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沪教版七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训01期中选填压轴题(第9章)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训01期中选填压轴题(第9章)(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．算式值的个位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
2．按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
3．观察下面三行数：
－2、4、－8、16、－32、64、……①
0、6、－6、18、－30、66、……②
－1、2、－4、8、－16、32、……③
设x、y、z分别为第①②③行的第10个数，则2x－y－2z的值为（ ）
A．B．0C．－2D．2
4．已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4B．5C．8D．10
5．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22B．﹣1C．7D．11
6．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．6B．2C．3D．4
7．将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（纸片之间不重叠），那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（ ）（填编号）的边长有关．
A．①B．②C．③D．④
8．有两桶水,甲桶装有升水,乙桶中的水比甲桶中的水多3升.现将甲桶中倒一半到乙桶中,然后再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶,假定桶足够大,水不会溢出.我们将上述两个步骤称为一次操作,进行重复操作,则( )
A．每操作一次,甲桶中的水量都会减小,最后甲桶中的水会全部倒入乙桶
B．每操作一次,甲桶中的水量都会减小,但永远倒不完
C．每操作一次,甲桶中的水量都会增加,反复操作,最后甲桶中的水会比乙桶多
D．每操作一次,甲桶中的水量都会增加,但永远比乙桶中的水量要少
9．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③B．②④C．①③④D．①④
11．若……，则A的值是
A．0B．1C．D．
12．设，且，则（ ）
A．673B．C．D．674
13．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5．5
14．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56B．60C．62D．88
15．为了求 的值，可令，则，因此，所以.
请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
16．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
（a＋b）0＝1
（a＋b）1＝a＋b
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
…
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048B．1024C．512D．256
二、填空题
17．若，则的值为_________________．
18．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）．
19．已知，则的值为______；的值为______．
20．用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第5个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不用写出自变量n的取值范围）．
21．已知是一个给定的正整数，记，若，则的值为__________．
22．观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和_________．
23．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．
24．已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.
①；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
25．已知整数满足且，则的值为_____．
26．（1），________；________．
（2）猜想：________（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计：________．
27．已知，求________．
28．若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．
29．实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：
方式1：将B放在A的内部，得甲图；
方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．
问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．
30．如果，那么______.
31．已知，，，则代数式的值为______．
32．正数满足，那么______．
33．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是______．
34．代数与几何的联手！
（1） (a+b)2与(a－b)2有怎样的联系，能否用一个等式来表示两者之间的关系?并尝试用图形来验证你的结论
（2） 若 x 满足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，则（40﹣x）2 +（x﹣30）2的值为_____．
（3） 若 x 满足（x﹣3）（x﹣1）＝，则（x﹣3）2 +（x﹣1）2的值为 _____．
（4） 如图，正方形 ABCD 的边长为 x，AE＝14，CG＝30，长方形 EFGD 的面积是 200，四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形，四边形 PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积 ．（结果必须是一个具体的数值）
35．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s，t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：、例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个整数的平方，则F(n)＝1．其中正确说法的有_____．
36．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______．
特训01 期中选填压轴题（第9章）
一、单选题
1．算式值的个位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】观察可知，这些加数的规律是后一个数是前一个数的2倍，所以可以乘2后相减抵消大部分的加数，于是可求出和，然后利用2的乘方的个位数字特征求解即可．
【解析】解：设m=，则
2m=，
∴2m-m=-
∴m=-=-1
∵21=2，22=4，23=8，24=16，
25=32，26=64，27=128，28=256
…，
根据上述算式发现规律：
每四个数字为一组，个位数字分别为2、4、8、6循环，
∵2022÷4=505…2，
∴22022的个位数字是4．
∴-1的个位数字是3．
故选：B．
【点睛】此题考查了了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律并求和．乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．
2．按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解．
【解析】解：∵2=，
∴按一定规律排列的代数式为：，，，，，…，
∴第n个单项式是(-1)n-1，
故选：B．
【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．
3．观察下面三行数：
－2、4、－8、16、－32、64、……①
0、6、－6、18、－30、66、……②
－1、2、－4、8、－16、32、……③
设x、y、z分别为第①②③行的第10个数，则2x－y－2z的值为（ ）
A．B．0C．－2D．2
【答案】C
【分析】第①行的数是以2为底数，指数从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；
第②行的数比第①行对应数大2；
第③行的数是第①行对应数除以2所得，奇数位置为负，偶数位置为正；
根据以上规律得出x、y、z的值，再代入代数式求值即可.
【解析】第①行的数是以2为底数，指数从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第10个数为210，；
第②行的数比第①行对应数大2，第10个数为210+2，；
第③行的数是第①行对应数除以2所得，奇数位置为负，偶数位置为正，第10个数为210÷2，；
故选C
【点睛】本题考查数字规律，难度较大，分析数列，找出规律是解题关键.
