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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第02讲平面向量的加、减法运算(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第02讲平面向量的加、减法运算(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了相反向量，向量的减法运算，向量化简后等于，在平行四边形中，等于等内容，欢迎下载使用。
向量的加法运算
知识点2 向量的减法
1、相反向量
(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互为相反向量，则，，0
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
2、向量的减法运算
考点一 向量的加法运算
解题方略
（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．
三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．
当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．
向量的加法法则
已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据向量的三角形法则和平行四边形法则作图．
【例1】如图，已知向量，，求作向量．
变式1：如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
向量的加法运算
在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.
【例2】化简：(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； (2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))； (3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
变式1：向量﹒化简后等于（ ）
A.B.0C.D.
变式2：化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3：已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知正六边形，则 （ ）
A．B．C．D．
变式1：如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
(2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝________；
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝________；
(4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝________.
变式2：如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3：如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
变式5：如图，在中，为的中点，为上一点，则（ ）
A．B．C．D．
变式6：已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的（ ）
A．B．
C．D．
变式7：在四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，则( )
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
【例4】在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（ ）
A．B．C．12D．6
变式1：如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|AB+FE+CD|=( )
A.1B.2C.3D.23
向量加法的应用
要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.
【例5】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
向量加法的实际应用
向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：
1将应用问题中的量抽象成向量；
2化归为向量问题，进行向量运算；
3将向量问题还原为实际问题.
【例6】某人在静水中游泳，速度为4eq \r(3)千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
变式1：一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
考点二 向量的减法运算
相反向量
【例7】若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）．
A．B．C．D．
变式1：向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为实数0C．与方向相同D．
变式2：如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
向量的减法法则
1.作两向量的差的步骤
eq \x(移)—eq \x(平移向量使之共起点)
↓
eq \x(连)—eq \x(连接两向量的终点，方向指向被减向量.)
2．求两个向量的减法的注意点
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．
(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．
【例8】如图，在各小题中，已知，分别求作．
变式1：如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
向量的减法运算
1首尾相接且为和；2起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.
【例9】化简eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))得( )
A．eq \(AB,\s\up6(→)) B．eq \(AD,\s\up6(→)) C．eq \(BC,\s\up6(→)) D．0
变式1：化简：(1)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋(－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(MO,\s\up6(→)))； (2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→)).
变式2：化简下列各式：
①；②；③；④.
其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3：下列四式不能化简为的是（ ）
A． B． C． D．
【例10】在正方形中，（ ）
A．B．C．D．
变式1：在五边形中（如图），（ ）
A．B．C．D．
变式2：在五边形中（如图），下列运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3：如右图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
（三）向量减法的应用
【例11】已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A．0B．1C．D．2
【例12】在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
变式1：已知△OAB中，eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
变式2：已知非零向量a，b满足|a|＝eq \r(7)＋1，|b|＝eq \r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为 ．
第四关
巩固练习识梳理
练习一 向量的加法运算
1、如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
2、化简(1)eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(AB,\s\up10(→))； (2)eq \(AO,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))； (3)eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→)).
(4)eq \(DB,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))； (5)(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→)).
3、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
4、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
5、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
6、在平行四边形中，等于（ ）
A．B．C．D．
7、如图所示,点O是正六边形的中心,则( )
A.B.0C.D.
8、如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))； ②eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； ③eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)).
9、已知正方形的边长为，设，，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
10、在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
练习二 向量的减法运算
1、如图，已知向量，，求作向量．
2、化简（1）(eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→)))－(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(BD,\s\up10(→))) (2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))；(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))．
3、化简得（ ）
A． B． C．D．
4、在△ABC中，eq \(BC,\s\up7(→))＝a，eq \(CA,\s\up7(→))＝b，则eq \(AB,\s\up7(→))等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b) C．a－bD．b－a
5、在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．C．D．
6、(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
7、在△ABC中，|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|＝|eq \(CA,\s\up7(→))|＝1，则|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))|＝________.
向量运算
定义
法则(或几何意义)
加法
求两个向量和的运算
向量加法的三角形法则：
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．21·世纪*
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
向量加法的平行四边形法则：
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．
www -2-
向量加法的三角形法则：（类比位移） 记忆口诀：首尾相接首尾连
平行四边形法则：（类比力的合成） 记忆口诀：共起点，连对角
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
向量加法的运算律： 交换律：； 结合律：．
和向量的模与原向量之间的关系：一般地，我们有．
当与共线且同向时，；
当与共线且异向时，；
当与不共线时，．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
减法
向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．
向量减法的三角形法则：
如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．
向量减法的平行四边形法则：
如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．
向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减
向量的加法和减法的运算问题
关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．
第2讲 平面向量的加、减法运算
知识点1 向量的加法
向量的加法运算
知识点2 向量的减法
1、相反向量
(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互为相反向量，则，，0
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
2、向量的减法运算
考点一 向量的加法运算
解题方略
（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．
三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．
当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．
向量的加法法则
已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据向量的三角形法则和平行四边形法则作图．
【例1】如图，已知向量，，求作向量．
【解析】（1）平移，使其起点与起点重合，再应用平行四边形法则，作出，如下图示：
（2）平移，使其终点与起点重合，再以的起点为起点，的终点为终点作，如下图示：
变式1：如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
【解析】将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；
将两个向量的起点移到点，利用平行四边形法则，以、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量.如图所示，．
（1）；
（2）；
（3） ；
（4）.
向量的加法运算
在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.
【例2】化简：(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； (2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))； (3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
【解析】(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))
＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝0.
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
变式1：向量﹒化简后等于（ ）
A.B.0C.D.
【解析】
, 故选D.
变式2：化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】对于①：，
对于②：，
对于③：，
对于④：，
所以结果为的个数是，
故选：B
变式3：已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】＝＋＋＝＝＝2．故选：C
【例3】已知正六边形，则 （ ）
A．B．C．D．
【解析】因为正六边形，所以，所以.
故选：C
变式1：如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
(2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝________；
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝________；
(4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝________.
【解析】(1)eq \(AC,\s\up6(→)) (2)eq \(AO,\s\up6(→)) (3)eq \(AD,\s\up6(→)) (4)
变式2：如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；
对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；
对于C，利用三角形法则知，故C错误；
对于D，利用三角形法则知，故D正确；
故选：D
变式3：如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，设交于点，则.
故选：D
变式4：已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【解析】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：B
变式5：如图，在中，为的中点，为上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为为的中点，所以.
故选：A
变式6：已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得，故A正确；
由，故B正确；
根据平行四边形法则，可得，故C正确，D不正确.故选：D.
变式7：在四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，则( )
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
【解析】由eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．
【例4】在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（ ）
A．B．C．12D．6
【解析】因为，
所以的长度为的模的2倍．
又，
所以向量的长度为
故选：B
变式1：如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|AB+FE+CD|=( )
A.1B.2C.3D.23
【解析】由题,可知FE=BC,所以|AB+FE+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.故选B.
向量加法的应用
要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.
【例5】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
证明：如图，根据向量加法的三角形法则有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)).
又∵eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
∴AB∥DC且AB＝DC，即AB与DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
向量加法的实际应用
向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：
1将应用问题中的量抽象成向量；
2化归为向量问题，进行向量运算；
3将向量问题还原为实际问题.
【例6】某人在静水中游泳，速度为4eq \r(3)千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
【解析】如图，设此人的实际速度为eq \(OD,\s\up6(→))，水流速度为eq \(OA,\s\up6(→))，游速为eq \(OB,\s\up6(→))，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，则|eq \(OD,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，cs∠DAO＝eq \f(\r(3),3).故此人沿向量eq \(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为eq \f(\r(3),3))，实际前进的速度大小为4eq \r(2)千米/小时．
变式1：一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
【解析】如图所示，eq \(OA,\s\up6(→))表示水流速度，eq \(OB,\s\up6(→))表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，eq \(OC,\s\up6(→))表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝5..∵四边形OACB为矩形，
∴|eq \(OA,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,tan 30°)＝5eq \r(3)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(OB,\s\up6(→))|,sin 30°)＝10，
∴水流速度大小为5eq \r(3) km/h，船实际速度为10 km/h.
考点二 向量的减法运算
相反向量
【例7】若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）．
A．B．C．D．
【解析】由平行向量的定义可知项正确；因为和的方向相反，所以，故项正确；
由相反向量的定义可知，故选项正确；由相反向量的定义知，故项错误；
故选：C．
变式1：向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为实数0C．与方向相同D．
【解析】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
变式2：如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【解析】因为，所以四边形是平行四边形，
所以，互相平分，所以，即与为相反向量.
