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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01讲数系的扩充和复数的概念(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01讲数系的扩充和复数的概念(原卷版+解析)，共41页。试卷主要包含了数系扩充的脉络，复数集，复数等内容，欢迎下载使用。
知识点1 复数的概念及代数表示
1.数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．
2.复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
3.复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
注：复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.
知识点2 两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
知识点3 复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))
(2)集合表示：
考点一 复数的有关概念
解题方略：
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
【例1】给出下列几个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．⑥的平方根是
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
变式1：已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是( )
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1 B．2 C．3 D．0
变式2：下列命题正确的是________．
①复数－i＋1的虚部为－1.
②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.
③任意两个复数都不能比较大小．
【例2】请说出下列复数的实部和虚部．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）0；（7）3i2＋7i
变式1：已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
变式2：若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.eq \f(2,3) C．－eq \f(2,3) D．2
变式3：【多选】已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知复数z＝a2＋(2a＋3)i的实部大于虚部，则实数a的取值范围是（ ）
A．－1或3B．或
C．或D．或
考点二 复数的分类
解题方略：
复数分类解题策略
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
【例3】给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）
变式1：下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2：设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
变式3：【多选】有下列四个命题，其中正确的是（ ）
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.
A．①B．②
C．③D．④
【例4】对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数
变式1：实数m取什么值时，复数是：
（1）实数？（2）虚数？（3）0？
变式2：当m为何实数时，复数z＝eq \f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数；（3）z为实数.
(4)当m为何值时，z>0.
变式3：已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．D．
变式4：已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1或2B．2C．1或2D．1
变式5：已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
变式6：已知，i为虚数单位，则“”是“复数是纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式7：复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A．B．且
C．且D．且
变式8：若复数是虚数，则实数的取值范围是________．
变式9：已知z＝lg2(1＋m)＋ilg (3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．
变式10：若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
变式11：复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0或－1
变式12：若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1B．0C．-1D．
变式13：已知复数是负实数，则实数的值为___________．
变式14：已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
变式15：如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
变式16：已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
变式17：如果复数，那么实数a的值是（ ）.
A．不等于1的实数B．不等于—1的实数
C．不等于的实数D．任意实数
变式18：求实数分别取什么值时，复数是：
（1）当实数求值；
（2）当纯虚数求值．
考点三 复数相等及其应用
解题方略：
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
【例5】若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
变式1：已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
变式2：满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为( )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
变式3：已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2 B．3
C．－3 D．9
变式4：若，则实数的值为（ ）
A．8B．C．0D．8或0
变式5：已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
变式6：若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C．0 D．1
变式7：已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－7，\f(9,16))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，7))
C．[－1,1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7))
【例6】为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数___________，
变式1：关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
变式2：已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
变式3：若关于的方程有实根，求纯虚数.
练习一 复数的有关概念
1、下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
2、下列说法正确的是（ ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．的平方根是
C．是纯虚数
D．若，则复数没有虚部
3、【多选】已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
A．若,则是纯虚数B．虚部为的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
4、有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为；
⑥是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
5、【多选】已知i为虚数单位，下列说法正确的是
A．若，且，则
B．任意两个虚数都不能比较大小
C．若复数，满足，则
D．的平方等于1
6、【多选】下列命题中错误的有（ ）
A．若，则的充要条件是
B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集
C．，若，则
D．若实数与对应，则实数集与复数集一一对应
7、已知i是虚数单位，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8、已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则______.
9、若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．1B．-2C．D．
10、复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(3),2)))i的虚部为( )
A．2 B．－eq \f(\r(3),2) C．2－eq \f(\r(3),2) D．0
11、据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（ ）
A．B．C．D．
12、已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
练习二 复数的分类
1、设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C
B．A＝B
C．A∩(∁SB)＝∅
D．(∁SA)∪(∁SB)＝C
2、在2＋eq \r(7)，eq \f(2,7)i,8＋5i，(1－eq \r(3))i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3、下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4、若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．
5、已知a为实数，若复数为纯虚数，则________．
6、若是纯虚数，则（ ）
A．或2B．2C．D．3
7、若z=（m2+6）+（2）i为纯虚数，则实数m的值为________.
8、若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
9、已知复数，，则“”是“为纯虚数”的______条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）
10、使不等式成立的实数______．
11、已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（ ）
A．0B．－1
C．D．
12、实数m分别为何值时，复数是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
13、已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
（4）若复数z是0，求实数m的值．
14、当实数m分别为何值时，
(1)复数是：实数？虚数？
(2)复数纯虚数？
15、设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
16、设z1＝2x+1+（x2﹣3x+2）i，z2＝x2﹣2+（x2+x﹣6）i（x∈R）．
（1）若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；
（2）若z1＞z2，求实数x的取值范围．
17、求使成立的自然数，的值.
练习三 复数相等及其应用
1、已知，其中，为虚数单位，则___________.