4．已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．
【解析】，
，
，
根据为整数，有以下10种情况：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；
（5）当时，；
（6）当时，；
（7）当时，；
（8）当时，；
（9）当时，；
（10）当时，；
综上，符合条件的m的值为，共有5个，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
5．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22B．﹣1C．7D．11
【答案】B
【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．
【解析】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键．
6．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．6B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据大正方形的边长，可求出大正方形的面积为，根据完全平方公式，分解为3部分，刚好就是A、B、C这3类图形面积部分.其中，分解的ab部分的系数即为B类卡片的张数．
【解析】大正方形的面积为：
其中为A类卡片的面积，∴需要A类卡片一张；
同理，需要B类卡片4张，C类卡片4张．
故选D．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，遇到这类题目，需要想办法先将题干转化为我们学习过的数学知识，然后再求解．
7．将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（纸片之间不重叠），那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（ ）（填编号）的边长有关．
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】设①的边长为a,②的边长是m．矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，据此可以求出阴影部分⑤、⑥的周长，即可求解．
【解析】设①的边长为a，②的边长是m．
∵图形①、②、③、④是正方形，
∴矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，
∴阴影部分⑤的周长是2a，阴影部分⑥的周长是2(a+m)，
∴阴影部分⑥﹣阴影部分⑤＝2(a+m)﹣2a＝2m．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据图形列代数式的知识，根据图形的特点得出，矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，是解答本题的关键．
8．有两桶水,甲桶装有升水,乙桶中的水比甲桶中的水多3升.现将甲桶中倒一半到乙桶中,然后再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶,假定桶足够大,水不会溢出.我们将上述两个步骤称为一次操作,进行重复操作,则( )
A．每操作一次,甲桶中的水量都会减小,最后甲桶中的水会全部倒入乙桶
B．每操作一次,甲桶中的水量都会减小,但永远倒不完
C．每操作一次,甲桶中的水量都会增加,反复操作,最后甲桶中的水会比乙桶多
D．每操作一次,甲桶中的水量都会增加,但永远比乙桶中的水量要少
【答案】D
【分析】由题意可知甲桶装有a升水，乙桶装有a+3升水，然后根据题意的操作进行计算，发现规律即可.
【解析】解：由题意可知甲桶装有a升水，乙桶装有a+3升水，
进行1次操作后：甲桶装有a+1升水，乙桶装有a+2升水；
进行2次操作后：甲桶装有a+升水，乙桶装有a+升水；
进行3次操作后：甲桶装有a+升水，乙桶装有a+升水；
······
综上可以发现，每操作一次，甲桶中的水量都会增加，但永远比乙桶中的水量要少.
故选D.
【点睛】本题考查整式的应用，解此题的关键在于准确按照题意进行操作，然后发现规律.
9．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果．
【解析】解：∵，
，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积的方法，以及整式的运算法则．
10．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③B．②④C．①③④D．①④
【答案】A
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法④错误．
【解析】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；
④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，
当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
11．若……，则A的值是
A．0B．1C．D．
【答案】D
【分析】把变成然后利用平方差公式计算即可
【解析】……
……
……
故选D
【点睛】能够灵活运用平方差公式解题是本题关键
12．设，且，则（ ）
A．673B．C．D．674
【答案】B
【分析】令，可将x、z的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
【解析】设
则
将x，y，z的值代入可得：
解得：
故选：B.
【点睛】本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，令求出x，y，z之间的等式关系是解题关键.
13．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5．5
【答案】B
【分析】设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、 ,再根据题意列式求得、，然后根据a+b=计算即可．
【解析】解：设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、
由图甲可得：
由图乙可得：，即：
a+b=．
故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在图形面积中的应用，根据图形列出等量关系是解答本题的关键．
14．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56B．60C．62D．88
【答案】B
【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．
【解析】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），
∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；
C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；
D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．
15．为了求 的值，可令，则，因此，所以.
请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】仔细阅读题目中示例，找出其中规律，利用错位相减法求解．
【解析】解：令
∴
∴
∴
∴
故选D
【点睛】本题主要考查学生的分析、总结、归纳能力，规律题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结一般性的规律.
16．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
（a＋b）0＝1
（a＋b）1＝a＋b
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
…
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048B．1024C．512D．256
【答案】B
【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出展开式的项系数和为，求出系数知和即可
【解析】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，
当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，
当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，
当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23
……
由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n，
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024，
故选：B．
【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关键．
二、填空题
17．若，则的值为_________________．
【答案】
【分析】首先对进行变形，转化为，然后代入后面的整式中，进行化简即可求解．
【解析】
①．
①等式两边同乘得，代回原式．
．
故答案为．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，整体代入是解决本题的关键，本题也可以先对后面的整式进行化简变形，然后代入即可．
18．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】根据幂的乘方，底数大于1时，根据指数越大幂越大，可得答案．
【解析】解： ，
∵64<81，
∴，
即 ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，利用幂的乘方化成同指数的幂是解题关键．
19．已知，则的值为______；的值为______．
【答案】 2 6
【分析】由可得,，再对进行变形即可求解；由可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可．
【解析】解:∵，
∴，，
∴
=2；
∵
∴，即
∴
∴，解得：．
故答案为：2，6．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、完全平方公式的应用等知识点，灵活运用相关知识对代数式进行变形成为解答本题的关键．
20．用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第5个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不用写出自变量n的取值范围）．
【答案】 64
【分析】第1个图形中黑色棋子的个数为：，第2个图形中黑色棋子的个数为：，第3个图形中黑色棋子的个数为：，由此得到规律进行求解即可．
【解析】解：第1个图形中黑色棋子的个数为：，
第2个图形中黑色棋子的个数为：，
第3个图形中黑色棋子的个数为：，
∴第5个图形中黑色棋子的个数为：；
∴第n个图形中黑色棋子的个数为：，
故答案为：64；．
【点睛】本题主要考查了与图形有关的规律题，正确理解题意找到对应的规律是解题的关键．
21．已知是一个给定的正整数，记，若，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据 的意义，用含 和绝对值的式子表示出方程，根据是正整数，可以依次试验，确定 的值．
【解析】，
，
若 ，
则 ，
不成立；
若 ，
则 ，
不成立；
若 ，
则 ，
不成立；
以此类推，
若 ，
等式，
恰好成立．
．
【点睛】本题考查了绝对值和新定义运算，明白新定义并运用新定义是解本题的关键．
22．观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和_________．
【答案】
【分析】观察发现规律，并利用规律完成问题．
【解析】观察、发现
∴
=
=
=（把代入）
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查乘方运算，其关键是要归纳出规律并运用之．
23．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．
【答案】
【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．
【解析】解：；
；
；
，
，
，
，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
24．已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.
①；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
【答案】④
【分析】根据新定义进行推理论证便可判断正误．
【解析】解：①，
，
故①正确；
②，，
，、为整数），
由两式相加可得：，为整数），
，
故②正确；
③，，
，、为整数），
，，
由两式相乘可得：，
，为整数，
，
故③正确；
④，，
，，
，，
两式相除得，，
，
不一定是整数，
不一定正确，
故④错误．
答案为④．
【点睛】本题是一个新定义题，关键是根据新定义进行推理计算，主要考查了学生的推理能力和自学能力．
25．已知整数满足且，则的值为_____．
【答案】2
【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解．
【解析】∵，3不是10000的公约数，
∴
则b=0
∴
∵整数满足
∴符合题意
∴a=-2，b=0，c=3，d=4
∴=-8+0+6+4=2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．
26．（1），________；________．
（2）猜想：________（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计：________．
【答案】
【分析】（1）直接利用多项乘以多项式的运算法则，即可求出答案；
（2）利用（1）中的关系，找出规律，即可得到答案.
（3）利用（2）的结论，然后进行化简计算，即可得到答案.
【解析】解：（1）
=
=；
=
=；
故答案为：，；
（2）∵，
，
，
∴；
故答案为：；
（3）由（2）可知，
∵，
∴，
∴
∴
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了整式的数字变化规律，乘方的运算法则，以及平方差公式的知识，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简，从而正确的得到式子的规律.
27．已知，求________．
【答案】
【分析】设，则；根据题意，得；再将代入到代数式中计算，即可得到答案．
【解析】∵
∴
设，则
∴，即
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式运算和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、完全平方公式的性质，从而完成求解．
28．若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．
【答案】4
【分析】将乘以（2－1），然后用平方差公式计算，再用列举法找出的个位数的规律，推出A的个位数，再代入式子计算即可．
【解析】（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝(216-1)(216＋1)＋1
=232-1+1
＝232；
∵，，，，
，，，；
∴尾数是2，4，8，6，……四个一循环，
∵32÷4=8，
∴232的末位数字是6，
即A的末位数字是6，则A－2022的末位数字是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方差公式、数字规律等知识点，根据题意凑出平方差公式以及发现尾数是2，4，8，6，……四个一循环是解答本题的关键．
29．实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：
方式1：将B放在A的内部，得甲图；
方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．
问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．
【答案】13
【分析】设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为，可解得，图乙中阴影部分的面积为 ，可得,可得a+b＝5，进而求得a与b的值即可求解.
【解析】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），
得图甲中阴影部分的面积为
解得或（舍去），
图乙中阴影部分的面积为，
可得，
解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），
联立得 ，解得 ，
∴，
∴正方形A，B的面积之和为13.
