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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05练平面向量基本定理(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05练平面向量基本定理(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了若是平面内的两个向量，则等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是
A．不可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．若，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若存在实数，使，则
2．若是平面内的两个向量，则
A．内任一向量
B．若存在，，使，则
C．若不共线，则空间任一向量
D．若不共线，则内任一向量
3．设，是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是
A．和B．和
C．和D．和
4．在中，为的中点，为线段上靠近的三等分点，则
A．B．C．D．
5．如图，平行四边形中，点在上，且满足，若，，则
A．B．C．D．
6．如图，在中，为上一点，且，设，，则用和表示为
A．B．C．D．
7．在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量
A．B．C．D．
8．如图，在梯形中，，，为线段的中点，为上一点，且，则
A．B．C．D．
9．在中，点在边上，且，设，，则可用基底，表示为
A．B．C．D．
10．在中，为的中点，为上靠近的三等分点，与交于点，若，，则
A．B．C．D．
11．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则
A．B．
C．D．
12．如图，在中，，，若，则
A．B．C．D．
13．如图，已知，用，表示，则等于
A．B．C．D．
14．在中，，分别在线段，上，且，，点是线段的中点，则
A．B．C．D．
15．如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为
A．B．C．2D．
16．已知在中，动点满足．其中，且，则的最小值为
A．B．C．D．
17．如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设，则下列关系正确的是
A．B．
C．D．
18．在等边中，为的中点，点为内一点（含边界），若，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
19．已知中，，，与交于点，且，，则
A．B．C．D．
20．已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为
A．B．C．2D．3
21．已知，分别为的边，上的点，线段和线段相交于点，若，且，，其中，，则的最小值为
A．B．4C．D．6
22．如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若，则
A．B．C．1D．
23．在中，点是的中点，，线段与交于点，动点在内部活动（不含边界），且，其中、，则的取值范围是
A．B．
C．D．
24．在中，为边上任意一点，为中点，且满足，则的最小值为
A．B．C．D．1
25．在中，，，，为中点，为的内心，且，则
A．B．C．D．1
26．在三角形中，，设，则
A．B．C．D．
27．在中，点在直线的延长线上，且，则等于
A．0B．C．D．3
28．如图，四边形为平行四边形，，，若，则的值为
A．B．C．D．
二．多选题
29．如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是
A．可以表示平面内的任意一个向量
B．对于平面内任意一个向量，使的实数对有无穷多个
C．若向量与，，，共线，则有且只有一个实数，使得
D．若存在实数，使得，则
30．已知和是平面内所有向量的一组基底，那么下列四组向量可以作为一组基底的是
A．和B．和
C．和D．和
31．已知，，分别是的边，，的中点，且，下列等式正确的为
A．B．C．D．
32．中，为上一点且满足，若为线段上一点，且满足，为正实数），则下列结论正确的是
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为3
33．如图，在平行四边形中，已知，分别是靠近，的四等分点，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
34．已知点为所在平面内一点，且满足，则
A．当在内部时，
B．当在外部时，
C．当时，直线一定过的重心
D．当且仅当时，
三．填空题
35．在中，，是上的点，若，则实数的值为 ．
36．已知一条直线与平行四边形中的两边，分别交于点，，且满足，，点在直线上，，则的值为 ．
37．已知的重心为，过的直线分别交线段，于点，（点，不重合），若，，则的最小值为 ．
38．已知是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，若，则实数 ．
39．在中，为边上的中线，E为的中点，且，则___________，___________．
40．如图，在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为 ．
41．如图，已知，若点满足，，则
42．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ．
43．设为所在平面内一点，，若，则
44.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(DB,\s\up7(―→))，则λ－μ＝________.