故选：B
向量的减法法则
1.作两向量的差的步骤
eq \x(移)—eq \x(平移向量使之共起点)
↓
eq \x(连)—eq \x(连接两向量的终点，方向指向被减向量.)
2．求两个向量的减法的注意点
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．
(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．
【例8】如图，在各小题中，已知，分别求作．
【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，
如图，，
(1) (2)
(3) (4)
变式1：如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
【解析】如图，以A为起点分别作向量eq \(AB,\s\up6(→))和eq \(AC,\s\up6(→))，使eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝B．连接CB，得向量eq \(CB,\s\up6(→))，再以点C为起点作向量eq \(CD,\s\up6(→))，使eq \(CD,\s\up6(→))＝c．连接DB，得向量eq \(DB,\s\up6(→)).则向量eq \(DB,\s\up6(→))即为所求作的向量a－b－c．
向量的减法运算
1首尾相接且为和；2起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.
【例9】化简eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))得( )
A．eq \(AB,\s\up6(→)) B．eq \(AD,\s\up6(→)) C．eq \(BC,\s\up6(→)) D．0
【解析】(1)解法一：eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0．
解法二：eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0．
变式1：化简：(1)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋(－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(MO,\s\up6(→)))； (2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→)).
【解析】(1)解法一：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→)).
解法二：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(MO,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MO,\s\up6(→)))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋0＝eq \(AB,\s\up6(→)).
(2)解法一：原式＝eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)).
解法二：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))－(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)).
变式2：化简下列各式：
①；②；③；④.
其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】①；
②；
③；
④；
以上各式化简后结果均为,故选:D
变式3：下列四式不能化简为的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】A项中，；
B项中，；
C项中，；
D项中，.
故选：D.
【例10】在正方形中，（ ）
A．B．C．D．
【解析】.故选：C.
变式1：在五边形中（如图），（ ）
A．B．C．D．
【解析】.故选：B
变式2：在五边形中（如图），下列运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】A，，正确；
B，，不正确；
C，，不正确；
D，， 不正确.
故选：A.
变式3：如右图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选：A.
（三）向量减法的应用
【例11】已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A．0B．1C．D．2
【解析】因为，，，所以．
故选：A．
【例12】在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【解析】因为，，
所以，所以为等边三角形．
故选：A．
变式1：已知△OAB中，eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
【解析】由已知得|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|，以eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且eq \(OC,\s\up7(→))＝a＋b，eq \(BA,\s\up7(→))＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|＝2×eq \r(3)＝2eq \r(3)，
S△OAB＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3).
变式2：已知非零向量a，b满足|a|＝eq \r(7)＋1，|b|＝eq \r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为 ．
【解析】如图，令eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则|eq \(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|．
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq \r(7)＋1)2＋(eq \r(7)－1)2＝42.故|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4．
第四关
巩固练习识梳理
练习一 向量的加法运算
1、如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
【解析】在平面内任取一点O(如下图)，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以OA、OB为邻边做▱OACB，连接OC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b.2
2、化简(1)eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(AB,\s\up10(→))； (2)eq \(AO,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))； (3)eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→)).
(4)eq \(DB,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))； (5)(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→)).
【解析】 (1)eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(AB,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(AC,\s\up10(→)).
(2)eq \(AO,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))＝eq \(AO,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(AC,\s\up10(→)).
(3)eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→))＝eq \(AC,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→))＝eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→))＝eq \(AF,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→))＝0.
(4)eq \(DB,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(DB,\s\up10(→))＝eq \(BD,\s\up10(→))＋eq \(DB,\s\up10(→))＝0.
(5)方法一 (eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→))＝(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BO,\s\up10(→)))＋(eq \(OM,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＝eq \(AO,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→)).
方法二 (eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋(eq \(MB,\s\up10(→))＋eq \(BO,\s\up10(→)))＋eq \(OM,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋0＝eq \(AB,\s\up10(→)).
方法三 (eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→))＝(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→)))＋eq \(MB,\s\up10(→))＝eq \(AM,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→)).
3、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】由,故选：A
4、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】
故选：C.
5、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】
.
故选：C.
6、在平行四边形中，等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】画出图形，如图所示：
.
故选：A.
