高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.1三角函数概念和诱导公式(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.1三角函数概念和诱导公式(精讲)(原卷版+解析)，共19页。


【知识必备】
1．角的概念
(1)任意角：
①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点；
②角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
(3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为轴线角．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．弧度的单位符号是“rad”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad常常省略不写）．
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq \f(l,r).正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|·r2.
3．任意角的三角函数
（1）单位圆定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
（2）比值式定义：设P(x，y)是角α终边上任意一点，且|OP|＝r(r＞0)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
注意：三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)，但若不是单位圆时，设|OP|＝r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
（3）三角函数值在各象限的符号：
记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值为正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值.
4．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan α.
5.诱导公式
统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
【题型精讲】
【题型一 扇形面积公式与弧度制】
必备技巧 扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
例1 (2023·咸阳百灵学校高三月考）已知扇形周长是60.
（1）当半径r=20，求扇形面积.
（2）当半径为何值时，扇形有最大面积？
（3）并求出最大面积和此时扇形的圆心角.
【跟踪精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
3. (2023·全国·高三专题练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.012米B．1.768米C．2.043米D．2.945米
4. (2023·浙江高三模拟）三星堆古遗址位于四川省广汉市西北的鸭子河南岸，是迄今在西南地区发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古蜀文化遗址．青铜太阳轮是三星堆出土器物中最具神秘色彩的器物之一，该文物中央凸起，周围均匀分布了五个芒条，现将该太阳轮的中心记为点，相邻的两个芒条与圆轮交于、两点，如图，某考古工作人员为了估计该太阳轮的圆轮周长，现测得、两点间的距离约为，则太阳轮的圆轮周长约为______．（参考数据：，）．
【题型二 三角函数的定义】
必备技巧 三角函数定义考查
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
例2 （1）(2023·河南洛阳）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）．
A．B．C．D．
（2）(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
例3 (2023·河北·石家庄二中模拟预测）若角满足，，则在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【跟踪精练】
1．(2023·河南）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值是（ ）
A．B．或C．D．
2．(2023·全国高三练习）已知角的终边上一点坐标为，且为第二象限角，，则_________，________．
3．(2023·全国·高三专题练习）如果，且，则的化简为_____.
【题型三 同角三角函数关系应用】
必备技巧 同角三角函数关系应用
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
例4（1）(2023·青海西宁）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
（2）(2023·广东惠州·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例5(2023·北京市昌平区实验学校高三期中）已知角的终边过点，求：
①；②；③
【跟踪精练】
1．(2023·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知角，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·湖南益阳·一模）若，则
A．B．C．D．
【题型四 三角函数诱导公式的应用】
必备技巧 利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(3)常见的互余的角：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，常见的互补的角：eq \f(π,6)＋α与eq \f(5π,6)－α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(2π,3)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(3π,4)－α等．
例6(2023·绥德中学高三月考）化简：.
例7（1）(2023·江西九江市·九江一中高三期中）已知，则( )
A．B．C．D．
（2）(2023·富川瑶族自治县高级中学高三期中）当时，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【跟踪精练】
1. (2023·江西省临川）化简（ ）
A．1B．C．D．
2.(2023·建平县实验中学高三期末）（多选）已知，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
角
函数
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
4.1 三角函数概念和诱导公式
【题型解读】
【知识必备】
1．角的概念
(1)任意角：
①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点；
②角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
(3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为轴线角．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．弧度的单位符号是“rad”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad常常省略不写）．
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq \f(l,r).正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|·r2.
3．任意角的三角函数
（1）单位圆定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
（2）比值式定义：设P(x，y)是角α终边上任意一点，且|OP|＝r(r＞0)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
注意：三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)，但若不是单位圆时，设|OP|＝r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
（3）三角函数值在各象限的符号：
记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值为正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值.
4．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan α.
5.诱导公式
统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
【题型精讲】
【题型一 扇形面积公式与弧度制】
必备技巧 扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
例1 (2023·咸阳百灵学校高三月考）已知扇形周长是60.
（1）当半径r=20，求扇形面积.
（2）当半径为何值时，扇形有最大面积？
（3）并求出最大面积和此时扇形的圆心角.
答案：（1）；（2）；（3），.
