4.3三角函数图象和性质（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

4.3  三角函数图象和性质

【题型解读】

【知识必备】

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

2．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, , π, , 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.

3．三角函数图象变换

【题型精讲】

【题型一　三角函数图象变换】

必备技巧 三角函数图象变换技巧

(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．

例1  　（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）为了得到的图象，可将函数的图象（       ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】C

【解析】依题意，，

所以可由向左平移个单位得到.故选：C

例2  　（2022·河南洛阳·模拟预测）已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（       ）

A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度

B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度

C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度

D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度

【答案】C

【解析】A. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，A错；

B. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，B错；

C. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，C正确；

D. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，D错误；故选：C．

【跟踪精练】

1．（2022·江苏连云港市高三一模）要得到函数的图象，则（    ）

A．可将函数的图象向右平移个单位得到

B．可将函数的图象向左平移个单位得到

C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到

D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到

【答案】C

【解析】对于A选项：变换后，故A错误；

对于B选项：变换后，故B错误；

对于C选项：变换后，故C正确；

对于D选项：变换后，故D错误.故选：C.

2．（2022·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】的图象向左平移个单位长度得的图象,

向右平移（）个单位长度得的图象,

由题意得 （）所以（） 又 ,故的最小值为, 故选：A

3. （2022·陕西·二模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（       ）

A．向左平移是个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移登个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【解析】因为函数，

，

所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.

故选：B.

【题型二　求三角函数解析式】

必备技巧  y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法

(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．

例3　（2022·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由图象可得，解得A=2，k=1，由正弦型图象性质可得，

所以，解得，又，且，所以，所以.故选：A

【跟踪精练】

1． （2022·全国高三课时练习）已知函数的部分图象如图所示.则A，，的一个数值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由图可知，，即，所以，

所以函数解析式为，

将代入得：，

则，所以，

所以A选项符合，BCD不符合.

故选：A．

2. （多选）（2022·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）

A．的振幅为2 B．为的对称中心

C．向右平移单位后得到的函数为奇函数 D．在上的值域为

【答案】ABC

【解析】观察图象得：A=2，周期T，则，

由得，而，则，

所以有，显然A正确；，B正确；

向右平移得是奇函数，C正确；

时，，，，D错误.故选：ABC

【题型三　三角函数五大性质之值域】

必备技巧   求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

例4　(1)（2022·天津高三月考）函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．

（2）（2022·四川资阳市高三月考）函数的最大值为                

（3）（2022·河北高三期末）设x∈，则函数y＝的最大值为________．　

（4）（2022·甘肃高三期末）函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为____________．

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】(1)当x∈时，2x－∈，∴sin∈，故3sin∈，

∴函数f(x)在区间上的值域为.

（2）函数，

令，，则，，

所以当时，函数取得最大值为.

（3）因为x∈，所以tan x＞0，y＝＝＝＝≤＝，

当且仅当3tan x＝时等号成立，故最大值为.

(4)设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，

∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为.

【题型精练】

1．（2022·吉林高三期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.

【答案】1或

【解析】由题设，，则，

在上，当则，故；当则，故；

综上，最大值与最小值的和为1或.故答案为：1或

2．（2022·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则，

所以，且，又的值域为，

所以，即实数的取值范围为.故选：C.

3. （2022·全国·专题练习）已知函数．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】因为，

因为，所以，所以所以的值域为，

关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，所以，所以，所以实数的取值范围是故答案为：

【题型四  三角函数五大性质之单调性】

方法技巧   已知三角函数解析式求单调区间

求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

例5　（2022·重庆·模拟预测）函数的单调递减区间为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为

故选：C

例6　（2022·河南商丘市高三模拟）函数在上单调递减，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】（1）A（2）C

【解析】（1）因为函数的单调递增区间为，

对于函数，由，

解得，

取，可得函数的一个单调递增区间为，

则，，A选项满足条件，B不满足条件；

取，可得函数的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件.选：A.

（2）由题意可得，

因为，所以，

令，由此可得，

因为在上单调递减，所以由此解得.故选：C.