故答案为：13．
【点睛】此题考查了灵活利用乘法公式求图形面积问题的能力，关键是能根据图形列出对应的算式．
30．如果，那么______.
【答案】18
【分析】运用因式分解将x4+7x3+8x2-13x+15转化为x2（x2+2x）+5X3+8x2-13x+15，将x2+2x做为整体代入上式，这样就降低了x的次数，并进一步转化为5x（x2+2x）+x2-13x+15，再将x2+2x做为整体代入5x（x2+2x）+x2-13x+15式，此时原式转化为x2+2x+15，又出现x2+2x，再代入求解即可．
【解析】解：∵x2+2x=3
∴x4+7x3+8x2-13x+15=x2（x2+2x）+5x3+8x2-13x+15
=x2×3+5x3+8x2-13x+15
=5x3+11x2-13x+15
=5x（x2+2x）+x2-13x+15
=15x+x2-13x+15
=x2+2x+15
=3+15
=18
故答案为18.
.
【点睛】本题考查因式分解．本题解决的关键是将x2+2x整体逐级代入x4+7x3+8x2-13x+15变化后的式子，降低了x的次数，使问题最终得以解决．
31．已知，，，则代数式的值为______．
【答案】3
【分析】把已知的式子化成的形式，然后代入求解．
【解析】解：，，，
，，，
则原式
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．
32．正数满足，那么______．
【答案】64
【分析】将式子因式分解为(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再=12可化为a2+4a-12=0，求出a的值，再求得值即可．
【解析】解：∵，
∴ab-bc+2(a-c)=0,
即(a-c)(b+2)=0,
∵b﹥0,
∴b+2≠0,
∴a-c=0,
∴a=c,
同理可得a=b,b=c,
∴a=b=c,
∴=12可化为a2+4a-12=0
∴(a+6)(a-2)=0,
∵a为正数，
∴a+6≠0,
∴a-2=0,
∴a=2,
即a=b=c=2,
∴(2+2) ×(2+2) ×(2+2)=64
故答案为64．
【点睛】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．
33．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是______．
【答案】-99
【分析】观察已知可得，列出算术可得的值，即可得到答案．
【解析】解：由知，
，
，
即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是理解求和符号“”的意义，求出，的值．
34．代数与几何的联手！
（1） (a+b)2与(a－b)2有怎样的联系，能否用一个等式来表示两者之间的关系?并尝试用图形来验证你的结论
（2） 若 x 满足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，则（40﹣x）2 +（x﹣30）2的值为_____．
（3） 若 x 满足（x﹣3）（x﹣1）＝，则（x﹣3）2 +（x﹣1）2的值为 _____．
（4） 如图，正方形 ABCD 的边长为 x，AE＝14，CG＝30，长方形 EFGD 的面积是 200，四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形，四边形 PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积 ．（结果必须是一个具体的数值）
【答案】（1），见解析；（2）140；（3）8.5；（4）1056
【分析】（1）用完全平方公式展开，找到两式子的联系即可；根据问题构建以a和b为边长的正方形面积即可；
（2）利用两数和的完全平方公式变形即可求出值；
（3）利用两数差的完全平方公式变形即可求出值；
（4）依据已知图形，用含x的代数式表示出各线段的长，阴影部分面积为正方形的面积，然后利用（1）的结论，利用两数和与差的完全平方公式消去x，即可求出阴影部分的面积．
【解析】（1）
∴
用图验证如下：
（2）∵（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20
∴（40﹣x）2 +（x﹣30）2=
故答案为：140
（3）∵（x －3）（x﹣1）＝
∴（x﹣3）2 +（x﹣1）2=
故答案为：8.5
（4）∵四边形ABCD的边长为x
∴ED=x-14，DG=x-30
∵长方形EFGD的面积为200
∴ED×DG=200
∴(x-14)(x-30)=200
∵四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形
∴FN=FG+GN=FG+GD=(x-14)+(x-30)，MF=ME+EF=ED+EF=(x-14)+(x-30)
∴
=1056
故答案为：1056
【点睛】本题主要考查了整式中乘法公式的灵活运用，数形结合，熟练掌握完全平方公式特点是解决问题的关键．
35．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s，t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：、例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个整数的平方，则F(n)＝1．其中正确说法的有_____．
【答案】2
【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．
【解析】∵2=1×2，∴F（2）=，故（1）是正确的；
∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，∴F（24）==，故（2）是错误的；
∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）=，故（3）是错误的；
∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的，∴正确的有（1），（4）．
故答案为2．
【点睛】本题考查了题目信息获取能力，解决本题的关键是理解答此题的定义：所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F（n）=（p≤q）．
36．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______．
【答案】
【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案．
【解析】如图所示，对需要的交点标注字母：
，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
化简得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目考察阴影部分面积的实质是对多项式之间的化简求值，求出各部分阴影面积是题目难点．
1．算式值的个位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
2．按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
3．观察下面三行数：
－2、4、－8、16、－32、64、……①
0、6、－6、18、－30、66、……②
－1、2、－4、8、－16、32、……③
设x、y、z分别为第①②③行的第10个数，则2x－y－2z的值为（ ）
A．B．0C．－2D．2
4．已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4B．5C．8D．10
5．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22B．﹣1C．7D．11
6．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．6B．2C．3D．4
7．将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（纸片之间不重叠），那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（ ）（填编号）的边长有关．