2、若(x-2y)i=2x+1+3i，则实数x，y的值分别为____.
3、若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
4、已知，则实数的取值分别为______．
5、若实数、满足，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
6、分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)eq \f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.
7、已知，则__________．
8、若复数，（），，则等于（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
9、已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
10、若方程有实数根，则实数k的取值是____________．
11、设两个复数集N={z|z=2csθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[0，7]B．[1，7]C．[，0]D．[，7]
第1讲 数系的扩充和复数的概念
知识点1 复数的概念及代数表示
1.数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．
2.复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
3.复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
注：复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.
知识点2 两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
知识点3 复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))
(2)集合表示：
考点一 复数的有关概念
解题方略：
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
【例1】给出下列几个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．⑥的平方根是
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确．
②中2i－1的虚部应是2，故②不正确．
④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确，
∴只有③，⑤,⑥正确．
故选D
变式1：已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是( )
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1 B．2 C．3 D．0
【解析】易知①正确，②③错误，故选A.
变式2：下列命题正确的是________．
①复数－i＋1的虚部为－1.
②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.
③任意两个复数都不能比较大小．
【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．
答案：①
【例2】请说出下列复数的实部和虚部．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）0；（7）3i2＋7i
【解析】直接根据复数实部虚部的定义得到答案.
（1）的实部为2，虚部为3.（2）的实部为，虚部为.
（3）的实部为，虚部为1.（4）的实部为，虚部为0.
（5）的实部为0，虚部为.（6）0实部为0，虚部为0.
（7）3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.
变式1：已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
【解析】由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝2，,b－2＝3，))∴a＝±eq \r(2)，b＝5.
变式2：若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.eq \f(2,3) C．－eq \f(2,3) D．2
【解析】复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.故选D.
变式3：【多选】已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得：
，解得：或
或或
故选：
变式4：已知复数z＝a2＋(2a＋3)i的实部大于虚部，则实数a的取值范围是（ ）
A．－1或3B．或
C．或D．或
【解析】由已知实部大于虚部，可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，即，
解得或，故实数a的取值范围是或.
故选：B.
考点二 复数的分类
解题方略：
复数分类解题策略
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
【例3】给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）
【解析】①②④显然正确，②中复数包括实数和虚数，③中实数和虚数只能是并列关系，不存在交集，故③实数集与虚数集的交集是空集，故③错.
故答案为：③
变式1：下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】根据范围的大小关系得到：.故选：C.
变式2：设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．
因此只有B正确．故选：B．
变式3：【多选】有下列四个命题，其中正确的是（ ）
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.
A．①B．②
C．③D．④
【解析】①方程2x－5＝0根为，故方程在自然数集N中无解，正确；
②方程2x2＋9x－5＝0即，故在整数集Z中有一解-5，在有理数集Q中有两解-5和，正确；
③x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有四解，，故错误.
故选：ABC.
【例4】对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数
【解析】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错；
对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错.
故选：C
变式1：实数m取什么值时，复数是：
（1）实数？（2）虚数？（3）0？
【解析】（1）若复数是实数，则有，解得
（2）若复数是虚数，则有，即
（3）若复数，则有，解得
变式2：当m为何实数时，复数z＝eq \f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数；（3）z为实数.
(4)当m为何值时，z>0.
【解析】(1)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋3≠0，,m2－2m－15≠0，))
即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2－m－6,m＋3)＝0，,m2－2m－15≠0，))
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
(3)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋3≠0，,m2－2m－15＝0，))即m＝5时，z是实数．
(4)因为z>0，所以z为实数，需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2－m－6,m＋3)>0，,m2－2m－15＝0，))解得m＝5.
变式3：已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．D．
【解析】因为是纯虚数，所以解得.
故选：D.
变式4：已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1或2B．2C．1或2D．1
【解析】由题设，，解得.故答案为：B
变式5：已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若复数为纯虚数，
则，解得：或，
所以由可得出为纯虚数，
但由为纯虚数，得不出，
所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，
故选：A.
变式6：已知，i为虚数单位，则“”是“复数是纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若复数是纯虚数，则；
若，则是实数，
所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B.
变式7：复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A．B．且
C．且D．且
【解析】要使得复数为纯虚数，则，
若，则；若，则.
所以，且.
故选：D.
变式8：若复数是虚数，则实数的取值范围是________．
【解析】∵复数z＝＋i(m∈R)是虚数，
∴
解得m>1或m<0且m≠－2.
故实数m的取值范围是．
故答案为：。
变式9：已知z＝lg2(1＋m)＋ilg (3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．
【解析】∵z是虚数，∴lg (3－m)≠0，且1＋m>0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－m>0，,3－m≠1，,1＋m>0，))∴－1∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．
变式10：若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
【解析】若复数为纯虚数，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a－1|－1≠0，,a2－a－2＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0且a≠2，,a＝2或a＝－1，))∴a＝－1.
故复数不是纯虚数时a≠－1.
答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
变式11：复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0或－1
【解析】因为复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,a－1≠0，))解得a＝－1.故选C.
变式12：若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1B．0C．-1D．
【解析】由题意可得，解得.故选：C
变式13：已知复数是负实数，则实数的值为___________．
【解析】因为为负实数，所以解得
故答案为：
变式14：已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
【解析】∵z<0，∴z为实数且小于0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1＝0，,m<0，))解得m＝－1.
变式15：如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
【解析】由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＝0，,m2－1＞1，))解得m＝2.
变式16：已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【解析】因为，， ，所以，即，解得或
故选：B
变式17：如果复数，那么实数a的值是（ ）.
A．不等于1的实数B．不等于—1的实数
C．不等于的实数D．任意实数
【解析】因为复数，所以或，解得，
所以实数a的值是任意实数，故选：D
变式18：求实数分别取什么值时，复数是：
（1）当实数求值；
（2）当纯虚数求值．
【解析】（1）要使是实数，则，解得或．
（2）要使是纯虚数，则，解得．
考点三 复数相等及其应用
解题方略：
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
【例5】若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
【解析】由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5.
变式1：已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))
变式2：满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为( )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
【解析】依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,－3＝8x－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝3.))故选A.
变式3：已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2 B．3
C．－3 D．9
【解析】因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,a2－7＝2，))解得a＝3.故选B.
变式4：若，则实数的值为（ ）
A．8B．C．0D．8或0
【解析】，又，
所以，解得或，
所以或8．
故选：D．
变式5：已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
【解析】由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－5a－6＝0，,a2－3a－1＝3，))解得a＝－1.
变式6：若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C．0 D．1
【解析】由复数相等的充要条件知，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.故选D.
变式7：已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－7，\f(9,16))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，7))
C．[－1,1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7))
【解析】由z1＝z2得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2cs θ，,4－m2＝λ＋3sin θ，))消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(3,8)))2－eq \f(9,16).由于－1≤sin θ≤1，故－eq \f(9,16)≤λ≤7.故选D.
【例6】为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数___________，
【解析】设该方程的实根为，则，
整理得，因为，
所以 解得.
故答案为：.
变式1：关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
【解析】设方程的实数根为x＝m，
则3m2－eq \f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq \f(71,5).
变式2：已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
【解析】由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－1.))∴z＝3－i.故选B.
变式3：若关于的方程有实根，求纯虚数.
【解析】设纯虚数，其中且，
可得方程，
设方程有一实根，即
因为，可得，解得，
所以.
练习一 复数的有关概念
1、下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
【解析】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；
当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；
因为，且，所以是实数，故，所以C正确；
因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.
故选:C.
2、下列说法正确的是（ ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．的平方根是
C．是纯虚数
D．若，则复数没有虚部
【解析】A： 表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误；
B： 由，可知的平方根是，故B正确；
C： 当是实数，故C错误；
D： 若，则复数虚部为0，故D错误；
故选：B
3、【多选】已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
A．若,则是纯虚数B．虚部为的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
【解析】对于A,若,则,不是纯虚数,故A错误；
对于B,虚部为的虚数可以表示为,
有无数个,故B正确；
根据复数的分类,判断C正确；
两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,
但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,
充分性不成立,故D正确.
故选:BCD.
4、有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为；
⑥是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
【解析】若两个复数相等，则它们的实部、虚部均相等，故①正确；
若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；
满足形如的数均为复数，故③正确；
纯虚数的平方小于0，如，故④错误；
的平方根不止一个，因为，故⑤错误；
是虚数，故⑥错误．
综上可得，①②③正确．
5、【多选】已知i为虚数单位，下列说法正确的是
A．若，且，则
B．任意两个虚数都不能比较大小
C．若复数，满足，则
D．的平方等于1
【解析】对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；
对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；
对于选项C，∵若复数，满足，则，故不正确；
对于选项D，∵复数，故不正确；
故选：AB．
6、【多选】下列命题中错误的有（ ）
A．若，则的充要条件是
B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集
C．，若，则
D．若实数与对应，则实数集与复数集一一对应
【解析】A.因为，所以的充要条件不是，故A不正确；
B.纯虚数集相对于复数集的补集是实数集合和虚数集中的非纯虚数集，故B不正确；
C.因为，若，则不一定相等，比如，，满足，此时不相等，故C不正确；
D. 因为规定实数与复数对应，所以复数却没有实数与之对应，所以只有纯虚数和有原象，因此不满足实数集与复数集一一对应，故D不正确.
故选：ABCD
7、已知i是虚数单位，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】i是虚数单位，则，“”是“”的充分条件；
由，得，故“”是“”的不必要条件；
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
8、已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则______.
【解析】由已知可得－1.故答案为：－1
9、若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．1B．-2C．D．
【解析】的虚部是.故选：B
10、复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(3),2)))i的虚部为( )
A．2 B．－eq \f(\r(3),2) C．2－eq \f(\r(3),2) D．0
【解析】由复数定义知C正确．故选C.
