高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.3数列求通项6大题型(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.3数列求通项6大题型(精讲)(原卷版+解析)，共23页。


【知识必备】
1. 已知Sn求an
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
2.累加法、累乘法求an
(1)根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．
(2)根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出eq \f(an,a1)与n的关系式，进而得到an的通项公式．
3.构造法求an
观察题干给出的递推关系构造新的等差、等比数列求.
4.分奇偶求an
【题型精讲】
【题型一 由数列的前n项和Sn求an 】
方法技巧 已知Sn求an
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
例1 (2023·四川·什邡中学模拟）数列的前项和，则它的通项公式是_______．
例2 (2023·全国·高三阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.
例3 (2023·上海市七宝中学）设数列的前项和为，若，，则的通项公式为__________．
例4 (2023·全国·高三月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，求数列的通项公式。
例5 (2023·全国·高三课时练习）已知数列的首项，与前n项和之间满足，求数列的通项公式．
【题型精练】
1．(2023·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
2．(2023·全国高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为______．
3. (2023·广西·模拟预测）正项数列的前项和为，且有，则___________．
4. (2023·安徽宿州高三模拟）数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.
5. (2023·湖南·长郡中学一模）已知正项数列的前n项和为，且，．求数列的通项公式
【题型二 利用累加法求an】
方法技巧 累加法求an
根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．
例6 (2023·江苏江苏·一模）已知数列，，且，，求数列的通项公式
例7 (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式；
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.
2．(2023·河南·灵宝市高三模拟）已知数列满足，且,求数列的通项公式；
【题型三 利用累乘法求an】
方法技巧 累加法求an
根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出eq \f(an,a1)与n的关系式，进而得到an的通项公式．
例8 (2023·浙江高三模拟）已知数列满足，则数列的通项公式是______
例9 (2023·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式 .
【题型精练】
1．(2023·深圳实验学校高中部高三模拟）数列满足：，，则数列的通项公式
2．(2023·吉林白山市高三模拟）在数列中，，求数列的通项公式；
【题型四 构造法求通项公式】
方法技巧 构造法求an
观察递推关系的形式，构造出一个新的等差、等比数列，求出新的数列的通项，间接的求出an。
例10 (2023·历城二中月考）(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；
(2)已知a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋1)，求an.
例11 (2023·珠海市第二中学高三模拟）设为数列的前项和，，且，求数列的通项公式；
例12 (2023·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
例13 (2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三课时练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
3．(2023·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列满足，，则的前n项和为___________.
4．(2023·全国·模拟预测）已知数列满足：，，且，，，当取最小值时，__________．
【题型五 分奇偶求通项公式】
方法技巧 或型
构造隔项等差数列：两式相减得；
构造隔项等比数列：两式相除得
例14 ( 2022·山东省泰安市一模)在数列中，已知，记为的前项和，．
（1）判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；
（2）求数列的通项公式；
【题型精练】
1. (2023·云南·昆明一中月考）a1＝1，an＋1＋an＝2n,求数列的通项公式.
【题型六 周期数列求通项公式】
例15 (2023·鄂尔多斯市第一中学高三模拟）已知数列中，，()，则等于（ ）
A．B．C．D．2
【题型精练】
1. (2023·全国高三专题练习）已知数列为等差数列，数列的前n项和为，若，=6，则S2020=____________.
2. (2023·安徽合肥市·高三二模）设是数列的前项和，若，，则
A．B．C．D．
6.3 数列求通项6大题型
【题型解读】