【解析】（1）设扇形所对应的圆心角为，由题意知，所以，因此扇形的面积为；
（2）设扇形所对应的圆心角为，半径为，由题意知，即，则因此扇形的面积为；根据二次函数的性质，当时，扇形的面积最大；
（3）由（2）知当时，扇形的面积最大，扇形的面积最大值为，此时；
【跟踪精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角的弧度数为，由题意得，变形可得，因为，所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为．故选：A.
2．(2023·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
答案： 1 2 1
【解析】，则，
则时，面积最大为，此时圆心角，
所以答案为1；2；1.
3. (2023·全国·高三专题练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.012米B．1.768米C．2.043米D．2.945米
答案：B
【解析】由题得：弓所在的弧长为：；
所以其所对的圆心角；
两手之间的距离．故选：B．
4. (2023·浙江高三模拟）三星堆古遗址位于四川省广汉市西北的鸭子河南岸，是迄今在西南地区发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古蜀文化遗址．青铜太阳轮是三星堆出土器物中最具神秘色彩的器物之一，该文物中央凸起，周围均匀分布了五个芒条，现将该太阳轮的中心记为点，相邻的两个芒条与圆轮交于、两点，如图，某考古工作人员为了估计该太阳轮的圆轮周长，现测得、两点间的距离约为，则太阳轮的圆轮周长约为______．（参考数据：，）．
答案：
【解析】连接、、，由题意得，
取的中点，连接，则，，从而，
因此太阳轮的圆轮周长为．
故答案为：.
【题型二 三角函数的定义】
必备技巧 三角函数定义考查
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
例2 （1）(2023·河南洛阳）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由正切函数的定义得
．故选：C
（2）(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵，∴，故选：A.
例3 (2023·河北·石家庄二中模拟预测）若角满足，，则在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：B
【解析】，是第二或第四象限角；
当是第二象限角时，，，满足；
当是第四象限角时，，，则，不合题意；
综上所述：是第二象限角.
故选：B.
【跟踪精练】
1．(2023·河南）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值是（ ）
A．B．或C．D．
答案：D
【解析】．
因为，，，所以，所以，故选：D．
2．(2023·全国高三练习）已知角的终边上一点坐标为，且为第二象限角，，则_________，________．
答案：
【解析】因为为终边上的一点，，所以，解得．
又因为为第二象限角，所以即．所以．故答案为：
3．(2023·全国·高三专题练习）如果，且，则的化简为_____.
答案：
【解析】∵，且，∴是第二象限角，
∴．
故答案为：．
【题型三 同角三角函数关系应用】
必备技巧 同角三角函数关系应用
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
例4（1）(2023·青海西宁）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】点的纵坐标为，且，所以在第三象限，所以，
，.故选：B
（2）(2023·广东惠州·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，且，，
所以，，
所以.
故选：A.
例5(2023·北京市昌平区实验学校高三期中）已知角的终边过点，求：
①；②；③
答案：①；②；③.
【解析】①因为角的终边过点，所以，，
由三角函数的定义可得：
②，
③.
【跟踪精练】
1．(2023·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知角，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以，所以，.故选：B
2．(2023·全国·高三阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为，所以，所以同号，即，
，，从而，
，所以，
．
故选：C．
3．(2023·湖南益阳·一模）若，则
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由可知：∴，∴，
又==.故选C.
【题型四 三角函数诱导公式的应用】
必备技巧 利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(3)常见的互余的角：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，常见的互补的角：eq \f(π,6)＋α与eq \f(5π,6)－α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(2π,3)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(3π,4)－α等．
例6(2023·绥德中学高三月考）化简：.
答案：1
【解析】由诱导公式可得，
例7（1）(2023·江西九江市·九江一中高三期中）已知，则( )
A．B．C．D．
（2）(2023·富川瑶族自治县高级中学高三期中）当时，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：（1）B（2）B
【解析】（1）∵，，
∴由诱导公式可得，，
故选：B.
（2）∵
∴，
∴，
∴．
故选：B
【跟踪精练】
1. (2023·江西省临川）化简（ ）
A．1B．C．D．
答案：B
【解析】故选：B
2.(2023·建平县实验中学高三期末）（多选）已知，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
【解析】由，可得，
，
，
．
故选：BD
角
函数
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限