11、据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，得，
则复数的虚部为.
故选：D.
12、已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
【解析】易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－1.故选C.
练习二 复数的分类
1、设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C
B．A＝B
C．A∩(∁SB)＝∅
D．(∁SA)∪(∁SB)＝C
【解析】集合A，B，C的关系如图，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝C正确．故选D.
2、在2＋eq \r(7)，eq \f(2,7)i,8＋5i，(1－eq \r(3))i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】由纯虚数的定义可知eq \f(2,7)i, (1－eq \r(3))i是纯虚数．故选C.
3、下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误．对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.
4、若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．
【解析】因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.
5、已知a为实数，若复数为纯虚数，则________．
【解析】若复数是纯虚数，
则，解得.
故答案为：.
6、若是纯虚数，则（ ）
A．或2B．2C．D．3
【解析】是纯虚数，
，
解得：.
故选：C.
7、若z=（m2+6）+（2）i为纯虚数，则实数m的值为________.
【解析】为纯虚数，则，解得，
故答案为：．
8、若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【解析】根据复数的概念，当且时，复数z为纯虚数，
反之，当复数z为纯虚数时，且
所以“”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件
故选：B
9、已知复数，，则“”是“为纯虚数”的______条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）
【解析】当时，为纯虚数，充分性成立，
若纯虚数，则，解得，必要性成立，
∴“”是“为纯虚数”的充要条件．
故答案为：充要．
10、使不等式成立的实数______．
【解析】因为，所以，
解得或；
解得或；
解得
综上可得
故答案为：
11、已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（ ）
A．0B．－1
C．D．
【解析】由，可知两个复数均为实数，即其虚部为零，故，即，解得a＝0.故选：A.
12、实数m分别为何值时，复数是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
【解析】复数.
（1）要使z为实数，只需，解得：m=0或m=3；
（2）要使z为虚数，只需，解得：且；
（3）要使z为纯虚数，只需，解得：m=2.
13、已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
（4）若复数z是0，求实数m的值．
【解析】（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，所以m＝5或－3.
（2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．所以m≠5且m≠－3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．
（3）当时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.
（4）当时，复数z是0，所以m＝－3.
14、当实数m分别为何值时，
(1)复数是：实数？虚数？
(2)复数纯虚数？
【解析】(1)若复数为实数，则
∴ 或，
若复数为虚数，则
∴ 且，
(2)若复数纯虚数，则
且，
由可得或，
又时不存在，时，
所以.
15、设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
【解析】(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，求得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．
(3)由lg(m2－2m－2)>0，且m2＋3m＋2>0，解得m<－2或m>3，故当m<－2或m>3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．
16、设z1＝2x+1+（x2﹣3x+2）i，z2＝x2﹣2+（x2+x﹣6）i（x∈R）．
（1）若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；
（2）若z1＞z2，求实数x的取值范围．
【解析】(1)由题意知， ，解得且，即.
(2)由题意知，均为实数，即 ，解得，
即，满足，则.
17、求使成立的自然数，的值.
【解析】因为，所以是实数，从而有，由①得或.
当时，代入②得，又，所以；
当时，代入②得，与是自然数矛盾.
综上可得，.
练习三 复数相等及其应用
1、已知，其中，为虚数单位，则___________.
【解析】由条件可知，解得：，，
所以.
故答案为：
2、若(x-2y)i=2x+1+3i，则实数x，y的值分别为____.
【解析】依题意得所以
故答案为：
3、若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
【解析】易知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3a＝a2，,－a2＝4a，))解得a＝－4.
4、已知，则实数的取值分别为______．
【解析】因为，所以
解得或
故答案为：1，1或
5、若实数、满足，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【解析】由得，
所以，
∴.
故选：A
6、分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)eq \f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.
【解析】(1)∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1＝x－y，,y＋1＝－x－y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2.))
(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3或x＝－2，且x≠－1，,x＝3或x＝－1，))∴x＝3.
7、已知，则__________．
【解析】因为
所以，
所以，
故答案为：2021.
8、若复数，（），，则等于（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【解析】由复数相等的定义可知，
∴，.
∴，k∈Z
故选：D.
9、已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
【解析】设a为方程的一个实数根，则有
a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.
由复数相等的充要条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a＋3m＝0，,2a＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,12)，,a＝－\f(1,2).))故实数m的值为eq \f(1,12).
10、若方程有实数根，则实数k的取值是____________．
【解析】因为有实数根，所以有实根，
所以，所以，所以，
故答案为：.
11、设两个复数集N={z|z=2csθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[0，7]B．[1，7]C．[，0]D．[，7]
【解析】∵N={z|z=2csθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，
M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，
∴有解，
∴λ=4﹣3sinθ﹣4cs2θ
=﹣3sinθ+4sin2θ
=4(sin2θsinθ)
=4(sinθ)2，
∴当sinθ时，λ取最小值，
当sinθ=﹣1时，λ取最大值7.