【知识必备】
1. 已知Sn求an
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
2.累加法、累乘法求an
(1)根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．
(2)根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出eq \f(an,a1)与n的关系式，进而得到an的通项公式．
3.构造法求an
观察题干给出的递推关系构造新的等差、等比数列求.
4.分奇偶求an
【题型精讲】
【题型一 由数列的前n项和Sn求an 】
方法技巧 已知Sn求an
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
例1 (2023·四川·什邡中学模拟）数列的前项和，则它的通项公式是_______．
答案：
【解析】
分析：根据即可求出结果.
【详解】当时，，
当时，
经检验当时不符合，
所以，
故答案为：，
例2 (2023·全国·高三阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.
答案：
【解析】当时，.
当时，，①
.②
①②，得.
因为不满足上式，所以
故答案为：
例3 (2023·上海市七宝中学）设数列的前项和为，若，，则的通项公式为__________．
答案：
【解析】由得：，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；
当时，；
当时，；
经检验：不满足；
故答案为：.
例4 (2023·全国·高三月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，求数列的通项公式。
答案：
【解析】当时，，即，解得或（舍）.
当时，，，
两式相减得，
又数列的各项为正数，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以.
例5 (2023·全国·高三课时练习）已知数列的首项，与前n项和之间满足，求数列的通项公式．
答案：
分析：
根据，结合当时，，运算即可得出答案.
【解析】 当时，，∴，即，
∴是以1为首项，2为公差的等差数，
∴，即，
所以当时，．
又当时，不满足上式，
∴．
【题型精练】
1．(2023·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
答案：
【解析】
分析：利用通项和前n项和的关系可求的通项公式.
【详解】，整理得到，
故答案为：.
2．(2023·全国高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为______．
答案：
【解析】
分析：利用求解即可
【详解】当时，，得，
当时，由，得，
所以，
所以，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
故答案为：
3. (2023·广西·模拟预测）正项数列的前项和为，且有，则___________．
答案：
【解析】
分析：结合来求得.
【详解】依题意，，
当时，，
当时，，
，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
故答案为：
4. (2023·安徽宿州高三模拟）数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.
答案：
【解析】由得：
（且）
（且）即（且）
数列是第二项起公比为的等比数列，
（且）又不满足上式，
5. (2023·湖南·长郡中学一模）已知正项数列的前n项和为，且，．求数列的通项公式
答案：
【解析】(1)∵，∴．
当时，，∴，∴，
∵，∴．
∴数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵，∴为等差数列，通项公式为．
【题型二 利用累加法求an】
方法技巧 累加法求an
根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．
例6 (2023·江苏江苏·一模）已知数列，，且，，求数列的通项公式
答案：
【解析】因为，所有，
当时，，，……，，
相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式
例7 (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式；
答案：
分析：
设，，则，用累加法可先求出，从而得到答案.
【解析】
因为
设，，则，
当时，
，
又也满足，所以，由，则.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.
答案：
【解析】因为数列满足，，
所以当时，.
所以，，因为，也满足上式，所以数列的通项公式为，
故答案为：
2．(2023·河南·灵宝市高三模拟）已知数列满足，且,求数列的通项公式；
答案：
【解析】因为，所以，
，…，所以．
又，所以，所以．又，也符合上式，所以．
【题型三 利用累乘法求an】
方法技巧 累加法求an
根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出eq \f(an,a1)与n的关系式，进而得到an的通项公式．
例8 (2023·浙江高三模拟）已知数列满足，则数列的通项公式是______
答案：
【解析】∵∴，即，
∴，∴.n=1也适合故答案为：.
例9 (2023·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式 .
答案：或
【解析】依题意，
所以，
当时，，所以.
当时，，
所以
，
也符合上式.
所以.
综上所述，或.
【题型精练】
1．(2023·深圳实验学校高中部高三模拟）数列满足：，，则数列的通项公式
答案：
【解析】因为①；
当时，②；
①减②得，即，所以，所以，所以
所以，，，……，，
所以，所以，又，所以，当时也成立，所以
故答案为：
2．(2023·吉林白山市高三模拟）在数列中，，求数列的通项公式；
答案：
【解析】依题意，，
即，
所以
.故答案为：
【题型四 构造法求通项公式】
方法技巧 构造法求an
观察递推关系的形式，构造出一个新的等差、等比数列，求出新的数列的通项，间接的求出an。
例10 (2023·历城二中月考）(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；
(2)已知a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋1)，求an.
【解析】 (1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，
又a1＋1＝2≠0，于是可知{an＋1}为以2为首项，2为公比的等比数列.
即an＋1＝2n，∴an＝2n－1，∴所求通项公式为an＝2n－1.
(2)由an＋1＝eq \f(an,an＋1)得eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝1(常数)，
又eq \f(1,a1)＝1，∴{eq \f(1,an)}为以1为首项，1为公差的等差数列，
∴eq \f(1,an)＝n，从而an＝eq \f(1,n)，即所求通项公式为an＝eq \f(1,n).
例11 (2023·珠海市第二中学高三模拟）设为数列的前项和，，且，求数列的通项公式；
答案：
【解析】，，
又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，，
当时，，
故.
例12 (2023·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
例13 (2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式.
答案：
【解析】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三课时练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
对数列两边取倒数，然后构造等比数列，通过等比数列的通项公式即可求解.
【解析】
因为，所以两边取倒数得
，则，所以数列为等比数列，
则，所以，
故.
故选：C.
2．(2023·全国·课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
答案：．
【解析】由，得：，∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．
3．(2023·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列满足，，则的前n项和为___________.
答案：
【解析】数列满足，整理得：，所以，
又，故是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，所以的前项和
故答案为：
4．(2023·全国·模拟预测）已知数列满足：，，且，，，当取最小值时，__________．
答案：
【解析】
由得：，
设，则，，
又，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，，
，又，
由二次函数性质知：当时，取得最小值.
故答案为：.
【题型五 分奇偶求通项公式】
方法技巧 或型
构造隔项等差数列：两式相减得；
构造隔项等比数列：两式相除得
例14 ( 2022·山东省泰安市一模)在数列中，已知，记为的前项和，．
（1）判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；
（2）求数列的通项公式；
【解析】解：（1），
，，即

数列是以为首项，为公比的等比数列，
（2）由（1）可知，且，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
数列是以1为首项，为公比的等比数列，
当为奇数时，；当为偶数时，
【题型精练】
1. (2023·云南·昆明一中月考）a1＝1，an＋1＋an＝2n,求数列的通项公式.
【解析】∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2，
即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．
当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)－1))＝n－1.
当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.
综上所述，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n，n为奇数，,n－1，n为偶数，))n≥1，n∈N*.
【题型六 周期数列求通项公式】
例15 (2023·鄂尔多斯市第一中学高三模拟）已知数列中，，()，则等于（ ）
A．B．C．D．2
答案：A
【解析】∵，()，
，
，
，
，
…，
∴数列是以3为周期的周期数列，
，
，
故选：A.
【题型精练】
1. (2023·全国高三专题练习）已知数列为等差数列，数列的前n项和为，若，=6，则S2020=____________.
答案：
【解析】，
，∴的连续3项的和为常数列，
故答案为：．
2. (2023·安徽合肥市·高三二模）设是数列的前项和，若，，则
A．B．C．D．
答案：B
【解析】在数列中，，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，
，因此，.
故选：B.