高中数学1.1 导数概念及其意义完美版课件ppt

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1．理解函数平均变化率的概念（重点）
2．会求函数的平均变化率（难点）
3．会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题（难点）
如何求曲线上任一点处的切线，如何求运动物体在每一时刻的瞬时速度，这些问题好像是无穷无尽，永远做不完的．但是，用微积分的方法，成干上万问题被一举突破，一个新的数学领城出现了，所以恩格斯认为，微积分的发现是人类精神的伟大胜利．导数是微积分的核心概念之一．本章我们将通过若干内容丰富、思想深刻的实例引入导数，理解导数的意义；学习导数的基本运义；学习导数的基本运算法则，利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并解决一些实际问题，体会导数的思想及其丰富的内涵．
自由落体的速度时时刻刻在变化，该如何计算呢?我们早就会作圆的切线，二次函数曲线的切线怎么作呢?
每条直线上都可以建立一根数轴，则直线上每一点P的位置均可用一个实数 x 表示． 若在这条直线上运动的动点P在任何时刻 t 的位置均可用f(t)表示，则从时刻a到时刻b的位移为f(b)－f(a)．因为所花时间为b－a，所以在时间段[a，b]内动点P的平均速度为
例1 设数轴上动点P在任何时刻 t 的位置均可用函数f (t) = 0.5 t＋1表示，求该点P在时间段[a，b]内的平均速度 v[a，b]． 解：由于 所以点 P在时间段[a，b]内的平均速度为0.5．
由例1可知，该动点在任何一个时间段[a，b]内的平均速度都等于0.5，是常数．由此可见，该动点做匀速运动，且在任何时刻的速度都是0.5．
画出例1中函数y =f (t) = 0.5 t＋1的图象，如图1.1-1，则该图象是一条直线的一部分．
如果y =f (t)不是一次函数，则其图象不是直线而是曲线．但图象上任意两点A(a，f(a))，B(b，f(b))之间的线段 AB的斜率 仍然等于动点在[a，b]内的平均速度 v[a，b]，如图．
例2 某物体做自由落体运动，其运动方程为 ，其中t为下落的时间（单位：s），g为重力加速度，大小为9.8m/s．求它在时间段[1，3]内的平均速度． 解：物体在时间段[1，3]内的平均速度为
一般地，函数y =f (x)的自变量有可能不是时刻，因变量有可能不表示位置． 因而 就不一定是平均速度，但仍然反映了因变量 y 随自变量x变化的快慢和变化方向（增减）．
函数f (x)的平均变化率即函数值之差与对应的自变量之差的比．
例3 如图，在正弦曲线 f (x) = sinx上取两点 ，求直线AB的斜率． 解：直线AB的斜率为
直线AB的斜率即为函数 f (x) = sinx在区间[π/2，π]内的平均变化率．
例4 充满气的气球近似为球体．在给气球充气时，我们都知道，开始充气时，开始气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率．
由以上两个结果可以看出，气球体积由0.5增至1，再由1增至1.5，二者都增大了0.5，但r的平均变化率却由0.26变成0.18，变小了．也就是说，随着气球体积的逐渐增大，它的半径的平均变化率逐渐变小．
例5 已知函数f (x) = 3 x＋2，g(x) = x2，分别计算它们在区间[－2，－1]，[1，5]上的平均变化率．
解：函数f (x) = 3 x＋2在区间[－2，－1]上的平均变化率为 函数f (x) = 3 x＋2在区间[1，5] 上的平均变化率为
函数g(x) = x2在区间[－2，－1]上的平均变化率为 函数g(x) = x2在区间[1，5] 上的平均变化率为
练习1 小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t内所经过的距离为 s(t) = at²，求小球在时间段[2，2＋h]内的平均速度．
解：小球在时间段[2，2＋h]内的平均速度为
练习2 在函数f (x) = 2x2－x－5的图象上取两点A(a，f(a))，B(b，f(b))，求直线AB的斜率．
解：直线AB的斜率为
练习3 已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化（温度不变），下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻 t 的浓度C(t)． 试根据上表求下列时间段内的平均反应速率 （1）2 ≤ t ≤ 6； （2）0 ≤ t ≤ 2．
解：C(t)在时间段[2，6]内的平均反应速率为 C(t)在时间段[0，2]内的平均反应速率为
1．已知质点M 按规律s = 3＋t 2 运动，求质点M 在时间段[2，2.1]内的平均速度．
2．已知f (x) = －x＋1，分别计算f (x) 在下列区间的平均变化率． （1）[1，1.1]； （2）[0.9，1]； （3）[0.5，1]； （4）[1，1.5]；