7、如图所示,点O是正六边形的中心,则( )
A.B.0C.D.
【解析】∵,∴,故选A.
8、如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))； ②eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； ③eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)).
【解析】①由题图知，OAFE为平行四边形，∴eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))；
②由题图知，OABC为平行四边形，∴eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))；
③由题图知，AEDB为平行四边形，∴eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
9、已知正方形的边长为，设，，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
【解析】因为正方形的边长为，，，，
所以．故选：D
10、在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
【解析】如图所示，设eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(BC,\s\up6(→))分别是直升飞机两次位移，则eq \(AC,\s\up6(→))表示两次位移的合位移，即eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，
在Rt△ABD中，|eq \(DB,\s\up6(→))|＝20 km，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝20eq \r(3) km，
在Rt△ACD中，
|eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(|\(AD,\s\up6(→))|2＋|\(DC,\s\up6(→))|2)＝40eq \r(3) km，
∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40eq \r(3) km处．
练习二 向量的减法运算
1、如图，已知向量，，求作向量．
【解析】(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
(2)如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
2、化简（1）(eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→)))－(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(BD,\s\up10(→))) (2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))；(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))．
【解析】（1）方法一(统一成加法) (eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→)))－(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(BD,\s\up10(→)))＝eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→))－eq \(AC,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(DC,\s\up10(→))＋eq \(CA,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＋eq \(DC,\s\up10(→))＋eq \(CA,\s\up10(→))＝eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(DA,\s\up10(→))＝0.
方法二(利用eq \(OA,\s\up10(→))－eq \(OB,\s\up10(→))＝eq \(BA,\s\up10(→))) (eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→)))－(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(BD,\s\up10(→)))＝eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→))－eq \(AC,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝(eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(AC,\s\up10(→)))－eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝eq \(CB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝eq \(DB,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝0.
方法三(利用eq \(AB,\s\up10(→))＝eq \(OB,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→))) 设O是平面内任意一点，则(eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→)))－(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(BD,\s\up10(→)))＝eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→))－eq \(AC,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝(eq \(OB,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→)))－(eq \(OD,\s\up10(→))－eq \(OC,\s\up10(→)))－(eq \(OC,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→)))＋(eq \(OD,\s\up10(→))－eq \(OB,\s\up10(→)))＝eq \(OB,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→))－eq \(OD,\s\up10(→))＋eq \(OC,\s\up10(→))－eq \(OC,\s\up10(→))＋eq \(OA,\s\up10(→))＋eq \(OD,\s\up10(→))－eq \(OB,\s\up10(→))＝0.
(2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝0．
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＋(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＋Deq \(A,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝0＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))．
3、化简得（ ）
A． B． C．D．
【解析】．
故选：A．
4、在△ABC中，eq \(BC,\s\up7(→))＝a，eq \(CA,\s\up7(→))＝b，则eq \(AB,\s\up7(→))等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b) C．a－bD．b－a
【解析】如图，∵eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))＝a＋b，∴eq \(AB,\s\up7(→))＝－eq \(BA,\s\up7(→))＝－a－b.
5、在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图：
在，由平面向量的三角形减法法则可得：，在平行四边形ABCD中，，所以.故选：A.
6、(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
【解析】当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确．
7、在△ABC中，|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|＝|eq \(CA,\s\up7(→))|＝1，则|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))|＝________.
【解析】如图，延长CB到点D，使CB＝BD，连接AD．
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，
eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))
＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→)).
易求得AD＝eq \r(3)，
即|eq \(AD,\s\up7(→))|＝eq \r(3).
所以|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(3).
向量运算
定义
法则(或几何意义)
加法
求两个向量和的运算
向量加法的三角形法则：
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．21·世纪*
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
向量加法的平行四边形法则：
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．
www -2-
向量加法的三角形法则：（类比位移） 记忆口诀：首尾相接首尾连
平行四边形法则：（类比力的合成） 记忆口诀：共起点，连对角
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
向量加法的运算律： 交换律：； 结合律：．
和向量的模与原向量之间的关系：一般地，我们有．
当与共线且同向时，；
当与共线且异向时，；
当与不共线时，．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
减法
向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．
向量减法的三角形法则：
如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．
向量减法的平行四边形法则：
如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．
向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减
向量的加法和减法的运算问题
关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．
向量的加法运算
知识点2 向量的减法
1、相反向量
(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互为相反向量，则，，0
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
2、向量的减法运算
考点一 向量的加法运算
解题方略
（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．
三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．
当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．
向量的加法法则
已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据向量的三角形法则和平行四边形法则作图．
【例1】如图，已知向量，，求作向量．
变式1：如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
向量的加法运算
在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.