故选：D.
知识点1 复数的概念及代数表示
1.数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．
2.复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
3.复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
注：复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.
知识点2 两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
知识点3 复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))
(2)集合表示：
考点一 复数的有关概念
解题方略：
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
【例1】给出下列几个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．⑥的平方根是
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
变式1：已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是( )
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1 B．2 C．3 D．0
变式2：下列命题正确的是________．
①复数－i＋1的虚部为－1.
②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.
③任意两个复数都不能比较大小．
【例2】请说出下列复数的实部和虚部．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）0；（7）3i2＋7i
变式1：已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
变式2：若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.eq \f(2,3) C．－eq \f(2,3) D．2
变式3：【多选】已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知复数z＝a2＋(2a＋3)i的实部大于虚部，则实数a的取值范围是（ ）
A．－1或3B．或
C．或D．或
考点二 复数的分类
解题方略：
复数分类解题策略
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
【例3】给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）
变式1：下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2：设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
变式3：【多选】有下列四个命题，其中正确的是（ ）
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.
A．①B．②
C．③D．④
【例4】对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数
变式1：实数m取什么值时，复数是：
（1）实数？（2）虚数？（3）0？
变式2：当m为何实数时，复数z＝eq \f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数；（3）z为实数.
(4)当m为何值时，z>0.
变式3：已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．D．
变式4：已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1或2B．2C．1或2D．1
变式5：已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
变式6：已知，i为虚数单位，则“”是“复数是纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式7：复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A．B．且
C．且D．且
变式8：若复数是虚数，则实数的取值范围是________．
变式9：已知z＝lg2(1＋m)＋ilg (3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．
变式10：若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
变式11：复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0或－1
变式12：若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1B．0C．-1D．
变式13：已知复数是负实数，则实数的值为___________．
变式14：已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
变式15：如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
变式16：已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
变式17：如果复数，那么实数a的值是（ ）.
A．不等于1的实数B．不等于—1的实数
C．不等于的实数D．任意实数
变式18：求实数分别取什么值时，复数是：
（1）当实数求值；
（2）当纯虚数求值．
考点三 复数相等及其应用
解题方略：
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
【例5】若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
变式1：已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
变式2：满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为( )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
变式3：已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2 B．3
C．－3 D．9
变式4：若，则实数的值为（ ）
A．8B．C．0D．8或0
变式5：已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
变式6：若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C．0 D．1
变式7：已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－7，\f(9,16))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，7))
C．[－1,1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7))
【例6】为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数___________，
变式1：关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
变式2：已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
变式3：若关于的方程有实根，求纯虚数.
练习一 复数的有关概念
1、下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
2、下列说法正确的是（ ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．的平方根是
C．是纯虚数
D．若，则复数没有虚部
3、【多选】已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
A．若,则是纯虚数B．虚部为的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
4、有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为；
⑥是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
5、【多选】已知i为虚数单位，下列说法正确的是
A．若，且，则
B．任意两个虚数都不能比较大小
C．若复数，满足，则
D．的平方等于1
6、【多选】下列命题中错误的有（ ）
A．若，则的充要条件是
B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集
C．，若，则
D．若实数与对应，则实数集与复数集一一对应
7、已知i是虚数单位，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8、已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则______.
9、若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．1B．-2C．D．
10、复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(3),2)))i的虚部为( )
A．2 B．－eq \f(\r(3),2) C．2－eq \f(\r(3),2) D．0
11、据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（ ）
A．B．C．D．
12、已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
练习二 复数的分类
1、设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C
B．A＝B
C．A∩(∁SB)＝∅
D．(∁SA)∪(∁SB)＝C
2、在2＋eq \r(7)，eq \f(2,7)i,8＋5i，(1－eq \r(3))i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3、下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4、若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．
5、已知a为实数，若复数为纯虚数，则________．
6、若是纯虚数，则（ ）
A．或2B．2C．D．3
7、若z=（m2+6）+（2）i为纯虚数，则实数m的值为________.
8、若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
9、已知复数，，则“”是“为纯虚数”的______条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）
10、使不等式成立的实数______．
11、已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（ ）
A．0B．－1
C．D．
12、实数m分别为何值时，复数是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
13、已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
（4）若复数z是0，求实数m的值．
14、当实数m分别为何值时，
(1)复数是：实数？虚数？
(2)复数纯虚数？
15、设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
16、设z1＝2x+1+（x2﹣3x+2）i，z2＝x2﹣2+（x2+x﹣6）i（x∈R）．
（1）若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；
（2）若z1＞z2，求实数x的取值范围．
17、求使成立的自然数，的值.
练习三 复数相等及其应用
1、已知，其中，为虚数单位，则___________.
2、若(x-2y)i=2x+1+3i，则实数x，y的值分别为____.
