沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训06第25-26章选填题汇编(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训06第25-26章选填题汇编(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

特训第一阶——基础特训练
一、单选题
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．tanA＝D．ctA＝
2．在锐角△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么∠B的余弦值（ ）．
A．扩大2倍B．缩小2倍C．大小不变D．不能确定.
3．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在坡角为的山坡上A、B、C处栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树的坡面上的距离BC为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（ ）
A．2B．C．D．
6．如图，已知Rt是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cs∠BDC=0.6，则BC的长是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
9．如图，中，，已知，，，则的长可表示为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2B．3C．5D．6
11．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+cB．y＝+x
C．y＝x（2x﹣1）D．y＝（x+4）2﹣x2
12．若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2B．或3C．3D．
13．如果将抛物线y=-x2+4x+1平移，使它与抛物线y=x2+1重合．那么平移的方式可以是（ ）
A．向左平移2 个单位，向上平移 4 个单位
B．向左平移2 个单位，向下平移 4 个单位
C．向右平移2 个单位，向上平移 4 个单位
D．向右平移2 个单位，向下平移 4 个单位
14．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
15．对于二次函数，下列结果中正确的是（ ）．
A．抛物线有最小值是B．时随的增大而减小
C．抛物线的对称轴是直线D．图象与轴没有交点
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图像的对称轴是直线x＝1，其图像一部分如图所示，对于下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0B．a﹣b+c＜0
C．b+c＜0D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
17．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当时，y的值随x值的增大而增大
18．已知二次函数的图象如图，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
19．的________值等于．
20．要使二次根式有意义，则的取值范围为______
21．已知某小山坡的坡长为400米、山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度_________
22．如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点处观察A点的俯角为_______（用含的式子表示）
23．△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．
24．比较、、和的大小，并由小到大排列：_______________．
25．已知，则________．
26．如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD＝4，csB，则AC＝_____．
27．新定义：已知三条平行直线， 相邻两条平行线间的距离相等， 我们把三个顺点分别在这样的三条平行 线上的三角形称为格线三角形． 如图， 已知等腰 Rt 为 “格线三角形”， 且 ， 那么直线 与直线 的夹角 的余切值为____________．
28．已知那么=____________．
29．抛物线的顶点坐标是 _____．
30．当x=________时，二次函数的值为零．
31．如果抛物线的顶点关于原点对称点的坐标是（－1，－3），那么m的值是___．
32．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则该二次函数解析的一般式为___．
33．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，所得抛物线为，则抛物线解析式为________．
34．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b的值为 _____．
35．抛物线在对称轴右侧的部分是上升的，那么的取值范围是________．
36．已知二次函数（n为常数），若该函数图像与x轴只有一个公共点，则______．
培优特训练
特训第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（ ）
A．B．C．3D．2
4．已知二次函数和且，（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数．②．③当时，．④．其中正确结论是（ ）
A．①②B．①④C．③④D．①③
6．若垂直于x轴的一条直线与无公共点的两个函数图象相交，两个交点间的最短距离称为这两个函数的“和谐值”，则抛物线与直线的“和谐值”为（ ）
A．3B．2C．D．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，1）D．（，3）
8．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：
①当时，函数图象的顶点坐标是；
②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（ ）
A．B．C．1D．
二、填空题
10．东太湖风景区美丽怡人，如意桥似浮在太湖之上富有灵动起飞的光环．小亮在如意桥上看到一艘游艇迎面驶来，他在高出水面的A处测得在C处的游艇俯角为；他登高到正上方的B处测得驶至D处的游艇俯角为，则两次观测期间游艇前进了___________米．（结果精确到，参考数据：）
11．如图，在中．，平分交于，将沿所在直线折叠，使点A恰好与点重合，若，则的值为______．
12．如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线ACBD交于点O，点E是边CD上方一点，且∠CED＝90°，若DE＝2，则EO的长为 _______.
13．如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是 _______cm．
14．二次函数，当时，y的取值范围是____________．
15．如图，抛物线在第二象限内经过的整点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，．将抛物线沿直线y=－x向上平移，得到一系列抛物线，这一系列抛物线的顶点，，，…，都在直线y=－x上，同时抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标是___________，顶点的坐标是_________________．
16．已知函数，若使成立的值恰好有两个，则m的取值范围为_________．
…
-2
0
1
3
…
…
6
-4
-6
-4
…
x
…
－1
0
1
…
y
…
…
特训06 第25-26章选填题汇编
基础特训练
特训第一阶——基础特训练
一、单选题
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．tanA＝D．ctA＝
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
【解析】解：，，，
，
A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项正确，符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，解题的关键是熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．
2．在锐角△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么∠B的余弦值（ ）．
A．扩大2倍B．缩小2倍C．大小不变D．不能确定.
【答案】C
【分析】由于△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角B的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角B的余弦函数值也不变．
