高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.8空间几何体中求距离(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.8空间几何体中求距离(精练)(原卷版+解析)，共24页。


【题型一 点线距】
1.(2023·陕西安康·高三期末）如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·江苏南通市高三模拟）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．
(1)证明：平面平面ABC；
(2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离．
3. (2023·陕西高三模拟）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为
4. 已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A．B．
C．D．
【题型二 点面距】
1.(2023·全国高三模拟）已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·河北衡水中学高三模拟）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为___．
3. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中））将边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，则点到平面的距离等于（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国高三模拟）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且，．
(1)求证：平面PCD；
(2)若，，求点D到平面EFP的距离．
【题型三 线线距】
1.(2023·江西高三模拟）在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·重庆八中高三阶段练习）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．
3．(2023·全国·高三专题练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
【题型四 线面距】
1.(2023·山东·模拟预测）如图，在长方体中，，，.
(1)求直线与平面所成的角的大小；
(2)求直线到平面的距离.
2. (2023·广东佛山市高三模拟）如图，在正方体中，为的中点．
(1)证明：平面AD1E
(2)求直线到平面的距离；
3. (2023·云南昆明市高三模拟）如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面？若存在，求点H的位置；若不存在，说明理由；
(3)求EF到平面的距离．
【题型五 面面距】
1.(2023·山东·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，则A1B1到平面D1EF的距离是________．
2. (2023·广东佛山市高三模拟）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A．B．
C．D．
3. (2023·云南昆明市高三模拟）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求平面与平面的距离.
7.8 空间几何体中求距离
【题型解读】
【题型一 点线距】
1.(2023·陕西安康·高三期末）如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意知，，
取AC的中点O，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线的距离为：.
故选：D
2.(2023·江苏南通市高三模拟）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．
(1)证明：平面平面ABC；
(2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离．
答案：(1)见解析(2)
【解析】(1)取AC的中点O，连接，，，所以由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，
由，，所以所以平面ABC；
平面,所以平面平面ABC；
(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
所以
设可得，
设平面的法向量为则
即取
所以因为为平面ABC的一个法向量，
设平面与平面ABC夹角为，
解得，所以
所以点M到直线距离
3. (2023·陕西高三模拟）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为
答案：
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
4. 已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．
∴csθ＝＝.∴sinθ＝.
故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×.故答案为B
【题型二 点面距】
1.(2023·全国高三模拟）已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，
设平面的法向量，则，令，解得，
故点到平面的距离为.
故选：A.
2.(2023·河北衡水中学高三模拟）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为___．
答案：
【解析】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知，
所以在图2中，，所以，即
如图建立空间直角坐标系，易知
则
则
设为平面ABC的法向量，
则，取，得
所以点到平面的距离
故答案为：
3. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中））将边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，则点到平面的距离等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】取中点为,四边形是边长为2的正方形，，
则，，
由题知，平面平面，且交线为，.且平面，
则平面，又平面，所以，
在中，，
是等边三角形，则，
则在中，，
设点到平面的距离为，
则，即，即：，解得：，
即到平面的距离为．故选：D．
4. (2023·全国高三模拟）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且，．
(1)求证：平面PCD；
(2)若，，求点D到平面EFP的距离．
答案：(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：如图，取的中点，连接，．
在中，点，分别为，的中点，
∴且．
在矩形中，点为的中点，
∴且，∴且．
∴.四边形是平行四边形，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
(2)解：∵四边形是矩形，
∴．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴，
∵，，，平面.
∴平面，即就是点到平面的距离．
∵，平面，平面，所以平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离．
又∵，
∴．
同理可证平面，即，
且，， 平面，
∴平面.
∴，即．
∴，
∴点到平面的距离为．
【题型三 线线距】
1.(2023·江西高三模拟）在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系
则
设直线与的公垂线的方向向量为则
不妨令又
则异面直线与之间的距离故选：D
2.(2023·重庆八中高三阶段练习）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．
答案：
【解析】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,,
∴,,
设是，的公垂线方向上的单位向量，
则，即①，
，即②，
易知③，
联立解得，，或，，；
不妨取，
又∵,
则异面直线与的距离，
故答案为：.
3．(2023·全国·高三专题练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
，，
设与的公垂线的一个方向向量为，
则，取，得，，即，
又，所以异面直线与之间的距离为．故选：D．
4. (2023·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
答案：
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则有：
，，，，，
可得：
设，且
则有：，
可得：
则有：
故
则当且仅当时，
故答案为：
【题型四 线面距】
1.(2023·山东·模拟预测）如图，在长方体中，，，.
(1)求直线与平面所成的角的大小；
(2)求直线到平面的距离.
答案：(1)(2)
【解析】(1)在长方体中， 平面,
即 平面，则 即为直线与平面所成的角，
由于，，故，
即直线与平面所成的角为；
(2)在长方体中，
由于 ,故四边形是平行四边形，
故，而平面，平面，
故平面，则点B到平面的距离即为直线到平面的距离.；
而 ,
故 ,
设点B到平面的距离为h，
则,即 ,
则 ，
即直线到平面的距离为.
2. (2023·广东佛山市高三模拟）如图，在正方体中，为的中点．
(1)证明：平面AD1E
(2)求直线到平面的距离；
答案：(1)证明见解析(2)
【解析】（1），，四边形为平行四边形，，面，面，平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，，，，，平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，，直线到平面的距离为.
3. (2023·云南昆明市高三模拟）如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面？若存在，求点H的位置；若不存在，说明理由；
(3)求EF到平面的距离．
答案：(1)证明见解析(2)答案见解析(3)
【解析】(1)连接，由正方体的性质知：，所以四边形是平行四边形，所以
，又因为在三角形中，，平面，平面，平面.

(2)取的中点，则满足平面，证明如下：
连接交于，连接，，，，，，
则，，，，
∴在中，由，得，
∴在中，由，得，
∴在中，由，得，
∴在中，，，
又∵，，平面，
∴平面
(3)平面，又因为平面，为交的交点，所以EF到平面的距离即为，由（2）知
【题型五 面面距】
1.(2023·山东·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，则A1B1到平面D1EF的距离是________．
答案：
【解析】因为，且面，所以，面，则A1B1到平面D1EF的距离为到面的距离，且明显可见，面，对于三棱锥，有，设到面的距离为，
由题意得，，，，在中，得到，
，所以，
，化简得
，
进而可得，
故答案为：
2. (2023·广东佛山市高三模拟）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．
3. (2023·云南昆明市高三模拟）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求平面与平面的距离.
答案：(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】(1)证明：在直三棱柱中，
为的中点，，，
故，
因为，
所以，
又平面，平面，
所以，
又因，，
所以平面，
又平面，所以，
又，
所以平面；
(2)证明：取的中点，连接，
则为的中点，
因为，，分别为，，的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因，平面，平面，
所以平面平面；
(3)
设，
因为平面，平面平面，所以平面，
所以即为平面与平面的距离，
因为平面，所以，
，
所以，
即平面与平面的距离为.