3、若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
4、已知，则实数的取值分别为______．
5、若实数、满足，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
6、分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)eq \f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.
7、已知，则__________．
8、若复数，（），，则等于（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
9、已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
10、若方程有实数根，则实数k的取值是____________．
11、设两个复数集N={z|z=2csθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[0，7]B．[1，7]C．[，0]D．[，7]
第1讲 数系的扩充和复数的概念
知识点1 复数的概念及代数表示
1.数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．
2.复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
3.复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
注：复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.
知识点2 两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
知识点3 复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))
(2)集合表示：
考点一 复数的有关概念
解题方略：
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
【例1】给出下列几个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．⑥的平方根是
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确．
②中2i－1的虚部应是2，故②不正确．
④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确，
∴只有③，⑤,⑥正确．
故选D
变式1：已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是( )
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1 B．2 C．3 D．0
【解析】易知①正确，②③错误，故选A.
变式2：下列命题正确的是________．
①复数－i＋1的虚部为－1.
②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.
③任意两个复数都不能比较大小．
【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．
答案：①
【例2】请说出下列复数的实部和虚部．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）0；（7）3i2＋7i
【解析】直接根据复数实部虚部的定义得到答案.
（1）的实部为2，虚部为3.（2）的实部为，虚部为.
（3）的实部为，虚部为1.（4）的实部为，虚部为0.
（5）的实部为0，虚部为.（6）0实部为0，虚部为0.
（7）3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.
变式1：已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
【解析】由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝2，,b－2＝3，))∴a＝±eq \r(2)，b＝5.
变式2：若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.eq \f(2,3) C．－eq \f(2,3) D．2
【解析】复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.故选D.
变式3：【多选】已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得：
，解得：或
或或
故选：
变式4：已知复数z＝a2＋(2a＋3)i的实部大于虚部，则实数a的取值范围是（ ）
A．－1或3B．或
C．或D．或
【解析】由已知实部大于虚部，可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，即，
解得或，故实数a的取值范围是或.
故选：B.
考点二 复数的分类
解题方略：
复数分类解题策略
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
【例3】给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）
【解析】①②④显然正确，②中复数包括实数和虚数，③中实数和虚数只能是并列关系，不存在交集，故③实数集与虚数集的交集是空集，故③错.
故答案为：③
变式1：下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】根据范围的大小关系得到：.故选：C.
变式2：设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．
因此只有B正确．故选：B．
变式3：【多选】有下列四个命题，其中正确的是（ ）
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.
A．①B．②
C．③D．④
【解析】①方程2x－5＝0根为，故方程在自然数集N中无解，正确；
②方程2x2＋9x－5＝0即，故在整数集Z中有一解-5，在有理数集Q中有两解-5和，正确；
③x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有四解，，故错误.
故选：ABC.
【例4】对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数
【解析】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错；
对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错.
故选：C
变式1：实数m取什么值时，复数是：
（1）实数？（2）虚数？（3）0？
【解析】（1）若复数是实数，则有，解得
（2）若复数是虚数，则有，即
（3）若复数，则有，解得
变式2：当m为何实数时，复数z＝eq \f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数；（3）z为实数.
(4)当m为何值时，z>0.
【解析】(1)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋3≠0，,m2－2m－15≠0，))
即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2－m－6,m＋3)＝0，,m2－2m－15≠0，))
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
(3)当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋3≠0，,m2－2m－15＝0，))即m＝5时，z是实数．
(4)因为z>0，所以z为实数，需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2－m－6,m＋3)>0，,m2－2m－15＝0，))解得m＝5.
变式3：已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．D．
【解析】因为是纯虚数，所以解得.
故选：D.
变式4：已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1或2B．2C．1或2D．1
【解析】由题设，，解得.故答案为：B
变式5：已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若复数为纯虚数，
则，解得：或，
所以由可得出为纯虚数，
但由为纯虚数，得不出，
所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，
故选：A.
变式6：已知，i为虚数单位，则“”是“复数是纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若复数是纯虚数，则；
若，则是实数，
所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B.
变式7：复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A．B．且
C．且D．且
【解析】要使得复数为纯虚数，则，
若，则；若，则.
所以，且.
故选：D.
变式8：若复数是虚数，则实数的取值范围是________．
【解析】∵复数z＝＋i(m∈R)是虚数，
∴
解得m>1或m<0且m≠－2.
故实数m的取值范围是．
故答案为：。
变式9：已知z＝lg2(1＋m)＋ilg (3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．
【解析】∵z是虚数，∴lg (3－m)≠0，且1＋m>0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－m>0，,3－m≠1，,1＋m>0，))∴－1
变式10：若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
【解析】若复数为纯虚数，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a－1|－1≠0，,a2－a－2＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0且a≠2，,a＝2或a＝－1，))∴a＝－1.
故复数不是纯虚数时a≠－1.
答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
变式11：复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0或－1
【解析】因为复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,a－1≠0，))解得a＝－1.故选C.