【题型精练】

1．（2022·上海高三模拟）设定义在上的函数，则（    ）

A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数

C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数

【答案】A

【解析】对于A，当时，，函数为减函数，所以为增函数，故A正确；

对于B，当时，，函数先递减后递增，所以先递增后递减，故B不正确；

对于C，当时，，函数先递增后递减 ，所以先递增后递减，故C不正确；

对于D，当时，，函数为递减函数，所以为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以为增函数，故D不正确.

故选：A

2. （2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件

【答案】A

【解析】∵，∴，

由于函数f（x）在上单调递增，

∴（）解得，（）

故只能取，即，

∴“函数f（x）在上单调递增”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3. （2022·四川·泸县五中二模）将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有 （       ）

A．为奇函数，在上单调递減

B．为偶函数，在上单调递增

C．周期为π，图象关于点对称

D．最大值为1，图象关于直线对称

【答案】D

【解析】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象.

为偶函数，，，函数单调递减，故A不正确；

，，，，函数不单调，故B错误；

的周期为，当时，，故C错误；

g（x）最大值为1，当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，

故选：D．

【题型五  三角函数五大性质之奇偶性、周期性、对称性】

例7　（2022·湖南周南中学高三月考）（多选）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象（x∈R），下列结论错误的是（    ）

A．函数的图象最小正周期为

B．函数的图象关于点对称

C．函数的图象在上单调递增

D．函数的图象关于直线对称

【答案】ABD

【解析】

向右平移个单位长度，得到，再将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到，即.

对于A：最小正周期为.故A错误；

对于B：当时，，故不是对称中心.故B错误；

对于C：当时，，而，

因为在上单调递增，所以函数在上单调递增.故C正确；

对于D：当时，，所以不是的对称轴.故D错误.

故选：ABD

例8　（2022·天津·静海一中高三阶段练习）关于函数，有下列命题：

①函数是奇函数；

②函数的图象关于直线对称；

③函数可以表示为；

④函数的图象关于点对称

其中正确的命题的个数为（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【解析】对①，，函数不是奇函数，故①错误；

对②，由，所以函数图象关于直线对称，故②正确；

对③，，故③正确；

对④，由函数，所以函数的图象关于点对称，故④正确，

共有3个正确，

故选：B.

【题型精练】

1.（2022·湖南益阳高三月考）函数的图象如图所示，先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）

A．函数是奇函数 B．函数在区间上是增函数

C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称

【答案】D

【解析】由图得函数的周期，所以.

因为函数的图象过点，所以，所以，

所以.因为，所以，所以.

先将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到.

对于A选项，因为函数为偶函数，故A错误；

对于B选项，令，则，

而，故B错误；

对于C选项，令，则，所以函数的对称中心为，故C错误；

对于D选项，令，则，所以函数的对称轴为，当时，有，即D正确.故选：D.

2. （2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（       ）

A．是偶函数

B．的最小正周期是

C．在区间上单调递增

D．的图象关于直线对称

【答案】C

【解析】A选项，定义域为R，且

，

所以是奇函数，A错误；

当时，

画出图象，

显然的最小正周期是，B错误；

在区间上单调递增，选项C正确；

直线不是的对称轴，D错误；

故选：C．

【题型六  三角函数大题综合】

例9　（2022·呼和浩特开来中学月考）已知函数.

(1)求的值及f(x)的对称轴；

(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.

【答案】（1），； （2）。

【解析】（1）由函数，

则，

令，解得，

即函数的对称轴的方程为

（2）由（1）可知函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，

可得的图象，

令，解得，

所以函数的单调递增区间为.

【题型精练】

1. （2022·浙江浙江·二模）已知函数，．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数的值域．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)由由

得所以函数的单调递增区间为：

(2)由，则

所以

由，则

所以函数的值域为

2. （2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数满足：

①的最大值为2；②；的最小正周期为．

(1)求的解析式；

(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．

【答案】(1)

(2)，

【解析】(1)

由条件③，得又，所以．

由条件①，得，又，所以．

由条件②，得，又，所以．

所以．

经验证，符合题意．

(2)

函数的单调递增区间为．

由，得．又因为，

所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为.

因为，所以，

所以当，即时，取得最小值，．

故在区间上的单调递增区间为，最小值为.