【解析】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角B的大小没改变，所以锐角B的余弦函数值也不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．
3．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，根据格点的长度求出BD，CD边的长度，根据勾股定理证明∠BDC＝∠ADC＝90°，再计算sin∠A= 计算即可．
【解析】解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，
则 ，
∴
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴sin∠A=
又
∴sin∠A= ＝
故选：C
【点睛】本题考查了网格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、锐角的三角函数，根据网格特点构造直角三角形是关键．
4．如图，在坡角为的山坡上A、B、C处栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树的坡面上的距离BC为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离BC即可．
【解析】解：如图，∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，
∵CD=5米，∠DCB=α．
∴BC==．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，正确掌握三角函数关系是解题关键．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】作出直角坐标系，标记点P，连接OP，过点P作PA⊥x轴，再根据正切的定义求解即可．
【解析】解：连接OP，过点P作PA⊥x轴，如图，
则，
∵点P（1，2），
∴，．
．
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了三角函数的定义，解题的关键是根据题意，构造出直角三角形．
6．如图，已知Rt是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据锐角三角函数的定义分析即可；
【解析】解：A．，故A错；
Ｂ．，故Ｂ错；
Ｃ．，故Ｃ错；
Ｄ=BC，故D正确;
故答案为:D
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键
7．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接AD，由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD的长，那么在直角△ABD中根据三角函数的定义求出tan∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD，于是tan∠BDE=tan∠BAD．
【解析】解：连接AD，
∵△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BDBC＝6，
∴AD，
∴tan∠BAD．
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠BAD，
∴tan∠BDE=tan∠BAD，
故选：C．
【点睛】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cs∠BDC=0.6，则BC的长是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cs∠BDC=0.6，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．
【解析】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8cm，
再Rt中，cs∠BDC=0.6，
∴CD=0.6BD=0.6(8-CD)
∴CD=3cm，
∴BD=5cm，
由勾股定理得：BC=4cm
故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．
9．如图，中，，已知，，，则的长可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=α，∠ADC=β，AB=a，
∴csB=csα==，
则BC=a•csα，
sinB=sinα==，
故AC=a•sinα，
则tanβ=，
故DC==，
则BD=BC-DC=a•csα-，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出DC的长是解题关键．
10．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【解析】连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．
11．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+cB．y＝+x
C．y＝x（2x﹣1）D．y＝（x+4）2﹣x2
【答案】C
【分析】形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．
【解析】A. ，不是二次函数，故该选项不符合题意；
B. y＝+x，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C. y＝x（2x﹣1）=，是二次函数，故该选项符合题意；
D. y＝（x+4）2﹣x2，不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
12．若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2B．或3C．3D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．
【解析】∵函数是关于x的二次函数，
∴，且，
由得，或，
由得，，
∴m的值是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．
13．如果将抛物线y=-x2+4x+1平移，使它与抛物线y=x2+1重合．那么平移的方式可以是（ ）
A．向左平移2 个单位，向上平移 4 个单位
B．向左平移2 个单位，向下平移 4 个单位
C．向右平移2 个单位，向上平移 4 个单位
D．向右平移2 个单位，向下平移 4 个单位
【答案】C
【分析】先将抛物线y=-x2+4x+1化为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加又减，上加下减”解答即可．
【解析】解：抛物线y=-x2+4x+1=（x+2）2－3，
∵抛物线y=-x2+4x+1平移后与抛物线y=x2+1重合，
∴平移的方式是向右平移2 个单位，向上平移 4 个单位，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解答的关键．
14．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据和的一次函数图象与二次函数图象的特征分析即可．
【解析】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限；函数的开口向下，对称轴在y轴的右侧；
当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在y轴的左侧，故B正确．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象综合，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．
15．对于二次函数，下列结果中正确的是（ ）．
A．抛物线有最小值是B．时随的增大而减小
C．抛物线的对称轴是直线D．图象与轴没有交点
【答案】A
【分析】先把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用方程2x2＋x−3＝0有两个不相等的实数解可对D进行判断．
【解析】解：∵＝2（x＋）2−，
∴抛物线的对称轴为直线x＝−，二次函数有最小值−；所以A选项正确，C选项错误；
当x＜−时，y随x的增大而减小，所以B选项错误；
∵方程2x2＋x−3＝0有两个不相等的实数解，
∴抛物线与x轴有两个交点，所以D选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图像的对称轴是直线x＝1，其图像一部分如图所示，对于下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0B．a﹣b+c＜0
C．b+c＜0D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
【答案】B
【分析】根据二次函数图像与系数的关系，求得的符号，再根据特殊点的值，判断的符号，再根据函数图像确定y＞0的范围即可．
【解析】解：由函数图像可知，开口向下，对称轴在右侧，与轴交点在轴上方
∴，异号，
∴
∴，，即A、C选项错误，不符合题意；
对称轴，和，函数值相等，由图像可得，，