变式12：若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1B．0C．-1D．
【解析】由题意可得，解得.故选：C
变式13：已知复数是负实数，则实数的值为___________．
【解析】因为为负实数，所以解得
故答案为：
变式14：已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
【解析】∵z<0，∴z为实数且小于0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1＝0，,m<0，))解得m＝－1.
变式15：如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
【解析】由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＝0，,m2－1＞1，))解得m＝2.
变式16：已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【解析】因为，， ，所以，即，解得或
故选：B
变式17：如果复数，那么实数a的值是（ ）.
A．不等于1的实数B．不等于—1的实数
C．不等于的实数D．任意实数
【解析】因为复数，所以或，解得，
所以实数a的值是任意实数，故选：D
变式18：求实数分别取什么值时，复数是：
（1）当实数求值；
（2）当纯虚数求值．
【解析】（1）要使是实数，则，解得或．
（2）要使是纯虚数，则，解得．
考点三 复数相等及其应用
解题方略：
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
【例5】若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
【解析】由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5.
变式1：已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))
变式2：满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为( )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
【解析】依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,－3＝8x－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝3.))故选A.
变式3：已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2 B．3
C．－3 D．9
【解析】因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,a2－7＝2，))解得a＝3.故选B.
变式4：若，则实数的值为（ ）
A．8B．C．0D．8或0
【解析】，又，
所以，解得或，
所以或8．
故选：D．
变式5：已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
【解析】由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－5a－6＝0，,a2－3a－1＝3，))解得a＝－1.
变式6：若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C．0 D．1
【解析】由复数相等的充要条件知，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.故选D.
变式7：已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－7，\f(9,16))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，7))
C．[－1,1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7))
【解析】由z1＝z2得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2cs θ，,4－m2＝λ＋3sin θ，))消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(3,8)))2－eq \f(9,16).由于－1≤sin θ≤1，故－eq \f(9,16)≤λ≤7.故选D.
【例6】为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数___________，
【解析】设该方程的实根为，则，
整理得，因为，
所以 解得.
故答案为：.
变式1：关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
【解析】设方程的实数根为x＝m，
则3m2－eq \f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq \f(71,5).
变式2：已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
【解析】由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－1.))∴z＝3－i.故选B.
变式3：若关于的方程有实根，求纯虚数.
【解析】设纯虚数，其中且，
可得方程，
设方程有一实根，即
因为，可得，解得，
所以.
练习一 复数的有关概念
1、下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
【解析】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；
当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；
因为，且，所以是实数，故，所以C正确；
因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.
故选:C.
2、下列说法正确的是（ ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．的平方根是
C．是纯虚数
D．若，则复数没有虚部
【解析】A： 表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误；
B： 由，可知的平方根是，故B正确；
C： 当是实数，故C错误；
D： 若，则复数虚部为0，故D错误；
故选：B
3、【多选】已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
A．若,则是纯虚数B．虚部为的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
【解析】对于A,若,则,不是纯虚数,故A错误；
对于B,虚部为的虚数可以表示为,
有无数个,故B正确；
根据复数的分类,判断C正确；
两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,
但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,
充分性不成立,故D正确.
故选:BCD.
4、有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为；
⑥是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
【解析】若两个复数相等，则它们的实部、虚部均相等，故①正确；
若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；
满足形如的数均为复数，故③正确；
纯虚数的平方小于0，如，故④错误；
的平方根不止一个，因为，故⑤错误；
是虚数，故⑥错误．
综上可得，①②③正确．
5、【多选】已知i为虚数单位，下列说法正确的是
A．若，且，则
B．任意两个虚数都不能比较大小
C．若复数，满足，则
D．的平方等于1
【解析】对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；
对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；
对于选项C，∵若复数，满足，则，故不正确；
对于选项D，∵复数，故不正确；
故选：AB．
6、【多选】下列命题中错误的有（ ）
A．若，则的充要条件是
B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集
C．，若，则
D．若实数与对应，则实数集与复数集一一对应
【解析】A.因为，所以的充要条件不是，故A不正确；
B.纯虚数集相对于复数集的补集是实数集合和虚数集中的非纯虚数集，故B不正确；
C.因为，若，则不一定相等，比如，，满足，此时不相等，故C不正确；
D. 因为规定实数与复数对应，所以复数却没有实数与之对应，所以只有纯虚数和有原象，因此不满足实数集与复数集一一对应，故D不正确.
故选：ABCD
7、已知i是虚数单位，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】i是虚数单位，则，“”是“”的充分条件；
由，得，故“”是“”的不必要条件；
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
8、已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则______.
【解析】由已知可得－1.故答案为：－1
9、若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．1B．-2C．D．
【解析】的虚部是.故选：B
10、复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(3),2)))i的虚部为( )
A．2 B．－eq \f(\r(3),2) C．2－eq \f(\r(3),2) D．0
【解析】由复数定义知C正确．故选C.
11、据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，得，
则复数的虚部为.