【例2】化简：(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； (2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))； (3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
变式1：向量﹒化简后等于（ ）
A.B.0C.D.
变式2：化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3：已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知正六边形，则 （ ）
A．B．C．D．
变式1：如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
(2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝________；
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝________；
(4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝________.
变式2：如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3：如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
变式5：如图，在中，为的中点，为上一点，则（ ）
A．B．C．D．
变式6：已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的（ ）
A．B．
C．D．
变式7：在四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，则( )
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
【例4】在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（ ）
A．B．C．12D．6
变式1：如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|AB+FE+CD|=( )
A.1B.2C.3D.23
向量加法的应用
要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.
【例5】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
向量加法的实际应用
向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：
1将应用问题中的量抽象成向量；
2化归为向量问题，进行向量运算；
3将向量问题还原为实际问题.
【例6】某人在静水中游泳，速度为4eq \r(3)千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
变式1：一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
考点二 向量的减法运算
相反向量
【例7】若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）．
A．B．C．D．
变式1：向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为实数0C．与方向相同D．
变式2：如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
向量的减法法则
1.作两向量的差的步骤
eq \x(移)—eq \x(平移向量使之共起点)
↓
eq \x(连)—eq \x(连接两向量的终点，方向指向被减向量.)
2．求两个向量的减法的注意点
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．
(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．
【例8】如图，在各小题中，已知，分别求作．
变式1：如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
向量的减法运算
1首尾相接且为和；2起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.
【例9】化简eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))得( )
A．eq \(AB,\s\up6(→)) B．eq \(AD,\s\up6(→)) C．eq \(BC,\s\up6(→)) D．0
变式1：化简：(1)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋(－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(MO,\s\up6(→)))； (2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→)).
变式2：化简下列各式：
①；②；③；④.
其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3：下列四式不能化简为的是（ ）
A． B． C． D．
【例10】在正方形中，（ ）
A．B．C．D．
变式1：在五边形中（如图），（ ）
A．B．C．D．
变式2：在五边形中（如图），下列运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3：如右图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
（三）向量减法的应用
【例11】已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A．0B．1C．D．2
【例12】在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
变式1：已知△OAB中，eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
变式2：已知非零向量a，b满足|a|＝eq \r(7)＋1，|b|＝eq \r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为 ．
第四关
巩固练习识梳理
练习一 向量的加法运算
1、如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
2、化简(1)eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(AB,\s\up10(→))； (2)eq \(AO,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))； (3)eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→)).
(4)eq \(DB,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))； (5)(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→)).
3、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
4、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
5、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
6、在平行四边形中，等于（ ）
A．B．C．D．
7、如图所示,点O是正六边形的中心,则( )
A.B.0C.D.
8、如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))； ②eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； ③eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)).
9、已知正方形的边长为，设，，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
10、在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
练习二 向量的减法运算
1、如图，已知向量，，求作向量．
2、化简（1）(eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→)))－(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(BD,\s\up10(→))) (2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))；(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))．
3、化简得（ ）
A． B． C．D．
4、在△ABC中，eq \(BC,\s\up7(→))＝a，eq \(CA,\s\up7(→))＝b，则eq \(AB,\s\up7(→))等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b) C．a－bD．b－a
5、在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．C．D．
6、(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
7、在△ABC中，|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|＝|eq \(CA,\s\up7(→))|＝1，则|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))|＝________.