45．如图，在四边形中，，为边的中点，若，则 ．
46．在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则 ．
四．解答题
47．如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．
（Ⅰ）用向量，表示；
（Ⅱ）设向量，，求的值．
48．如图，在中，，，与相交于点，设，．
（1）试用，表示向量；
（2）在线段上取一点，在上取一点，使得过点，设，，求的最小值．
49．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点．
（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值．
50．如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与，分别交于点，．
（1）用向量，表示．
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
51．如图所示，以向量，为边作平行四边形，又，．
（1）用，表示，；
（2），，，求．
第5练 平面向量基本定理
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一．选择题
1．若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是
A．不可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．若，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若存在实数，使，则
【解析】对于，因为是平面内两个不共线的向量，所以，可以作为平面中所有向量的一组基底，故错误；
对于，由平面向量基本定理可知，错误；
对于，当时，这样的有无数个，故错误；
故选：．
2．若是平面内的两个向量，则
A．内任一向量
B．若存在，，使，则
C．若不共线，则空间任一向量
D．若不共线，则内任一向量
【解析】对于，若为零向量，为非零向量，则等式不成立，故选项错误；
对于，若为零向量，则与的值不确定，故选项错误；
对于，若不共线，则平面内的向量都可以用表示，但是空间向量不行，故选项错误，选项正确．
故选：．
3．设，是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是
A．和B．和
C．和D．和
【解析】对于，和不是共线向量，所以可以作为基底；
对于，和不是共线向量，所以可以作为基底；
对于，因为，所以与是共线向量，不可以作为基底；
对于，和不是共线向量，所以可以作为基底．
故选：．
4．在中，为的中点，为线段上靠近的三等分点，则
A．B．C．D．
【解析】
，
故选：．
5．如图，平行四边形中，点在上，且满足，若，，则
A．B．C．D．
【解析】由平行四边形，可得，
，
，
，
故选：．
6．如图，在中，为上一点，且，设，，则用和表示为
A．B．C．D．
【解析】，，，
，
故选：．
7．在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量
A．B．C．D．
【解析】在平行四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，
所以．
故选：．
8．如图，在梯形中，，，为线段的中点，为上一点，且，则
A．B．C．D．
【解析】由题意，可得：
．
故选：．
9．在中，点在边上，且，设，，则可用基底，表示为
A．B．C．D．
【解析】．
故选：．
10．在中，为的中点，为上靠近的三等分点，与交于点，若，，则
A．B．C．D．
【解析】如图，
因为、、三点共线，不妨设，即，
同理，由、、三点共线，不妨设，
即，
所以，
所以，解得，，
故，
故选：．
11．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则
A．B．
C．D．
【解析】，
即，得．故选D．
12．如图，在中，，，若，则
A．B．C．D．
【解析】在三角形中，因为，所以，
所以
，
所以，则，
故选：．
13．如图，已知，用，表示，则等于
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，
由图可得，
故选：．
14．在中，，分别在线段，上，且，，点是线段的中点，则
A．B．C．D．
【解析】
故选：．
15．如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为
A．B．C．2D．
【解析】，
；
又，
，
，，三点共线；
，
．
故选：．
16．已知在中，动点满足．其中，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】根据题意可知点在线段上，
，且点、、三点共线，
，
（当且仅当，等号成立），
故选：．
17．如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设，则下列关系正确的是
A．B．
C．D．
【解析】由图象知，
，
，
即，
则，
故选：．
18．在等边中，为的中点，点为内一点（含边界），若，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解析】过靠近的四等分点作的平行线分别交，于点，，
由题意知，点在线段上，
过，分别作的平行线交于，（如图所示），
由题得，，
即，，
所以，
故选：．
19．已知中，，，与交于点，且，，则
A．B．C．D．
【解析】，，与交于点，且，，
，
又，
，解得，
，
故选：．
20．已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为
A．B．C．2D．3
【解析】，变为，
设点，分别为，的中点，如图所示，
，，
，，
的面积与的面积比值为，
，且与同底边，
点到底边的距离等于点到底边的距离的，
，
，
，
故选：．
21．已知，分别为的边，上的点，线段和线段相交于点，若，且，，其中，，则的最小值为
A．B．4C．D．6
【解析】由，得，
由，得，
由，得，
，
因为，，三点共线，所以，所以，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：．
22．如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若，则
A．B．C．1D．
【解析】，
故，．
故．
故选：．
23．在中，点是的中点，，线段与交于点，动点在内部活动（不含边界），且，其中、，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】如下图所示，连接并延长交于点，
设，，则，，
，
，又，，，
，
，，则，即，即，
因此，的取值范围是．故选D．
24．在中，为边上任意一点，为中点，且满足，则的最小值为
A．B．C．D．1
【解析】为中点，且满足，
，，
为边上任意一点，
，，
，，
，当且仅当时取等号，
的最小值为．
故选：．
25．在中，，，，为中点，为的内心，且，则
A．B．C．D．1
【解析】由题知，，设内切圆的半径为，
则，解得，
四边形为矩形，
则，
为中点，，
，
，，．
故选：．
26．在三角形中，，设，则
A．B．C．D．
【解析】，
是的中点，
，
故，
，
故选：．
27．在中，点在直线的延长线上，且，则等于
A．0B．C．D．3
【解析】因为，
所以，
则，
所以，
则．
故选：．
28．如图，四边形为平行四边形，，，若，则的值为
A．B．C．D．
【解析】由题意可知，，，
所以，
又，
所以．
故选：．
二．多选题
29．如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是
A．可以表示平面内的任意一个向量
B．对于平面内任意一个向量，使的实数对有无穷多个
C．若向量与，，，共线，则有且只有一个实数，使得
D．若存在实数，使得，则
【解析】根据平面向量基本定理可知、选项正确，
根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，
那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误，
当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误．
故选：．
30．已知和是平面内所有向量的一组基底，那么下列四组向量可以作为一组基底的是
A．和B．和
C．和D．和
【解析】对于选项，假设和共线，
则存在，使，
即，
故、共线，与题意相矛盾，
故假设不成立，
故和不共线，
故正确；
对于选项，假设和共线，
则存在，使，
即，
上式无解，故假设不成立，
故设和不共线，
故正确；
对于选项，，
故与共线，
故不正确；
对于选项，假设和共线，
则存在，使，
即，
上式无解，故假设不成立，
故设和不共线，
故正确；
故选：．
31．已知，，分别是的边，，的中点，且，下列等式正确的为
A．B．C．D．
【解析】由题意作图如右图，
，
故选项错误；
，
故选项正确；
，
故选项正确；
故选项正确；
故选：．
32．中，为上一点且满足，若为线段上一点，且满足，为正实数），则下列结论正确的是
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为3
【解析】由题设，可得，又，，三点共线，
，即，故错误；
由，为正实数，，则，当且仅当时等号成立，故错误；
，当且仅当时等号成立，故正确；
，又，
，故正确．
故选：．
33．如图，在平行四边形中，已知，分别是靠近，的四等分点，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
【解析】，分别是靠近，的四等分点，，正确，
是靠近的四等分点，，错误，
是靠近的四等分点，，正确，
，错误，
故选：．
34．已知点为所在平面内一点，且满足，则
A．当在内部时，
B．当在外部时，
C．当时，直线一定过的重心
D．当且仅当时，
【解析】对于，取边上的点，且满足，
当在内部时，，
因为，，三点共线，所以存在唯一实数对，使得，
于是，则，故正确；
对于，取边的中点，则，设，
因为点在外部，所以，则，故错误；
对于，当时，，由答案中的推理，点，重合，则直线一定过的重心，故正确；
对于，，则，故正确．
故选：．
三．填空题
35．在中，，是上的点，若，则实数的值为 ．
【解析】因为，
所以，
所以，
又点、、三点共线，
所以，
所以．
故答案为：．
36．已知一条直线与平行四边形中的两边，分别交于点，，且满足，，点在直线上，，则的值为 ．
【解析】因为，，，
又因为在直线上，
，
因为、、共线，所以，即，
则，
则．
故答案为：．
37．已知的重心为，过的直线分别交线段，于点，（点，不重合），若，，则的最小值为 ．
【解析】延长交边于，则是边的中点，
则，
，
，，，，
则，
，，三点共线，，
则，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为．
故答案为：．
38．已知是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，若，则实数 ．
【解析】如图所示：由已知可得点分别为线段，的中点，
则在三角形中，，
在三角形中，，
所以，
所以，
故答案为：4．
39．在中，为边上的中线，E为的中点，且，则___________，___________．
【解析】如下图所示：
为的中点，
则，
为的中点，所以，，
因此，，即，．
故答案为；．
40．如图，在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为 ．
【解析】因为满足，故①，
由，得，代入①式得：，
又因为、、三点共线，则，
所以，当且仅当时取等号．
故答案为：．
41．如图，已知，若点满足，，则
【解析】由得，即，
又，所以，因此.
