2024年高中数学新高二暑期培优讲义第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系（2份打包，原卷版+教师版）

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题型一：直线与椭圆的位置关系
题型二：椭圆的弦
题型三：椭圆的综合问题
题型四：直线与双曲线的位置关系
题型五：双曲线的弦
题型六：双曲线的综合问题
题型七：直线与抛物线的位置关系
题型八：抛物线的弦
题型九：抛物线的综合问题
【知识点梳理】
知识点一：直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M(x，y)，
若点M(x，y)在椭圆上，则有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
若点M(x，y)在椭圆内，则有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
若点M(x，y)在椭圆外，则有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的方程 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0 SKIPIF 1 < 0 直线和椭圆相交 SKIPIF 1 < 0 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；
②Δ＝0 SKIPIF 1 < 0 直线和椭圆相切 SKIPIF 1 < 0 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0 SKIPIF 1 < 0 直线和椭圆相离 SKIPIF 1 < 0 直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 两点，则
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
同理可得 SKIPIF 1 < 0
这里 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
知识点三、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
①Δ＞0 SKIPIF 1 < 0 直线和双曲线相交 SKIPIF 1 < 0 直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0 SKIPIF 1 < 0 直线和双曲线相切 SKIPIF 1 < 0 直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 SKIPIF 1 < 0 直线和双曲线相离 SKIPIF 1 < 0 直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 两点，则
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
同理可得 SKIPIF 1 < 0
这里 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中，以 SKIPIF 1 < 0 为中点的弦所在直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
知识点四、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的方程y2=2px(p＞0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若 SKIPIF 1 < 0
①Δ＞0 SKIPIF 1 < 0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0 SKIPIF 1 < 0 直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 SKIPIF 1 < 0 直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 两点，则
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
同理可得 SKIPIF 1 < 0
这里 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
焦点弦长 SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0 ，其中|AF|叫做焦半径， SKIPIF 1 < 0
④焦点弦长最小值为2p。根据 SKIPIF 1 < 0 时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
【典例例题】
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1．若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有且只有一公共点，那么 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为方程 SKIPIF 1 < 0 表示的曲线为椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与椭圆的方程联立， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
例2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l与椭圆C的位置关系为( )
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】对于直线 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .∵ SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A.
题型二：椭圆的弦
例3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .联立 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例4．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过O作直线交椭圆于A、B两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为20，则直线AB的方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】由直线AB关于原点对称以及椭圆关于原点对称可知， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
过点A作AH垂直于x轴，垂足为H，则 SKIPIF 1 < 0 ，即点A的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程解得A的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
因此直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
题型三：椭圆的综合问题
例5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )上任意一点 SKIPIF 1 < 0 到两个焦点的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解析】(1)由椭圆的定义知， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 内一点，∴直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆必交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，不合题意，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均在椭圆上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
题型四：直线与双曲线的位置关系
例6．直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交，有且只有1个交点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相交，且有且仅有1个交点,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的渐近线 SKIPIF 1 < 0 平行，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
例7．若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个交点，则满足条件的直线 SKIPIF 1 < 0 有( )
A． SKIPIF 1 < 0 条B． SKIPIF 1 < 0 条C． SKIPIF 1 < 0 条D． SKIPIF 1 < 0 条
【答案】C
【解析】直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，又双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在其中一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 上，又直线与双曲线只有一个交点，则直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 或过点 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线的右支相切，即满足条件的直线 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 条.故选：C
题型五：双曲线的弦
例8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积；
(2)若直线MN的斜率为2，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
题型六：双曲线的综合问题
例9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支的一条切线，且与 SKIPIF 1 < 0 的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
【解析】(1)由题设可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设点M的横坐标为 SKIPIF 1 < 0
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，则直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 易知点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ﹔
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ∴此时点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大于2；
综上所述，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的最小距离为2．
题型七：直线与抛物线的位置关系
例10．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有且只有四条
【答案】B
【解析】根据题意，抛物线的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，若直线的斜率不存在，则 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，若直线的斜率存在，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以此时有两条直线满足题意，综上所述，符合题意得直线有且只有两条.故选：B.
题型八：抛物线的弦
例11．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物 SKIPIF 1 < 0 线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则弦 SKIPIF 1 < 0 的长为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由抛物线的焦点弦长公式可知， SKIPIF 1 < 0 .由抛物线方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以弦 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例12．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别向抛物线的准线作垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的准线交点为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的准线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由抛物线的定义， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又易知， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型九：抛物线的综合问题
例13．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【解析】(1)由题意，在抛物线 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由几何知识得， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意及(1)得，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，经检验，满足题意.
例14．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点都在抛物线E上，顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重心恰好是抛物线E的焦点F．求 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程．
【解析】(1)由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，∴抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由重心坐标公式得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴CD中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 方程： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 方程： SKIPIF 1 < 0 .
【过关测试】
一、单选题
1．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,将其代入 SKIPIF 1 < 0 中可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,故选：C
2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，M、N中点为D ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 因为M、N在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减整理得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
3．过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验此时 SKIPIF 1 < 0 与双曲线有两个交点.故选：A
4．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．1B．3C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
二、填空题
5．设P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则 SKIPIF 1 < 0 的值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．由点到直线的距离公式有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点作一直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的值是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意知，抛物线焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，从而设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，点P在双曲线C的右支上，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由双曲线右焦点 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、解答题
8．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离比它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离大1.
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)设动点 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离比它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离大 SKIPIF 1 < 0 ，
即动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的左右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】(1)由题意得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：由椭圆方程可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .