高中数学第二章 导数及其应用1 平均变化率与瞬时变化率1.2 瞬时变化率图文课件ppt

这是一份高中数学第二章 导数及其应用1 平均变化率与瞬时变化率1.2 瞬时变化率图文课件ppt，共41页。PPT课件主要包含了目录索引，探究点一平均变化率，探究点二瞬时变化率，本节要点归纳等内容，欢迎下载使用。

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知识点1　平均速度与平均变化率1.用一段时间内物体的平均速度刻画了物体运动的快慢,当时间从t0变为t1时,物体所走的路程s(t0)变为s(t1),这段时间内物体的平均速度=　　　　　　　　. 
2.对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x2]的平均变化率=　　　　　　　. 通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量,记作Δx,函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
名师点睛1.如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在t到t+Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度,即2.函数平均变化率是用来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的量.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=f(x)在[x1,x2]的平均变化率 .(　　)(2)函数y=f(x)在[x1,x2]的平均变化率的几何意义即为过(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点的直线的斜率.(　　)
2.一物体的运动函数是s(t)=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为　　　. 
知识点2　瞬时速度与瞬时变化率1.瞬时速度:物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.2.瞬时变化率:对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则该函数的平均变化率为
　 Δx不能等于0 如果当Δx趋于0时,平均变化率趋于某个值,那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
名师点睛从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt]或者[t+Δt,t]中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt]或者[t+Δt,t]内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在计算物体运动的瞬时速度时,h(t0+Δt)>h(t0).(　　)(2)瞬时速度是刻画物体在区间[t0,t0+Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量.(　　)(3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.(　　)2.如果某物体在某时间段内的平均速度为0,能否判定该物体在此时间段内的瞬时速度都为0?
角度1.求物体运动的平均速度【例1】 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t, t∈[0, ].(2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义.
规律方法　求物体运动的平均速度的主要步骤(1)先计算位移的改变量s(t2)-s(t1);(2)再计算时间的改变量t2-t1;(3)得平均速度
变式训练1一质点按函数s(t)= 做直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为(　　)A.-1B.- C.-2 D.2
角度2.求函数的平均变化率【例2】 求函数f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.
规律方法　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤:
变式训练2函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为　　　　. 
角度1.求物体运动的瞬时速度【例3】 某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度.
当Δt趋于0时,3+Δt趋于3.∴物体在t=1处的瞬时变化率为3,即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s.
变式探究1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.
变式探究2在本例条件不变的前提下,物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s?
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.当Δt趋于0时,(2t0+1)+Δt趋于2t0+1,则2t0+1=9,∴t0=4.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
规律方法　求运动物体在t=t0的瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).(2)求平均速度(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近于常数v,即为t0时刻的瞬时速度.
变式训练3一质点M按函数s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.
解 ∵质点M在t=2 s附近的平均变化率为当Δt趋于0时,4a+aΔt趋于4a,∴4a=8,解得a=2.
角度2.求函数的瞬时变化率【例4】 估算函数y=x- 在x=1处的瞬时变化率.
规律方法　估算一个函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的步骤如下:(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均变化率(3)当Δx趋于0时, 趋于的那个确定值即为所求函数在某点处的瞬时变化率.
变式训练4已知函数f(x)= ,估算f(x)在x=1处的瞬时变化率为　　　　. 
探究点三　平均变化率的意义
【例5】 已知函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10.(1)计算从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为①2;②1;③0.1;④0.01.(2)根据(1)中的计算,当Δx越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+Δx](Δx>0)上的平均变化率有怎样的变化趋势?
(2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率逐渐变大,并接近于-3.3.
规律方法　1.通过例5可知,一般地,当Δx变化时,函数f(x)在[x0,x0+Δx](Δx>0)上的平均变化率是变化的,当Δx越来越小时,f(x)在某区间上的平均变化率呈现出一定的规律性,如果平均变化率随Δx趋于0,此时平均变化率的值也就趋于某一个确定的值(即瞬时变化率).
变式训练5下面是一段登山路线图,同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看,为什么?你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗?
1.知识清单:(1)平均变化率.(2)瞬时变化率.(3)平均变化率的几何意义与实际意义.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:误以为Δx,Δy都为正值.
1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是(　　)A.1B.-1C.2D.-2
2.物体运动函数为s(t)=3t2(位移单位:m,时间单位:s),若当Δt趋于0时, 趋于18 m/s,则下列说法中正确的是(　　)A.18 m/s是物体从0 s到3 s这段时间内的平均速度B.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的速度C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度D.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度
3.已知函数y=2x,则函数在区间[1,3]上的平均变化率为　　　　　. 
解析 因为y=f(x)=2x,且f(3)=23=8,f(1)=2,所以该函数在区间[1,3]上的平均变化率为
4.已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)=t2+2t+2,则在时间间隔[1,1+Δt]内的平均加速度是　　　　　,当t=1时的瞬时加速度是　　　　　.