2024年高中数学新高二暑期培优讲义第06讲 空间向量的应用（2份打包，原卷版+教师版）

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题型一：求平面的法向量
题型二：利用向量研究平行问题
题型三：利用向量研究垂直问题
题型四：异面直线所成的角
题型五：线面角
题型六：二面角
题型七：距离问题
【知识点梳理】
知识点一：直线的方向向量和平面的法向量
1、直线的方向向量：
点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.
知识点诠释：
(1)在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．
(2)在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．
2、平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3、平面的法向量确定通常有两种方法：
(1)几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
(2)几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
(i)设出平面的法向量为；
(ii)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标，；
(iii)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；
(iv)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
(1)线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
(2)线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
(3)面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
(1)线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
(2)线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
(3)面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
知识点四、用向量方法求空间角
(1)求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则．
知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
(2)求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，
则有．
(3)求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或，
即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
知识点五、用向量方法求空间距离
1、求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．
2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
3、点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 .
【典例例题】
题型一：求平面的法向量
例2．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面的一个法向量；
(2)平面的一个法向量.
【解析】(1)由题意，可得,
连接AC，因为底面为正方形，所以,
又因为平面，平面，所以，且，则AC⊥平面，
∴为平面的一个法向量. (答案不唯一).
(2)设平面的一个法向量为，
则令，得
∴即为平面的一个法向量.(答案不唯一).
题型二：利用向量研究平行问题
例5．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.
平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
【解析】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
若，则，，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面
平面的其中一个法向量为，所以，即，
又因为平面，所以平面.
题型三：利用向量研究垂直问题
例8．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：.
(2)求证：平面.
【解析】(1)因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，
由，，得，，，，
，，.所以，，
所以，所以，所以
(2)由(1)知，，，.
设是平面的法向量，则，，
所以，得，取，得，，则.
因为，所以，即与共线.所以平面.
例11．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
【解析】(1)由题意知AD⊥BC，如图，以O为坐标原点，以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.
则，可得，
∵∴，即AP⊥BC.
(2)由(1)可得，
∵M是AP上一点，且AM＝3，∴，
可得，
设平面BMC的法向量为，则，
令b＝1，则，即，显然，故∥，
∴AM⊥平面BMC.
题型四：异面直线所成的角
例15．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，则，，
所以，，所以，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.
例17．在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，.所以,.
设直线与夹角为，则.故选：C.
题型五：线面角
例23．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．
(1)求证：平面MBD；
(2)若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
【解析】(1)连接AC交BD于点O，连接OM，由四边形ABCD为矩形，
可知O为AC中点，M为PC中点，所以，
又平面，平面，所以平面MBD.
(2)以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则 ，所以，
设平面的法向量为，则，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
题型六：二面角
例28．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．

(1)求BC的长；
(2)求二面角的余弦值．
【解析】(1)由于平面ABCD，，所以两两垂直，故分别以,,所在直线为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系．
，,0,，,0,，,1,，,0,．
设,,，则,0,，,,．
直线与所成角大小为，
，即，解得或(舍，
,2,，则的长为2；
(2)设平面的一个法向量为,,．,0,，,1,，,
，令，则，，,1,．
平面的一个法向量为，
，令，则，，,，
由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为．

例30．如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦.
【解析】(1)证明：依题意，平面．如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．
依题意，可得，，，，，，．
取的中点，连接．
因为，，，所以，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
(2)因为,所以，
又因为平面，平面，所以，且,,
所以平面，
又因为平面，所以，且平面,
所以平面,平面,所以，，，平面，
所以平面，故为平面的一个法向量．设平面的法向量为，
因为所以即，
令，得，，故．所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
例34．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，，点F为PB中点，点E在边BC上移动．
(1)求证： 平面AFC；
(2)若二面角的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥的体积为．
【解析】(1)连接，设，如下图所示:
四边形ABCD是矩形，所以是的中点， F为PB中点，所以有，
而平面，平面，由直线与平面平行的判定定理可知: 平面AFC；
(2)建立如上图所示的空间直角坐标系，设，，
设平面的法向量为，，则有
，而PA⊥平面，所以是平面的法向量，
所以有，
，设，，
三棱锥的体积为，解得，
所以当时，三棱锥的体积为．
题型七：距离问题
例38．如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．

