(暑期班)初升高数学衔接讲义第06讲 集合的概念 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

2023年初高中衔接素养提升专题讲义

第六讲   集合的概念（精讲）（原卷版）

【知识点透析】

一、元素与集合的概念及表示

1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，

元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，

集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．

3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．

二、元素的特性

1、确定性

给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．

【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。

例如：著名的科学家、比较高的人、好人、、很难的题目等

2、互异性

一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．

简记为“互异性”．

利用集合中元素的特异性求参数：

（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；

（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．

（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．

3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．

三、元素与集合的关系

1、属于与不属于概念：

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．

2、元素与集合关系的判断方法：

（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．

（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．

四、常用的数集及其记法

五、列举法

把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．

(2)集合中的元素必须是明确的．

(3)集合中的元素不能重复．

(4)集合中的元素可以是任何事物．

六、描述法

1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．

2、用描述法表示集合

（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．

一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．

（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．

（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．

【知识点精讲】

题型一：集合的概念

【例题1】下列各组对象能构成集合的是　　

A．所有很大的实数 B．好心的人 

C．大于1的全体自然数 D．新款的手机

【例题2】下列选项中元素的全体可以组成集合的是（    ）

A．2021年所有的欧盟国家 B．校园中长的高大的树木

C．学校篮球水平较高的学生 D．中国经济发达的城市

【变式1】面各组对象中不能形成集合的是（    ）

A．所有的直角三角形                    B．一次函数

C．高一年级中家离学校很远的学生        D．大于2的所有实数

【变式2】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）

A．①③        B．①②        C．①②③        D．①②③④

题型二  元素与集合的关系

【例题3】下列元素与集合的关系表示正确的是　　

①；②；③；④

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

【例题4】（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（       ）

A． B． C． D．

【变式1】（多选）下列关系中，正确的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式2】已知集合，，，若，，，则下列结论中可能成立的是（       ）

A． B．

C． D．

题型三  元素特性的应用

【例题5】已知是由0，，三个元素组成的集合，且，则实数为　　

A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可

【例题6】已知集合，只有一个元素，则的取值集合为　　

A． B． C．，， D．，

【例题7】设集合，则（    ）

A．2 B．3 C．5 D．6

【例题8】设集合，，已知且,则实数的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【变式1】已知集合由，，组成，且，求__．

【变式2】由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（    ）

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

题型四  列举法

【例题9】设集合，，，则M中的元素个数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【例题10】已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．15 B．14 C．13 D．12

【例题11】集合，则中元素的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1】集合用列举法可表示为（       ）

A． B． C． D．

【变式2】方程组的解集是（    ）

A．        B．        C．        D．

题型五  描述法

【例题12】直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ）

A．B．或

C．

D．

【例题13】下列集合中表示同一集合的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【变式】集合是（   ）

A．第一象限的点集 B．第二象限的点集

C．第三象限的点集 D．第四象限的点集

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第六讲   集合的概念（精练）

（测试时间60分钟）

一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．集合用描述法可表示为（    ）

A． B．

C． D．

3．若集合中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（    ）

A．直角三角形  B．锐角三角形  C．钝角三角形 D．等腰三角形

4．下列集合中表示同一集合的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

5．若集合至多含有一个元素，则的取值范围是（       ）．

A． B． C． D．

6．已知集合，集合，则集合中元素的个数为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．）

7．已知集合，且，则实数的可能值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知集合，，且、，，则下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________

10．集合，，，则的所有元素之和等于________.

四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

11．已知集合.

（1）若A是空集，求的取值范围；

（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；

（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围

12．若a，，集合．

求：(1);   (2)．