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    高中数学第1章 导数及其应用1.1 导数概念及其意义教案及反思

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    这是一份高中数学第1章 导数及其应用1.1 导数概念及其意义教案及反思,共5页。教案主要包含了课程标准要求,教学目标,学情与内容分析,教学准备,难、重点,教学过程,板书设计,评价设计等内容,欢迎下载使用。

    【课程标准要求】
    通过实例理解函数的平均变化率。
    【教学目标】
    1.理解函数平均变化率的概念。
    2.会求函数的平均变化率。
    3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题。
    【学情与内容分析】
    本节课是湘教版高中数学选择性必修第二册《第一章导数及其应用》的第1节,教材通过学生熟悉的概念平均速度出发,结合两个实例介绍函数在指定区间的平均变化率,并且总结归纳出一般函数的平均变化率概念,在此基础上,引导学生掌握求函数平均变化率的一般步骤.教材例题的设计,从直线运动的物体的平均速度到曲线运动的物体的平均速度,从物体的平均速度到一般函数的平均变化率,是一个逐步抽象,由特殊到一般的过程.它是从具体的实际背景出发,到舍去物理背景得到数学对象的过程,不断渗透了数学抽象的素养.新课程标准提出,通过实例分析,学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景。平均变化率是个核心概念,它在整个高中数学中占有极其重要的地位,是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.
    【教学准备】希沃课件。
    【难、重点】
    重点:理解函数平均变化率的概念.
    难点:1.会求函数的平均变化率;
    2.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.
    【教学过程】
    【板书设计】
    【评价设计】
    【作业设计】
    完成导学案内容
    2、教材P5 练习题1,2,3
    【教学反思】
    教学环节
    教学内容
    师生活动
    设计意图
    ㈠情景引入
    情景问题:我们都非常熟悉平均速度这个概念,如何求出一个运动物体的在一个时段的平均速度呢?
    (1)物体在直线上运动,如果匀速,那么任何时段平均速度不变;
    (2)物体在直线上做变速运动,如何求某事段的平均速度?
    学生通过讨论,教师概括,若在某直线上运动的物体在任何时刻的位置均可用表示,则从时刻到时刻的位移为,所化的时间为,所以这段时间的平均速度为 .
    教师提出如何求出一个运动物体的平均速度的问题,学生思考回答,教师概括出求平均速度的一般方法.
    1.从学生熟悉的具体情境出发,复合学生认知规律.
    2.学生思考探究,为后面学习中的概括抽象提供基础.
    ㈡新知探索
    通过教材中给出的两个具体例子作为引例,进一步理解平均速度的概念,并且总结概括出一般函数的平均变化率的定义.
    【引例1】(课本例1)设数轴上的动点在任何时刻的位置都能用来表示,求该点在时间段内的平均速度.
    分析: 计算得到
    ,可见,点在任意时间段内的平均速度都为0.5,所以它做匀速直线运动.作出的图像,可以发现就是图像上两点之间的线段的斜率.
    【引例2】(课本例2)某物体做自由落体运动,其运动方程为,其中t为下落的时间(单位:),为重力加速度,大小为,求它在时间段内的平均速度.
    分析:所求平均速度为
    引导学生发现,函数的自变量不一定是时刻,因变量不一定表示位置,因而也不一定表示平均速度,但仍然反应了随自变量的变化快慢和变化方向,因而,我们把称为函数在上的平均变化率.
    1.结合两个例子,引导学生体会函数为直线或曲线时.都能够同样计算平均速度;
    2.让同学们结合图形,理解平均速度的几何意义就是两点连线所得线段的斜率.
    3.引导同学们理解,不一定表示位置,因而也不一定表示平均速度,从而概括平均变化率的概念.
    由具体的物理情境中的平均变化速度概念,抽象
    概括出一般函数的平均变化率概念.体现由特殊到一般数学抽象的过程.
    ㈢典例剖析
    例3.在正弦曲线上取两点,求直线的的斜率.
    分析:直接通过两点坐标运算斜率.
    解:
    例 4.充满气的气球近似为球体 在给气球充气时,我们都知道,开始充气时,气球膨胀较快,随后膨胀速度逐渐缓慢下来 气球膨胀实际上就是气球半径增大,表面积增大,体积增大.试描述气球的半径相对于体积的平均变化率.
    分析:由生活事实可知,随着气球体积的增大,半径的增长越来越缓慢,引导学生通过平均变化率来描述这一事实.
    解;设气球的半径为体积为,则,所以,
    当时,半径的平均变化率为,
    当时,半径的平均变化率为
    由上面两个结果,随着气球体积的逐渐增大,气球的半径的平均变化率逐渐变小.
    例 5.已知函数,分别计算它们在区间上的平均变化率.
    分析:此题是平均变化率的实际应用,根据上题总结的一般步骤,可以代入求解.
    解: 函数在上的平均变化率为,在上的平均变化率为,
    函数在上的平均变化率为,在上的平均变化率为.
    1.教师提出问题,学生之间进行充分交流、讨论、探究活动.
    2.例4由教师板书过程,起到示范作用;例5由学生到黑板板书,教师点评.
    3.通过例4的教学,教师总结求平均变换率的一般步骤:第一步,求函数值的变化量;第二步,求自变量的变化量;第三步,作商得出结果.
    4.通过3个例子,让学生阐述总结三个例子的共同点和不同点,进一步深化对平均变化率概念的理解,让学生能够脱离实际背景,抽象得到数学概念.
    例 3 的设置,再次强化平均变化率的几何意义,即线段的斜率.
    例4 从生活实际问题入手,再次体会平均变化率是可以反映因变量随自变量变化快慢的一个量 ,加深对概念的直观理解,并有效地引导学生更好地分析问题和理解问题和解决问题.
    例5的设置是巩固强化作用,让学生进行概念的具体应用.
    以上3个例子,既有三角函数,又有二次函数和三次函数等幂函数;既有平均变化率的几何解释,又有平均变化率的实际意义,教学过程要引导学生舍去物理背景,抽象出概念,渗透数学抽象的素养.
    ㈣练习巩固
    练习 1. 小球在光滑斜面上向下滚动,从开始滚动算起时间内所经过的距离为,求小球在时间段内的平均速度.
    练习 2. 已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化(温度不变),下表记录了某温度下,该化学物质在溶液中反应时不同时刻的浓度.
    试根据上表求下列时间段内的平均反应速率
    (1);(2);(3).
    1.学生自主写出练习1和练习2的解题过程.
    2.依次投影展示部分学生的两个题目的解答过程,请其余学生对比纠正错误.
    3.让学生回答练习2中的浓度平均变化率的实际意义,并比较说明三个时段变换率的差别.
    学生自己分析问题、解决问题、处理问题,培养自主探究能力.
    练习1回顾了平均速度的概念,再次巩固平均变化率产生的物理背景.
    练习2通过表格数据来表示函数,结合本节课例题的不同函数表现形式,再次突出概念的本质属性,同时,以化学浓度作为问题背景,通过平均变化率去描述它发展过程中的阶段变化,体现了数学的应用性.

    归纳小结
    本节课学习了什么内容?
    结束语:平均变化率的概念;求函数平均变化率的一般步骤.
    总结整节课所学知识,升华数学思想.
    1.平均速度 平均变化率;
    2.函数平均变化率的概念;
    3.函数平均变化率的几何意义;
    4.求函数平均变化率的一般步骤.
    希沃课件投影区域
    例3、例4、例5讲解以及板书
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