A．①B．②C．③D．④
8．有两桶水,甲桶装有升水,乙桶中的水比甲桶中的水多3升.现将甲桶中倒一半到乙桶中,然后再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶,假定桶足够大,水不会溢出.我们将上述两个步骤称为一次操作,进行重复操作,则( )
A．每操作一次,甲桶中的水量都会减小,最后甲桶中的水会全部倒入乙桶
B．每操作一次,甲桶中的水量都会减小,但永远倒不完
C．每操作一次,甲桶中的水量都会增加,反复操作,最后甲桶中的水会比乙桶多
D．每操作一次,甲桶中的水量都会增加,但永远比乙桶中的水量要少
9．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③B．②④C．①③④D．①④
11．若……，则A的值是
A．0B．1C．D．
12．设，且，则（ ）
A．673B．C．D．674
13．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5．5
14．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56B．60C．62D．88
15．为了求 的值，可令，则，因此，所以.
请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
16．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
（a＋b）0＝1
（a＋b）1＝a＋b
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
…
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048B．1024C．512D．256
二、填空题
17．若，则的值为_________________．
18．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）．
19．已知，则的值为______；的值为______．
20．用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第5个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不用写出自变量n的取值范围）．
21．已知是一个给定的正整数，记，若，则的值为__________．
22．观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和_________．
23．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．
24．已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.
①；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
25．已知整数满足且，则的值为_____．
26．（1），________；________．
（2）猜想：________（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计：________．
27．已知，求________．
28．若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．
29．实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：
方式1：将B放在A的内部，得甲图；
方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．
问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．
30．如果，那么______.
31．已知，，，则代数式的值为______．
32．正数满足，那么______．
33．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是______．
34．代数与几何的联手！
（1） (a+b)2与(a－b)2有怎样的联系，能否用一个等式来表示两者之间的关系?并尝试用图形来验证你的结论
（2） 若 x 满足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，则（40﹣x）2 +（x﹣30）2的值为_____．
（3） 若 x 满足（x﹣3）（x﹣1）＝，则（x﹣3）2 +（x﹣1）2的值为 _____．
（4） 如图，正方形 ABCD 的边长为 x，AE＝14，CG＝30，长方形 EFGD 的面积是 200，四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形，四边形 PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积 ．（结果必须是一个具体的数值）
35．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s，t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：、例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个整数的平方，则F(n)＝1．其中正确说法的有_____．
36．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______．
特训01 期中选填压轴题（第9章）
一、单选题
1．算式值的个位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】观察可知，这些加数的规律是后一个数是前一个数的2倍，所以可以乘2后相减抵消大部分的加数，于是可求出和，然后利用2的乘方的个位数字特征求解即可．
【解析】解：设m=，则
2m=，
∴2m-m=-
∴m=-=-1
∵21=2，22=4，23=8，24=16，
25=32，26=64，27=128，28=256
…，
根据上述算式发现规律：
每四个数字为一组，个位数字分别为2、4、8、6循环，
∵2022÷4=505…2，
∴22022的个位数字是4．
∴-1的个位数字是3．
故选：B．
【点睛】此题考查了了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律并求和．乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．
2．按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解．
【解析】解：∵2=，
∴按一定规律排列的代数式为：，，，，，…，
∴第n个单项式是(-1)n-1，
故选：B．
【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．
3．观察下面三行数：
－2、4、－8、16、－32、64、……①
0、6、－6、18、－30、66、……②
－1、2、－4、8、－16、32、……③
设x、y、z分别为第①②③行的第10个数，则2x－y－2z的值为（ ）
A．B．0C．－2D．2
【答案】C
【分析】第①行的数是以2为底数，指数从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；
第②行的数比第①行对应数大2；
第③行的数是第①行对应数除以2所得，奇数位置为负，偶数位置为正；
根据以上规律得出x、y、z的值，再代入代数式求值即可.
【解析】第①行的数是以2为底数，指数从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第10个数为210，；
第②行的数比第①行对应数大2，第10个数为210+2，；
第③行的数是第①行对应数除以2所得，奇数位置为负，偶数位置为正，第10个数为210÷2，；
故选C
【点睛】本题考查数字规律，难度较大，分析数列，找出规律是解题关键.