42．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ．
【解析】解：如图，
在线段上，所以存在实数使得；
；则
，
，
时，取最小值．
故答案为：．
43．设为所在平面内一点，，若，则
【解析】若，，化为，
与比较，可得：，，解得．
则．
44.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(DB,\s\up7(―→))，则λ－μ＝________.
【解析】如图，在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up7(―→))－eq \(DC,\s\up7(―→)))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up7(―→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))，所以eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up7(―→))，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up7(―→))，所以λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，所以λ－μ＝eq \f(1,3). 答案：eq \f(1,3)
45．如图，在四边形中，，为边的中点，若，则 ．
【解析】连接，因为是的中点，
所以，
又因为，
所以，
即，，
．
故答案为：．
46．在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则 ．
【解析】由，得，故，
所以，
故，，所以．
故答案为：．
四．解答题
47．如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．
（Ⅰ）用向量，表示；
（Ⅱ）设向量，，求的值．
【解析】（Ⅰ）在中，为中线上一点，，
；
（Ⅱ）由，
，，三点共线，
，
．
48．如图，在中，，，与相交于点，设，．
（1）试用，表示向量；
（2）在线段上取一点，在上取一点，使得过点，设，，求的最小值．
【解析】（1）由，， 三点共线可知，存在实数 使得，
由，，三点共线可知，存在实数，使得，
由平面向量基本定理知，
解得，所以．
（2）若，则，
又因为，，三点共线，所以，
所以，
由题意可知，，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
49．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点．
（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值．
【解析】由题意得，，所以，，
因为，，，
所以
．
（2）解：由（1）知，而，
而，
因为与不共线，
由平面向量基本定理得，
解得，，
所以，即为所求．
50．如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与，分别交于点，．
（1）用向量，表示．
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】；
（2）设，，则，
因为，
所以，即，
故为定值．
51．如图所示，以向量，为边作平行四边形，又，．
（1）用，表示，；
（2），，，求．
【解析】（1），，
；
（2），
．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2022/1/29 9:40:24；用户：985794074；邮箱：985794074@qq.cm；学号：9476148
一．选择题
1．若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是
A．不可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．若，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若存在实数，使，则
2．若是平面内的两个向量，则
A．内任一向量
B．若存在，，使，则
C．若不共线，则空间任一向量
D．若不共线，则内任一向量
3．设，是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是
A．和B．和
C．和D．和
4．在中，为的中点，为线段上靠近的三等分点，则
A．B．C．D．
5．如图，平行四边形中，点在上，且满足，若，，则
A．B．C．D．
6．如图，在中，为上一点，且，设，，则用和表示为
A．B．C．D．
7．在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量
A．B．C．D．
8．如图，在梯形中，，，为线段的中点，为上一点，且，则
A．B．C．D．
9．在中，点在边上，且，设，，则可用基底，表示为
A．B．C．D．
10．在中，为的中点，为上靠近的三等分点，与交于点，若，，则
A．B．C．D．
11．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则
A．B．
C．D．
12．如图，在中，，，若，则
A．B．C．D．
13．如图，已知，用，表示，则等于
A．B．C．D．
14．在中，，分别在线段，上，且，，点是线段的中点，则
A．B．C．D．
15．如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为
A．B．C．2D．
16．已知在中，动点满足．其中，且，则的最小值为
A．B．C．D．
17．如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设，则下列关系正确的是
A．B．
C．D．
18．在等边中，为的中点，点为内一点（含边界），若，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
19．已知中，，，与交于点，且，，则
A．B．C．D．
20．已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为