(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；
(2)求点到平面AEF的距离．
【解析】(1)在直三棱柱中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，
所以异面直线所成角的余弦值为．
(2)设平面AEF的一个法向量为，而，
则，令，得，又，
于是．所以点到平面AEF的距离为．
例40．如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
(1)求点到平面的距离为；
(2)求到平面的距离．
【解析】(1)以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，
则， 所以，
设平面的一个法向量为，则，令，
所以平面所的法向量为，又
所以点到平面的距离.
(2)由(1)可得平面的法向量为，
∵，∴，，
，∴平面， 所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离，
由，所以到平面的距离为.
【过关测试】
一、单选题
1．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝( )
A．﹣3B．3C．6D．9
【答案】B
【解析】因为，所以，解得，所以.故选：B
2.正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由正方体的性质：∥,∥，，，
且平面，平面，平面，平面，
所以平面平面，则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由正方体的棱长为1，所以，，，，，
所以，，，．连接，
由，，
所以，且，可知平面，
得平面的一个法向量为，则两平面间的距离：
．故选：D.
3．已知平面α的一个法向量，点在α内，则到α的距离为( )
A．10 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得，又知平面的一个法向量，
则到平面的距离，故选：D.
4．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，=λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则异面直线A1F与BE所成角θ的余弦值为( )

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以，
又
所以，整理得到，解得(舍去),
所以，,所以，故cs θ=，
故选：B.
5．在棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，BC的中点，为线段EF上的一动点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】构建如下图示的空间直角坐标系，
所以，，且，则，，所以，当，夹角余弦值最小为，当，夹角余弦值最大为，所以直线与所成角的余弦值的取值范围是.故选：C
二、填空题
6．矩形ABCD中，，平面ABCD，且，则P到BC的距离为__________．
【答案】
【解析】方法一：如图，因为平面,平面,所以,
又因为是矩形，所以,因为,所以平面,
因为平面，所以,所以为到的距离.
在矩形中，因为，所以,
在直角三角形中，由勾股定理得,
所以到的距离为.故答案为：.
方法二：建立如图所示坐标系，在矩形中，，
所以，所以
,所以,所以为到的距离.
,所以到的距离为.故答案为：
7．如图，已知平面，，，，，.若，，则与平面所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】依题意，以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，
由已知可得，，，，，，
则，，.设是平面的法向量，
则，即，令，则，，所以是平面的一个法向量.
设与平面所成的角为，.
因为，，，则，
所以.因为，所以，
所以与平面所成角的余弦值为.故答案为：.
三、解答题
8．如图，四棱锥中，平面，，，，M为棱上一点.

(1)若M为的中点，证明：平面；
(2)若，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(1)取中点，连接和，
因为，，且为的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以平面，
因为M，N分别为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，，所以平面平面，
因为平面，所以平面
(2)取中点，作交于，连接，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
以为坐标原点，为正交基底建立如下图所示的空间直角坐标系，
、、、、.所以，.
设平面的法向量，又因为平面，
所以，取，，，则.
又因为，所以.
所以直线和平面所成角正弦值为.
9．如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)证明：在线段上存在点，使∥平面，并求线段的长.
【解析】(1)证明：，，
，同理
又，平面ABCD平面.
(2)如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
平面的法向量为，设平面的法向量为
，由有： ，取 ，
设二面角的平面角为，由图形可知，，
二面角的余弦值为.
(3)假设存在点，使∥平面，令，，
，由∥平面，，，即，解得
存在点，为的中点，即.