4．已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．
【解析】，
，
，
根据为整数，有以下10种情况：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；
（5）当时，；
（6）当时，；
（7）当时，；
（8）当时，；
（9）当时，；
（10）当时，；
综上，符合条件的m的值为，共有5个，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
5．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22B．﹣1C．7D．11
【答案】B
【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．
【解析】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键．
6．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．6B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据大正方形的边长，可求出大正方形的面积为，根据完全平方公式，分解为3部分，刚好就是A、B、C这3类图形面积部分.其中，分解的ab部分的系数即为B类卡片的张数．
【解析】大正方形的面积为：
其中为A类卡片的面积，∴需要A类卡片一张；
同理，需要B类卡片4张，C类卡片4张．
故选D．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，遇到这类题目，需要想办法先将题干转化为我们学习过的数学知识，然后再求解．
7．将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（纸片之间不重叠），那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（ ）（填编号）的边长有关．
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】设①的边长为a,②的边长是m．矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，据此可以求出阴影部分⑤、⑥的周长，即可求解．
【解析】设①的边长为a，②的边长是m．
∵图形①、②、③、④是正方形，
∴矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，
∴阴影部分⑤的周长是2a，阴影部分⑥的周长是2(a+m)，
∴阴影部分⑥﹣阴影部分⑤＝2(a+m)﹣2a＝2m．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据图形列代数式的知识，根据图形的特点得出，矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，是解答本题的关键．
8．有两桶水,甲桶装有升水,乙桶中的水比甲桶中的水多3升.现将甲桶中倒一半到乙桶中,然后再将此时乙桶中总水量的倒给甲桶,假定桶足够大,水不会溢出.我们将上述两个步骤称为一次操作,进行重复操作,则( )
A．每操作一次,甲桶中的水量都会减小,最后甲桶中的水会全部倒入乙桶
B．每操作一次,甲桶中的水量都会减小,但永远倒不完
C．每操作一次,甲桶中的水量都会增加,反复操作,最后甲桶中的水会比乙桶多
D．每操作一次,甲桶中的水量都会增加,但永远比乙桶中的水量要少
【答案】D
【分析】由题意可知甲桶装有a升水，乙桶装有a+3升水，然后根据题意的操作进行计算，发现规律即可.
【解析】解：由题意可知甲桶装有a升水，乙桶装有a+3升水，
进行1次操作后：甲桶装有a+1升水，乙桶装有a+2升水；
进行2次操作后：甲桶装有a+升水，乙桶装有a+升水；
进行3次操作后：甲桶装有a+升水，乙桶装有a+升水；
······
综上可以发现，每操作一次，甲桶中的水量都会增加，但永远比乙桶中的水量要少.
故选D.
【点睛】本题考查整式的应用，解此题的关键在于准确按照题意进行操作，然后发现规律.
9．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果．
【解析】解：∵，
，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积的方法，以及整式的运算法则．
10．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③B．②④C．①③④D．①④
【答案】A
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法④错误．
【解析】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；
④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，
当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
11．若……，则A的值是
A．0B．1C．D．
【答案】D
【分析】把变成然后利用平方差公式计算即可
【解析】……
……
……
故选D
【点睛】能够灵活运用平方差公式解题是本题关键
12．设，且，则（ ）
A．673B．C．D．674
【答案】B
【分析】令，可将x、z的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
【解析】设
则
将x，y，z的值代入可得：
解得：
故选：B.
【点睛】本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，令求出x，y，z之间的等式关系是解题关键.
13．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5．5
【答案】B
【分析】设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、 ,再根据题意列式求得、，然后根据a+b=计算即可．
【解析】解：设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、
由图甲可得：
由图乙可得：，即：
a+b=．
故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在图形面积中的应用，根据图形列出等量关系是解答本题的关键．
14．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56B．60C．62D．88
【答案】B
【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．
【解析】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），
∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；
C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；
D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．
15．为了求 的值，可令，则，因此，所以.
请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】仔细阅读题目中示例，找出其中规律，利用错位相减法求解．
【解析】解：令
∴
∴
∴
∴
故选D
【点睛】本题主要考查学生的分析、总结、归纳能力，规律题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结一般性的规律.
