∴CG＝，
∴BG＝==，
∴AG＝AC﹣CG＝，
过点A作AM⊥BE于M，
∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，
∴∠GAM＝∠CBG，
∴cs∠GAM＝cs∠CBG＝，
∴AM＝，
∵AB＝=13，
∴sin∠ABM＝．
（3）
如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．
∵AE＝AG＝AN，
∴∠GEN＝90°，
由（1）可知，△NDE≌△BFR，
∴ND＝BF，
设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，
∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，
在Rt△ADE中，
∵，
∴，
∴x＝或（舍弃），
∴CD＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的全等，三角形相似的性质和判定，一元二次方程的解法，三角函数的正弦值，熟练掌握勾股定理，准确解一元二次方程，正弦值是解题的关键．
25．如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．
(1)求证：；
(2)联结，如果，求的正切值；
(3)联结，如果，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)30
【分析】（1）作CG⊥CE，交FD延长线于G点，可根据题意得出四边形FECG为矩形，再结合矩形和正方形的性质推出△BCE≌△DCG，从而得到CE=CG，即四边形FECG为正方形，即可证得结论；
（2）在（1）的基础之上，连接CF，首先通过旋转的性质和三角形的内角定理推出△CEF和△DFP均为等腰直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质推出PF和EF之间的关系，从而表示出BE的长度，即可求出∠BCE的正切值，再根据余角的关系证明∠ABP=∠BCE，即可得出结论；
（3）根据正方形的性质以及前面两个问题的求解过程推断出A、C、D、F四点共圆，即可得到在变化过程中，∠AFC始终为90°，从而在Rt△ACF中运用特殊角的三角函数值求解角度即可得出结论．
（1）
：如图所示，作CG⊥CE，交FD延长线于G点，
∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，
∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，
∴四边形FECG为矩形，∠G=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，BC=DC，
∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，
∴∠BCE+∠ECD =∠ECD+∠DCG，
即：∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG(AAS)，
∴CE=CG，
∴四边形FECG为正方形，
∴CE=EF；
（2）
解：如图所示，连接CF，
由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，则△CEF为等腰直角三角形，
由旋转的性质得：∠PAD=n°，AP=AD，
∴∠PAB=90°+n°，∠APD=（180°-∠PAD）=90°-n°，
∵AP=AB，
∴∠APB=（180°-∠PAB）=45°-n°，
∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFP=90°，
∴△DFP也为等腰直角三角形，PF=DF，
∴△DFP∽△CEF，
∵，
∴，
设PF= DF=x，则FE=CE=3x，
由（1）知四边形CEFG为正方形，
∴FG=FE=3x，
∴DG=FG-DF=2x，
∵△BCE≌△DCG，
∴BE=DG=2x，
∴在Rt△BEC中，，
∵∠ABP+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ABP=∠BCE，
∴；
（3）
解：∵，
∴如图所示，连接AF和对角线AC，
由（2）可知，∠EFC=45°，∠EFD=90°，
∴∠CFD=45°，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD=45°，AC=AB，
∴∠CAD=∠CFD，
∴点A、C、D、F四点共圆，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∵AF=AB，
∴AF=AC，
则在Rt△AFC中，，
∵∠ACF为锐角，
∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，
∵∠CAD=45°，
∴∠FAD=60°-45°=15°，
∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，
∴△AFP≌△AFD，
∴∠FAD=∠FAP=15°，
∴∠PAD=30°，
∴n=30．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直角三角形等，掌握图形的基本性质和判定方法，具有较强的综合分析能力是解题关键．
26．如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，连接BG，CG．
（1）求证:；
（2）如果，设．
①如图2，当∠ABG=90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
【答案】（1）见详解；（2）①；②m的值为或
【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，然后问题可求证；
（2）①由（1）及题意易得，则有△ABC是等腰三角形，然后可得BD=CD=5，进而根据三角函数可得，则，最后根据三角形面积公式可求解；②由题意可分当BG∥CE时和当CG∥BE时，然后分类求解即可．
【解析】（1）证明：∵锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DG=FD，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）①∵，
∴，
∵∠ABG=∠BDG=90°，
∴，
∴，
∴△ABC是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴在Rt△BDG中，，
∴，
∴；
②由①可知，
∵四边形BGCE是梯形，且当BG∥CE时，
∴，
∵∠BDG=90°，
∴，
∴△BDG和△ADC都为等腰直角三角形，
设BD=x，则CD=AD=10-x，
在Rt△ADB中，，且AB=8，
即，解得：，
∵△ABC是锐角三角形，
∴，
∴；
当CG∥BE时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴；
综上所示：m的值为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
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