向量运算
定义
法则(或几何意义)
加法
求两个向量和的运算
向量加法的三角形法则：
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．21·世纪*
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
向量加法的平行四边形法则：
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．
www -2-
向量加法的三角形法则：（类比位移） 记忆口诀：首尾相接首尾连
平行四边形法则：（类比力的合成） 记忆口诀：共起点，连对角
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
向量加法的运算律： 交换律：； 结合律：．
和向量的模与原向量之间的关系：一般地，我们有．
当与共线且同向时，；
当与共线且异向时，；
当与不共线时，．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
减法
向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．
向量减法的三角形法则：
如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．
向量减法的平行四边形法则：
如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．
向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减
向量的加法和减法的运算问题
关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．
第2讲 平面向量的加、减法运算
知识点1 向量的加法
向量的加法运算
知识点2 向量的减法
1、相反向量
(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互为相反向量，则，，0
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
2、向量的减法运算
考点一 向量的加法运算
解题方略
（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．
三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．
当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．
向量的加法法则
已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据向量的三角形法则和平行四边形法则作图．
【例1】如图，已知向量，，求作向量．
【解析】（1）平移，使其起点与起点重合，再应用平行四边形法则，作出，如下图示：
（2）平移，使其终点与起点重合，再以的起点为起点，的终点为终点作，如下图示：
变式1：如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
【解析】将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；
将两个向量的起点移到点，利用平行四边形法则，以、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量.如图所示，．
（1）；
（2）；
（3） ；
（4）.
向量的加法运算
在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.
【例2】化简：(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； (2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))； (3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
【解析】(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))
＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝0.
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
变式1：向量﹒化简后等于（ ）
A.B.0C.D.
【解析】
, 故选D.
变式2：化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】对于①：，
对于②：，
对于③：，
对于④：，
所以结果为的个数是，
故选：B
变式3：已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】＝＋＋＝＝＝2．故选：C
【例3】已知正六边形，则 （ ）
A．B．C．D．
【解析】因为正六边形，所以，所以.
故选：C
变式1：如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
(2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝________；
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝________；
(4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝________.
【解析】(1)eq \(AC,\s\up6(→)) (2)eq \(AO,\s\up6(→)) (3)eq \(AD,\s\up6(→)) (4)
变式2：如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；
对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；
对于C，利用三角形法则知，故C错误；
对于D，利用三角形法则知，故D正确；
故选：D
变式3：如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，设交于点，则.
故选：D
变式4：已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【解析】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：B
变式5：如图，在中，为的中点，为上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为为的中点，所以.
故选：A
变式6：已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得，故A正确；
由，故B正确；
根据平行四边形法则，可得，故C正确，D不正确.故选：D.
变式7：在四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，则( )
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
【解析】由eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．
【例4】在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（ ）
A．B．C．12D．6
【解析】因为，
所以的长度为的模的2倍．
又，
所以向量的长度为
故选：B
变式1：如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|AB+FE+CD|=( )
A.1B.2C.3D.23
【解析】由题,可知FE=BC,所以|AB+FE+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.故选B.
向量加法的应用
要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.
【例5】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
证明：如图，根据向量加法的三角形法则有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)).
又∵eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
∴AB∥DC且AB＝DC，即AB与DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
向量加法的实际应用
向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：
1将应用问题中的量抽象成向量；
2化归为向量问题，进行向量运算；
3将向量问题还原为实际问题.
【例6】某人在静水中游泳，速度为4eq \r(3)千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
【解析】如图，设此人的实际速度为eq \(OD,\s\up6(→))，水流速度为eq \(OA,\s\up6(→))，游速为eq \(OB,\s\up6(→))，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，则|eq \(OD,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，cs∠DAO＝eq \f(\r(3),3).故此人沿向量eq \(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为eq \f(\r(3),3))，实际前进的速度大小为4eq \r(2)千米/小时．
变式1：一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
【解析】如图所示，eq \(OA,\s\up6(→))表示水流速度，eq \(OB,\s\up6(→))表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，eq \(OC,\s\up6(→))表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝5..∵四边形OACB为矩形，
∴|eq \(OA,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,tan 30°)＝5eq \r(3)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(OB,\s\up6(→))|,sin 30°)＝10，
∴水流速度大小为5eq \r(3) km/h，船实际速度为10 km/h.
考点二 向量的减法运算
相反向量
【例7】若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）．
A．B．C．D．
【解析】由平行向量的定义可知项正确；因为和的方向相反，所以，故项正确；
由相反向量的定义可知，故选项正确；由相反向量的定义知，故项错误；
故选：C．
变式1：向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为实数0C．与方向相同D．
【解析】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
变式2：如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【解析】因为，所以四边形是平行四边形，
所以，互相平分，所以，即与为相反向量.
故选：B
向量的减法法则
1.作两向量的差的步骤
eq \x(移)—eq \x(平移向量使之共起点)
↓
eq \x(连)—eq \x(连接两向量的终点，方向指向被减向量.)