16．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
（a＋b）0＝1
（a＋b）1＝a＋b
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
…
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048B．1024C．512D．256
【答案】B
【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出展开式的项系数和为，求出系数知和即可
【解析】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，
当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，
当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，
当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23
……
由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n，
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024，
故选：B．
【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关键．
二、填空题
17．若，则的值为_________________．
【答案】
【分析】首先对进行变形，转化为，然后代入后面的整式中，进行化简即可求解．
【解析】
①．
①等式两边同乘得，代回原式．
．
故答案为．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，整体代入是解决本题的关键，本题也可以先对后面的整式进行化简变形，然后代入即可．
18．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】根据幂的乘方，底数大于1时，根据指数越大幂越大，可得答案．
【解析】解： ，
∵64<81，
∴，
即 ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，利用幂的乘方化成同指数的幂是解题关键．
19．已知，则的值为______；的值为______．
【答案】 2 6
【分析】由可得,，再对进行变形即可求解；由可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可．
【解析】解:∵，
∴，，
∴
=2；
∵
∴，即
∴
∴，解得：．
故答案为：2，6．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、完全平方公式的应用等知识点，灵活运用相关知识对代数式进行变形成为解答本题的关键．
20．用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第5个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不用写出自变量n的取值范围）．
【答案】 64
【分析】第1个图形中黑色棋子的个数为：，第2个图形中黑色棋子的个数为：，第3个图形中黑色棋子的个数为：，由此得到规律进行求解即可．
【解析】解：第1个图形中黑色棋子的个数为：，
第2个图形中黑色棋子的个数为：，
第3个图形中黑色棋子的个数为：，
∴第5个图形中黑色棋子的个数为：；
∴第n个图形中黑色棋子的个数为：，
故答案为：64；．
【点睛】本题主要考查了与图形有关的规律题，正确理解题意找到对应的规律是解题的关键．
21．已知是一个给定的正整数，记，若，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据 的意义，用含 和绝对值的式子表示出方程，根据是正整数，可以依次试验，确定 的值．
【解析】，
，
若 ，
则 ，
不成立；
若 ，
则 ，
不成立；
若 ，
则 ，
不成立；
以此类推，
若 ，
等式，
恰好成立．
．
【点睛】本题考查了绝对值和新定义运算，明白新定义并运用新定义是解本题的关键．
22．观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和_________．
【答案】
【分析】观察发现规律，并利用规律完成问题．
【解析】观察、发现
∴
=
=
=（把代入）
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查乘方运算，其关键是要归纳出规律并运用之．
23．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．
【答案】
【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．
【解析】解：；
；
；
，
，
，
，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
24．已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.
①；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
【答案】④
【分析】根据新定义进行推理论证便可判断正误．
【解析】解：①，
，
故①正确；
②，，
，、为整数），
由两式相加可得：，为整数），
，
故②正确；
③，，
，、为整数），
，，
由两式相乘可得：，
，为整数，
，
故③正确；
④，，
，，
，，
两式相除得，，
，
不一定是整数，
不一定正确，
故④错误．
答案为④．
【点睛】本题是一个新定义题，关键是根据新定义进行推理计算，主要考查了学生的推理能力和自学能力．
25．已知整数满足且，则的值为_____．
【答案】2
【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解．
【解析】∵，3不是10000的公约数，
∴
则b=0
∴
∵整数满足
∴符合题意
∴a=-2，b=0，c=3，d=4
∴=-8+0+6+4=2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．
26．（1），________；________．
（2）猜想：________（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计：________．
【答案】
【分析】（1）直接利用多项乘以多项式的运算法则，即可求出答案；
（2）利用（1）中的关系，找出规律，即可得到答案.
（3）利用（2）的结论，然后进行化简计算，即可得到答案.
【解析】解：（1）
=
=；
=
=；
故答案为：，；
（2）∵，
，
，
∴；
故答案为：；
（3）由（2）可知，
∵，
∴，
∴
∴
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了整式的数字变化规律，乘方的运算法则，以及平方差公式的知识，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简，从而正确的得到式子的规律.
27．已知，求________．
【答案】
【分析】设，则；根据题意，得；再将代入到代数式中计算，即可得到答案．
【解析】∵
∴
设，则
∴，即
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式运算和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、完全平方公式的性质，从而完成求解．
28．若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．
【答案】4
【分析】将乘以（2－1），然后用平方差公式计算，再用列举法找出的个位数的规律，推出A的个位数，再代入式子计算即可．
【解析】（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝(216-1)(216＋1)＋1
=232-1+1
＝232；
∵，，，，
，，，；
∴尾数是2，4，8，6，……四个一循环，
∵32÷4=8，
∴232的末位数字是6，
即A的末位数字是6，则A－2022的末位数字是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方差公式、数字规律等知识点，根据题意凑出平方差公式以及发现尾数是2，4，8，6，……四个一循环是解答本题的关键．
29．实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：
方式1：将B放在A的内部，得甲图；
方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．
问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．
【答案】13
【分析】设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为，可解得，图乙中阴影部分的面积为 ，可得,可得a+b＝5，进而求得a与b的值即可求解.
【解析】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），
得图甲中阴影部分的面积为
解得或（舍去），
图乙中阴影部分的面积为，
可得，
解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），
联立得 ，解得 ，
∴，
∴正方形A，B的面积之和为13.