A．B．C．2D．3
21．已知，分别为的边，上的点，线段和线段相交于点，若，且，，其中，，则的最小值为
A．B．4C．D．6
22．如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若，则
A．B．C．1D．
23．在中，点是的中点，，线段与交于点，动点在内部活动（不含边界），且，其中、，则的取值范围是
A．B．
C．D．
24．在中，为边上任意一点，为中点，且满足，则的最小值为
A．B．C．D．1
25．在中，，，，为中点，为的内心，且，则
A．B．C．D．1
26．在三角形中，，设，则
A．B．C．D．
27．在中，点在直线的延长线上，且，则等于
A．0B．C．D．3
28．如图，四边形为平行四边形，，，若，则的值为
A．B．C．D．
二．多选题
29．如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是
A．可以表示平面内的任意一个向量
B．对于平面内任意一个向量，使的实数对有无穷多个
C．若向量与，，，共线，则有且只有一个实数，使得
D．若存在实数，使得，则
30．已知和是平面内所有向量的一组基底，那么下列四组向量可以作为一组基底的是
A．和B．和
C．和D．和
31．已知，，分别是的边，，的中点，且，下列等式正确的为
A．B．C．D．
32．中，为上一点且满足，若为线段上一点，且满足，为正实数），则下列结论正确的是
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为3
33．如图，在平行四边形中，已知，分别是靠近，的四等分点，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
34．已知点为所在平面内一点，且满足，则
A．当在内部时，
B．当在外部时，
C．当时，直线一定过的重心
D．当且仅当时，
三．填空题
35．在中，，是上的点，若，则实数的值为 ．
36．已知一条直线与平行四边形中的两边，分别交于点，，且满足，，点在直线上，，则的值为 ．
37．已知的重心为，过的直线分别交线段，于点，（点，不重合），若，，则的最小值为 ．
38．已知是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，若，则实数 ．
39．在中，为边上的中线，E为的中点，且，则___________，___________．
40．如图，在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为 ．
41．如图，已知，若点满足，，则
42．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ．
43．设为所在平面内一点，，若，则
44.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(DB,\s\up7(―→))，则λ－μ＝________.
45．如图，在四边形中，，为边的中点，若，则 ．
46．在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则 ．
四．解答题
47．如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．
（Ⅰ）用向量，表示；
（Ⅱ）设向量，，求的值．
48．如图，在中，，，与相交于点，设，．
（1）试用，表示向量；
（2）在线段上取一点，在上取一点，使得过点，设，，求的最小值．
49．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点．
（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值．
50．如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与，分别交于点，．
（1）用向量，表示．
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
51．如图所示，以向量，为边作平行四边形，又，．
（1）用，表示，；
（2），，，求．
第5练 平面向量基本定理
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一．选择题
1．若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是
A．不可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．若，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若存在实数，使，则
【解析】对于，因为是平面内两个不共线的向量，所以，可以作为平面中所有向量的一组基底，故错误；
对于，由平面向量基本定理可知，错误；
对于，当时，这样的有无数个，故错误；
故选：．
2．若是平面内的两个向量，则
A．内任一向量
B．若存在，，使，则
C．若不共线，则空间任一向量
D．若不共线，则内任一向量
【解析】对于，若为零向量，为非零向量，则等式不成立，故选项错误；
对于，若为零向量，则与的值不确定，故选项错误；
对于，若不共线，则平面内的向量都可以用表示，但是空间向量不行，故选项错误，选项正确．
故选：．
3．设，是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是
A．和B．和
C．和D．和
【解析】对于，和不是共线向量，所以可以作为基底；
对于，和不是共线向量，所以可以作为基底；
对于，因为，所以与是共线向量，不可以作为基底；
对于，和不是共线向量，所以可以作为基底．
故选：．
4．在中，为的中点，为线段上靠近的三等分点，则
A．B．C．D．
【解析】
，
故选：．
5．如图，平行四边形中，点在上，且满足，若，，则
A．B．C．D．
【解析】由平行四边形，可得，
，
，
，
故选：．
6．如图，在中，为上一点，且，设，，则用和表示为
A．B．C．D．
【解析】，，，
，
故选：．
7．在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量
A．B．C．D．
