2024年高中数学新高二暑期培优讲义第11讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（2份打包，原卷版+教师版）

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题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
题型三：切线与切线长问题
题型四：弦长问题
题型五：判断圆与圆的位置关系
题型六：由圆的位置关系确定参数
题型七：公共弦与切点弦问题
题型八：公切线问题
题型九：圆中范围与最值问题
题型十：圆系问题
【知识点梳理】
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C有公共点．
有两组实数解时，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C相交；
有一组实数解时，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C相切；
无实数解时，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C相离．
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 与圆的半径 SKIPIF 1 < 0 的关系判断：
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C相交；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C相切；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C相离．
知识点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．
知识点二：圆的切线方程的求法
1、点 SKIPIF 1 < 0 在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 与圆心和该点连线的斜率 SKIPIF 1 < 0
的乘积等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
法二：圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于半径 SKIPIF 1 < 0 ．
2、点 SKIPIF 1 < 0 在圆外，则设切线方程： SKIPIF 1 < 0 ，变成一般式： SKIPIF 1 < 0 ，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 SKIPIF 1 < 0 ．
知识点诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
(1)过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程是
SKIPIF 1 < 0 ．
知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法
1、应用圆中直角三角形：半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，弦长 SKIPIF 1 < 0 具有的关系 SKIPIF 1 < 0 ，这也是求弦长最常用的方法．
2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
知识点四：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系：
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点．
2、圆与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
(2)几何法：
设 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，两圆的圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆相交；
当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆外切；
当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆外离；
当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆内切；
当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆内含．
知识点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．
3、两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4、两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
(2)两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
(3)两圆相交时，只有2条外公切线；
(4)两圆内切时，只有1条外公切线；
(5)两圆内含时，无公切线．
【典例例题】
题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系
例1．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为( )
A．相交B．相切C．相离D．与 SKIPIF 1 < 0 的值有关
【答案】A
【解析】直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，即点A在圆 SKIPIF 1 < 0 内，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交.故选：A
例2．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法错误的是( )
A．对 SKIPIF 1 < 0 ，直线恒过一定点
B． SKIPIF 1 < 0 ，使直线与圆相切
C．对 SKIPIF 1 < 0 ，直线与圆一定相交
D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
圆 SKIPIF 1 < 0 ，即圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，故C正确，
当 SKIPIF 1 < 0 时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：B.
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
例3．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 没有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( )
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离大于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；故选：A.
例4．关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两解，则k的范围为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据题意可知， SKIPIF 1 < 0 表示的直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 两边同平方并移项得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示的是圆 SKIPIF 1 < 0 的上半部分，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两解，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与上半圆 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，画出图象如下图所示：
易知 SKIPIF 1 < 0 ，定点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 两点之间的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线从 SKIPIF 1 < 0 位置绕点 SKIPIF 1 < 0 沿顺时针方向旋转到 SKIPIF 1 < 0 位置时满足题意，所以需满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
题型三：切线与切线长问题
例15．圆 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 代入圆的方程成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在圆上， SKIPIF 1 < 0 与切线垂直，所以切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
例6．由直线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 向圆 SKIPIF 1 < 0 引切线，则切线长的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设过点 SKIPIF 1 < 0 的切线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，且最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即切线长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例7．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题知，⊙M： SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 的最短距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线长 SKIPIF 1 < 0 ，故四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型四：弦长问题
例8．若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则弦 SKIPIF 1 < 0 的长为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由圆的方程得：圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例9．圆 SKIPIF 1 < 0 的一条弦以点 SKIPIF 1 < 0 为中点，则该弦的斜率为 __．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /-0.5
【解析】将 SKIPIF 1 < 0 配方得 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 弦以点 SKIPIF 1 < 0 为中点， SKIPIF 1 < 0 该弦的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
例10．设 SKIPIF 1 < 0 为实数，若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】－1或3
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故答案为：-1或3.
题型五：判断圆与圆的位置关系
例11．圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是( )
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【解析】两圆化为标准形式，可得 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，可知半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故两圆相交，故选： SKIPIF 1 < 0 .
例12．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为( )
A．相交B．外切C．外离D．内含
【答案】A
【解析】因为圆 SKIPIF 1 < 0 圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，易知， SKIPIF 1 < 0 ，所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交.故选：A.
题型六：由圆的位置关系确定参数
例13．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 外切，则实数m的值为_________.
【答案】3
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .又∵两圆外切，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得m=3.故答案为：3．
例14．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题知 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，两圆心的距离 SKIPIF 1 < 0 ．
因为两圆有公共点，即相交或相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型七：公共弦与切点弦问题
例15．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆 SKIPIF 1 < 0 过圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，两圆的方程相减可得相交弦方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例16．已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦的弦长__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，满足两圆相交有公共弦，两圆公共弦所在直线方程为两圆方程作差得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，则公共弦长为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例17．过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，设两切点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径为圆为 SKIPIF 1 < 0 ，即圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为两圆的公共弦所在的直线，则有 SKIPIF 1 < 0 ，变形可得： SKIPIF 1 < 0 ；
即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型八：公切线问题
例18．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两条公切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两条公切线，所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例19．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公切线方程是___________________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
圆 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
圆心角 SKIPIF 1 < 0 ，所以两圆相内切.由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆切点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以公切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以公切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型九：圆中范围与最值问题
例20．圆 SKIPIF 1 < 0 上恰好有两点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】把圆的方程化为标准式为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例21．设圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上有且仅有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ,则圆半径 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆上恰有相异两点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
例22．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上任一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上任一点，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型十：圆系问题
例23．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【解析】(1)将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
(2)设经过A、B两点的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为常数)，
则圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；又圆心在直线y＝－x上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故所求方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由弦长公式可知所求圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
故面积最小的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【过关测试】
一、单选题
1．直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为1，则半径 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
2．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，求两圆的公共弦所在的直线方程( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ， 若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 圆心到直线距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截弦长为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
4．若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，则 SKIPIF 1 < 0 ＝( )
A．21B．19C．9D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】依题意可得圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，且两圆外切，则 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
5．在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，已知圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为3，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互相垂直，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为( )
A．10B．12C．13D．15
【答案】B
【解析】设圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互相垂直，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
二、填空题
6．若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 .因为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或7.故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
7．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，则它们的公共弦所在的直线方程是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交， SKIPIF 1 < 0 两圆的方程作差得 SKIPIF 1 < 0 ，
即公式弦所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】因为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
曲线可化为 SKIPIF 1 < 0 ，两边同时平方有： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆的一部分，而直线 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是斜率为1的直线，画图象如下：
由于直线与曲线只有一个公共点，当直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，由图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相切时： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距，由图象可知 SKIPIF 1 < 0 ，综上： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
三、解答题
9．已知圆C过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C交于两点A，B，且 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值．
【解析】(1)设圆的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故圆的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由(1)可得：圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以m的值为 SKIPIF 1 < 0 .
10．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 恒有两个交点；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【解析】(1)直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 所以不论 SKIPIF 1 < 0 取何值，直线 SKIPIF 1 < 0 必过定点 SKIPIF 1 < 0 .
圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内部，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恒有两个交点.
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 经过圆 SKIPIF 1 < 0 内定点 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
记圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为d.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当d最大时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
所以当直线 SKIPIF 1 < 0 时，被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦 SKIPIF 1 < 0 最短，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 .