高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.5解三角形6大常考题型(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.5解三角形6大常考题型(精练)(原卷版+解析)，共19页。


【题型一 已知边角元素解三角形】
1.(2023·山东济南一模）中内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·重庆市育才中学高三二模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
3.(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测）））在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角A，，的对边分别为，，，面积为S，且，，________？
4．(2023·四川·树德中学模拟）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（ ）
A．B．C．D．
【题型二 已知边角关系解三角形】
1.(2023·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·安徽马鞍山·一模）已知的内角的对边分别为，设，，则 （ ）
A．B．C．D．
4. (2023·山东潍坊·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．
(1)求角B的大小；
(2)若，求．
【题型三 判断三角形形状】
1.(2023·全国·高三专题练习）设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
2.(2023·四川省峨眉第二中学校月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
3. (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
4. (2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【题型四 三角形解的个数问题】
1.(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（ ）
A．4B．C．D．
2.(2023·浙江·高三专题练习）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ）
A．2B．1C．0D．不确定
3. (2023·全国·高三专题练习）中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（ ）
A．①④B．①②C．①②③D．③④
4. (2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（ ）
A．3B．4C．D．
【题型五 解三角形中的最值范围问题】
1.(2023·宁夏石嘴山·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·广东江门·模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三课时练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为S，若.
(1)求角C；
(2)求的取值范围.
4. (2023·陕西高三期中）在中，，，分别是角，，的对边，并且．
（Ⅰ）已知_______，计算的面积；
请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．
（Ⅱ）求的最大值．
【题型六 解三角形实际应用问题】
1.(2023·山东省六地市部分学校高三3月线考）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
2. (2023·山东泰安·高三期末）为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.
(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
4.5 解三角形6大常考题型
【题型解读】
【题型一 已知边角元素解三角形】
1.(2023·山东济南一模）中内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由余弦定理得：，所以.故选：A.
2.(2023·重庆市育才中学高三二模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
答案：A
【解析】由题意可得，则或.因为，所以，所以.
故选：A
3.(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测）））在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角A，，的对边分别为，，，面积为S，且，，________？
答案：答案不唯一，具体见解析
【解析】由题意可知在中，
因为，且，
所以，由余弦定理可知，
所以
因为，所以；
若选①，由正弦定理可得，
解得，
在中，因为，所以，
又因为，则角A只有一解，且，
所以．
若选②，由正弦定理可得，
解得，
在中，因为，所以，
又因为，则角A有两解，
所以．
若选③，由正弦定理可得，
解得，因为，
所以无解，即三角形不存在．
4．(2023·四川·树德中学模拟）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由已知得，由，得，所以，得，
由余弦定理得，又，所以．
故选：B．
【题型二 已知边角关系解三角形】
1.(2023·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为由正弦定理可得，所以又
所以故选:D
2.(2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】在中，因为，
由正弦定理，可得，即，
可得，
因为，可得，即，
因为，可得，所以.故选：C.
3．(2023·安徽马鞍山·一模）已知的内角的对边分别为，设，，则 （ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】在中，由及正弦定理得：，
即，由余弦定理得：，而，解得，
由得，显然，则，，
所以.故选：C
4. (2023·山东潍坊·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．
(1)求角B的大小；
(2)若，求．
答案：(1)
(2)
【解析】(1)因为，
所以，.
又因为，所以.
(2)因为，所以，
即，
所以，.
因为，，
所以，即.
.
【题型三 判断三角形形状】
1.(2023·全国·高三专题练习）设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
答案：B
【解析】因的三个内角，而，则，
又，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，
所以是等边三角形.故选：B
2.(2023·四川省峨眉第二中学校月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
答案：B
【解析】由，可得，所以，所以.
在中，，故，
因为，所以，因为，所以，故为直角三角形.故选：B
3. (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
答案：ACD
【解析】对于A，因为，所以，
，
因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；
对于B：由及正弦定理，可得，
即，所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；
对于C：由及正弦定理化边为角，
可知，即，
因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；
对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确；故选：ACD.