【解析】在平行四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，
所以．
故选：．
8．如图，在梯形中，，，为线段的中点，为上一点，且，则
A．B．C．D．
【解析】由题意，可得：
．
故选：．
9．在中，点在边上，且，设，，则可用基底，表示为
A．B．C．D．
【解析】．
故选：．
10．在中，为的中点，为上靠近的三等分点，与交于点，若，，则
A．B．C．D．
【解析】如图，
因为、、三点共线，不妨设，即，
同理，由、、三点共线，不妨设，
即，
所以，
所以，解得，，
故，
故选：．
11．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则
A．B．
C．D．
【解析】，
即，得．故选D．
12．如图，在中，，，若，则
A．B．C．D．
【解析】在三角形中，因为，所以，
所以
，
所以，则，
故选：．
13．如图，已知，用，表示，则等于
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，
由图可得，
故选：．
14．在中，，分别在线段，上，且，，点是线段的中点，则
A．B．C．D．
【解析】
故选：．
15．如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为
A．B．C．2D．
【解析】，
；
又，
，
，，三点共线；
，
．
故选：．
16．已知在中，动点满足．其中，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】根据题意可知点在线段上，
，且点、、三点共线，
，
（当且仅当，等号成立），
故选：．
17．如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设，则下列关系正确的是
A．B．
C．D．
【解析】由图象知，
，
，
即，
则，
故选：．
18．在等边中，为的中点，点为内一点（含边界），若，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解析】过靠近的四等分点作的平行线分别交，于点，，
由题意知，点在线段上，
过，分别作的平行线交于，（如图所示），
由题得，，
即，，
所以，
故选：．
19．已知中，，，与交于点，且，，则
A．B．C．D．
【解析】，，与交于点，且，，
，
又，
，解得，
，
故选：．
20．已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为
A．B．C．2D．3
【解析】，变为，
设点，分别为，的中点，如图所示，
，，
，，
的面积与的面积比值为，
，且与同底边，
点到底边的距离等于点到底边的距离的，
，
，
，
故选：．
21．已知，分别为的边，上的点，线段和线段相交于点，若，且，，其中，，则的最小值为
A．B．4C．D．6
【解析】由，得，
由，得，
由，得，
，
因为，，三点共线，所以，所以，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：．
22．如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若，则
A．B．C．1D．
【解析】，
故，．
故．
故选：．
23．在中，点是的中点，，线段与交于点，动点在内部活动（不含边界），且，其中、，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】如下图所示，连接并延长交于点，
设，，则，，
，
，又，，，
，
，，则，即，即，
因此，的取值范围是．故选D．
24．在中，为边上任意一点，为中点，且满足，则的最小值为
A．B．C．D．1
【解析】为中点，且满足，
，，
为边上任意一点，
，，
，，
，当且仅当时取等号，
的最小值为．
故选：．
25．在中，，，，为中点，为的内心，且，则
A．B．C．D．1
【解析】由题知，，设内切圆的半径为，
则，解得，
四边形为矩形，
则，
为中点，，
，
，，．
故选：．
26．在三角形中，，设，则
A．B．C．D．
【解析】，
是的中点，
，
故，
，
故选：．
27．在中，点在直线的延长线上，且，则等于
A．0B．C．D．3
【解析】因为，
所以，
则，
所以，
则．
故选：．
28．如图，四边形为平行四边形，，，若，则的值为
A．B．C．D．
【解析】由题意可知，，，
所以，
又，
所以．
故选：．
二．多选题
29．如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是
A．可以表示平面内的任意一个向量
B．对于平面内任意一个向量，使的实数对有无穷多个
C．若向量与，，，共线，则有且只有一个实数，使得
D．若存在实数，使得，则
【解析】根据平面向量基本定理可知、选项正确，
根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，
那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误，
当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误．
故选：．
30．已知和是平面内所有向量的一组基底，那么下列四组向量可以作为一组基底的是
A．和B．和
C．和D．和
【解析】对于选项，假设和共线，
则存在，使，
即，
故、共线，与题意相矛盾，
故假设不成立，
故和不共线，
故正确；
对于选项，假设和共线，
则存在，使，
即，
上式无解，故假设不成立，
故设和不共线，
故正确；
对于选项，，
故与共线，
故不正确；
对于选项，假设和共线，
则存在，使，
即，
上式无解，故假设不成立，
故设和不共线，
故正确；
故选：．
31．已知，，分别是的边，，的中点，且，下列等式正确的为
A．B．C．D．
【解析】由题意作图如右图，
，
故选项错误；
，
故选项正确；
，
故选项正确；
故选项正确；
故选：．
32．中，为上一点且满足，若为线段上一点，且满足，为正实数），则下列结论正确的是
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为3
【解析】由题设，可得，又，，三点共线，
，即，故错误；
由，为正实数，，则，当且仅当时等号成立，故错误；
，当且仅当时等号成立，故正确；
，又，
，故正确．