2．求两个向量的减法的注意点
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．
(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．
【例8】如图，在各小题中，已知，分别求作．
【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，
如图，，
(1) (2)
(3) (4)
变式1：如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
【解析】如图，以A为起点分别作向量eq \(AB,\s\up6(→))和eq \(AC,\s\up6(→))，使eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝B．连接CB，得向量eq \(CB,\s\up6(→))，再以点C为起点作向量eq \(CD,\s\up6(→))，使eq \(CD,\s\up6(→))＝c．连接DB，得向量eq \(DB,\s\up6(→)).则向量eq \(DB,\s\up6(→))即为所求作的向量a－b－c．
向量的减法运算
1首尾相接且为和；2起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.
【例9】化简eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))得( )
A．eq \(AB,\s\up6(→)) B．eq \(AD,\s\up6(→)) C．eq \(BC,\s\up6(→)) D．0
【解析】(1)解法一：eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0．
解法二：eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0．
变式1：化简：(1)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋(－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(MO,\s\up6(→)))； (2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→)).
【解析】(1)解法一：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→)).
解法二：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(MO,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MO,\s\up6(→)))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋0＝eq \(AB,\s\up6(→)).
(2)解法一：原式＝eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)).
解法二：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))－(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)).
变式2：化简下列各式：
①；②；③；④.
其中结果为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】①；
②；
③；
④；
以上各式化简后结果均为,故选:D
变式3：下列四式不能化简为的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】A项中，；
B项中，；
C项中，；
D项中，.
故选：D.
【例10】在正方形中，（ ）
A．B．C．D．
【解析】.故选：C.
变式1：在五边形中（如图），（ ）
A．B．C．D．
【解析】.故选：B
变式2：在五边形中（如图），下列运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】A，，正确；
B，，不正确；
C，，不正确；
D，， 不正确.
故选：A.
变式3：如右图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选：A.
（三）向量减法的应用
【例11】已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A．0B．1C．D．2
【解析】因为，，，所以．
故选：A．
【例12】在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【解析】因为，，
所以，所以为等边三角形．
故选：A．
变式1：已知△OAB中，eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
【解析】由已知得|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|，以eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且eq \(OC,\s\up7(→))＝a＋b，eq \(BA,\s\up7(→))＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|＝2×eq \r(3)＝2eq \r(3)，
S△OAB＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3).
变式2：已知非零向量a，b满足|a|＝eq \r(7)＋1，|b|＝eq \r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为 ．
【解析】如图，令eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则|eq \(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|．
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq \r(7)＋1)2＋(eq \r(7)－1)2＝42.故|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4．
第四关
巩固练习识梳理
练习一 向量的加法运算
1、如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
【解析】在平面内任取一点O(如下图)，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以OA、OB为邻边做▱OACB，连接OC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b.2
2、化简(1)eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(AB,\s\up10(→))； (2)eq \(AO,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))； (3)eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→)).
(4)eq \(DB,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))； (5)(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→)).
【解析】 (1)eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(AB,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(AC,\s\up10(→)).
(2)eq \(AO,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))＝eq \(AO,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(AC,\s\up10(→)).
(3)eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→))＝eq \(AC,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→))＝eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(DF,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→))＝eq \(AF,\s\up10(→))＋eq \(FA,\s\up10(→))＝0.
(4)eq \(DB,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(DB,\s\up10(→))＝eq \(BD,\s\up10(→))＋eq \(DB,\s\up10(→))＝0.
(5)方法一 (eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→))＝(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BO,\s\up10(→)))＋(eq \(OM,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＝eq \(AO,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→)).
方法二 (eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋(eq \(MB,\s\up10(→))＋eq \(BO,\s\up10(→)))＋eq \(OM,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋0＝eq \(AB,\s\up10(→)).
方法三 (eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→)))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→))＝(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BO,\s\up10(→))＋eq \(OM,\s\up10(→)))＋eq \(MB,\s\up10(→))＝eq \(AM,\s\up10(→))＋eq \(MB,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→)).
3、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】由,故选：A
4、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】
故选：C.
5、向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】
.
故选：C.
6、在平行四边形中，等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】画出图形，如图所示：
.
故选：A.
7、如图所示,点O是正六边形的中心,则( )
A.B.0C.D.