∴，，即，B选项正确，符合题意；
由图像可得，，，很显然当﹣1＜x＜3时，y不一定大于0，D选项错误，不符合题意；
故选B
【点睛】此题考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的有关性质．
17．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．
【解析】解：设二次函数的解析式为，
依题意得：，解得：，
∴二次函数的解析式为=，
∵，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．
18．已知二次函数的图象如图，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①根据开口方向，对称轴及图象与y轴的交点即可判断；
②令求出y即可判断；
③令求出y即可判断；
④根据a，b的关系及c的正负即可判断．
【解析】根据抛物线开口方向向下，可知，
∵对称轴为，
∴，
∴，
当时，，
∴，故①正确；
当时，，故②正确；
当时，，
，故③错误；
，
，故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，数形结合是关键．
二、填空题
19．的________值等于．
【答案】正切
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【解析】解：因为，
所以的正切值等于，
故答案为：正切
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．要使二次根式有意义，则的取值范围为______
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的取值范围．
【解析】解：二次根式被开方数为
∴
又∵
∴，解得
故答案为．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件和特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的基础知识和特殊角的三角函数值是解题的关键．
21．已知某小山坡的坡长为400米、山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度_________
【答案】1：
【分析】根据坡度的定义，求出水平距离，求山坡的高度与水平距离的比即可．
【解析】解：由勾股定理可知山坡的水平距离为：＝200米，
∴坡度i＝＝1：．
故答案为：1：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理，明确坡度是山坡的高度与水平距离的比．
22．如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点处观察A点的俯角为_______（用含的式子表示）
【答案】
【分析】根据题意作出图形，然后找出相应的仰角和俯角，利用平行线的性质即可求解．
【解析】解：如图所示：在A点处观察B点的仰角为，即，
∵，
∴，
∴在B点处观察A点的俯角为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查仰角和俯角及平行线的性质，理解题意，作出相应的图形是解题关键．
23．△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．
【答案】直角三角形
【分析】根据特殊的三角函数值，求得∠A，∠B的度数，再进行判断．
【解析】∵，，
∴ ∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，
故△ABC是直角三角形，
故填：直角三角形．
【点睛】本题考查特殊的三角函数值，熟练记忆是关键．
24．比较、、和的大小，并由小到大排列：_______________．
【答案】
【分析】把余弦化成正弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值即可解答
【解析】，正弦值随着角度的增大而增大
故答案为：
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，在一个单调区间内，正弦函数值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值．
25．已知，则________．
【答案】
【分析】由于，则，然后把代入中利用分式的性质计算即可．
【解析】解：，
，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：解题的关键是掌握平方关系：；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即或．
26．如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD＝4，csB，则AC＝_____．
【答案】
【分析】根据题意，则，即可求得．
【解析】解： RtABC中，
故答案为：
【点睛】本题考查了同角的余角互余，余弦的定义，求得是解题的关键．
27．新定义：已知三条平行直线， 相邻两条平行线间的距离相等， 我们把三个顺点分别在这样的三条平行 线上的三角形称为格线三角形． 如图， 已知等腰 Rt 为 “格线三角形”， 且 ， 那么直线 与直线 的夹角 的余切值为____________．
【答案】3
【分析】过点B作BE⊥直线a于点E延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠ADC=∠AEB=90°，设相邻两条平行线间的距离为d，根据新定义，可得CD=2d，BE=BF=d，再证得△ACD≌△BAE，可得AE=CD=2d，AD=BE=d，从而得到CF=3d，即可求解．
【解析】解：如图，过点B作BE⊥直线a于点E延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠ADC=∠AEB=90°，
设相邻两条平行线间的距离为d，
∵三条平行直线， 相邻两条平行线间的距离相等，
∴CD=2d，
∵BE⊥直线a，a∥c，
∴BE⊥直线c，
∴BE=BF=d，
∵，
∴∠CAD+∠BAE=90°，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BAE=∠ACD，
∵AC=AB，
∴△ACD≌△BAE，
∴AE=CD=2d，AD=BE=d，
∴CF=DE=AE+AD=3d，
∴ ．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了求余切值，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，做适当辅助线得到全等三角形是解题的关键．
28．已知那么=____________．
【答案】4
【分析】根据题意，令x=2，代入二次函数求值．
【解析】解：．
故答案是：4．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将自变量的值代入求解．
29．抛物线的顶点坐标是 _____．
【答案】（，-）
【分析】直接利用配方法求出二次函数顶点式，进而得出答案．
【解析】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标是（，-）．
故答案为：（，-）．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出顶点式是解题关键．
30．当x=________时，二次函数的值为零．
【答案】或2
【分析】令y=0，求方程的解．
【解析】解：令y=0，，，，．
故答案是：或．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是令因变量为零，去解方程，方程不能解错．
31．如果抛物线的顶点关于原点对称点的坐标是（－1，－3），那么m的值是___．
【答案】5
【分析】根据已知条件“抛物线y＝2x2−4x＋m的顶点关于原点对称点的坐标是（−1，−3）”求得顶点坐标是（1，3）；然后由顶点坐标公式，列出关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解析】∵抛物线y＝2x2−4x＋m的顶点关于原点对称点的坐标是（−1，−3），
∴抛物线y＝2x2−4x＋m的顶点坐标是（1，3），
∴3＝ ，
解得，m＝5；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标．在求二次函数图象的顶点坐标时，要熟练掌握顶点坐标公式．
32．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则该二次函数解析的一般式为___．
【答案】
【分析】将点，，代入中，进行计算即可得．
【解析】解：将点，，代入中，得
解得，，
则二次函数的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．
33．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，所得抛物线为，则抛物线解析式为________．
【答案】##
【分析】设抛物线为 ，根据平移的规律写出平移后的解析式，并与已知相等，即可求解．
【解析】设抛物线为
将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，可得
即为