故选：．
33．如图，在平行四边形中，已知，分别是靠近，的四等分点，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
【解析】，分别是靠近，的四等分点，，正确，
是靠近的四等分点，，错误，
是靠近的四等分点，，正确，
，错误，
故选：．
34．已知点为所在平面内一点，且满足，则
A．当在内部时，
B．当在外部时，
C．当时，直线一定过的重心
D．当且仅当时，
【解析】对于，取边上的点，且满足，
当在内部时，，
因为，，三点共线，所以存在唯一实数对，使得，
于是，则，故正确；
对于，取边的中点，则，设，
因为点在外部，所以，则，故错误；
对于，当时，，由答案中的推理，点，重合，则直线一定过的重心，故正确；
对于，，则，故正确．
故选：．
三．填空题
35．在中，，是上的点，若，则实数的值为 ．
【解析】因为，
所以，
所以，
又点、、三点共线，
所以，
所以．
故答案为：．
36．已知一条直线与平行四边形中的两边，分别交于点，，且满足，，点在直线上，，则的值为 ．
【解析】因为，，，
又因为在直线上，
，
因为、、共线，所以，即，
则，
则．
故答案为：．
37．已知的重心为，过的直线分别交线段，于点，（点，不重合），若，，则的最小值为 ．
【解析】延长交边于，则是边的中点，
则，
，
，，，，
则，
，，三点共线，，
则，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为．
故答案为：．
38．已知是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，若，则实数 ．
【解析】如图所示：由已知可得点分别为线段，的中点，
则在三角形中，，
在三角形中，，
所以，
所以，
故答案为：4．
39．在中，为边上的中线，E为的中点，且，则___________，___________．
【解析】如下图所示：
为的中点，
则，
为的中点，所以，，
因此，，即，．
故答案为；．
40．如图，在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为 ．
【解析】因为满足，故①，
由，得，代入①式得：，
又因为、、三点共线，则，
所以，当且仅当时取等号．
故答案为：．
41．如图，已知，若点满足，，则
【解析】由得，即，
又，所以，因此.
42．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ．
【解析】解：如图，
在线段上，所以存在实数使得；
；则
，
，
时，取最小值．
故答案为：．
43．设为所在平面内一点，，若，则
【解析】若，，化为，
与比较，可得：，，解得．
则．
44.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(DB,\s\up7(―→))，则λ－μ＝________.
【解析】如图，在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up7(―→))－eq \(DC,\s\up7(―→)))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up7(―→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))，所以eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up7(―→))，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up7(―→))，所以λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，所以λ－μ＝eq \f(1,3). 答案：eq \f(1,3)
45．如图，在四边形中，，为边的中点，若，则 ．
【解析】连接，因为是的中点，
所以，
又因为，
所以，
即，，
．
故答案为：．
46．在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则 ．
【解析】由，得，故，
所以，
故，，所以．
故答案为：．
四．解答题
47．如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．
（Ⅰ）用向量，表示；
（Ⅱ）设向量，，求的值．
【解析】（Ⅰ）在中，为中线上一点，，
；
（Ⅱ）由，
，，三点共线，
，
．
48．如图，在中，，，与相交于点，设，．
（1）试用，表示向量；
（2）在线段上取一点，在上取一点，使得过点，设，，求的最小值．
【解析】（1）由，， 三点共线可知，存在实数 使得，
由，，三点共线可知，存在实数，使得，
由平面向量基本定理知，
解得，所以．
（2）若，则，
又因为，，三点共线，所以，
所以，
由题意可知，，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
49．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点．
（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值．
【解析】由题意得，，所以，，
因为，，，
所以
．
（2）解：由（1）知，而，
而，
因为与不共线，
由平面向量基本定理得，
解得，，
所以，即为所求．
50．如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与，分别交于点，．
（1）用向量，表示．
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】；
（2）设，，则，
因为，
所以，即，
故为定值．
51．如图所示，以向量，为边作平行四边形，又，．
（1）用，表示，；
（2），，，求．
【解析】（1），，
；
（2），
．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2022/1/29 9:40:24；用户：985794074；邮箱：985794074@qq.cm；学号：9476148
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