4. (2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
答案：A
【解析】因为，由正弦定理可得：，整理可得：，
即，所以或者，所以或，
而当时则，所以三角形为直角三角形，所以，
则中，这时，分母为0无意义所以，选：A．
【题型四 三角形解的个数问题】
1.(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（ ）
A．4B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，根据正弦定理有，所以，
要使三角形有两组解，则，且，即，所以，
所以a的值可以为．故选：C．
2.(2023·浙江·高三专题练习）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ）
A．2B．1C．0D．不确定
答案：A
【解析】由正弦定理知，，即 ，解得，
又，由三角函数性质知角B由两个解，
当角B为锐角时，满足，即存在；
当角B为钝角时，，，
则满足，即存在；故有两个解.
故选：A
3. (2023·全国·高三专题练习）中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（ ）
A．①④B．①②C．①②③D．③④
答案：B
【解析】①，三角形有两解；②，三角形有两解；③，三角形有一解；④，三角形无解.故选：B.
4. (2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（ ）
A．3B．4C．D．
答案：B
【解析】由已知，到直线的距离为，所以当或时，即或时，满足条件的三角形有且只有一个.
所以对于A，符合，故三角形有一解；
对于B：当b=4时，符合，故三角形有两解；
对于C：符合，故三角形有一解；
对于D：符合，故三角形有一解.
故选：B.
【题型五 解三角形中的最值范围问题】
1.(2023·宁夏石嘴山·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
2.(2023·广东江门·模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】在中，由，，成等差，可得，
由，得，．
由余弦定理，可得，
又，当且仅当时等号成立，即
，即，解得
所以的取值范围是．
故选：A
3. (2023·全国·高三课时练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为S，若.
(1)求角C；
(2)求的取值范围.
答案：(1)； (2).
【解析】
(1)由题设，，而，
所以，又，
所以，又，且，
所以且，则.
(2)由（1），，
由，则.
所以，故.
4. (2023·陕西高三期中）在中，，，分别是角，，的对边，并且．
（Ⅰ）已知_______，计算的面积；
请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．
（Ⅱ）求的最大值．
【解析】（Ⅰ）∵b2+c2−a2=bc，
∴由余弦定理知，csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．
选择①②：∵b2+c2−a2=bc，
∴4+c2−7=2c，即c2−2c−3=0，解得c=3或−1（舍负），
∴∆ABC的面积S=12bc∙sinA=12×2×3×sinπ3=332．
选择①③：由正弦定理知，bsinB=csinC，
∵sinC=2sinB，∴c=2b(∗)∵b2+c2−a2=bc
∴b2+c2−7=bc(∗)，由∗构成的方程组，解得b=7，c=27.
∴∆ABC的面积S=12bc∙sinA=12×7×27×sinπ3=732．
选择②③：由正弦定理知，bsinB=csinC，
∵sinC=2sinB，∴c=2b=4，
∴∆ABC的面积S=12bc∙sinA=12×2×4×sinπ3=23．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A=π3，∴B+C=2π3，
∴csB+csC=csB+cs2π3−B=csB−12csB+32sinB=sin⁡(B+π6)，
∵0∴sinB+π6∈(12,1]，故csB+csC的最大值为1
【题型六 解三角形实际应用问题】
1.(2023·山东省六地市部分学校高三3月线考）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
答案：(1)海里
(2)游船应该沿北偏东的方向航行.
【解析】(1)解：(1)在中，
，根据余弦定理得：.
.
所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.
(2)解：(2)根据正弦定理得：
解得
在中，
为锐角
.
由得游船应该沿北偏东的方向航行
答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.
2. (2023·山东泰安·高三期末）为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.
(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
答案：(1)(2)1000米.
【解析】(1)在中，由正弦定理得，
即，
所以，由题可知，，
所以，即.
(2)由（1）可知，，
在中，由余弦定理得
，
所以，
故两隧道口间的距离为1000米.