解得
抛物线为
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关键．
34．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b的值为 _____．
【答案】0
【分析】根据二次函数的对称轴，整理即可求解．
【解析】抛物线的对称轴为直线
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线对称轴的求法，熟记抛物线的对称轴为直线是解题关键．
35．抛物线在对称轴右侧的部分是上升的，那么的取值范围是________．
【答案】
【分析】由于二次函数的图象在对称轴右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数．
【解析】解：∵二次函数的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴这个二次函数图象开口向上，
∴m+3＞0，
∴m＞-3，
故答案为m＞-3．
【点睛】本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
36．已知二次函数（n为常数），若该函数图像与x轴只有一个公共点，则______．
【答案】4
【分析】根据抛物线与x轴有一个交点，即Δ＝0，即可求出n的值.
【解析】解：∵二次函数图象与x轴有且只有一个公共点，
∴△＝(−2)2−4×（-1）（3-n）＝0，
解得：n＝4，
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查二次函数与x轴的交点个数，△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
培优特训练
特训第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BCF+∠BFC＝90°，
根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理得：BF＝＝＝6，
则tan∠BCF＝＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键．
2．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】如图，连接EF，先证明 再求解 可得 再求解 可得为等腰直角三角形，求解 再利用三角形的中位线的性质可得答案．
【解析】解：如图，连接EF，
∵正方形ABCD的面积为3，