故选：D.
12、已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
【解析】易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－1.故选C.
练习二 复数的分类
1、设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C
B．A＝B
C．A∩(∁SB)＝∅
D．(∁SA)∪(∁SB)＝C
【解析】集合A，B，C的关系如图，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝C正确．故选D.
2、在2＋eq \r(7)，eq \f(2,7)i,8＋5i，(1－eq \r(3))i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】由纯虚数的定义可知eq \f(2,7)i, (1－eq \r(3))i是纯虚数．故选C.
3、下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误．对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.
4、若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．
【解析】因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.
5、已知a为实数，若复数为纯虚数，则________．
【解析】若复数是纯虚数，
则，解得.
故答案为：.
6、若是纯虚数，则（ ）
A．或2B．2C．D．3
【解析】是纯虚数，
，
解得：.
故选：C.
7、若z=（m2+6）+（2）i为纯虚数，则实数m的值为________.
【解析】为纯虚数，则，解得，
故答案为：．
8、若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【解析】根据复数的概念，当且时，复数z为纯虚数，
反之，当复数z为纯虚数时，且
所以“”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件
故选：B
9、已知复数，，则“”是“为纯虚数”的______条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）
【解析】当时，为纯虚数，充分性成立，
若纯虚数，则，解得，必要性成立，
∴“”是“为纯虚数”的充要条件．
故答案为：充要．
10、使不等式成立的实数______．
【解析】因为，所以，
解得或；
解得或；
解得
综上可得
故答案为：
11、已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（ ）
A．0B．－1
C．D．
【解析】由，可知两个复数均为实数，即其虚部为零，故，即，解得a＝0.故选：A.
12、实数m分别为何值时，复数是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
【解析】复数.
（1）要使z为实数，只需，解得：m=0或m=3；
（2）要使z为虚数，只需，解得：且；
（3）要使z为纯虚数，只需，解得：m=2.
13、已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
（4）若复数z是0，求实数m的值．
【解析】（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，所以m＝5或－3.
（2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．所以m≠5且m≠－3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．
（3）当时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.
（4）当时，复数z是0，所以m＝－3.
14、当实数m分别为何值时，
(1)复数是：实数？虚数？
(2)复数纯虚数？
【解析】(1)若复数为实数，则
∴ 或，
若复数为虚数，则
∴ 且，
(2)若复数纯虚数，则
且，
由可得或，
又时不存在，时，
所以.
15、设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
【解析】(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，求得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．
(3)由lg(m2－2m－2)>0，且m2＋3m＋2>0，解得m<－2或m>3，故当m<－2或m>3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．
16、设z1＝2x+1+（x2﹣3x+2）i，z2＝x2﹣2+（x2+x﹣6）i（x∈R）．
（1）若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；
（2）若z1＞z2，求实数x的取值范围．
【解析】(1)由题意知， ，解得且，即.
(2)由题意知，均为实数，即 ，解得，
即，满足，则.
17、求使成立的自然数，的值.
【解析】因为，所以是实数，从而有，由①得或.
当时，代入②得，又，所以；
当时，代入②得，与是自然数矛盾.
综上可得，.
练习三 复数相等及其应用
1、已知，其中，为虚数单位，则___________.
【解析】由条件可知，解得：，，
所以.
故答案为：
2、若(x-2y)i=2x+1+3i，则实数x，y的值分别为____.
【解析】依题意得所以
故答案为：
3、若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
【解析】易知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3a＝a2，,－a2＝4a，))解得a＝－4.
4、已知，则实数的取值分别为______．
【解析】因为，所以
解得或
故答案为：1，1或
5、若实数、满足，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【解析】由得，
所以，
∴.
故选：A
6、分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)eq \f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.
【解析】(1)∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1＝x－y，,y＋1＝－x－y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2.))
(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3或x＝－2，且x≠－1，,x＝3或x＝－1，))∴x＝3.
7、已知，则__________．
【解析】因为
所以，
所以，
故答案为：2021.
8、若复数，（），，则等于（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【解析】由复数相等的定义可知，
∴，.
∴，k∈Z
故选：D.
9、已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
【解析】设a为方程的一个实数根，则有
a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.
由复数相等的充要条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a＋3m＝0，,2a＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,12)，,a＝－\f(1,2).))故实数m的值为eq \f(1,12).
10、若方程有实数根，则实数k的取值是____________．
【解析】因为有实数根，所以有实根，
所以，所以，所以，
故答案为：.
11、设两个复数集N={z|z=2csθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[0，7]B．[1，7]C．[，0]D．[，7]
【解析】∵N={z|z=2csθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，
M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，
∴有解，
∴λ=4﹣3sinθ﹣4cs2θ
=﹣3sinθ+4sin2θ
=4(sin2θsinθ)
=4(sinθ)2，
∴当sinθ时，λ取最小值，
当sinθ=﹣1时，λ取最大值7.
故选：D.
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