【解析】∵,∴,故选A.
8、如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))； ②eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))； ③eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)).
【解析】①由题图知，OAFE为平行四边形，∴eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))；
②由题图知，OABC为平行四边形，∴eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))；
③由题图知，AEDB为平行四边形，∴eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
9、已知正方形的边长为，设，，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
【解析】因为正方形的边长为，，，，
所以．故选：D
10、在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
【解析】如图所示，设eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(BC,\s\up6(→))分别是直升飞机两次位移，则eq \(AC,\s\up6(→))表示两次位移的合位移，即eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，
在Rt△ABD中，|eq \(DB,\s\up6(→))|＝20 km，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝20eq \r(3) km，
在Rt△ACD中，
|eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(|\(AD,\s\up6(→))|2＋|\(DC,\s\up6(→))|2)＝40eq \r(3) km，
∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40eq \r(3) km处．
练习二 向量的减法运算
1、如图，已知向量，，求作向量．
【解析】(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
(2)如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
2、化简（1）(eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→)))－(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(BD,\s\up10(→))) (2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))；(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))．
【解析】（1）方法一(统一成加法) (eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→)))－(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(BD,\s\up10(→)))＝eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→))－eq \(AC,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(DC,\s\up10(→))＋eq \(CA,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＋eq \(DC,\s\up10(→))＋eq \(CA,\s\up10(→))＝eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(DA,\s\up10(→))＝0.
方法二(利用eq \(OA,\s\up10(→))－eq \(OB,\s\up10(→))＝eq \(BA,\s\up10(→))) (eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→)))－(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(BD,\s\up10(→)))＝eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→))－eq \(AC,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝(eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(AC,\s\up10(→)))－eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝eq \(CB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝eq \(DB,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝0.
方法三(利用eq \(AB,\s\up10(→))＝eq \(OB,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→))) 设O是平面内任意一点，则(eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→)))－(eq \(AC,\s\up10(→))－eq \(BD,\s\up10(→)))＝eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(CD,\s\up10(→))－eq \(AC,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝(eq \(OB,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→)))－(eq \(OD,\s\up10(→))－eq \(OC,\s\up10(→)))－(eq \(OC,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→)))＋(eq \(OD,\s\up10(→))－eq \(OB,\s\up10(→)))＝eq \(OB,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→))－eq \(OD,\s\up10(→))＋eq \(OC,\s\up10(→))－eq \(OC,\s\up10(→))＋eq \(OA,\s\up10(→))＋eq \(OD,\s\up10(→))－eq \(OB,\s\up10(→))＝0.
(2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝0．
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＋(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＋Deq \(A,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝0＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))．
3、化简得（ ）
A． B． C．D．
【解析】．
故选：A．
4、在△ABC中，eq \(BC,\s\up7(→))＝a，eq \(CA,\s\up7(→))＝b，则eq \(AB,\s\up7(→))等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b) C．a－bD．b－a
【解析】如图，∵eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))＝a＋b，∴eq \(AB,\s\up7(→))＝－eq \(BA,\s\up7(→))＝－a－b.
5、在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图：
在，由平面向量的三角形减法法则可得：，在平行四边形ABCD中，，所以.故选：A.
6、(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
【解析】当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确．
7、在△ABC中，|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|＝|eq \(CA,\s\up7(→))|＝1，则|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))|＝________.
【解析】如图，延长CB到点D，使CB＝BD，连接AD．
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，
eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))
＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→)).
易求得AD＝eq \r(3)，
即|eq \(AD,\s\up7(→))|＝eq \r(3).
所以|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(3).
向量运算
定义
法则(或几何意义)
加法
求两个向量和的运算
向量加法的三角形法则：
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．21·世纪*
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
向量加法的平行四边形法则：
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．
www -2-
向量加法的三角形法则：（类比位移） 记忆口诀：首尾相接首尾连
平行四边形法则：（类比力的合成） 记忆口诀：共起点，连对角
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
向量加法的运算律： 交换律：； 结合律：．
和向量的模与原向量之间的关系：一般地，我们有．
当与共线且同向时，；
当与共线且异向时，；
当与不共线时，．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
减法
向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．
向量减法的三角形法则：
如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．
向量减法的平行四边形法则：
如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．
向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减
向量的加法和减法的运算问题
关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．
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