∵
∴
∴
∴

∵平分

∴
∴
∴为等腰直角三角形，

∵分别为的中点，

故选D
【点睛】本题考查的是正方形的性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的中位线的性质，求解是解本题的关键．
3．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】C
【分析】如图，过作于 求解 结合旋转：证明 可得为等边三角形，求解 再应用锐角三角函数可得答案．
【解析】解：如图，过作于
由，

结合旋转：

为等边三角形，



∴A到的距离为3．
故选C
【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
4．已知二次函数和且，（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】由于，，则．对于A选项，由，可得，由，可得，即可得，即可判断A选项；对于B选项，由，可知不确定正负，则与的大小无法确定，即可判断B选项；对于C选项，由，可得，由，可得，即可得，即可判断C选项；对于D选项，由，可得，由，可得，即可得，即可判断D选项．
【解析】解：，
，
∴．
A.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故A选项错误；
B.∵，
∴不确定正负，
∴与的大小无法确定，故B选项错误；
C.，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，故C选项错误；
D.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5．如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数．②．③当时，．④．其中正确结论是（ ）
A．①②B．①④C．③④D．①③
【答案】D
【分析】直接由，可判断结论①；把A点坐标代入抛物线求出a值，可判断结论②；由x=0求得、的值并作差后即可判断结论③；由二次函数的对称性求出B、C的坐标，进一步验证2AB=3AC，即可判断结论④．
【解析】解：∵，
∴无论x取何值，的值总是正数，故结论①正确；
∵抛物线过点A（1，3），
则有，解得，
故结论②错误；
∵，，
当x=0时，，，
∴，故结论③错误；
∵抛物线，其对称轴为直线，
抛物线，其对称轴为直线，
又∵两抛物线交于点A（1，3），
∴结合抛物线对称性，可求得B（-5，3），C（5，3），
则AB=6，AC=4，所以2AB=3AC，故结论④正确．
故选：D．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质等，利用数形结合思想分析问题是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图像上点的坐标特征．
6．若垂直于x轴的一条直线与无公共点的两个函数图象相交，两个交点间的最短距离称为这两个函数的“和谐值”，则抛物线与直线的“和谐值”为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】通过进行计算，并通过配方法求出最值．
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴抛物线在直线上方，
设“和谐值”为h，
∵，
∴该函数最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求“和谐值”的方法，并不是抛物线顶点到直线竖直距离最小．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，1）D．（，3）
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出二次函数和直线AC的解析式，过点P作PGy轴交AC于点G，设P（t，），则G（t，t＋2），求出PG＝，可得，进而可得当t＝时，有最大值，问题得解．
【解析】解：将点A（−3，0），B（1，0）代入中，得，
解得：，
∴二次函数解析式为，
令x＝0，则，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝mx＋n，
代入A（−3，0），C（0，2）得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x＋2，
过点P作PGy轴交AC于点G，
设P（t，），则G（t，t＋2），
∴PG＝，
∴，
∴当t＝时，有最大值，此时P（，），
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，求出函数解析式，表示出PG的长是解答本题的关键．
8．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：
①当时，函数图象的顶点坐标是；
②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的答案．
【解析】解：把m=-3代入特征数得：a=-6，b=4，c=2，
∴函数解析式为，
∴函数图象的顶点坐标是，故①正确；
令y=0，则
解得：，
∴函数图象与x轴两交点坐标为（1，0），，
当m>0时，，故②正确；
当m<0时，函数开口向下，对称轴为直线，
∴x可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，故③错误；