故答案为：13．
【点睛】此题考查了灵活利用乘法公式求图形面积问题的能力，关键是能根据图形列出对应的算式．
30．如果，那么______.
【答案】18
【分析】运用因式分解将x4+7x3+8x2-13x+15转化为x2（x2+2x）+5X3+8x2-13x+15，将x2+2x做为整体代入上式，这样就降低了x的次数，并进一步转化为5x（x2+2x）+x2-13x+15，再将x2+2x做为整体代入5x（x2+2x）+x2-13x+15式，此时原式转化为x2+2x+15，又出现x2+2x，再代入求解即可．
【解析】解：∵x2+2x=3
∴x4+7x3+8x2-13x+15=x2（x2+2x）+5x3+8x2-13x+15
=x2×3+5x3+8x2-13x+15
=5x3+11x2-13x+15
=5x（x2+2x）+x2-13x+15
=15x+x2-13x+15
=x2+2x+15
=3+15
=18
故答案为18.
.
【点睛】本题考查因式分解．本题解决的关键是将x2+2x整体逐级代入x4+7x3+8x2-13x+15变化后的式子，降低了x的次数，使问题最终得以解决．
31．已知，，，则代数式的值为______．
【答案】3
【分析】把已知的式子化成的形式，然后代入求解．
【解析】解：，，，
，，，
则原式
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．
32．正数满足，那么______．
【答案】64
【分析】将式子因式分解为(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再=12可化为a2+4a-12=0，求出a的值，再求得值即可．
【解析】解：∵，
∴ab-bc+2(a-c)=0,
即(a-c)(b+2)=0,
∵b﹥0,
∴b+2≠0,
∴a-c=0,
∴a=c,
同理可得a=b,b=c,
∴a=b=c,
∴=12可化为a2+4a-12=0
∴(a+6)(a-2)=0,
∵a为正数，
∴a+6≠0,
∴a-2=0,
∴a=2,
即a=b=c=2,
∴(2+2) ×(2+2) ×(2+2)=64
故答案为64．
【点睛】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．
33．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是______．
【答案】-99
【分析】观察已知可得，列出算术可得的值，即可得到答案．
【解析】解：由知，
，
，
即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是理解求和符号“”的意义，求出，的值．
34．代数与几何的联手！
（1） (a+b)2与(a－b)2有怎样的联系，能否用一个等式来表示两者之间的关系?并尝试用图形来验证你的结论
（2） 若 x 满足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，则（40﹣x）2 +（x﹣30）2的值为_____．
（3） 若 x 满足（x﹣3）（x﹣1）＝，则（x﹣3）2 +（x﹣1）2的值为 _____．
（4） 如图，正方形 ABCD 的边长为 x，AE＝14，CG＝30，长方形 EFGD 的面积是 200，四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形，四边形 PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积 ．（结果必须是一个具体的数值）
【答案】（1），见解析；（2）140；（3）8.5；（4）1056
【分析】（1）用完全平方公式展开，找到两式子的联系即可；根据问题构建以a和b为边长的正方形面积即可；
（2）利用两数和的完全平方公式变形即可求出值；
（3）利用两数差的完全平方公式变形即可求出值；
（4）依据已知图形，用含x的代数式表示出各线段的长，阴影部分面积为正方形的面积，然后利用（1）的结论，利用两数和与差的完全平方公式消去x，即可求出阴影部分的面积．
【解析】（1）
∴
用图验证如下：
（2）∵（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20
∴（40﹣x）2 +（x﹣30）2=
故答案为：140
（3）∵（x －3）（x﹣1）＝
∴（x﹣3）2 +（x﹣1）2=
故答案为：8.5
（4）∵四边形ABCD的边长为x
∴ED=x-14，DG=x-30
∵长方形EFGD的面积为200
∴ED×DG=200
∴(x-14)(x-30)=200
∵四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形
∴FN=FG+GN=FG+GD=(x-14)+(x-30)，MF=ME+EF=ED+EF=(x-14)+(x-30)
∴
=1056
故答案为：1056
【点睛】本题主要考查了整式中乘法公式的灵活运用，数形结合，熟练掌握完全平方公式特点是解决问题的关键．
35．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s，t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：、例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个整数的平方，则F(n)＝1．其中正确说法的有_____．
【答案】2
【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．
【解析】∵2=1×2，∴F（2）=，故（1）是正确的；
∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，∴F（24）==，故（2）是错误的；
∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）=，故（3）是错误的；
∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的，∴正确的有（1），（4）．
故答案为2．
【点睛】本题考查了题目信息获取能力，解决本题的关键是理解答此题的定义：所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F（n）=（p≤q）．
36．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______．
【答案】
【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案．
【解析】如图所示，对需要的交点标注字母：
，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
化简得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目考察阴影部分面积的实质是对多项式之间的化简求值，求出各部分阴影面积是题目难点．
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