，
若使函数图象经过同一点，m≠0时，应使，
解得，
当x=1时，y=0，当时，，
∴函数图象一定经过点（1，0）和，故④正确；
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、顶点坐标的求法，这往往是进一步研究二次函数的性质的基础．
9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】延长AD、BC交于点G，将图形补充成等边三角形，利用△ACD和△ABC都是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EC的长度，用等边三角形的性质推导ECAD，继而得出△EFC∽△DFA，，最后结合CF=AC-AF利用这个比例式得到关于AF的方程，解出即可．
【解析】∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵AD⊥CD，CD＝1，
∴AD＝，AC＝2，
延长AD、BC交于点G，如图，
∵∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠G＝60°，
∴△ABG为等边三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴C为GB的中点，且AC⊥GB，
∴AB＝，
连接EC，
∵E为AB边的中点，AC⊥GB
∴EC＝AB＝，
∵C为GB的中点，
∴ECAD，
∴△EFC∽△DFA，
∴，即
∴
∴AF＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用判定△EFC∽△DFA并用其列出关于AF的方程是解题的关键．
二、填空题
10．东太湖风景区美丽怡人，如意桥似浮在太湖之上富有灵动起飞的光环．小亮在如意桥上看到一艘游艇迎面驶来，他在高出水面的A处测得在C处的游艇俯角为；他登高到正上方的B处测得驶至D处的游艇俯角为，则两次观测期间游艇前进了___________米．（结果精确到，参考数据：）
【答案】36
【分析】设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=30m，AB=12m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可．
【解析】解：设BA与CD的延长线交于点O，
根据题意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=30m，AB=12m，
在Rt△BOD中，，
解得：，
在Rt△AOC中，，
，
答：两次观测期间龙舟前进了米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法．
11．如图，在中．，平分交于，将沿所在直线折叠，使点A恰好与点重合，若，则的值为______．
【答案】
【分析】根据平分交于，将沿所在直线折叠，使点A恰好与点重合，可得，又，即得，从而，在中，．
【解析】解：平分交于，
，
将沿所在直线折叠，使点A恰好与点重合，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题、角平分线，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用含角的直角三角形三边关系．
12．如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线ACBD交于点O，点E是边CD上方一点，且∠CED＝90°，若DE＝2，则EO的长为 _______.
【答案】
【分析】过O作OF⊥EO，交EC的延长线于F，利用正方形的性质，先判定△DOE≌△COF（AAS），即可得出△EOF是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出CE，解直角三角形即可得到OE的长．
【解析】解：如图所示，过O作OF⊥EO，交EC的延长线于F，
在Rt△EOF中，∠CEO+∠F＝90°，
∵∠CED＝90°，
∴∠CEO+∠OED＝90°，
∴∠OED＝∠F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝90°，DO＝CO，
又∵∠COF+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△DOE和△COF中，，
∴△DOE≌△COF（AAS），
∴EO＝FO，DE＝CF＝2，
又∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴在Rt△CDE中，CE＝＝＝2，
∴EF＝+2，
∴OE＝EF·cs45°＝（+2）×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
13．如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是 _______cm．
【答案】 90cm； ．
【分析】（1）过点C作CE⊥AB，根据，设CE＝4x，BE＝3x，可以把三角形三边表示出来，再根据勾股定理可求出x，即可求解；
（2）根据垂线段最短，可以连接CD，连接，判断当AP＝MP时，，此时最小，通过解直角三角形即可求解．
【解析】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，
在Rt△BCE中，
∵，
∴设CE＝4x，BE＝3x，
∴BC＝5x，
∵AB＝2AD＝2BC＝10x，
∴AE＝10x﹣3x＝7x，
在Rt△AEC中，AD2+CD2＝AC2，
∴，解得x＝18，
∴AD＝5x＝90（cm），
故答案为：90cm；
（2）如图，连接CD，可知∠ACB＝90°，
当AP＝MP时，，此时最小，
∵∠PAM＝∠PMA＝30°，
∴，点在AB边上，
连接，此时，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，解题的关键是构造出直角三角形进行求解．
14．二次函数，当时，y的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可解答．
【解析】解：中，，
该二次函数图象的开口向上，当x=1时，函数有最小值为y=1，
当x=0时，y=3，
当x=3时，y=9,
故当时，y的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
15．如图，抛物线在第二象限内经过的整点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，．将抛物线沿直线y=－x向上平移，得到一系列抛物线，这一系列抛物线的顶点，，，…，都在直线y=－x上，同时抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标是___________，顶点的坐标是_________________．
【答案】
【分析】根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点的坐标为，设点的坐标为(a,-a)，则以点为顶点的抛物线解析式为，由点的坐标利用待定系数法，即可求出a值，将其代入点的坐标即可得出结论．
【解析】解：∵点在直线y=-x上，点在抛物线和直线y=-x上，
设点，点，
∵将抛物线沿直线y=－x向上平移，得到一系列抛物线，这一系列抛物线的顶点，，，…，都在直线y=－x上，
第n次平移后的抛物线解析式为，
∴，
整理得：a=2n+1（n＜0的整数）
∴，
当n=-2时，2n+1=-2×2+1=-3，-2n-1=-2×（-2）-1=3
∴点．
当n=2020时，2n+1=-2020×2+1=-4039，-2n-1=-2020×（-2）-1=4039．
∴点．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出a的值是解题的关键．
16．已知函数，若使成立的值恰好有两个，则m的取值范围为_________．
【答案】或．
【分析】首先在平面直角坐标系内作出函数的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使成立的值恰好有2个的值．
【解析】解：画函数的图象如图：

根据图象知道当或时，对应成立的x有恰好有2个，
所以或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
…
-2
0
1
3
…
…
6
-4
-6
-4
…
x
…
－1
0
1
…
y
…
…